Ряды и признаки их сходимости

1) если ряд сходится, то сходится и ряд

2) если ряд расходится, то расходится и ряд

2-й признак сравнения. Пусть и ?ряды с положительными членами, причём существует конечный и отличный от нуля предел тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Ряд Дирихле

Ряд где p>0, называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при и расходится при . Частным случаем ряда Дирихле (при ) является гармонический ряд .

Задание 3. Исследовать на сходимость по признакам сравнения:

Таблица 3

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами выполняется условието ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не даёт решения, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие признаки.

Задание 4. Исследовать на сходимость по признаку Даламбера:

Таблица 4

Интегральный признак Коши. Пусть функция f(x) при x ?1 удовлетворяет условиям:

1) непрерывна,

2) положительна,

3) монотонно убывает.

Тогда числовой ряд , где =f(n), n ?1 сходится или расходится одновременно со сходимостью или расходимостью интеграла

Задание 5. Исследовать на сходимость по интегральному признаку Коши следующие ряды:

Таблица 5

6.2 Знакопеременные ряды

Понятие знакопеременного ряда

Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки:

,

где для всех , т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно. Например,

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости - признак Лейбница.

Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. .

2) общий член ряда стремится к нулю: . При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Пусть дан знакопеременный ряд , где - произвольные числа (действительные или комплексные). Если ряд , составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд также сходится. В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Следовательно, если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Решение. 1. Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда:=. Сравним этот ряд с рядом . Так как <, то > для всех n. Ряд расходится, так как расходится ряд (как ряд Дирихле при p=<1). Значит, по 1-му признаку сравнения расходится и ряд .

Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.

· Проверим, выполняется ли неравенство >для абсолютных величин членов данного ряда:

=>.

Данное неравенство эквивалентно неравенству <, которое верно для любого n=1,2….Значит для все номеров n = 1,2…

· Найдём предел общего члена ряда: == 0.

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится, однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.

Задание 6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

Таблица 6

6.3 Функциональные ряды

Понятие функционального ряда

Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным:

Придавая определенное значение, получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится - точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от : . Определяется она в области сходимости равенством

,

где частичная сумма ряда.

6.4 Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится. Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:

т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при . Отсюда следует, что если существует предел ,то радиус сходимости рядаравен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если , то степенной ряд сходится в единственной точке. На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

Пример 2. Найти область сходимости ряда. Решение. Найдём радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при, т.е. при.

При имеем ряд, который сходится по признаку Лейбница.

При имеем расходящийся ряд: . Ответ: областью сходимости исходного ряда является промежуток Задание 7. Найти область сходимости степенного ряда:

Таблица 7

Ответы:

Задание 1. 1) , 2) , 3) , 4), 5) , 6) , 7) ,

8) , 9), 10) .

Задание 2. 1) да, 2) да, 3) да, 4) нет, 5) нет, 6) да, 7) да, 8) нет, 9) нет, 10) да.

Задание 3. 1)сходится , 2) расходится, 3) расходится, 4) расходится, 5) сходится, 6) сходится, 7) расходится, 8) расходится, 9) сходится, 10) сходится.

Задание 4. 1) расходится, 2) сходится, 3) сходится, 4) сходится, 5) сходится, 6) сходится, 7) сходится, 8) расходится, 9) сходится, 10) расходится.

Задание 5. 1) расходится, 2) сходится, 3) сходится, 4) расходится, 5) сходится, 6) расходится, 7) сходится, 8) расходится, 9) расходится, 10) расходится.

Задание 6. 1) абсолютно сходится, 2) условно сходится, 3) условно сходится, 4) условно сходится, 5) абсолютно сходится, 6) абсолютно сходится, 7) абсолютно сходится, 8) абсолютно сходится, 9) условно сходится, 10) условно сходится.

Задание 7. 1) (-2;2], 2) , 3) , 4) (-4;4), 5) [-3;1), 6) [-1;5], 7) (-6;2), 8) (-2;1), 9) , 10) (0;4).

Размещено на Allbest.ru