4) D = P ? <d> - максимальна підгрупа скінченної групи G = U ? D, ¦d¦ = r - просте число, [Р, <d> ] 1, Р - група типу 2 чи 3 теореми 4.2.1;

5) D = P ? W - ненормальна максимальна підгрупа із скінченної групи G, D - ненільпотентна група, Р - циклічна група, всі 2-максимальні підгрупи із W циклічні;

6) D = P ? <d> - ненільпотентна ненормальна в G 2-максимальна підгрупа скінченної групи G = U ? D, P - циклічна група, ¦d¦= r, [Р, <d> ] = Р.

ВИСНОВКИ

Вивчення груп із заданими властивостями підгруп поповнює конкретну базу теорії груп і збагачує її новими результатами. Починаючи з класичних робіт Р. Дедекінда та Р. Бера, у яких описані дедекіндові групи (групи, всі підгрупи яких нормальні), почалося вивчення довільних груп G, у яких деяка система підгруп ? групи G задовольняє умову нормальності. Цей напрямок є одним з важливих в теорії груп. Його головною метою є опис узагальнень дедекіндових груп. В дисертаційній роботі здійснено узагальнення дедекіндових груп, яке базується на понятті щільності нормальності для нециклічних підгруп.

Вивчено до твірних елементів і визначальних співвідношень і подано конструкцію побудови локально ступінчастих УЩН[ ]-груп, у яких будь-яка власна немаксимальна підгрупа циклічна чи мінімальна нециклічна (теорема 2.2.1 );

Аналогічно охарактеризовано періодичні недедекіндові локально ступінчасті недисперсивні УЩН[ ]-групи та їх підкласи (теореми 3.1.1, 3.1.3, 3.2.2, 3.2.3 );

Встановлено, що нескінченні періодичні локально ступінчасті недисперсивні ЩН[ ]-групи дедекіндові (теорема 3.2.4 );

Знайдено конструкції побудови в термінах прямих, напівпрямих добутків та скінченних розширень локально ступінчастих дисперсивних УЩН[]-груп, що мають ненормальні силовські підгрупи (теорема 4.2.1).

Допоміжним новим результатом, що має і самостійне значення, є:

опис скінченних груп G, що не породжуються своїми 2-максимальними нециклічними підгрупами, містять нормальну підгрупу N типу (р, р) і G/N - примарна група (теорема 4.1.1).

Всі результати дисертаційної роботи мають строге доведення і базуються на класичних теоретико-групових методах.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Коваль Т.В. Про будову скінченних груп з умовами щільності нормальності для нециклічних підгруп //Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат.-2000.- Вип. 2.- С. 15 - 21.

Коваль Т.В. Групи, власні немаксимальні підгрупи яких циклічні чи мінімальні нециклічні// Укр. мат. журн. - 2000. - Т.52, № 12. - С.1708 - 1710.

Коваль Т.В. Про будову ненільпотентних груп з умовами щільності нормальності для нециклічних підгруп //Доп. НАН України.-2001.-№ 7.-С. 19 - 21.

Семко М.М., Коваль Т.В. Про групи з умовами щільності нормальності для нециклічних підгруп //Наук. зап. НПУ ім. М.П. Драгоманова. Сер. фіз.-мат.-2001.- Вип.2. - С.173 - 179.

Коваль Т.В. Про скінченні групи з умовою щільності нормальності для нециклічних підгруп // Матеріали сьомої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 14 -16 трав. 1998).-К.: Віпол. -1998.- С. 137.

Коваль Т.В. Про будову ненільпотентних УЩН[]-груп // Матеріали восьмої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 11 -14 трав. 2000).-К.: Віпол. -2000.- С. 297.

Коваль Т.В. О строении групп с условиями плотности нормальности для нециклических подгрупп // VIII Белорусская математическая конференция ( Минск, 19 - 24 июня 2000). - Минск: Ин-т математики НАН Беларуси. - 2000.- С.43.

Семко М.М., Коваль Т.В. Про групи з умовами узагальненої щільності нормальності для нециклічних підгруп //Матеріали третьої Міжнар. алг. конф. в Україні (Суми, 2 - 8 липня 2001).-Суми: СумДПУ ім. А.С. Макаренка. -2001.- С. 245 - 247.

Семко Н.Н., Коваль Т.В. О группах с условиями плотности нормальности для нециклических подгрупп //Український математичний конгрес 2001. Алгебра і теорія чисел. Тези доповідей.- К.: І-нт математики НАН України. -2001.- С.47.

АНОТАЦІЇ

Коваль Т.В. Групи з умовами щільності нормальності для нециклічних підгруп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертація присвячена дослідженню узагальнень дедекіндових груп, що здійснюється завдяки різним умовам щільності нормальності для нециклічних підгруп. Іншими словами, досліджуються групи G, що мають нормальну підгрупу N, розміщену між довільними двома нециклічними підгрупами А і В групи G, де А -підгрупа з В. Різні умови щільності визначаються співвідношеннями: А N В; А < N < B; А < N В; А N < B, а також властивостями: А - підгрупа групи В; А - власна підгрупа групи В; А - власна немаксимальна підгрупа групи В.

Вивчено певні класи локально ступінчастих груп з умовами різних щільностей нормальності для нециклічних підгруп.

Ключові слова: дедекіндова група, нормальна підгрупа, щільність нормальності, власна підгрупа, власна немаксимальна підгрупа, відрізок підгруп, дисперсивна група, недисперсивна група.

Коваль Т.В. Группы с условиями плотности нормальности для нециклических подгрупп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена исследованию обобщений дедекиндовых групп. Оно осуществляется с помощью условий плотности нормальности для нециклических подгрупп. Другими словами, исследуются группы G, которые имеют нормальную подгруппу N, расположенную между произвольными двумя нециклическими подгруппами А и В группы G, где А - подгруппа из В. Подгруппа N называется расположенной между подгруппами А и В группы G, если А - подгруппа из В и А N В. Различные условия плотности определяются соотношениями: А N В; А < N < В; А < N В; А N < В, а также свойствами: А - подгруппа из В; А - собственная подгруппа из В; А - собственная немаксимальная подгруппа из В. Подгруппа А группы В называется собственной подгруппой группы В, если она отлична от В, т.е. А < В.

Множество {Х} подгрупп Х исследуемой группы G, для которых А Х В называется отрезком подгрупп из G и обозначается [А; В]. Мощность подгрупп этого отрезка называется его модулем и обозначается |[А; В]|. Понятно, что |[А; В]| 1. При |[А; В]| 1 А - подгруппа из В, при |[А; В]| > 1 А - собственная подгруппа из В, при |[А; В]| > 2 А - собственная немаксимальная подгруппа из В.

Изучено до образующих элементов и определяющих соотношений и приведена конструкция строения класса локально ступенчатых групп G, у которых все собственные немаксимальные подгруппы циклические или минимальные нециклические, |[А; В]| > 2, А - нециклическая подгруппа, [А; В] N ? G.

Аналогично охарактеризован класс периодических недедекиндовых локально ступенчатых недисперсивных групп G, у которых |[А; В]| > 2, А - нециклическая подгруппа, [А; В] N ? G и некоторые его подклассы. Среди них классы групп, у которых |[А; В]| > 2, А - нециклическая подгруппа и соответственно: (А; В) N ? G; [А; В) N ? G; (А; В] N ?G.

Доказано, что бесконечные периодические локально ступенчатые недисперсивные группы G, у которых |[А; В]| > 1, А - нециклическая подгруппа, [А; В] N ? G являются дедекиндовыми.

Определены конструкции строения в терминах прямых, полупрямых произведений и конечных расширений класса локально ступенчатых дисперсивных групп G, у которых имеются ненормальные силовские подгруппы, |[А; В]| > 2, А - нециклическая подгруппа и [А; В] N ? G.

Ключевые слова: дедекиндовая группа, нормальная подгруппа, плотность нормальности, собственная подгруппа, собственная немаксимальная подгруппа, отрезок подгрупп, дисперсивная группа, недисперсивная группа.

Koval T.V. Groups with the denseness conditions of normality for noncyclic subgroups. Manuscript.

Dissertation for the Degree of Philosophy Doctor (Ph. D.) in speciality 01.01.06 - algebra and number theory.- Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2002.

The dissertation is devoted to investigation of generalizations of dedekind's groups through different denseness conditions of normality for noncyclic systems of subgroups. In other words, the groups G are investigated, which have a normal subgroup N located between two noncyclic subgroups A and B of the group G, where A is a subgroup from B. Different denseness conditions are distinguished by the following correlations: A N B; A N B; A N B; A N B, and by the properties: A is a subgroup of the group B; A is a proper subgroup of the group B; A is a proper nonmaximal subgroup of the group B.

Some classes of locally graded groups with different denseness conditions of normality for noncyclic subgroups are studied.

Key words: dedekind's group, a normal subgroup, denseness of normality, a proper subgroup, a proper nonmaximal subgroup, dispersive group, nondispersive group

Размещено на Allbest.ru