Сильна універсальність та її застосування до топологічної класифікації опуклих множин у лінійних топологічних просторах

6.1.11. Теорема. Слабка одинична куля банахового простору X із сепарабельним спряженим і sZҐ-нормою є M2-поглинаючим простором, гомеоморфним слабкій одиничній кулі простору c0.

Топологічна класифікація слабких одиничних куль відносно Ґ-берівських норм дещо складніша. Слід зауважити, що кожен сепарабельний банахів простір допускає еквівалентну Ґ-берівську норму; такою є довільна норма Кадеця, див. твердження 6.1.7. Нагадаємо, що норма на банаховому просторі називається t нормою Кадеця, якщо слабка топологія та топологія норми співпадають на одиничній сфері. Для банахового простору X позначимо через W(X) клас топологічних просторів, гомеоморфних замкненим обмеженим підмножинам (X,weak). Наступна теорема дає топологічну класифікацію слабких одиничних куль банахових просторів із сепарабельними спряженими і Ґ-берівськими нормами (зокрема, нормами Кадеця).

6.1.12. Теорема. Слабкі одиничні кулі банахових просторів X,Y із сепарабельними спряженими і Ґ-берівськими нормами гомеоморфні тоді і лише тоді, коли:

W(X)=W(Y).

Слід зауважити, що для нескінченно вимірного банахового простору X із сепарабельним спряженим справедливі включення M0 МW(X)МM2 (див. твердження 6.1.10), причому влаcтивості класу W(X) суттєво залежать від геометричних властивостей банахового простору. Нагадаємо деякі з них. Банахів простір X має (опуклу) властивість точки неперервності (скорочено (C)PCP), якщо для довільного e>0 та (опуклої) обмеженої підмножини DМ X існує слабко відкрита непорожня підмножина UМ D з diam U<e. Банахів простір X сильно регулярний, якщо для довільного e>0 та опуклої обмеженої підмножини DМ X існують непорожні слабко відкриті підмножини U_1,...,U_n М D з diam((U1+...+Un)/n)<e. Відомо, що для банахового простору X справедливі імплікації: (PCP) Ю (CPCP) Ю (сильна регулярність) Ю (c0ЛX).

6.2.9. Теорема. Нехай X - нескінченно вимірний банахів простір із сепарабельним спряженим.

(1) Простір X рефлексивний тоді і лише тоді, коли W(X)=M0 .

(2) Простір X має PCP тоді і лише тоді, коли W(X)МM1 (у цьому випадку або W(X)=M0 , або W(X)=M1).

(3) Простір X не має PCP тоді і лише тоді, коли W(X) Й M2[0].

(4) Якщо простір X не має CPCP, тоді W(X) Й M2(f.d.).

(5) Якщо простір X не сильно регулярний, тоді W(X)=M2.

Цікаво зазначити, що останнє твердження теореми 6.2.9 не може бути обернене: простір S*TҐ, побудований у [GMS2], сильно регулярний, проте W(S*TҐ)=M2, див. теорему 6.4.1. Хибною є також (природна) гіпотеза про те, що W(X) О {M0 ,M1,M2} для кожного нескінченно вимірного банахового простору X із сепарабельним спряженим: простір J*TҐ, побудований в [GMS1] як приклад простору з CPCP але без PCP, має такі патологічні властивості: M2[0] М W(J*TҐ) Л M2[1], див. теорему 6.4.3. Нетривіальним є також взаємозв'язок між геометричними властивостями банахового простору та можливими його перенормуваннями.

6.2.8. Теорема. Нехай X - нескінченно вимірний банахів простір із сепарабельним спряженим.

(1) Простір X має PCP тоді і лише тоді, коли його слабка одинична куля є польським простором (гомеоморфним Q або s).

(2) Простір X має CPCP тоді і лише тоді, коли кожна його еквівалентна слабка одинична куля є берівським простором.

(3) Якщо простір X не має CPCP, тоді він має еквівалентну слабку одиничну кулю, яка є sZn-простором для кожного n О N.

(4) Якщо простір X не є сильно регулярним, тоді він допускає еквівалентну слабку одиничну кулю, яка є sZҐ-простором, гомеоморфним Sw.

У сьомому розділі досліджується топологія операторних образів, тобто просторів виду T(X), де T:X® Y - лінійний неперервний оператор між просторами Фреше. Одним із основних результатів першого підрозділу є:

7.1.3. Теорема. Для зліченного ординала a і лінійного неперервного оператора T: X® Y між сепарабельними просторами Фреше операторний образ T(X) належить класу Ma+1ЗAa+1 тоді і лише тоді, коли T(X)О Ma2, тобто T(X) є різницею двох просторів класу Ma .

Основним результатом другого підрозділу є класифікаційна:

7.2.1. Теорема. Пари (s,s), (s,S), (sґ s,Sґ s), (sґ Q,sґ s), (sґ Qґ s,sґ sґ s) вичерпують усі можливі топологічні типи пар (Y,T(X)), де T:X® Y -- лінійний неперервний оператор між нескінченно вимірними просторами Фреше, для якого T(X) - всюди щільна підмножина класу M12 в Y.

У зв'язку з теоремою 7.2.1 слід зауважити, що T(X)О M12 для довільного Gd-вкладення T:X® Y, тобто лінійного неперервного оператора між сепарабельними банаховими просторами, що переводить обмежені замкнені підмножини простору X в Gd-підмножини банахового простору Y, див. твердження 7.1.7.

Операторні образи, що належать борелівському класу M2, досліджуються у третьому підрозділі, де доведена наступна теорема, яка узагальнює результати Й.Дайкстри, Є.Могільського, Т.Добровольського, Р.Коті про топологію конкретних операторних образів.

7.3.2. Теорема. Нехай T:X® Y лінійний обмежений ін'єктивний оператор між нескінченно вимірними просторами Фреше. Простір T(X) гомеоморфний M2-поглинаючому простору Sw, якщо T(X)О M2 і виконується одна з умов:

(1) простір Фреше X ненормовний;

(2) простір (X,weak) M2-універсальний і оператор T компактний.

При цьому ми називаємо оператор T:X® Y між просторами Фреше обмеженим} (компактним), якщо образ T(U) деякої непорожньої відкритої підмножини UМ X (цілком) обмежений в Y. Слід зауважити, що операторні образи класу M2 дуже часто виникають на практиці: такими є операторні образи T(X) сепарабельних просторів Фреше при ін'єктивних лінійних неперервних відображеннях T:X® Y з регуляризовними оберненими T-1.

У теоремі 7.3.5, використовуючи патологічну властивість простору J*TҐ, ми будуємо ін'єктивний лінійний компактний оператор T: J*TҐ ® l2, для якого простір T(J*TҐ) є Fsd-множиною в l2, не гомеоморфною жодному із просторів: s, S, sґs, Sw. Цей приклад заперечує одну гіпотезу Т.Добровольського і показує, що топологічна класифікація операторних образів складніша за їх борелівську класифікацію.

В останньому, восьмому розділі ми вивчаємо топологію деяких неметризовних локально опуклих просторів, які часто виникають у функціональному аналізі. Найпростішим прикладом є простір RҐ усіх фінітних послідовностей, наділений найсильнішою топологією лінійного топологічного простору. Метризовним аналогом простору RҐ є лінійна оболонка lf2 ортонормованої бази гільбертового простору l2. Згідно з [CDM], кожен нескінченно вимірний лінійний метричний простір, що є зліченним об'єднанням скінченно вимірних компактів, гомеоморфний lf2. Подібний результат справедливий також для простору RҐ.

8.1.1. Теорема. Кожен нескінченно вимірний (локально опуклий) лінійний топологічний простір, що є прямою границею послідовності скінченно вимірних метризовних компактів, (лінійно) гомеоморфний RҐ .

Виявляється, що локальна опуклість накладає дуже жорсткі обмеження на топологічну структуру лінійного топологічного простору, що наділений топологією прямої границі послідовності метризовних компактів, тобто є субметризовним kw-простором.

8.2.1. Теорема. Для нескінченно вимірного локально опуклого простору X наступні умови еквівалентні.

(1) Простір X є субметризовним kw-простором.

(2) Простір X гомеоморфний RҐ або RҐґQ.

(3) Сильний спряжений простір X' до X є сепарабельним простором Фреше, а простір X - напіврефлексивним і наділеним топологією рівномірної збіжності на компактних підмножинах X'.

Нагадаємо, що сильним спряженим до локально опуклого простору X називається лінійний простір X' усіх лінійних неперервних функціоналів на X, наділений топологією рівномірної збіжності на обмежених підмножинах X. У {другому підрозділі} теорема 8.2.1 застосовується до топологічної ідентифікації сильних спряжених до метризовних просторів Монтеля. Нагадаємо, що локально опуклий простір X називається простором Монтеля, якщо він рефлексивний і кожна його обмежена замкнена підмножина компактна. Класичними прикладами метризовних просторів Монтеля є зліченний добуток прямих Rw, а також простір CҐ[0,1] нескінченно диференційованих функцій на відрізку. Виявляється, що сильний спряжений X' до нескінченно вимірного метризовного монтелівського простору X гомеоморфний RҐ або Qґ RҐ, див. наслідок 8.2.2.

У третьому підрозділі ми отримуємо повну топологічну класифікацію сильних спряжених до нескінченно вимірних ядерних (LF)-просторів. Нагадаємо, що (LF)-простором називається локально опукла індуктивна границя lim Xn послідовності X1 М X2 М ... ізоморфно вкладених просторів Фреше. Топологічна класифікація нескінченно вимірних сепарабельних (LF)-просторів була отримана П.Манкевічем у 1974 році: кожен такий простір гомеоморфний Rw, RҐ або Rwґ RҐ.

8.3.1. Теорема. Сильний спряжений простір X' до нескінченно-вимірного ядерного (LF)-простору X гомеоморфний одному з п'яти просторів: Rw, RҐ, Q ґ RҐ, Rwґ RҐ або (RҐ )w.

Класичним прикладом ядерного (LF)-простору є простір D(W) основних функцій на області WМ Rn, сильний спряжений якого -- простір D'(W) узагальнених функцій на W -- виявляється гомеоморфним зліченному добутку (RҐ )w і, таким чином, має не надто складну топологічну структуру.

Висновки

Теорія сильно універсальних та поглинаючих просторів і пар, сформована на кінець 80-х зусиллями таких математиків як Р.Андерсон, Ч.Бессага, А.Пелчиньський, Г.Торуньчик, М.Бествіна, Є.Могільський, Р.Коті, зазнала в даній дисертації свого подальшого розвитку і поглиблення. Зокрема, вона була доповнена технікою копоглинаючих просторів і пар, а також отримала у своє розпорядження ряд зручних характеризацій (сильної) універсальності, що дозволило прояснити топологічну структуру деяких (як загальних, так і конкретних) конструкцій, які природно виникають в топології та аналізі. Виявилось, що дуже часто такі конструкції приводять до поглинаючих чи копоглинаючих просторів. Сила техніки копоглинаючих просторів пояснюється тим (рідкісним) фактом, що топологічна структура копоглинаючого простору X повністю описується його гомотопійним типом та класом F0(X) топологічних просторів, гомеоморфних замкненим підмножинам X.

Теорія копоглинаючих просторів дала змогу зрозуміти топологічну структуру широкого класу лінійних метричних просторів та опуклих множин у таких просторах. У цьому напрямку результати дисертації продовжують дослідження Т.Добровольського, Є.Могільського, Д.Кертіса, Ч.Бессаги, А.Пелчиньського, Р.Коті. Застосування загальних результатів про топологію опуклих множин до дослідження конкретних опуклих множин, таких як простори ймовірносних мір, слабкі одиничні кулі банахових просторів, операторні образи, у ряді випадків дало змогу повністю описати їх топологічну структур.

Значна частина результатів дисертації дає відповідь на питання, сформульовані в літературі, зокрема, у відомих списках відкритих проблем [DM] i [We].

Результати дисертації можуть бути (і вже були) використані у нескінченно вимірній топології та її застосуваннях, зокрема, у теорії гіперпросторів, теорії міри, геометрії банахових просторів, структурній теорії лінійних топологічних просторів, теорії двоїстості.

Більшість результатів дисертації опубліковані в добре відомих журналах, а також включені в монографію [1]. Оприлюднення результатів дисертації у визнаних математичних центрах підтверджує їх достовірність.

Список використаних джерел

1. [BP] Bessaga C., Pelczynski A. Selected topics in infinite-dimensional topology. - Warsaw: PWN, 1975.

2. [BM] Bestvina M., Mogilski J. Characterizing certain incomplete infinite-d-mensional absolute retracts // Michigan Math. J. - 1986. - V.33. - P.291-313.

3. [Ca1 ] Cauty R. Ensembles absorbants pour les classes projectives // Fund. Math. - 1993. - V.143. - P.203-206.

4. [Ca2 ] Cauty R. Об универсальности пространств вероятностных атомарных мер // Избранные доклады международной конференции ``Всесибирские чтения по математике и механике''. - Томск, 1997. -- С.145-150.

5. [CDM] Curtis D.W., Dobrowolski T., Mogilski J. Some applications of the topological characterizations of the sigma-compact spaces lf2 and S // Trans. Amer. Math. Soc. - 1984. - V.284. - P.837-846.

6. [DM] Dobrowolski T., Mogilski J. Problems on topological classification of incomplete metric spaces // Open problems in topology (J.van Mill, G.Reed eds.). - Amsterdam: Elsevier Sci. Publ. - 1990. - P.409-429.

7. [DT] Dobrowolski T., Toru\'nczyk H. Separable complete ANR's admitting a group structure are Hilbert manifolds // Topology Appl. - 1981. - V.12. - P.229-235.

8. [Fe] Федорчук В.В. Вероятностные меры в топологии // Успехи мат. наук. - 1991. - Т.46, Вып.1. - С.41-80.

9. [GMS1] Ghoussoub N., Maurey B., Schachermayer W. A counterexample to a problem on points of continuity in Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 1987. - V.99. - P.278-282.

10. [GMS2] Ghoussoub N., Maurey B., Schachermayer W. Geometrical implications of certain infinite-dimensional decompositions // Trans. Amer. Math. Soc. - 1990. - V.317. - P.541-584.

11. [To] Toru\'nczyk H. Characterizing Hilbert space topology // Fund. Math. - 1981. - V.111. - P.247-262.

12. [We] West J.E. Open problems in infinite-dimensional topology // Open Problems in Topology (J.~van Mill, G.M.~Reed eds.). - Amsterdam: Elsevier Sci\. Publ\. - 1990. - P.523-597.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

1. Banakh Т., Radul Т., Zarichnyi М. Absorbing sets in infinite-dimensional manifolds. - Lviv: VNTL, 1996. - 232p.

2. Банах Т.О. Характеризация послойно поглощающих множеств в бесконечномерных расслоениях // Известия вузов. Математика. - 1994. - N.11. - C.1-4.

3. Банах Т.О. Характеризация выпуклых Z-множеств в линейных метрических пространствах // Функ. анализ и его приложения. - 1994. - Т.28. - С.77-79.

4. Банах Т.О. Про слабку топологiю замкненої одиничної кулi банахового простору // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1994. -- Т.40. - С.43-47.

5. Банах Т.О., Радул Т.М. Про функтор ймовiрносних радонiвських мiр // Доповiдi АН Укра\"\i ни. - 1994. - N.8. - C.16-20.

6. Банах Т.О., Cauty R. Топологическая классификация пространств ве\-роятностных мер коаналитических множеств // Мат. Заметки. - 1994. - Т.55, N.1. - C.10-19.

7. Банах Т.О. Топология пространств вероятностных мер // Матем. Студiї. - 1995. - Т.5. - С.65-106.

8. Banakh T. Descriptive classes of sets and topological functors // Укр. мат. журн. - 1995. - T.47, N.3. - C.408-411.

9. Banakh Т., Radul Т. On universality of countable powers of absolute retracts // Укр. мат. журнал. - 1996. - Т.48, N.4, - С.540-542.

10. Банах Т. Топологическая классификация пространств вероятностных мер на проективных пространствах // Мат. Заметки. - 1997. - Т.61. - С.441-444.

11. Banakh T., Cauty R. Universalite forte pour les sous-ensembles totalement bornees. Application aux espaces Cp(X) // Colloquium Math. -- 1997. - Vol.73. - P.25-33.

12. Банах T.O., Cauty R. О гиперпространствах нигде не топологически полных пространств // Мат. Заметки. - 1997. - T.62. - C.35-51.

13. Банах T.O., Радул T.H. Топология пространств вероятностных мер // Мат. Сборник. 1997. - T.188. - C.23-46.

14. Banakh T., Plichko A. On a problem of ``Scottish book'' concerning contractions of metric spaces onto compacta // Матем. Студії. - 1997. -- Т.8, N.1. - C.119-122.

15. Banakh T. Characterization of spaces admitting a homotopy dense embedding into a Hilbert manifold // Topology Appl. - 1998. - Vol.86. -- P.123-131.

16. Banakh T. On linear topological spaces (linearly) homeomorphic to RҐ // Матем. Студії. - 1998. - Т.9, N.1. - C.99-101.

17. Banakh T. The strongly universal property in closed convex sets. // Матем. Студії. - 1998. - Т.10, N.2. - C.203-218.

18. Banakh T. On hyperspaces and homeomorphism groups homeomorphic to products of absorbing sets and RҐ // Tsukuba J. Math. - 1999. - Vol.23, N.3. - P.495-504.

19. Banakh T. Some properties of the linear hull of the Erdos set in l2 // Bulletin Polish. Acad. Sci. Math. - 1999. - Vol.47, N.4. - P.385-392.

20. Банах Т.О., Радул Т.Н. Геометрия отображений пространств вероятностных мер // Матем. Студії. - 1999. - Т.11, N.1. - C.17-30.

21. Banakh T., Trushchak Kh. Zn-Sets and the disjoint n -cells property in products of ANR's // Матем. Студії. - 2000. - Т.13, N.1. - C.74-78.

22. Banakh T., Cauty R. Interplay between strongly universal spaces and pairs // Dissert. Math. - 2000. - Vol.386. - 38p.

23. Banakh T. Topological classification of strong duals to nuclear (LF)-spaces // Studia Math. - 2000. - Vol.138, N.3. - P.201-208.

24. Banakh T. Topological classification of weak unit balls of Banach spaces with separable duals // Dissert. Math. - 2000. - Vol.387. - P.7-35.

25. Banakh T., Dobrowolski T., Plichko A. The topological and Borel classification of operator images // Dissert. Math. - 2000. - Vol.387. - P.37-52.

26. Banakh T. Operator images homeomorphic to Sw // Dissert. Math. - 2000. - Vol.387. - P.53-81.

27. Banakh T., Sakai K. Characterizations of (RҐ,s)- or (QҐ,S)-manifolds and their applications // Topology Appl. - 2000. - Vol. 106. - P.115--134.

28. Banakh T., Sakai K. Free topological semilattices homeomorphic to RҐ or QҐ // Topology Appl. - 2000. - Vol. 106. - P.135--147.

29. Banakh T. The strongly universal property in ANR's supporting an algebraic structure // Borsuk \& Kuratowski Session. - Warsaw.-1996.-P.4.

30. Banakh T. Topological classification of weak unit balls of Banach spaces // Abstracts of Conf. on Geometric Topology.-Dubrovnik.-1998.- P.8-9.

Размещено на http://www.allbest.ru/