Численные методы

Стратегия метода простых итераций основана на последовательном приближении к искомому решению системы, при этом каждое следующее (к+1)-е приближение получается в результате подстановки в правую часть преобразованной системы (25) приближения, полученного на предыдущей к-й итерации, т.е.

Для получения преобразованной системы уравнений необходимо сделать допустимые преобразования над исходной системой, с тем чтобы диагональные коэффициенты матрицы были максимальными по модулю. Для этого второе уравнение сделаем первым и в качестве второго используем третье. Сложим первое и второе уравнения исходной системы, получим третье: x1+x2+4х3=3. Тогда в итерационной форме имеем систему

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверяем условие сходимости :

Таблица 24

Таким образом, для получения решения с заданной точностью е=0,1 потребовались три итерации; x1=x1(3)=-0,308, х2=х2(3)=0,632, х3=х3(3)=0,559.

Для повышения быстродействия решения кроме метода простых итераций используется метод Гаусса-Зейделя.

Метод Зейделя

В этом методе при вычислении (к+1)-го приближения неизвестного xi используется уже рассчитанные на текущей итерации (к+1)-е приближение неизвестных x1, х2,…,xi и к-е приближения неизвестных Xj, Xj+b...,xn. Расчетная формула Зейделя имеет вид



Система в исходном виде не может быть решена методом простых итераций, ибо простой перестановкой уравнений нельзя получить систему, в которой по диагонали стояли бы максимальные значения коэффициентов (здесь нет ни одного уравнения , в котором коэффициент при х2 был бы максимален по модулю по сравнению с другими коэффициентами того же уравнения). Преобразуем систему. Вторым уравнением возьмем уравнение, полученное как разность первого и второго уравнений. Третье уравнение остается неизменным. В качестве первого уравнения возьмем второе уравнение исходной системы. Представим преобразованную таким образом систему (по диагонали будут коэффициенты с максимальными по модултЪ значениями ) в итерационной форме:

Достаточное условие сходимости выполнено. Результаты расчета по методу простой итерации и методу Зейделя представлены в табл. 25 и 26 соответственно (в первых трех строках указаны приближения, в последней -решение).

Таблица 25

Из приведенных таблиц видно, что .метод Зейделя имеет большую скорость сходимости.

Задание 2. Решить методом Гаусса-Зейделя систему уравнений, взятую из табл.30 для индивидуального задания.

Выполнение задания 1.

Для использования метода Гаусса-Зейделя перепишем систему в другом виде, разрешив каждое уравнение относительно одной из переменных:

Решим эти уравнения методом Гаусса-Зейделя, используя электронную таблицу Excel.

Открыть новый лист и назвать его «Система 3» (см.табл.27).

Выбрать команду Сервис - Параметры. Открыть вкладку Вычисления и включить режим Вручную. Поставить отметку на переключатель Итерации, ввести в поле - Предельное число итераций - значение 1, отключить режим Пересчет перед сохранением и щелкнуть по кнопке ОК.

В ячейку А1 ввести Решение систем уравнений; метод Гаусса-Зейделя. В таблицу необходимо добавить флаг инициализации, который бы переводил вычислительный процесс в определенное начальное состояние. Ввод значения ИСТИНА в ячейку ВЗ должен заставить функцию ЕСЛИ в ячейках С8:С10 возвращать начальные значения в ячейках А8:А10. Для этого необходимо:

а) В ячейку A3 ввести «Нач.флаг».

б) В ячейку В3 ввести ИСТИНА.

в) Присвоить ячейке В3 имя «НАЧЗН.».

Таблица 27

	А	В	С
1	Решение систем уравнений
2
3	Нач. флаг	ИСТИНА
4
5
6	Начальные	Уравнения	Решения
7	значения
8	0	0,840	0
9	0	2,363	0
10	0	2,182	0

Теперь инициализируем итерационный процесс начальным значением 0.

а) В ячейку А6 ввести «Начальные».

б) В ячейку А7 ввести «Значения».

в) В ячейку А8:А10 ввести 0.

Ввести в таблицу три уравнения системы. При итерировании листа ячейки с циклическими ссылками вычисляются слева направо и сверху вниз. Если поместить в ячейки столбца С формулы, использующие значения ячеек столбца В, то в столбец В будет подставляться предыдущая итерация, а при вычислении столбца С для определения нового приближения будут использоваться только старые значения. Другими словами, будет реализован итерационный метод Якоби.

Если изменить порядок вычисления и поместить в столбец В формулы, содержащие значения из столбца С, то полученное по формуле в столбце В значение будет подставляться в столбец С и тут же использоваться в следующей формуле из столбца В. Это новое значение будет использовано на текущей итерации сразу же после его вычисления, и, таким образом, будет реализован метод Гаусса-Зейделя. Для этого (см.табл.28 - режим показа формул) необходимо сделать:

а) в ячейку В10 ввести "Уравнения";

б) в ячейку В8 ввести = (С9+2*С10)/8;

в) в ячейку В9 ввести =(10-5*С8+С10)/7;

г) в ячейку В10 ввести = (2+2*С8+С9)/2.

6. Осталось ввести в уравнения реккурсивные ссылки и проделать тест инициализации:

а) в ячейку С6 ввести «Решения»;

б) в ячейку С8 ввести формулу =ЕСЛИ($В$3;А8;В8) и скопировать ее в ячейки С9:С10;

в) Сделать формат ячеек В8:С10 числовым с тремя значащими десятичными цифрами.

Таблица 28

	А	В	С
1	Решение систем уравнений. Метод Гаусса-Зейделя
2
3	Нач. флаг	ИСТИНА
4
5
6	Начальные	Уравнения	Решения
7	значения
8	0	=С9+2*С10)/8	=ЕСЛИ($В$3:А8;В8)
Таблица 29
	А	В	С
1	Решение систем уравнений. Метод Гаусса-Зейделя
2
3	Нач. флаг	ЛОЖЬ
4
5
6	Начальные	Уравнения	Решения
7	значения
8	0	0,988	0,988
9	0	1,992	1,992
10	0	2,984	2,984

7. Для выполнения расчета по этому листу установите флаг инициализации, равным ИСТИНА и нажмите клавишу «F9». После инициализации листа измените значение флага на ЛОЖЬ и снова нажмите клавишу «F9» для выполнения очередной итерации. Таким образом поступать до тех пор, пока не будет достигнута удовлетворительная сходимость к решению (см.табл.29). Если для решаемой системы итерационный процесс сходится плохо, нет необходимости нажимать клавишу «F9» много раз. Достаточно выбрать команду Сервис - Параметры, открыть вкладку Вычисления и изменить значение поля - Предельное число итераций - на количество итераций, которое необходимо выполнять при каждом нажатии клавиши «F9».

Выполнение задания 2.

Аналогично п.3.1. решите систему уравнений, выбранную индивидуального задания (табл.30) по последней цифре номера зачетной книжки.

Индивидуальные задания

Отчет по работе.

Результаты выполнения заданий 1-2.

VII. Приближенное интегрирование с заданным шагом

1. Цель работы

Изучение способов приближенного интегрирования в таблицах Excel.

2. Основные теоретические положения

2.1 Постановка задачи

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

х=а, x1, x2, ..., xi, xi+1,..., xn=b.

Значит, для вычисления интеграла (32) необходимо вычислить n площадей фигур криволинейных трапеций (рис.12).

2.2 Интегрирование экспериментальных данных

Как правило, в результате эксперимента получают дискретные данные, т.е. в узлах xi производят измерение значений некоторой функции уi, (см.работу 1).

Интегрирование дискретных данных включает в себя предварительную аппроксимацию или интерполяцию этих данных известной функцией с последующим ее интегрированием. В большинстве случаев не удается подобрать одну функцию для аппроксимации на всем интервале, поэтому область интегрирования разделяется на большое количество подинтервалов, на каждом из которых используется простая функция типа линейной, квадратической или кубической. После чего результаты аппроксимации для отдельных подинтервалов складываются вместе для получения полного интеграла.

2.3 Типы формул интегрирования

Наиболее часто при численном интегрировании используются правило прямоугольников, правило трапеций, интегрирование по Ромбергу, правило Симпсона и квадратура Гаусса. Каждый из этих методов является более точным, чем предыдущий, поскольку производит аппроксимацию данных более сложной кривой.

2.4 Правило прямоугольников

Согласно правилу прямоугольников, область между точками разбиения интервала интегрирования [а,b] заменяется прямоугольником, высота которого соответствует координате Y одной из точек, а ширина равна расстоянию между точками (рис.13). Значение интеграла определяется по следующей



Такое приближение может показаться грубым, например, для случая, указанного на рисунке, однако при малой ширине интервала и гладкой функции результаты получаются достаточно точными. Кроме того, такой метод очень просто реализовать, поскольку достаточно просто вычисляется площадь прямоугольника - перемножается значение Y в каждой точке на ширину интервала и результаты складываются.

2.5 Правило трапеций

Согласно этому правилу, каждая пара соседних точек соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций (рис.14).

2.6 Интегрирование по Ромбергу

Правило трапеций можно улучшить с помощью интегрирования по Ромбергу, использующее две различные оценки для экстраполяции значения интеграла. При вычислении первой оценки используется правило трапеций для каждой точки, а при вычислении второй оценки - правило трапеций для каждой второй точки (рис. 15).

2.7 Правило Симпсона

Согласно правилу Симпсона, для аппроксимации данных используется уравнение параболы, построенной по трем точкам (правило 1/3) или по четырем точкам (правило 3/8).

2.8 Использование методов интегрирования

Методы интегрирования достаточно просто могут быть использованы при работе с Excel. Значения интеграла на элементарных участках , на которые разбит заданный интервал интегрирования, вычисляются в соответствующих ячейках, после чего результаты в них суммируются.

Рассмотрим интегрирование Гамма-функции, которая принадлежит к так называемым специальным функциям науки и техники. Она возникает в физических задачах, например, при вычислении вероятностей в статистической механике или при нормировке волновых функций в кулоновском поле. Гамма-функция определяется следующим интегралом:

3. Порядок выполнения работы

Задание 1. Вычислить Гамма-функцию с помощью методов прямоугольников и трапеций с числом шагов, равным 10. Сравнить результаты вычислений двумя методами. (Истинное значение гамма-функции в точке х=1,5 равно ).

Задание 2. Повторить вычисления с числом шагов, равным 20.

Задание 3. Вычислить интеграл для индивидуального задания.

3.1 Выполнение задания 1

3.1.1 Ввод числовых и текстовых констант в таблицу

Образец таблицы для интегрирования в режиме вычислений и в режиме показа формул приведен в табл.31 и табл.32 соответственно. Заполняем ячейки А1:Е5, как указано в табл.31.

3.1.2 Ввод формул для вычисления интеграла

а) в ячейки В6:С6 вводим комментарий «Интеграл»;

б) в ячейку D6 вводим формулу для вычисления интеграла методом прямоугольников: =СУММ[D11:D20) (см.табл.32);

в) в ячейку Е6 вводим формулу для вычисления интеграла методом трапеций: =СУММ(Е11:Е20).

3.1.3 Ввод формул для определения ошибки интегрирования

а) в ячейки B7:D7 вводим комментарий «Истинное значение интеграла»;

б) в ячейку Е7 вводим формулу: =КОРЕНЬ(ПИ())/2;

в) в ячейки В8:С8 введем комментарий «Ошибка интегрирования»;

г) в ячейку D8 вводим формулу для вычисления ошибки в методе прямоугольников (отклонение значения интеграла, вычисленного методом прямоугольников, от истинного значения): =E7-D6;

д) в ячейку Е8 вводим формулу для вычисления ошибки интегрирования методом трапеций: =Е7-Е6.

3.1.4 Ввод формул для задания номеров интервалов

а) в ячейку А10 напишем комментарий «Номер интервала»;

б) в ячейку Al1 вводим цифру 1;

в) ставим курсор мыши в правый нижний угол ячейки All и, нажав правую клавишу мыши, протаскиваем указатель мыши до ячейки А21. Отпустим правую клавишу мыши, появится контекстное меню, в котором надо выбрать команду Заполнить ячейки. Тогда в ячейки А12:А21 запишутся соответствующие номера.

	А	В	С	D	Е
1	Интегрирование с заданным шагом
2			Гамма-функция exp(-t)*t^(x-l)
3		х=	1,5	шаг dt	од
5				Прямоуголь ников	Метод трапеций
6		Интеграл =	0,115533122	0,133927094
7	Истинное значение интеграла	0,8862
8	Ошибка интегрирования	0,7707	0,7523
10	№ интеграла	Левые Границы Интервалов (t)	Значения Функции f(x,t)
11	1	0	0,0000	0,0000	0,0001
12	2	0,1	0,0029	0,0003	0,0009
13	3	0,2	0,0146	0,0015	0,0026
14	4	0,3	0,0365	0,0037	0,0056
15	5	0,4	0,0678	0,0068	0,0088
16	6	0,5	0,1072	0,0107	0,0130
17	7	0,6	0,1530	0,0153	0,0178
18	8	0,7	0,2036	0,0204	0,0230
19	9	0,8	0,2572	0,0257	0,0285
20	10	0,9	0,3124	0,0312	0.0340
21	11	1	0,3679

Таблица 32

	А	BCD	Е
1	Интегрирование с заданным шагом
2			Гамма-функция exp(-t)*t^(x-l)
3		х=	1,5	шаг dt	0,1
4
5				Прямоугольников	Метод трапеций
6		Интеграл =	=СУММ(D11 :D20)	=СУММ(Е11:Е20)
7	Истинное значение интеграла	=КОРЕНЬ(ПИ())/2
8	Ошибка интегрирования	=E7-D6	=Е7-Е6
9
10	№ интеграла	Левые Границы Интервалов (t)	Значения Функции f(x,t)
11	1	0	=ЕХР(-В11)*В11^($С$3+1)	=С11*$Е$3	=$Е$3*(С11+С12)/2
12	2	=В11+$Е$3	=ЕХР(-В12)*В12^($С$3+1)	=С12*$Е$3	=$Е$3*(С12+С13)/2
13	3	=В12+$Е$3	=ЕХР(-В13)*В13^($С$3+1)	=С13*$Е$3	=$Е$3*(С13+С14)/2
14	4	=В13+$Е$3	=ЕХР(-В14)*В14^($С$3+1)	=С14*$Е$3	=$Е$3*(С14+С15)/2
15	5	=В14+$Е$3	=ЕХР(-В15)*В15^($С$3+1)	=С15*$Е$3	=$Е$3*(С15+С16)/2
16	6	=В15+$Е$3	=ЕХР(-В16)*В16^($С$3+1)	=С16*$Е$3	=$Е$3*(С16+С17)/2
17	7	=В16+$Е$3	=ЕХР(-В17)*В17^($С$3+1)	=С17*$Е$3	=$Е$3*(С17+С18)/2
18	8	=В17+$Е$3	=ЕХР(-В18)*В18^($С$3+1)	=С18*$Е$3	=$Е$3*(С18+С19)/2
19	9	=В18+$Е$3	=ЕХР(-В19)*В19^($С$3+1)	=С19*$Е$3	=$Е$3*(С19+С20)/2
20	10	=В19+$Е$3	=ЕХР(-В20)*В20^($С$3+1)	=С20*$Е$3	=$Е$3*(С20+С21)/2
21	11	=В20+$Е$3	=ЕХР(-В21)*В21^($С$3+1)

3.1.5 Ввод формул для вычисления левых границ интервалов

а) в ячейку В10 вводим комментарий «Левые границы интервалов»;

б) в ячейку Bl1 введем число 0;

в) в ячейку В12 вводим формулу: =Bl1+$Е$3;

г) копируем формулу в ячейки В13:В21.

3.1.6 Ввод формул для вычисления значений подинтегральной функции

а) в ячейку С10 вводим комментарий «Значения функции» f(x,t);

б) в ячейку С11 вводим формулу для вычисления значения подинтегральной функции: =ЕХР(-В11)*В11^($С$3+1);

в) копируем формулу в ячейки С12:С21.

Ввод формул для метода прямоугольников. а)вячейку D11 вводим формулу: =С11*$Е$3;

б) копируем формулу в ячейки D12:D20.

Ввод формул для метода трапеций.

а) в ячейку El1 вводим формулу: = $Е$3*(С11+С12)/2;

б) копируем формулу в ячейки Е12:Е20.

3.2 Выполнение задания 2

3.2.1 Создание копии табл.31

Скопировать табл.31 и назвать лист «Интеграл 2».

3.2.2 Коррекция числа шагов

а) производим нумерацию интервалов в ячейках А22:А31 (как в п.3.1.4.в);

б) копируем формулы из ячейки В21 в ячейки В22:В31;

в) копируем формулу из ячейки С21 в ячейки С22:С31;

г) копируем формулу из ячейки D20 в ячейки D21 :D30;

д) копируем формулу из ячейки Е20 в ячейки Е21:Е30.

3.2.3 Коррекция итоговых формул

а) в ячейке D6 исправляем формулу, чтобы было: = CУMM(D11:D30);

б) в ячейке Е6 исправляем формулу: =СУММ(Е11:Е30).

3.3 Выполнение задания 3

Из таблицы 33 выбрать по последней цифре номера зачетной книжки индивидуальный вариант интеграла.

Вычислить аналитические значения интеграла.

В таблице 31 исправляем вид подинтегральной функции, согласно заданию, в ячейках А2:Е2, С11:С21.

Обратите внимание!

1) Ваша функция зависит только от одного аргумента в отличие от Гамма-функции, т.е. ячейки В3:С3 не будут участвовать в вычислениях.

2) Ошибки вычисления здесь определяются неверно! Введите в D8 формулу: =D6-E6. Тогда в D8 будет получаться относительная погрешность вычисления методом прямоугольников и методом трапеций.

Отчет по работе.

Результаты выполнения задания 1-3

IX. Приближенное интегрирование с заданной точностью

Ознакомление с макросами на основе языка Visual Basic в Excel.

В работе рассмотрены основные принципы и методы приближенного интегрирования. В результате выполнения этой работы можно убедиться, что увеличение числа интервалов (шагов) интегрирования приводит к увеличению точности интегрирования.

Однако, если при постановке задачи задана точность интегрирования, но неизвестно число шагов, решение такой задачи с использованием табл.31 становится весьма затруднительным. Возможно, будет необходимо удваивать число шагов многократно. Использование режима Итерации в этом случае невозможно, так как необходимо осуществлять дополнительное копирование формул в столбцах B,C,D,E при удваивании числа шагов.

Для интегрирования с заданной точностью удобно использовать макросы (подпрограммы) на языке программирования Visual Basic. Основы программирования на базовом языке Basic изложены в [2].

Visual Basic, в отличие от базового языка Turbo Basic, требует предварительного описания переменных и констант. Например, вещественную переменную t, необходимую для вычисления Гамма-функции, можно описать так:

Dim dblT As Double.

Здесь Dim - оператор описания переменной по имени dblt, As - ключевое слово, указывающее на тип переменной (вещественная, Double или целый Integer). Операция суммирования при интегрировании будет осуществляться с помощью оператора цикла FOR. Параметром цикла будет переменная t , которая должна изменяться от нижнего предела интегрирования (обозначим его tstart) до верхнего предела интегрирования (обозначим tend).

Опишем эти переменные как константы:

Const tstart = 0 Const tend = 20.

Вычисление Гамма-функции будем осуществлять с помощью процедуры - ФУНКЦИИ, которая описывается в виде: Function Gamma ( dblx As Double ) As Double.

Здесь Function - указание, что работаем с функцией; Gamma - имя нашей процедуры-функции. В скобках указывается, для какой переменной должна изменяться эта функция ( в нашем случае чэто переменная dblx ). Функция должна быть описана как переменная (целая или вещественная), в данном случае - вещественная - As Double.

Для печати комментариев используются строковые константы, которые помечаются в начале строки апострофом "Например, это строка-комментарий".

Порядок выполнения работы.

Задание 1. Создать макрос на языке Visual Basic для интегрирования методом трапеции.

Задание 2. Создать рабочий лист для вычисления интеграла с заданной точностью.

Выполнение задания 1.

1. Запустить редактор Visual Basic с помощью команды меню Сервис - Макрос - Редактор Visual Basic, создать новый модуль и присвоить ему имя GammaF.

2. Ввести следующую процедуру: Option Explicit

'Вычисление Гамма-функции по правилу трапеций

Function Gamma ( dblx As Double ) As Double

Dim dblT As Double 'Переменная интегрирования

Dim dblTerm As Double ' Член суммы

Dim dblTennl As Double 'Первая часть члена суммы

Dim dblTerm2 As Double ' Вторая часть члена суммы

Const tStart = 0 'Нижний предел интегрирования

Const tEnd = 20 ' Верхний предел интегрирования

Const Delt = 0.01 'Шаг интегрирования

Const CutOff = 0.000000001 'Точность вычисления

' Обнуляем переменную суммирования

Gamma = 0

'Цикл интегрирования, за один цикл вычисляется один член суммы For dblt = tStart То tEnd Step Delt 'Вычисляем один член суммы по правилу трапеций blTerml = Exp(-dbit)*dblTA(dblX - 1) blTerm2 = Exp(-dblt - delT)*(dblT +DelT)A(dblX - 1) blTerm = Delt* (dblTerm 1 +dblTerm2)/2 'Добавляем полученное значение к результату Gamma = Gamma + dblTerm

'Завершаем вычисления, если последний член меньше, ' чем первые девять от всей суммы if dblTerm / Gamma < CutOff Then

'Прерывание цикла, если точность вычисления 'достигнута Exit For

'Конец оператора if

End if

'Конец цикла Next dblT 'Конец функции End Function

'Небольшая процедура, используемая при отладке Sub test()

Dim dblX As Double Const Pi = 3.1415 'Тестируемое значение dblX=1.5

'Выводим значение, результат и правильный результат ' в окно отладки

Debug Prim dblX, Gamma(dblX), Sqr(Pi)/2

Stop

End Sub

В начале процедуры происходит объявление нескольких переменных, и определяются три константы, соответствующие пределам и шагу интегрирования. Использование констант заметно упрощает изменение цикла интегрирования при тестировании. Затем инициализируется переменная суммирования Gamma, и начинается цикл, выполняющий интегрирование. В пределах цикла вычисляются два значения подинтегрального выражения, и находится их среднее, которое затем умножается на шаг интегрирования для получения площади трапеции. Найденная площадь прибавляется к переменной суммирования. В конце цикла происходит сравнение величины последнего слагаемого со всей суммой. Если слагаемое меньше суммы более чем в 1*10-9 раз, то цикл прекращается.

После функции приводится небольшая процедура, используемая при отладке программы. Процедура вызывает функцию для проверки синтаксических ошибок и правильности вычисляемых значений. Для этого переменным присваиваются значения, вызывается функция, и результаты выводятся в окно отладки. Затем выполнение прекращается, и отображается окно отладки, в котором можно видеть текущие значения. При возникновении проблемы для проверки значений других переменных в этот момент можно использовать команды отладки.

Для использования новой функции в рабочем листе, создайте новый рабочий лист и вызовите функцию с заданным аргументом. Вновь используйте значение 1,5 для проверки точности результата. Для этого:

Создайте таблицу 31 и присвойте ей имя «Точность».

Введите следующие значения в ячейки F5:F8

F5 Гамма

F6 = Gamma(x)

F7 = (F6 - $Е$7)

F8 = (F6-$E$7)/$E$7.

Через несколько секунд на экране появится рабочий лист табл.31. Ошибка вычислений в данном случае будет составлять всего 0,02%. Точность можно увеличить, уменьшив значение шага. В результате увеличится время вычислений, но это может быть допустимым, в зависимости от конкретной задачи.

Отчет по работе.

Представить результаты выполнения заданий 1-2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966.

2. Орвис В.Д. Excel для ученых, инженеров и студентов. - Киев : Юниор, 1999.

3. Ткаченко Г.Г., Бессонова Т.Д. Вычислительная техника и программирование, ч.П. - Л.: СЗПИ, 1991. 4.Евдокимов В.В. Экономическая информатика. - СПб.: Питер Паблишинг, 1997.

5. Scott D.F. Разработка прикладных систем на Visual Basic for Windows. - M.: Исланд, 1994.

Размещено на Allbest.ru