Экстремумы функций многих переменных

В частности , поскольку при любом n,0<n< ,имеет место включение (f0(x(0))+n,0,…,0), то в кубе найдутся точки x`*=(x`1,x`2,…,x`m+1) и x``*=(x``1,x``2,…,x``m+1), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки окрестности V`.

Ф(x`*)=(f0(x(0))+n,0,…,0)

Ф(x``*)=(f0(x(0))-n,0,…,0)

Если положим для краткости x`=(x`1,x`2,…,x`m+1,x(0)m+2,…,xn(0)) и x``=(x``1,x``2,…,x``m+1,x(0)m+2,…,xn(0)), то в координатной записи (6.15) получим

f0(x`)= f0(x(0))+n> f(x(0)) , fk(x`)=0, k=1,2,…,n , x` Q n и

f0(x``)= f0(x(0))-n> f(x(0)) , fk(x``)=0, k=1,2,…,n , x`` Q n

В силу произвольности 0>0,0<0<0 , это и означает , что x(0) не является точкой условного экстремума.

ч.т.д.

Доказательство следствия. Если векторы f1, f2,…, fm линейно независимы , то в равенстве (6.8) имеем 0=0 так как в случае 0=0 указанные векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми .Разделив обе части на 0 получим равенство вида (6.9).

ч.т.д.

Пример 5

Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяется неравенствами x>0, y>0, t>0, z>0.

Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию

Ф=xyzt+ (x+y+z+t)

И составим условия

Фx =yzt+ =0

Фy =xzt+ =0

Фz =yxt+ =0

Фt =yzx+ =0

откуда

yzt=xzt=xyt=xyz

так что

x=y=z=t=c.

5.4 Стационарные точки функции Лагранжа

В этом пункте будет дано описание стационарных точек функции Лагранжа (6.10) посредством фикции 0(xm+1,xm+2,…,xn), введенной в пункте 6.2 (см.(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры.

Пусть задана система линейных однородных уравнений

ai1x1+…+ ainxn=0 i=1,2,…,m (6.16)

и еще одно линейное однородное уравнение

b1x1+…+ bnxn=0 (6.17)

Систему уравнений, полученную присоединением к системе (6.16) уравнения (6.17), будем называть расширенной системой (6.16)-(6.17).

Лемма: Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была равносильна основной системе (6.16) необходимо и достаточно, чтобы уравнение (6.17) являлось линейной комбинацией уравнений системы (6.16).

Следствие: Для того чтобы уравнение (6.17) было линейной комбинацией уравнений (6.16) или , что то же самое , чтобы вектор

b==(b1,…,bn) (6.18)

был линейной комбинацией векторов

ai ==(ai1,…,ain) i=1,2,…,m (6.19)

необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось решением уравнения (6.17).

Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (aij) коэффициентов системы (6.16) равен m0 . Очевидно , что m0<m . Если m0<m, то уравнений системы (6.16) являются линейными комбинациями остальных. Отбросив те m-m0 линейных уравнений , которые являются линейными комбинациями оставшихся , получили систему из m0 линейно независимых уравнений . равносильную системе (6.16), причем уравнение (6.17) является линейной комбинацией уравнений системы (6.16) тогда и только тогда , когда оно является линейной комбинацией указанной системы из оставшихся m0 уравнений. Поэтому будем с самого начала считать , что , m0=m т.е. что ранг матрицы (aij) коэффициентов системы (6.16) равен m- числу уравнений этой системы.

Пусть система (6.16) и (6.16)-(6.17) равносильны. Это означает, что пространства их решений совпадают. Поскольку все уравнения основной системы (6.16) входят в расширенную систему (6.16)-(6.17), то каждое решение расширенной системы является и решением основной системы , т.е. пространство решений расширенной системы содержится в пространстве решений основной системы. Следовательно, совпадение этих пространств равносильно равенству их размерностей.

Размерность s пространства решений системы линейных однородных уравнений равны, как известно, числу неизвестных n этой системы, из которого вычтем ранг r матрицы коэффициентов системы : s=n-r. Отсюда следует, что равносильность систем (6.16) и (6.16)-(6.17) означает равенство рангов их матриц. Ранг матрицы коэффициентов системы (6.16) по условию равен m , т.е. векторы (6.19) линейно независимы.

Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (6.16)-(6.17) согласно сказанному в наших условиях также равен m. Поэтому векторы (см.(6.18) и (6.19))

b, a1,…, am (6.20)

линейно зависимы.А это означает , что b является линейной комбинацией векторов a1,…, am.

В самом деле , линейная зависимость векторов (6.20) означает , что существуют такие числа 0, 1,…, m, не все равные нулю . что

0b+ 1a1+…+ mam=0 (6.21)

Здесь заведомо 0=0, так как в противном случае векторы a1,…, am оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6.21) на 0, получим , что b является линейной комбинацией векторов a1,…, am .

Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6.19), то в системах векторов (6.19) и (6.20) имеется в точности по m линейно независимых векторов , т.е. ранги матриц коэффициентов систем уравнений (6.16) и (6.16)-(6.17) равны.

Итак, условие, что вектор b является линейной комбинацией векторов (6.19):

1a1+…+ mam=b

эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых основной и расширенной систем уравнений, следовательно, эквивалентно их равносильности.

ч.т.д.

Доказательство следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (6.16) и (6.16)-(6.17) очевидно равносильны тогда и только тогда , когда каждое решение системы (6.16) является и решением уравнения (6.17) - остальные уравнения систем просто совпадают.

ч.т.д.

Замечание 1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую геометрическую интерпретацию в n-мерном евклидовом векторном пространстве Rn, т.е. в n-мерном пространстве со скалярным произведением. Используя обозначение скалярного произведения, систему (6.16) можно записать в виде

(ai,x)=0 i=1,2,…,m (6.22)

а уравнение (6.17) в виде

(b,x)=0 (6.23)

где векторы a1,…, am и определены в (6.18) и (6.19) , а x=(x1,x2,…,xm+1)

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1,…, am образуют подпространство пространства Rn и называется подпространством, натянутым на эти векторы. Обозначим его через Z=( a1,…, am).

Множество решений системы (6.22) состоит из всех векторов х, ортогональных подпространству Z=( a1,…, am) Обозначим это множество решений через Т.Оно также является подпространством пространства Rn.

Подпространства L==Z(a1,…, am) и Т называются ортогональными дополнениями друг друга в пространстве Rn.

Поскольку L=Z( a1,…, am), то представимость вектора b в виде линейной комбинации векторов a1,…, am равносильна его принадлежности подпространству L пространства Rn:b L. Это условие в свою очередь, равносильно ортогональности вектора b подпространству Т:b _Т, которая означает, что для всех x Т имеет место равенство (b,x)=0,т.е. что любое реяние х системы (6.22) является решением уравнения (6.23).Это и является утверждением следствия леммы.

Замечание 2: напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений.

Пусть система (6.16) состоит из линейно независимых уравнений. Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m. Это означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю. Пусть для определенности

a11… a1m

am1… amm (6.24)

В этом случае все решения системы (6.16) можно получить , задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x1,x2,…,xn). Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6.16).В самом деле, возьмем произвольное решение (x1(0),x2(0),…,xn(0)) системы (6.16).После подстановки xm+1= x(0) m+1,…, xn= xn(0) в (6.16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x1,x2,…,xn), матрицы коэффициентов которой в силу условия (6.24) невырожденная. Поэтому существуют единственные значения x1,x2,…,xn, удовлетворяющие получившейся системе.

Поскольку (x(0)1,x(0)2,…,x(0)n). также было решением системы (6.16), то x1=x(0)1, x2=x(0)2,…, xm=x(0)m .

Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа.

Теорема 5.2: Пусть функции f0, f1, f2,…, fm непрерывно дифференцируема в области G Rn, x(0) G

fi(x)=0, i=1,2,3,…,n

а ранг матрицы Якоби функций f1, f2,…, fm в точке x(0) равен m.Для того чтобы в точке x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) градиент f0 являлся линейной комбинацией градиентов f1, f2,…, fm необходимо и достаточно, чтобы точка x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) была стационарной точкой для функции.

g(x)=g(xm+1,…,xn)

Напомним, что если в точке x(0) градиент f0 является линейной комбинацией

f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm (6.25)

градиентов f1, f2,…, fm, то это равносильно тому, что существует функция Лагранжа

F= f0- 1f1- 2f2-…- mfm (6.26)

для которой точка x(0) является стационарной :

F(x(0)) xi i=1,2,…,n (6.27)

Это просто координатная запись (6.25) ,ибо в силу (6.26)

F(x(0)) f0 f1 f2 fm xi xi xi xi xi i=1,2,…,m

Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций f1, f2,…, fm в точке x(0) равен m .Будем считать для определенности , как и в пункте 6.2 ,что

(f1, f2,…, fm) (x1,x2,…,xm) x(0) (6.28)

Подставим в уравнение связи (6.3) функции (6.5) , являющиеся решением этих уравнений, и продеффиренцируем получившееся относительно переменных xm+1,…,xn тождества. Получим для точки x(0) равенства dfi(x(0))=0, i=1,2,…,m, справедливые для любых приращений dxm+1,…,dxn независимых переменных xm+1,…,xn (напомним, что дифференциал является линейной функцией, определенной на всем пространстве) Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство

fi fi fi fi i=1,2,…,m x1 xm xm+1 xn (6.29)

где xm+1,…,xn произвольные , а x1,…,xm находятся из формул (6.5). Таким образом вектор dx=( dx1,…,dxm,dxm+1,…,dxn) является решением линейной однородной системы (6.29).

Отметим , что в силу условия (6.28) значения dx1,…,dxm при заданных dxm+1,…,dxn однозначно находятся и из системы (6.29). Из замечания 2 следует также, что указанным способом получаются все решения системы (6.29).

Стационарность точки x(0) для функции g(x)=g(xm+1,…,xn)

означает, что dg(x(0)).Это равенство, в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде

f0 f0 f0 f0 x1 xm xm+1 xn (6.31)

где dxm+1,…,dxn можно задавать произвольно, а dx1,…,dxm следует находить из формул (6.5) или, что дает тоже результат из формул (6.29). Иначе говоря, любое решение системы уравнений (6.29) является и решением уравнения (6.31). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и только тогда, когда уравнение (6.31) является линейной комбинацией уравнений системы (6.29) , т.е. когда существуют такие числа, что

f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm

ч.т.д.

Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений системы уравнений (6.29) образуют подпространство Т пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к подпространству L=Z( f1, f2,…, fm) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту fi , а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x(0) к гиперповерхности fi(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций fi,i=1,2,…,m.

Таким образом , пространство решений Т системы (6.29) состоит из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям fi(x)=0 ,i=1,2,…,m, и потому его называют касательным пространством пресечений всех гиперповерхностей fi(x)=0 ,i=1,2,…,m . Напомним , что векторы касательно пространства Т ,т.е. решения системы (6.29), были обозначены через dx (см.(6.30)).

Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение

f0 L=Z( f1, f2,…, fm) то

f0 T

Иначе говоря, градиент f0 одновременно ортогонален всем касательным dx к гиперповерхностям fi(x)=0 ,i=1,2,…,m:

( f0,dx)=0

(это другая запись уравнения (6.31)), т.е. градиент f0 перпендикулярен касательному пространству Т в точке x(0) .Но множество всех векторов , ортогональных к f0, образуют (n-1)- мерное пространство Т0 , называемое касательным пространством к гиперповерхности f0(x)= f0(x(0)) .В силу сказанного выше , каждый вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f0, принадлежит к Т0 , т.е. Т Т0.

Итак, если x(0) - точка условного экстремума, то. Т Т0 , т.е. касательное пространство в точке x(0) пересечения всех гиперповерхностей , задаваемых уравнениями связи, содержится в касательном пространстве в той же точке гиперповерхности.

Замечание 4: Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1.В самом деле, если x(0) является точкой условного экстремума , то является x(0) точкой обычного экстремума для функции () и , следовательно , ее стационарной точкой . Поэтому согласно теореме 2 точка x(0) является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.выполняется условие .

5.5 Достаточные условия для точек условного экстремума

В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения , наложенные на функции в пункте 6.2.Пусть

F= f0+ ifi

-функции Лагранжа (см.(6.11)) для функции f0 и уравнений связи(6.3).Пусть x(0) G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой функции Лагаранжа, т.е. точкой, координаты которой удовлетворяют системе уравнений (6.10) и (6.3). Нашей целью является получение метода, с помощью которого можно установить условия, достаточные для того, чтобы x(0) являлась точкой условного экстремума рассматриваемой задачи.

Заметим прежде всего, что если точка x G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) , то

f= f(x)-f(x(0))=F(x)-F(x(0))= F (6.32)

Отсюда сразу видно, что если x(0) является точкой обычного экстремума для функции F, т.е. F не меняет знака в некоторой окрестности точки x(0), то x(0) является точкой условного экстремума для функции f0 .

Действительно , из (6.32) следует в этом случае , что приращение f0 для допустимых значений х , т.е. удовлетворяющих уравнениям связи , также не меняет знак, Это достаточное условие , однако , накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции Лагранжа F(x) в рассматриваемой точке - она должна иметь обычный экстремум , что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач. Поэтому целесообразно получить более общий достаточный признак условного экстремума .

Пусть x(0)= (x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) удовлетворяет уравнениям связи (6.3).Вернемся к рассмотрению функции (6.6) , т.е. функции g(x)=g(xm+1,…,xn) , получаемой из f0(x)= f0(x1,x2,…,xn) при условии , что являются x1,x2,…,xm функциями переменных xm+1,…,xn определяемых уравнениями связи (6.3) в некоторой окрестности точки x(0).Будем дополнительно предполагать , что f0(x ) и fi(x ) ,i=1,2,…,m дважды непрерывно дифференцируема в точке x(0).

Выше отмечалось (в пункте 6.2) , что x(0) является точкой условного (строгого) экстремума для функции f0(x) относительно уравнений связи (6.3) тогда и только тогда, когда x(0) является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x).Поэтому, если например , в точке x(0) функция g(x) удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума, то в этой точке функция f0(x) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи (6.3).Достаточные условия для обычного строго экстремума были получены нами ранее .Для нашего случая они имеют вид :

g(x(0) )

xi i=m+1,…,n; (6.33)

второй дифферециал

2g(x(0) )d2g(x(0) )= -----------dxidxj (6.34)

xi xj

является положительно или отрицательно определенной квадратичной формой.

При выполнении этих условий x(0) является точкой строгого минимума или максимума для функции g(x).

В силу сказанного выше указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы x(0) являлось точкой условного строго минимума (максимума) для функции f0(x) относительно уравнений связи (6.3). Однако они неудобны для практического использования, так как требуют знания функции g(x).

Поэтому, исходя из полученных достаточных условий условного строгого экстремума, выраженных посредством функции g(x) , получим достаточные условия того же экстремума , но выраженные только через функцию Лагранжа и уравнений связи.

Прежде всего заметим, что в силу условия (6.4) система (6.29) разрешима, и притом однозначно, относительно dx1,…,dxm при произвольно фиксированных dxm+1,…,dxn .Систему (6.29), выражающую равенство нулю дифференциалов функции fi(x) в точке x(0):

d fi(x)=0, i=1,2,…,m

при выполнении условий (6.3) , будем записывать кратко в виде :

df=0 (6.35)

где f=(f1,f2,…,fm)

Пусть x(0) является стационарной точкой для функции Лагранжа F(x).Это означает, что dF(x(0))=0, т.е. что в этой точке f0+ ifi=0.В теореме 2 показано, что в том случае x(0) является стационарной точкой для функции, т.е.

dg(x(0))=0 (6.36)

Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что

d2g(x(0) )= d2F(x(0) ) df=0 (6.37)

Это равенство следует понимать как равенство функции n-m переменных dxm+1,…,dxn.В правой части равенства (6.37) остальные переменные dx1,…,dxm, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравнений (6.35) или, что равносильно (см. формулы (6.5))

dxk=d k(x1,x2,…,xn-m), k=1,2,…,m

Используя инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных и формулу (6.6), имеем

f0 (x(0) ) dg(x(0) )= -----------dxj xj

Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей тождеств (6.29), умноженных соответственно на постоянные i, входящие в функцию Лагранжа F(x) (точнее, i-е равенство (6.29) умножается на постоянную i).Тогда, использовав условие (6.11), получим

F(x(0)) dg(x(0) )= -------[ f0 (x )+ ifi (x)] dxj = --------- dxj=0

xj x=x0 xj

Утверждение (6.36) доказано.

Равенство (6.37) доказывается аналогичным приемом. Прежде всего напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке x(0):

2f0(x(0) ) f0(x(0) ) d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj (6.38)

xj xk xj

Далее продифференцировав тождества, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи (6.3), т.е. тождества будем иметь в точке x(0) :

2f0(x(0) ) f0(x(0) ) d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj =0 (6.39)

xj xk xj i=1,2,…,n

Умножив i-е равенство (6.39) на постоянную i, входящую в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившееся выражение к правой части равенства (6.38) ; тогда получим

2F(x(0) ) F(x(0) ) d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj (6.38)

xj xk xj

где dxi, i=1,2,…,n удовлетворяет системе уравнений (6.35).Поскольку x(0) точка стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в нуль, и тем самым формула (6.37) доказана.

Будем говорить, что квадратичная форма d2F(x(0) ) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxi, i=1,2,…,n, при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений (6.35), если для любых dxi, i=1,2,…,n , удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что (dxi)2>0 выполняется неравенство d2F(x(0) ) >0 (соответственно d2F(x(0) ) <0)

Пусть точка x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn, при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из (6.36) и (6.37) следует, что x(0) является стационарной точкой для функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x(0) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxm+1,…,dxn, и, следовательно, функция имеет в точке x(0) строгий минимум (максимум) , а значит, функция f0(x) имеет в точке x(0) условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи (6.3).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6.3: Если x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.11) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x(0) является точкой строгого минимума (максимума) для функции f относительно уравнений связи (6.3).

Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функции Лагранжа (6.11) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму (6.37), т.е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3) (когда дифференциалы dxi, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6.29)).При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажется положительно (отрицательно) определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым , конечно, и при их выполнении.

Заключение

Математический анализ это совершенно естественная, простая и элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или “высшая”, чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования - изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывать, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики.

При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам.

При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоретические сведения подтвердились практическим доказательством и математическим обоснованием.

Библиография

1. А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович Краткий курс математического анализа. -М.: Наука, 1973.

2. И.Е.Жак Дифференциальное исчисление. -М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.

3. Г.И.Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу. -М.: Высшая школа,1966.

4. В.А.Зорич Математический анализ. -М.: Наука, 1981.

5. А.П. Картышев, Б.Л.Рождественский Математический анализ. -М.: Наука, 1984.

6. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981.

7. Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. -М.: Высшая школа, 1981.

8. А.Г. Моркович, А.С.Солодовников Математический анализ. -М.: Высшая школа, 1990.

9. Н.С.Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1.-М.: Наука, 1978.

10. К.А.Рыбников История математики. -М.: Издательство Московского университета, 1994.

11. В.М.Тихомиров Рассказы о максимумах и минимумах. -М.: Наука, 1986.

12. Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа. т.2.-М.: Наука, 1968.

13. Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.1.-М.: Наука, 1969.

Размещено на Allbest.ru