Якісний аналіз диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями

В теорії звичайних диференціальних рівнянь добре відома задача про стійкість інваріантної множини при умові її стійкості для початкових даних з деякого многовиду, що містить дану множину. Це дозволяє звести дослідження стійкості до дослідження такої на многовиді, де порядок системи нижчий ніж у вихідної. У випадку, коли інваріантна множина є точкою, вказана задача розв'язана В.А.Плісом [70]. Отриманий ним результат відомий як принцип зведення в теорії стійкості . В [4] А.М.Самойленком отриманий подібний результат для загального випадку. В підрозділах 2.4--2.6 вказані результати розповсюджуються на системи з випадковими регулярними та ітовськими збуреннями. Це дозволило не тільки понизити порядок досліджуваної системи, але й на відміну від звичайних диференціальних рівнянь отримати новий ефект--звести дослідження стійкості стохастичної системи до системи детермінованої. В підрозділі 2.4 принцип зведення А.М.Самойленка розповсюджено на системи з випадковими регулярними збуреннями виду де випадковий процес, абсолютно інтегрований з ймовірністю 1 на довільному скінченному інтервалі числової півосі . Відносно функцій припускається, що вони вимірні за Борелем відносно і ліпшицеві за з константою . Припустимо, що дана система має інваріантну множину , що лежить на більш широкій інваріантній множині . Нехай на множині система (2.57) вироджується в детерміновану. Відтак дослідження стійкості стохастичної системи буде зведене до дослідження стійкості детермінованої системи.

Означення 2.9. Скажемо, що множина стійка на множині при , якщо , що для довільного такого, що , справедлива нерівність.

Очевидно, що із стійкості на не завжди випливає стійкість цієї множини, з нестійкості ж на випливає нестійкість множини. Виникає задача вказати такі умови, при яких із стійкості множини на випливає її стійкість.

Теорема 2.8. Нехай додатно інваріантна множина системи (2.57), де деяка обмежена область, містить замкнену додатно інваріантну , асимптотично стійку на множину .

Нехай є множиною виду а -деяка її підмножина, де --невідємно визначена в функція, що задовольняє в умову Ліпшиця зі сталою , причому (тут -оператор Ляпунова в силу укороченої детермінованої системи ),додатні сталі (норма матриці).

Умова (2.61) виконана, якщо локально абсолютно інтегрований при процес задовольняє умову для деякого додатного. Ця умова, наприклад, виконана для класів випадкових процесів, породжених стохастичними диференціальними рівняннями, нульовий розв'язок яких асимптотично стохастично стійкий [10].

Як приклад ілюстрації теореми дослідимо на стохастичну стійкість нульовий розв'язок системи де , а випадковий процес задовольняє умову (2.61). Відмітимо, що застосовність класичної теореми про стійкість за першим наближенням тут неможлива. Одначе система (2.88) має інваріантну множину , на якій лежить множина Система (2.88) на інваріантній множині має вигляд . Звідки випливає асимптотична стійкість на множині. Взявши за функцію Ляпунова неважко переконатися у виконанні всіх умов теореми. Звідси випливає рівномірна стохастична стійкість нульового розв'язку. В підрозділі 2.5 принцип зведення А.М.Самойленка встановлено для стохастичних систем Іто де знову --вектори із--незалежні скалярні вінерівські процеси, визначені на деякому повному ймовірнісному просторі Будемо вважати, що функції невипадкові і неперервні за сукупністю своїх змінних. Знову вивчається стійкість додатно інваріантної множини, що лежить на більш широкій інваріантній множині, і на якій система (2.90) вироджується в детерміновану. Тобто дослідження стійкості стохастичної системи Іто зводиться до дослідження стійкості детермінованої системи.

Теорема 2.9. Нехай додатно інваріантна множина системи (2.90), де деяка обмежена область, містить замкнуту, додатно інваріантну, асимптотично стійку на множину. Нехай також , що для довільних і в кожному циліндрі виконані умови

Тоді, якщо множина є множиною виду , а деяка незалежна від її підмножина, де невід'ємно визначена, двічі неперервно диференційована в функція, що задовольняє в умови додатні сталі (тут матриця з вектор--стовпчиками то множина рівномірно стохастично стійка.

Зауваження. Другу з умов (2.92) можна зняти, якщо вимагати виконання від функції лінійної обмеженості і ліпшицевості не в кожному циліндрі, а глобально з єдиною сталою

Приклад. Дослідимо на стохастичну стійкість нульовий розв'язок системи де ліпшицева в з константою

Відмітимо, що знову застосовність класичної теореми про стійкість за першим наближенням тут неможлива. Одначе система (2.123) має інваріантну множину, на якій лежить множина Система (2.123) на інваріантній множині має вигляд . Звідки випливає асимптотична стійкість нульового розв'язку на множині. Взявши за функцію Ляпунова, неважко бачити,що для твірного оператора отримаємо і при виконані всі вимоги теореми. Звідси випливає рівномірна стохастична стійкість положення рівноваги (0;0) системи (1.123). Відмітимо, що якщо за функцію Ляпунова взяти і застосувати теорему з [13, с.207] то стохастична стійкість буде мати місце лише при більш жорсткій умові В підрозділі 2.6 отримано узагальнення принципу зведення В.А.Пліса для систем з регулярними та сингулярними, типу ітовських, збуреннями, що знову дало змогу звести дослідження стійкості стохастичних систем до дослідження стійкості детермінованих систем. Відмітимо, що принцип зведення А.М.Самойленка та принцип зведення В.А.Пліса це, взагалі кажучи, різні речі в тому сенсі, що один з іншого не випливає. Спочатку принцип зведення В.А. Пліса обгрунтовано для систем диференціальних рівнянь, збурених регулярними випадковими процесами.

Вважаємо, що функції неперервні за сукупністю змінних в області деякі області із відповідно (містить точку точку), причому, а також, що вони задовольняють там умову Ліпшиця за змінними.

До таких систем можна звести доволі широкий клас систем з випадковими збуреннями шляхом лінеаризації другого рівняння. При цих умовах система (2.126) має інваріантний многовид .

Тобто вона є детермінованою. Відносно матриці лінійної частини будемо вважати, що фундаментальна матриця лінійної системи допускає оцінку з додатними незалежними від сталими .

Теорема 2.10. Якщо, то при виконанні написаних вище умов відносно системи (2.126), із асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи (2.128) випливає рівномірна за стійкість з ймовірністю 1 нульового розв'язку системи.

Дальші аналогічні результати отримано для стохастичних систем типу Іто.Основним результатом тут є наступний.

Тут мірна матриця, мірний вінерівський процес з незалежними компонентами. Нехай ліпшицеві за при з відповідно сталими. Нехай матриця задовольняє знову умову (2.129), а Останнє означає, що система (2.136) має інваріантну множину , на якій вона перетворюється в детерміновану систему (2.128).

Теорема 2.12. Якщо для системи (1.128) в існує додатно визначана квадратична форма така, що її похідна в силу системи (2.128) при , і виконується умова, то нульовий розв'язок системи (2.136 )стійкий в середньому квадратичному.

Розділ 3 присвячений лінійним та слабко нелінійним стохастичним системам типу Іто. В перших двох підрозділах вивчається експоненціальна дихотомія в середньому квадратичному на додатній півосі таких систем. Розглядається система де детерміновані, неперервні і обмежені на додатній півосі матриці, незалежні в сукупності скалярні вінерівські процеси, задані на ймовірнісному просторі Тоді, як добре відомо система (3.1) (напр.[10],с.230) для довільного , має єдиний сильний розв'язок задачі Коші визначений при і такий, що має при скінченний другий момент.

Означення 3.1. Систему (3.1) назвемо експоненціально дихотомічною в середньому квадратичному на додатній півосі, якщо простір можна представити у вигляді прямої суми двох підпросторів так, що довільний розв'язок системи (3.1), у якого задовольняє нерівність при а довільний розв'язок системи (3.1) у якого задовольняє нерівність при для довільного де деякі додатні, незалежні від сталі.

Прикладом такої системи може служити експоненціально стійка в середньому квадратичному система (3.1) (в цьому випадку). Експоненціальна в середньому квадратичному стійкість лінійних стохастичних систем на сьогодні досить добре вивчена в роботах багатьох математиків, зокрема F.Kozin [134], M.Leibowits [127], H.Kushner [45],Р.З. Хасьмінського [13] Є.Ф.Царькова [10] та інших. Але питанням експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному для лінійних стохастичних систем, на відміну від детермінованого випадку, присвячено зовсім мало робіт. Здобувачу відомі лише результати Є.Ф Царькова [10], де одержані умови експоненціальної дихотомії у випадку, коли матриці системи (3.1) сталі або періодичні, а також результати J.Appell, N.V.Minh, P. Zabrejko [143] ,де дихотомія системи (3.1) вивчалася у припущенні, що незбурена детермінована система (при ) експоненціально дихотомічна, а матриці малі, тобто випадковість в певному сенсі мала. В цих же роботах автори пишуть, що загальні умови дихотомії їм невідомі. В підрозділі 3.1 вивчення умов дихотомії пов'язується з питанням існування обмежених в середньому квадратичному на додатній півосі розв'язків відповідної лінійної неоднорідної системи в якій, не втрачаючи загальності, будемо вважати, що присутній лише один вінерівський процес, і однорідна система.

Тут потік алгебр, що беруть участь в означенні розв'язку вихідної системи (3.1). Будемо вважати, що Позначимо клас таких процесів через

Теорема 3.1. Нехай система (3.5) така, що при довільному випадковому процесі існує, що її розв'язок обмежений в середньому квадратичному на додатній півосі. Тоді система (3.4) експоненціально дихотомічна в середньому квадратичному на додатній півосі.

В підрозділі (3.2) експоненціальна дихотомія досліджується за допомогою квадратичних форм виду, де симетрична, обмежена при матриця.

Теорема 3.3.Нехай існує симетрична, неперервно диференційована і обмежена при матриця така, що матриця є від'ємно визначеною при, то система (3.1) експоненціально дихотомічна в середньому квадратичному.

Тут значок транспонування, а від'ємна визначеність матриці означає виконання для деякої додатної сталої нерівності Даний результат при, тобто коли система детермінована переходить у відомий результат А.М.Самойленка і В.Л. Кулика [120].

Наведена теорема показує, що розв'язки системи (3.1), які починаються на, спадають в середньому квадратичному з експоненціальним характером затухання, а розв'язки,що починаються на, ростуть в середньому квадратичному з експоненціальним характером росту. Виникає питання про поведінку розв'язків таких, що. Неважко показати, що такі розв'язки мають властивість. Використовуючи метод F.Kozin [134], можна описати не тільки поведінку других моментів розв'язків, що починаються на, а й поведінку траєкторій цих розв'язків, а саме має місце теорема.

Теорема 3.4. Якщо система (3.1) експоненціально дихотомічна в середньому квадратичному, то розв'язки що з ймовірністю 1 допускають оцінку для деякого. При цьому випадкова величина з ймовірністю 1 скінченна.

Відомо, що в детермінованому випадку поняття дихотомії є грубим, тобто малі збурення системи не порушують дихотомії. З доведеної теореми легко випливає, що й малі випадкові збурення типу ітовських не порушують дихотомію системи, а саме має місце наступний результат. Нехай маємо лінійну стохастичну систему Іто де малий додатний параметр, як і раніше неперервні, обмежені на додатній півосі матриці.

Теорема 3.5. Якщо детермінована система експоненціально дихотомічна на півосі, то при досить малих система (3.63) експоненціально дихотомічна в середньому квадратичному при.

Підрозділ 3.3 присвячений дослідженню обмежених в середньому квадратичному на осі, періодичних (стаціонарних ) розв'язків лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто. Спочатку розглянуто лінійні неоднорідні стохастичні системи виду де обмежена на, неперервна матриця, неперервні, при кожному вимірні випадкові процеси і такі, що, вінерівський процес на прямій. До числа перших робіт з даного приводу відносяться роботи T.Morozan [129--130]. Стаціонарні розв'язки лінійних стохастичних систем зі сталими коефіцієнтами вивчалися M.Arato [132]. В подальшому подібні результати в нескінченно вимірному випадку отримані в роботах А.Я. Дороговцева [1], A.Ichikawa [133], G.Da Prato, Z.Jerzy [145], P.Kotelenez [146]. Однак в цих роботах розглядається ситуація, коли матриця лінійної частини є сталою, або ж у випадку, коли вона змінна, дослідження зводиться до розгляду матричного детермінованого рівняння для других моментів, що незручно, оскільки дана система має значно вищу ніж вихідна розмірність, при цьому явний вигляд обмежених розв'язків неможливо виписати. Крім того даний підхід можливий лише для лінійних систем, вже в слабко нелінійному випадку він не працює.

Теорема 3.6. Якщо детермінована система є експоненціально стійкою, то система (3.75) має єдиний, обмежений в середньому квадратичному на осі розв'язок для довільних, визначених вище. Даний розв'язок є експоненціально стійким в середньому квадратичному.

При цьому можна записати явний вигляд обмеженого розв'язку, де матрицант системи (3.77). Якщо в системі (3.77) матриця --періодична, а випадкові процеси періодичні у вузькому сенсі і періодично зв'язані, то даний обмежений розв'язок є періодичним, якщо ж матриця стала, а процеси стаціонарні, то розв'язок -стаціонарний. Далі в роботі розглянуто слабко нелінійні системи функції визначені і неперервні при і задовольняють по глобальну умову Ліпшиця з константою. Припускається також, що функції обмежені на .

Теорема 3.7. Якщо система (3.77) є експоненціально стійкою, то система (3.83) при достатньо малій сталій Ліпшиця має єдиний, обмежений в середньому квадратичному на осі розв'язок. Даний розв'язок є експоненціально стійким в середньому квадратичному.

Якщо ж функції і періодичні по з періодом ,а процес періодичний при довільному, то даний розв'язок є періодичним.

Якщо ж функції і-незалежні від, а процес стаціонарний, то даний розв'язок є стаціонарним.

В четвертому розділі вивчаються інваріантні множини, що є основним об'ктом теорії коливань--інваріантні тори, а також пов'язані з ними лінійні та нелінійні стохастичні розширення динамічних систем на торі. В підрозділі 4.1 розглядається система стохастичних рівнянь Іто де вектор із мірна матриця, мірний вінеровський процес з незалежними компонентами. Будемо вважати, коефіцієнти системи знову задовольняють умови існування та сильної єдиності розв'язку задачі Коші для Припустимо, що ми маємо мірний тороїдальний многовид, що визначається рівнянням мірний тор, причому. Припустимо також, що матриця доповнюється до періодичного басису в а доповнююча матриця. Умови такої доповнюваності добре вивчені (див. напр. А.М. Самойленко [4,с.38]). При дослідженні поведінки розв'язків системи (4.1) в околі тору зручно, як і в детермінованому випадку, перейти від евклідових координат .

При такій заміні тор переходить в тор, що робить більш зручним перевірку його інваріантності, стійкості і т.п. Якщо функції двічі гладкі , то рівняння (4.1) можна переписати в локальних координатах [11] так, що воно буде мати вигляд де Надалі саме в такому вигляді і розглядаються коливні системи. Перше рівняння в цій системі описує фазу випадкових коливань, а друге--амплітуду. В цьому підрозділі досліджується стійкість за ймовірністю тривіального інваріантного тору системи (4.3) або, що те ж саме тору системи (4.1). Інваріантність тору означає, що/ Для стійкості такого тору можна отримати аналог теореми про стійкість за першим наближенням . Виділимо (4.3) лінійні по члени в околі.

Систему рівнянь назвемо системою рівнянь в варіаціях інваріантного тору. Ясно, що ця система визначена при умові, що функції мають неперервні частинні похідні по в околі многовиду,а функції двічі гладкі.

Теорема 4.1. Нехай відносно системи (4.1) і тору виконані наведені вище умови гладкості, інваріантності та введення локальних координат.

Тоді, якщо знайдеться в околі тору додатно визначена квадратична форма з додатно визначеною симетричною матрицею, така, що квадратична форма допускає оцінку (тут твірний оператор марковського процесу для (4.5)), то многовид є стохастично стійким за ймовірністю.

В наступних підрозділах вивчаються коливні системи, амплітуди яких зазнають випадкових збурень типу “білого шуму”. Розв'язується питання про існування інваріантних випадкових торів таких систем. Раніше подібні задачі не розглядалися. При цьому вдалося отримати інтегральне зображення такого тору у формі стохастичного інтеграла Іто. В підрозділі 4.2. розглядається стохастичне лінійне розширення динамічної системи на торі, що є системою стохастичних рівнянь Іто де неперервні, періодичні по з періодом функції, вінерівський процес на. Будемо вважати також, що задовольняє умову Ліпшиця. Тоді перше з рівнянь (4.14) завжди має єдиний розв'язок підставляючи який у друге рівняння, отримаємо для систему лінійних стохастичних рівнянь Іто.

Перше з рівнянь (4.14) можна інтерпретувати як динамічну систему на мірному торі. Воно описує деякий коливний процес з незмінною амплітудою коливань (наприклад, коливання математичного маятника без тертя і зовнішніх збурень.) Вся ж система (4.14) з фізичної точки зору тоді описує деякий процес, амплітуда коливань якого з часом зазнає випадкових збурень типу “білого шуму”. Природно поставити питання : при яких умовах дана система буде мати в певному сенсі коливні розв'язки? Як і в детермінованому випадку зв'яжемо його з умовами існування інваріантних торів таких систем. Неважко бачити, що існування детермінованих інваріантних торів в системи (4.14), накладає досить жорсткі умови на її праві частини. Так, необхідною умовою інваріантності тору є те, що функція, тобто дія випадкового шуму нівелюється на торі. Тому розгляд такого випадку є нецікавим. Природно припустити, що значно частіше в таких системах можуть існувати випадкові інваріантні тори, в сенсі наступного означення.

Означення 4.2. Випадкову функцію назвемо випадковим інваріантним тором системи (4.14) якщо:

1) з ймовірністю 1 для довільного цілочислового вектора;

2) пара розв'язок першого рівняння (4.14), є ров'язком системи (4.14)

Тобто, наявність таких торів дає змогу за розв'язком першого детермінованого рівняння системи (4.14) відразу записати розв'язок повної стохастичної системи.

А.М.Самойленко запропонував в [14] для дослідження інваріантних торів детермінованих систем метод функції Гріна задачі про інваріантний тор, з допомогою якого вдалося отримати інтегральне зображення тору. Пізніше функцію Гріна цієї задачі назвали функцією Гріна-Самойленка. В даному підрозділі отримано також інтегральне представлення випадкового інваріантного тору, але вже за допомогою стохастичного інтеграла Іто.

Теорема 4.3. Якщо система з ліпшицевою по функцією, має функцію Гріна-Самойленка, то для довільних система рівнянь (4.14) має випадковий інваріантний тор, визначений співвідношенням (4.20).

При цьому виявилося, що даний тор є неперервним по в середньому квадратичному, а якщо функція ліпшицева по, а диференційована по і задовольняє оцінку, для деякої додатної сталої (умови її виконання добре відомі [4]) то тор, визначений формулою (4.20), є неперервним по з ймовірністю 1. Таким чином, теорема 4.3 зв'язує умови існування випадкових інваріантних торів з наявністю у однорідної детермінованої системи функції Гріна-Самойленка, для якої рівномірно по збіжні інтеграли. Використовуючи нерівність Важевського для оцінки матрицанта лінійної системи, можна отримати наступний результат.

Теорема 4.4. 1)Якщо виконана нерівність то система (4.14) має експоненціально стійкий з ймовірністю 1 і в середньому квадратичному випадковий інваріантний тор, визначений співвідношенням (4.20);

2) для виконання нерівності (4.29) достатньо виконання для матриці нерівності.

В цьому ж підрозділі вивчаються умови гладкості інваріантного тору системи (4.14) в залежності від гладкості її правих частин. Як відомо, вже в детермінованому випадку ця залежність не є очевидною. В роботі наведено приклад, де інваріантний тор є лише неперервним в середньому квадратичному, не дивлячись на те, що коефіцієнти системи є аналітичними по. Наведемо наступне означення.

Означення 4.3. Випадкову функцію назвемо середньоквадратичною частинною похідною випадкового тору по в точці, якщо має місце рівність

Використовуючи інтегральне зображенння (4.20 ) випадкового інваріантного тора, в роботі отримані умови його середньоквадратичної гладкості по j.

Теорема 4.6. Якщо в системі (4.14 ) функції a,P, f ,gО , а матрицант системи (4.16 ) задовольняє нерівність (4.29 ), то при виконанні нерівності де випадковий тор є неперервно диференційованим по в середньому квадратичному і його середньоквадратична похідна.

Аналогічні міркування для похідних вищих порядків призводять до наслідку з теореми (4.31).

Наслідок 4.1. Якщо в системі (4.14 ) функції a,P, f ,gО , а матрицант системи (4.16 ) задовольняє нерівність (4.29 ), то при виконанні нерівності випадковий тор є разів неперервно диференційованим по в середньому квадратичному.

Остання умова гарантує існування тривіального тора… у системи (4.37) при . Нехай також функції неперервні за сукупністю своїх змінних при…, періодичні по з періодом , причому ліпшицева по , а ліпшицеві по з константою Ліпшиця….

Теорема 4.7. Нехай для системи (4.37) виконані вказані вище умови. Тоді, якщо система (4.25) має функцію Гріна -Самойленка …, що задовольняє оцінку сталі, незалежні від , то існує таке, що для довільного система рівнянь (4.37) має випадковий інваріантний тор

В підрозділі 4.4, що є останнім в даному розділі, для одного класу стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом вивчається гранична (при ) поведінка їх розв'язків, зокрема доведена ергодична теорема. Розглядається система стохастичних диференціальних рівнянь Іто де… , функції … неперервні за сукупністю своїх змінних, --періодичні по…, причому… --ліпшицева по j, а A,bi -ліпшицеві по xОRn з константою L

A(j,0)=bi(j,0)=0,

Wi(t) (i=1,…m)--незалежні в сукупності одновимірні вінерівські процеси, задані на деякому ймовірносному просторі (W,F,R). При таких припущеннях точку j можна інтерпретувати як точку на m--мірному торі Бm, а перше рівняння із (4.45), як динамічну систему на торі Бm з потоком траєкторій jt(j), що є розв'язком першого рівняння з (4.45) з початковими даними j0(j)=j, при цьому

jt(j)+2p=jt(j).

умови (4.46) випливає, що система (4.45) має інваріантний тороїдальний многовид.

Таким чином, всю систему (4.45) можна інтерпретувати як таку, що описує процес, отриманий випадковим збуренням вздовж нормальної складової детермінованого коливного процесу на торі Бm. Поряд з системою (4.45) розглянемо детерміновану систему.

Наступна теорема вказує на зв'язок між стійкістю системи (4.49 ) та стійкістю системи (4.45 ) і є теоремою про стійкість за першим наближенням для системи (4.45).

Теорема 4.8. Якщо матрицант системи (4.49)задовольняє оцінку (4.50), а стала Ліпшиця така, що , то розв'язок системи є експоненціально стійким в середньому квадратичному в цілому.

Поведінку розв'язків системи (4.53 ) можна уточнити, а саме можна отримати наслідок з теореми 4.8.

Наслідок 4.2. В умовах теореми 4.8 розв'язки з ймовірністю 1 допускають з якогось, взагалі кажучи, випадкового, але скінченного моменту часу оцінку для деякої додатної сталої.

Надалі припускається, що обмотка тору Бm є квазіперіодичною, тобто перше рівняння системи (4.45) має вигляд

dj=ndt

де n=(n1,…nm)--вектор частот, тобто сукупність m додатніх чисел, що задовольняють умову лінійної незалежності над цілими числами:. При цих умовах доведено теорему ергодичного характеру про поведінку розв'язків системи (4.45) чи (4.52).

Теорема 4.9. При виконанні умов теореми 4.8 і у випадку квазіперіодичної обмотки для довільної функції F(x,j), неперервної при xОRn,jОБm і періодичної по з періодом 2p, і довільного розв'язку (xt(j,x),jt(j))--системи (4.52 ) з ймовірністю 1 має місце граничне співвідношення.

У випадку довільної обмотки тору, тобто коли система має вигляд (4.52), можна отримати результат.

Наслідок 4.3. При виконанні умов теореми 4.8 для довільної функції F(x), неперервної при xОRn, і довільного розв'язку xt(j,x)--системи (4.53 ) з ймовірністю 1 має місце граничне співвідношення.

Отриманий в теоремі 4.9 результат можна переформулювати в термінах ергодичної міри. Дійсно, на торі Бm розглянемо міру m(dj)=dj1…djm, jiО [0,2p], i=1,…m. По ній побудуємо ймовірнісну міру…,де A-- борелівська множина із тору Бm. Дану міру можна розглядати як міру в декартовому добутку RnґБm, зосереджену на торі Бm. Вона, звичайно, є сингулярною відносно міри Лебега в просторі RnґБm .Тоді для довільної неперервної на RnґБm і періодичної по j функції F(x,j) маємо… Звідси випливає, що рівність (4.61) можна переписати у вигляді з ймовірністю 1, де s--ергодична міра, зосереджена на торі Бm.

Питанням ергодичних властивостей розв'язків стохастичних рівнянь Іто присвячено багато робіт (див. напр. монографії [12,13] ). Однак, в цих роботах суттєвим є невиродженість матриці дифузії в деякій обмеженій області і скінченність середнього часу повернення розв'язку в неї (умова В в [13 с.153]), або те, що розв'язок не має інваріантних замкнутих множин, відмінних від всього простору (незвідність процесу [12,c. 78]). В нашій же ситуації ці умови очевидно не виконуються, оскільки система (4.45) має інваріантний многовид x=0, jОБm ,на якому дифузія вироджена (на многовиді система перетворюється в детерміновану.)

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розробці сучасних якісних методів дослідження систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями. Автором вперше одержано такі наукові результати:

1. Для періодичних у вузькому сенсі (в сенсі скінченно вимірних розподілів ) систем диференціальних рівнянь з випадковою регулярною правою частиною та випадковою імпульсною дією отримані необхідні та достатні умови існування періодичних розв'язків.

2. Досліджено поведінку стійкого, компактного інваріантного многовиду автономної системи звичайних диференціальних рівнянь при малих періодичних випадкових регулярних та імпульсних збуреннях її правих частин.

Отримані умови існування, єдиності та стійкості періодичних розв'язків лінійних та слабко нелінійних систем з випадковими імпульсними збуреннями.

В термінах функцій Ляпунова для імпульсних детермінованих систем отримано умови стійкості імпульсних систем з випадковими збуреннями.

Для систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу обґрунтовано принцип усереднення.

Досліджені умови існування та стійкості інваріантних множин систем диференціальних рівнянь з випадковими регулярними збуреннями правих частин та систем стохастичних рівнянь Іто.

Для систем з регулярними випадковими збуреннями та стохастичних систем Іто отримані аналоги принципів зведення В.А. Пліса та А.М. Самойленка. Це дало змогу звести дослідження стійкості стохастичних систем до дослідження стійкості систем детермінованих.

Для систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями обґрунтовано метод усереднення на нескінченному проміжку часу.

Досліджена експоненціальна дихотомія в середньому квадратичному лінійних стохастичних систем Іто

Для лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто зі змінною матрицею лінійної частини отримані достатні умови існування обмежених в середньому квадратичному на осі періодичних та стаціонарних розв'язків.

Одержано інтегральне зображення випадкових інваріантних торів лінійних стохастичних розширень динамічних систем на торі. Отримані умови існування інваріантних випадкових торів у слабко нелінійних коливних систем.

Для стохастичних систем з тороїдальним многовидом отримана ергодична теорема.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Станжицкий А.Н. Об инвариантных торах систем со случайными возмущениями //Сбор.Трудов Ин--та математики АН УССР.-- Киев.--1990.--С.37--42.

2.Станжицький О.М.Усереднення систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу//Вісник Київського ун.--ту .--1993-- №2.--С.60--67.

3.Іщук В.В.,Станжицький О.М. Стійкість систем з випадковою імпульсною дією і функції Ляпунова//Вісник Київського ун.--ту .--1993. №3.--С.9--19.

4.Станжицкий А.Н.К вопросу о второй теореме Н.Н. Боголюбова для уравнений со случайными возмущениями//Укр.мат.журн.--1994--46,№8.--С.1104--1109.

5.Мартынюк Д.И.,Данилов В.Я., Станжицкий А.Н.О периодических решениях систем дифференциальных уравнений со случайной правой частью//Укр.мат.журн.--1997,--49,№2.--С.223--227.

6.Станжицький О.М.Дослідження інваріантних множин з випадковими збуреннями за допомогою функцій Ляпунова//Укр.мат.журн.--1998--50,№2.--С.309--312.

7. Самойленко А.М.,Станжицкий А.Н. Об инвариантных множествах дифференциальных уравнений со случайными возмущениями// Диф.уравнения.--1998.--34,№1.--С.54--59.

8.Станжицкий А.Н.Об устойчивости по вероятности инвариантных множеств систем со случайными созмущениями//Нелінійні коливання.--1998--1,№2.--С.138--142.

9.Станжицкий А.Н., Копась И.Н. Инвариантные множества дифференциальных уравнений с малыми случайными возмущениями.//Сбор. научн. трудов Ин--та математики НАН Украины “Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения.” Киев.--1997.--С.--197--200.

10.Станжицький О.М. Про рівномірну асимптотичну стійкість за ймовірністю систем з випадковими збуреннями// Доп. НАН України, Матем., природознавство, техн.--науки.--2000.--№1.--С.22--24.

11.Станжицький О.М. Дослідження стійкості інваріантних множин за допомогою локальних координат// Нелінійні коливання.--2000.--3.№2.--С.266--270.

12.Станжицький О.М.Дослідження інваріантних множин стохастичних систем Іто за допомогою функцій Ляпунова//Укр.мат.журн.--2001--53,№2.--С.282--285.

13.Перестюк М.О., .Станжицький О.М. Періодичні розв'язки систем диференціальних рівнянь з випадковою імпульсною дією// Теорія ймовірностей та математична статистика.--2000.--В.63.--С.119--124.

14. Станжицкий А.Н. О принципе сведения А.М. Самойленка для дифференциальных уравнений со случайными возмущениями// Диф. уравнения.--2001.--37,№2.--С.218--222.

15.Самойленко А.М., Перестюк Н.А.,.Станжицкий А.Н. О существовании периодических решений некоторых классов систем дифференциальных уравнений со случайным импульсным воздействием//Укр.мат.журн.--2001.--53,№8.--С.1102--1120.

16.Станжицький О.М.Про принцип зведення в теорії стійкості для систем з випадковими збуреннями//Укр.мат.журн.--2001--53,№9.--С.1232--1240.

Размещено на Allbest.ru