Нелинейная свободная система второго порядка, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением

2. Поскольку определитель матрицы положителен, а след матрицы = ?0,7, и выполняется условие det M > (tr M / 2)^2, то особая точка является устойчивым фокусом (см. Рисунок 7.1).

Сравнивая с зависимостью особой точки от корней характеристического уравнения (л_1,2 = ? 0,35 ± i • 0,937), можно подтвердить, что особая точка - устойчивый фокус.

3. Уравнения особых направлений

y = ? x = ? 0/1 • x = 0

y = ? x = ? () • x = ?1,429x

Первую прямую фазовые траектории пересекают в вертикальном направлении, а вторую - в горизонтальном.

4. Поскольку особая точка является устойчивым фокусом, то фазовые траектории направлены к точке (0;0). Необходимо выяснить, в каком направлении происходит закручивание фазовой траектории: по или против часовой стрелки.

Вычислим вектор скорости ( ; ) в точке (1;0).

u? =

Координаты вектора x = 0, у = ?0,7•0?1= ?1. Имеем вектор скорости (-1;1). Таким образом, вектор скорости направлен вверх, и, следовательно, спираль закручивается по часовой стрелке.

На рисунке 7.2 представлены графики прямых y = 0 и y = ?1,429x, на рисунке 7.3 представлены фазовые траектории устойчивого фокуса.

Рисунок 8.2 Графики прямых y = 0 и y = ?1,429x

Рисунок 8.3 Фазовый портрет устойчивого фокуса

9. Исследовать асимптотическую устойчивость состояния равновесия системы в соответствии с первым методом Ляпунова

Назначением систем управления является поддержание некоторого заданного режима, называемого невозмущенным движением. Если на систему действует возмущение, то фактическое движение (которое называется возмущенным движением) будет отличаться от невозмущенного движения. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение y(t) с течением времени стремится к невозмущенному движению y_н(t): y(t) > y_н(t) при t > ?.

Линейная система управления называется устойчивой или асимптотически устойчивой, если любое её невозмущенное движение, определяемое задающим воздействием, асимптотически устойчиво.

Как уже отмечалось выше, практически все системы управления являются нелинейными, а линейные системы управления следует рассматривать как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем.

Линеаризация производится относительно заданного номинального режима y⁰(t), называемого в теории устойчивости невозмущенным движением. Невозмущенное движение y⁰(t) нелинейной системы называется асимптотически устойчивым, если существует некоторая окрестность вокруг невозмущенного движения такая, что любое возмущенное движение y(t), начинающееся в момент времени t₀ окончания действия возмущения в этой окрестности, в дальнейшем не выходит из этой окружности и y(t) > y⁰(t) при t > ?.

Вопрос о том, можно ли судить об асимптотической устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы на основании исследования устойчивости её линеаризованной модели, впервые был поставлен и решён А.М. Ляпуновым в 1892 г. в его диссертационной работе.

Для исследования устойчивости систем А.М. Ляпунов разработал два метода. Под первым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, основанных непосредственно на анализе общих или частных решений этих систем, а также использующих определенные характеристики указанных решений. Второй метод Ляпунова основан на исследовании системы с помощью функции Ляпунова.

Итак, исследуем линейную систему вида

y?? + 0,7y? + y + 1,6 = 0, (9.1)

которая представляет собой линеаризованною форму заданной исходной системы, полученную в п.4 данной работы.

Систему (9.1) можно представить в виде

= u

= - z ? 0,7u, (9.2)

где z = y(t), u = z? = y?(t), u? = y??(t) (свободный член обнуляется).

В общем виде данная система может описываться как

= a₁₁z + a₁₂u

= a₂₁z + a₂₂,

где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ - элементы матрицы А:

А =

Записываем характеристическое уравнение для матрицы:

det(A - лE) = det = det=0,

где Е - единичная матрица. Раскрывая этот определитель, получаем уравнение второго порядка

()•() ? 1•(?1) = 0

л² + 0,7л +1 = 0 (9.3)

В п.5 данной работы корни данного характеристического уравнения уже рассчитаны нами:

л_1,2 = ? 0,35 ± i • 0,937,

где действительная часть корня равна (?0,35), мнимая равна 0,937.

А. М. Ляпуновым были доказаны следующие теоремы, определяющие условия устойчивости линейных систем.

Теорема 4. Если все действительные части корней характеристического уравнения (9.3) для дифференциальных уравнений (9.2) отрицательны, то невозмущенное движение системы асимптотически устойчиво.

Теорема 5. Если среди корней характеристического уравнения (9.3) для дифференциальных уравнений (9.2) имеется хотя бы один с положительной действительной частью, то невозмущенное движение системы не устойчиво.

Теорема 6. Если уравнение (9.3) не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеется часть корней с нулевой вещественной частью, то положение равновесия системы будет устойчивым (не асимптотически).

Таким образом, согласно произведенным расчётам и утверждению Теоремы 1, невозмущенное движение линеаризованного уравнения, или уравнения первого приближения, асимптотически устойчиво.

Представленные выше теоремы А. М. Ляпунова имеют важное значение в теории автоматического управления, так как они позволяют судить об устойчивости нелинейных систем по уравнениям первого приближения в соответствии со следующими условиями:

1. Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также устойчиво.

2. Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также неустойчиво.

3. Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. В этом случае необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.

Таким образом, состояние равновесия исходной нелинейной системы (1.1) асимптотически устойчиво.

Это же следствие вытекает из еще одних теорем Ляпунова:

1) Если все корни характеристического уравнения линеаризованной модели являются левыми, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы асимптотически устойчиво.

2) Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеется правый корень, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы неустойчиво.

3) Случай, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеются нейтральные корни (корни на мнимой оси), но нет правых корней, называют критическим. В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы.

Как мы рассчитали, корни характеристического уравнения (8.3) равны л_1,2 = ? 0,35 ± i • 0,937, т.е. они оба являются левыми: исходя из расположения на комплексной плоскости, корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми.

Итак, невозмущенное движение (состояние равновесия) нелинейной системы асимптотически устойчиво.

Заключение

В данной работе была рассмотрена нелинейная свободная система второго порядка, описанная её математической моделью - обыкновенным дифференциальным уравнением. На основе проведённого анализа и расчетов, исходную систему можно описать следующими характеристиками:

1. Уравнения исходной системы в нормальной форме:

?₁ = x₂,

?₂ = ? x₁ - 0,1- 0,5x₂

y = x₁

2. Положение равновесия системы М(0,0).

3. Линеаризованное уравнение исходной системы:

y?? + 0,7y? + y +1,6 = 0.

4. Общее аналитическое решение линеаризованной системы:

y(t) = С₁ • e^-0,35t • cos(0,937t) + С₂ • e^-0,35t • sin(0,937t)

5. Фазовый портрет исходной системы представляет собой устойчивый фокус.

6. Состояние равновесия исходной системы асимптотически устойчиво.

Список использованной литературы

1. Васильева А. В., Медведев Г. Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432 с.

2. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с.

3. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.

4. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов. / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. - 3-е изд., испр. И доп. - М.: Высш. шк., 2003. - 614 с.: ил

5. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. - СПб.: Питер, 2006. - 272 с.: ил.

6. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управлении: Учеб. пособ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 616 с.

7. Поляков К. Ю. Теория автоматического управления для «чайников»: Методич. пособие. - СПб, 2008. - 80 с.: ил.

8. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с: ил.

9. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 712 с.

Размещено на Allbest.ru