Основные понятия теории вероятности

Стандартный нормальный закон распределения (или нормальный закон в стандартной форме) есть такой нормальный закон, у которого и .

Стандартный нормальный закон затабулирован, поэтому вероятности можно найти по соответствующим таблицам. Переменную, имеющую стандартный нормальный закон распределения, будем обозначать z. Формула перехода от любого нормального закона с переменной х, имеющего среднее µ и стандартное отношение , имеет вид

Величина z показывает на сколько стандартных отклонений значение х отклонено от µ. Величина z является безразмерной величиной. Если х = µ, то это соответствует z=0, т.е. среднему µ соответствует среднее стандартного нормального закона. Если х находится на расстоянии равном одному стандартному отклонению, т.е., то это значение будет соответствовать z =1 и т.д. Если необходимо найти вероятность того, что нормально распределенная случайная величина и находится в промежутке (10,16), то после приведения данного нормального закона и стандартному виду получим, что искомая вероятность равна тому, что 0<z<2.

Выясним, как находить вероятности для стандартного нормального закона. Прежде всего заметим, что в силу симметрии любого нормального закона (а значит и стандартного нормального закона)

Поэтому таблицы стандартного нормального закона приведены только для одной половины, т.е. для z>0.

Сначала рекомендуется сделать схематичный чертеж ситуации. Например, для нормально распределенной случайной величины х со средним µ=10 и =3 необходимо найти вероятность

В данном случае схематичный чертеж будет иметь вид (рис.9).

8 10 14

(рис.9)

Если надо найти вероятность P (x >11), то чертеж будет (рис.10)



10 11

(рис.10)

Т.е. на чертеже надо отметить центр, соответствующей точке среднего, точки, соответствующие крайним значениям x, и область, площадь которой равна искомой вероятности.

Далее необходимо помнить, что таблицы стандартного нормального закона дают значения вероятностей P(0<Z<Z₁), т.е. на чертеже это будет выглядеть так (рис.11)

Z=0 Z₁

(рис.11)

А теперь рассмотрим различные ситуации:

1. Необходимо найти P(0<Z<1,5)

a) делаем чертеж (рис. 12)



0 1,5

(рис.12)

b) по таблицам определяем, что значению Z=1,5 соответствует область 0,4332

Тогда P (0<Z<1,5)=0,4332

Аналогично вычисляются вероятности P(-1.1<Z<0), т.е. по таблицам находят, что значению Z=-1.1 соответствует область 0,3643, которой и равна искомая вероятность. (Значению Z=-1.1 соответствует в силу симметрии та же область, что значению Z=1.1).

2. Найти P (0,5<Z<1,7)

Делаем чертеж (рис.13)

0 0,5 1,7

(рис.13)

Площадь заштрихованной области равна площади (0; 1,7) минус площадь (0; 0,5). По таблицам находим, что площадь (0; 1,7) равна 0,4554, а площадь (0; 0,5) равна 0,1915. Тогда P (0,5<Z<1,7)= 0,4554-0,1915=0,2639

3. Найти P(-1,3<Z<1,8) (рис.14)

-1,3 1,8

(рис.14)

В данном случае заштрихованная площадь равна сумме площадей (-1,3; 0) и (0; 1,8). По таблицам находим, что значение Z= -1,3 соответствует область 0,4032, а значению Z=1,8 соответствует область 0,4641. Тогда P(-1,3<Z<1,8)= 0,4032+0,4641=0,8673

4. Найти P(Z>0,8) (рис.15)

0 0,8

(рис.15)

Здесь заштрихованная площадь равна площадь (0; ?) минус (0; 0,8). Но площадь

(0; ?)=0,5; площадь от (0; 0,8) равна 0,2881. Тогда P(Z>0,8)=0,5-0,2881=0,2119

5. Найти P(Z<1,6) (рис.16)



0 1,6

(рис.16)

Здесь заштрихованная область равна сумме (-?; 0) и (0;1,6). Но площадь от

(-?; 0)=0,5, а площадь области (0;1,6) равна 0,4452. Тогда P(Z<1,6)=0,5+0,4452=0,9452

Пример 23.

Для того чтобы стать членом ассоциации высокоинтеллектуальных людей (USA Today, February 13, 1992) надо иметь результат по тесту IQ 132 или выше. Если оценки теста имеют нормальное распределение со средним µ=100 и стандартным отклонение у =15, то каков процент людей может быть членом ассоциации?

Решение.

Прежде всего, сделаем чертеж (рис. 17)

100 132

(рис. 17)

Перейдем от данного нормального закона к стандартному виду. Вычислим значение Z, соответствующее значению x=132

Z==2,13

Этот случай соответствует ситуации 4, т.е. площадь заштрихованной области равна разности (0; ?) и (0; 2,13). По таблицам находим площадь (0; 2,13), она равна 0,4834. Тогда P (x?132)=P(Z?2.13)=0.5-0.4834=0.0166. Следовательно, только 1, 67% людей являются потенциальными кандидатами для вступления в ассоциацию.

Рассмотрим в некотором смысле обратную ситуацию, т.е. необходимо определить значение x, правее (или левее) которого располагается заданный процент всех значений случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. Задача может быть сформулирована следующим образом: найти такое значение х, что случайная величина Х примет Х>х₀(или Х<x₀) с заданной вероятностью P(Х>x₀)=P.

Пример 24.

Фирма намеревается заключить контракт на выполнение строительных работ. Издержки фирмы по данному виду работ есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним µ=950 тысяч долларов и стандартным отклонением у=100 тысяч долларов. На какой минимальный размер оплаты должно согласиться руководство фирмы, чтобы с вероятностью p=0.99 контракт был прибыльным.

Решение.

Прежде всего, сделаем схематический чертеж данной ситуации (рис.18)

0,99

950 x₀

(рис.18)

Площадь заштрихованной области равна 0.99. Контракт будет прибыльным, если доход будет больше издержек, поэтому наименьшее значение суммы контракта должно превосходить значение x₀ хотя бы на 1 доллар. Значению x₀ соответствует значение Z₀ стандартной формы исходного нормального закона. Вероятность P(Z< Z₀ )=0.99. Но P(Z< Z₀) = P(Z<0) + P(0< Z< Z₀). Первое слагаемое равно 0,5. тогда второе P(0< Z< Z₀)=0,49

По таблицам найдем, что данной вероятности соответствует значение Z=2.33. Тогда по формуле перехода

Z =

найдем x₀ = Z₀ у + µ = 950+2.33*100=973

Таким образом, минимальная сумма контракта равна 974 тысяч долларов.

Пример 25.

Средний срок работы электролампочек составляет 300 дней. В предположении, что срок работы есть случайная величина, имеющая нормальный закон распределения со стандартным отклонением у=50 дней, определить срок работы 90% всех лампочек.

Решение.

Срок работы может быть как больше 300 дней, так и меньше 300 дней. Поэтому схематический чертеж в этом случае будет иметь вид (рис.19)

 0,9

X0 300 X1

(рис.19)

Нам дано, что

P(X₀<x< X₁) = 0.9

Т.к. X₀ и X₁ находятся на одинаковом расстоянии от µ, то P(0<x< X₁)=0.45

Для стандартного вида

P(0<Z< Z₀) = 0.45

P(-Z₀<Z<0)=0.45

Вероятности 0.45 соответствует значение Z₀ =1.645.

По формуле перехода

X₀=µ- Z₀* у = 300-50*1.645

X₁=µ+ Z₀* у = 300+50*0.645=382.25

Значит, срок работы 90% всех электролампочек находится в промежутке от 217,75 дней до 382,25 дней.

3.4 Аппроксимация биномиального закона нормальным

Когда число испытаний становится большим, вычисление вероятностей, что случайная величина, имеющая биномиальный закон распределения, будет иметь определённое число "успехов", становится затруднительным, а таблицы для большого количества испытаний, как правило, не приводятся в специальной литературе. В этом случае "на помощь" приходит нормальный закон, который является достаточно точным приближением биномиального закона. В практических случаях замена вполне допустима, когда выполняются условия: n p 5; n(1 - p)5; n>20.

(напомним, что p - вероятность "успеха", n - число испытаний)

Основная проблема, которая возникает при такой замене, заключается в том, что биномиальное распределение есть дискретное, а нормальное распределение есть непрерывное. Эта проблема легко решается с помощью корректирующей величины, которая называется поправкой на непрерывность. Эта поправка равна 0.5 и она либо прибавляется к значению случайной величины, распределенной по биномиальному закону, либо вычитается в зависимости от ситуаций, примеры которых будут рассмотрены ниже. Заметим, что чем больше n, тем аппроксимация будет точней.

Пусть x- дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону, которая характеризуется числом опытов n и вероятностью "успехов" p. Тогда можно записать правила использования поправки на непрерывность. Если слева будем записывать вероятности биномиального закона, а справа вероятности нормального закона, то:

1. P(x =a) = P(a - 0.5 < x < a + 0.5);

2. P(xіa) = P(x > a - 0.5);

3. P(x>a) = P(x > a + 0.5);

4. P(xЈb) = P(x < b + 0.5);

5. P(x<b) = P(x < b - 0.5);

6. P(a Ј x Ј b) = P(a - 0.5 < x < b + 0.5)

При этом среднее для нормального закона = n * p, а стандартное отклонение =.

Вероятности дискретной биномиальной случайной величины - это вероятности того, что случайная величина примет значение равное, либо не меньше (больше), либо строго больше (меньше) определённого значения a. Вероятности нормально распределенной непрерывной случайной величины - это вероятности попадания в определенную область. Поэтому, если значение a учитывается (знаки =,,), то соответствующая область увеличивается на 0.5, а если значение a не учитывается (знаки >,<), то соответствующая область в нормальном законе на 0.5 уменьшается.

Пример 26

Уровень безработицы в стране равен 7%. Случайным образом выбрано 100 человек рабочего возраста. Какова вероятность того, что:

а. точно 10 из них являются безработными?

б. не менее 5 человек являются безработными?

в. не больше 85 работают?

г. безработных менее 4 человек?

Решение

Число безработных (или работающих) есть случайная величина, распределенная по биноминальному закону.

Так как n*p = 100*0.07= 7 > 5, n(1 - p) = 100*0.93 = 93 >5, n>20, то заменим биноминальный закон нормальным с = n*p = 7,

= = 2.55

Тогда,

а) P(x=10) = P(9.5 < x < 10.5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

7 9,5 10,5

рис. 20

Найдем значения Z стандартного нормального закона:

Этому значению Z1 соответствует область 0.3365,

Значению Z2 = 1.37 соответствует область 0.4147.

Искомая вероятность:

P(x=10) = 0.4147 - 0.3365 = 0.078

б) P(x5) = P(x 4.5)

4.5 7

рис.21

Область 0.3365, следовательно:

P(x5) = 0.3365 + 0.5 = 0.8365

в) В данном случае "успех" будет ассоциироваться с выбором работающего, следовательно, вероятность успеха здесь P = 0.93 и тогда = n*p = 93, - тоже самое.

P(x85) = P(x < 85.5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

85.5 93

рис. 22

Область - 0.4984

Тогда,

P(x85) = 0.5 - 0.4984 = 0.0016

г) Здесь уже снова вероятность успеха - 0.07.

P(x<4) = P(x < 3.5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.5 7

рис. 23

Область - 0.4147

P(x<4) = 0.5 - 0.4147 = 0.085

Нормальный закон распределения, как отмечалось выше, является предельным для многих законов распределения случайных величин. В частности, при больших значениях нормальным законом можно аппроксимировать закон распределения Пуассона, а также в некоторых случаях гипергеометрическое распределение.

VI. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

№ 1. Из 5 разных букв выбрано случайно 2. Сколько возможно вариантов:

а) 20

б) 7

с) 5!

г) 10

д) 22

№ 2. Вероятность события А равна 0,25, вероятность противоположного события:

а) не может быть определена

б) может быть любой от 0 до 1

в) должна быть 0,75

г) 0,25

д) все ответы неверны

№ 3. Выбрано 3 студента. Они подразделяются по полу. Сколько возможно исходов:

а) 2

б) 4

в) 6

г) 8

д) все ответы неверны

№ 4. Хоккейная команда должна сыграть 2 игры. Исход каждой игры: победа, поражение, ничья. Количество исходов:

а) 2

б) 4

в) 6

г) 8

д) все ответы неверны

№ 5. Т.к. солнце должно всходить завтра, какова вероятность, что солнце завтра взойдет:

а) больше 1

б) 0

в) любая

г) от 0 до 1

д) все ответы неверны

№ 6. Если два события независимы, то:

а) они должны быть противоположными

б) их сумма вероятностей равна 1

в) их пересечение пусто

г) все ответы правильны

д) все ответы неверны

№ 7. Теорема Байеса используется для определения:

а) первоначальной вероятности

б) объединения событий

в) и а) и б)

г) вероятности после опыта

д) все ответы неверны

№ 8. Пересечение двух противоположных событий:

а) любое значение между 0 и 1

б) равно 1

в) равно 0

г) любое положительное число

д) все ответы неверны

№ 9. Что из нижеперечисленного всегда имеет место:

а) -1?P(E)?1

б) Р(А)=1-Р(В)

в) Р(А)+Р(В)=1

г) и б) и в)

д) все ответы неверны

№ 10. События А и В несовместны, но их вероятности ненулевые. Если событие А происходит, то вероятность появления В:

а) 1

б) любое положительное число

в) 0

г) между 0 и 1

д) все ответы неверны

№ 11. Вероятность снегопада 0,3. Вероятность мороза 0,5. Вероятность, что будет снег и мороз 0,15. События «снег» и «мороз» независимы?

а) только в том случае, когда снегопад

б) нет

в) да

г) условно взаимосвязаны

д) все ответы неверны

№ 12. Что справедливо:

а) для каждого исхода P?1

б) Р(А)=Р(В)-1

в) если всего K исходов, то УPi=1,2,..., K.

г) и б) и в)

д) все неправильно

№ 13. Монета подброшена 4 раза и все четыре раза выпал герб. Какова вероятность выпадения герба в 5-ый раз:

а) 0

б) 1/32

в) 0,5

г) 0,25

д) все неверно

№ 14. Если Р(А)=0,5, Р(В)=0,5, то Р(А?В):

а) 0

б) 0,25

в) 1

г) 0,5

д) недостаточно информации для определения

№ 15. Если А и В независимые события Р(А)=0,4; Р(В)=0,6, то Р(А?В):

а) 0,76

б) 1

в) 0,24

г) 0,2

д) все ответы неверны

№ 16. Если А и В независимые события Р(А)=0,2, Р(В)=0,6, то Р(АUB):

а) 0,62

б) 0,12

в) 0,60

г) 0,68

д) 0,8

№ 17. Если А и В независимые события Р(А)=0,05, Р(В)=0,65, то Р(А/В):

а) 0,05

б) 0,0325

в) 0,65

г) 0,8

д) все ответы неверны

№ 18. Если А и В несовместные события Р(А)=0,3, Р(В)=0,5, то Р(А?В):

а) 0,3

б) 0,15

в) 0

г) 0,8

д) все ответы неверны

№ 19. Если А и В несовместные события Р(А)=0,3, Р(В)=0,5, то Р(АUВ):

а) 0

б) 0,15

в) 0,8

г) 0,2

д) 0,65

№ 20. Эксперимент содержит четыре исхода А, В, С, Д; Если Р(А)=0,2, Р(В)=0,3, Р(С)=0,4, то Р(Д):

а) 0,5

б) 0,024

в) 0,100

г) 0,900

д) все ответы неверны

№ 21. Кость брошена 3 раза. Вероятность появления 3-х единиц:

а) 1/3

б) 1/6

в) 1/27

г) 1/216

д) все ответы неверны

№ 22. Вероятность появления события А равна 0,3. Если опыт проведен дважды и событие А не появилось, то в третьем испытании событие А:

а) должно появиться

б) может появиться

в) не может появиться

г) появится с вероятностью 0,6

д) все ответы неверны

№ 23. Монета подброшена шесть раз и все шесть раз выпал герб. В седьмом броске:

а) герб не может появиться

б) появление решки более вероятно

в) появление герба более вероятно

г) должен появиться герб

д) все ответы неверны

№ 24. События А и В в эксперименте несовместны, Р(А)=0,6. Тогда Р(В):

а) не может быть больше 0,4

б) может быть любой от 0 до 1

в) должна быть больше 0,6

г) 0,4

д) все ответы неверны

№ 25. Если Р(А)=0,5, Р(В)=0,6 и Р(А?В)=0,3, то события А и В:

а) несовместны

б) независимы

в) зависимы

г) нет достаточной информации для ответа

д) все ответы неверны

№ 26. Если Р(А)=0,68, Р(В)=0,97 и Р(АUВ)=0,71, то Р(А?В):

а) 0,6596

б) 0,65

в) 1,65

г) 0,94

г) все ответы неверны

№ 27. Пересечение двух несовместных событий

а) любое значение между 0 и 1

б) должно равняться 1

в) должно равняться 0

г) любое положительное значение

д) все ответы выше не верны

№ 28. Два события несовместны, если

а) их пересечение равно 1

б) они не имеют общих точек

в) их пересечение равно 0,5

г) и а) и в) верны

д) все ответы выше не верны

№ 29. Значение вероятности может быть

а) любое положительное число

б) любое число

в) от 0 до 1

г) от -1 до 1

д) все ответы выше не верны

№ 30. Два события А и В являются несовместными. Если событие А появилось, то вероятность появления события В

а) 1

б) между 0 и 1

в) 0

г) любое положительное число

д) нет правильных ответов

№ 31. Лотерея требует использования 3-х урн. В каждой урне содержатся жетоны, пронумерованные от 0 до 9. Выбирается по одному жетону из каждой урны. Число возможных исходов

а) 30

б) 100

в) 729

г) 1000

д) нет верных ответов

№ 32. Из последних 100 посетителей магазина 25 сделали покупку. Если используется классический подход к вычислению вероятности, то какова вероятность, что следующий посетитель сделает покупку

а) 0,25

б) 0,5

в) 1

г) 0,75

д) нет верных ответов

№ 33. События А и В несовместны. Что при этом также справедливо

а) А и В независимы

б) Р (АUB)=P(A)·P(B)

в) Р (АUB)=P(A)+P(B)

г) Р (А?B)=P(A)·P(B)

д) нет верных ответов

№ 34. Если А и В несовместны, и Р(А)=0,6. Тогда Р(В)

а) 0,4

б) не больше, чем 0,4

в) любая между 0 и 1

г) не может быть определена

д) нет правильных ответов

№ 35. Если Р(А)=0,85, Р(АUB)=0,66, Р (А?B)=0,72, то Р(В)

а) 0,15

б) 0,53

в) 0,28

г) 0,65

д) нет правильных ответов

№ 36. Выпускник вуза отправил свое резюме для устройства на работу в две компании А и В. Вероятность положительного решения в А - 0.4, вероятность в В - 0.3. Какова вероятность

а) положительное решение от обеих компаний

б) положительное решение по крайней мере от одной компании

в) нет положительных ответов

г) положительное решение от В, отрицательное от С.

№ 37. Было остановлено 500 водителей. 300 из них младше 30 лет. 250 водителей было под влиянием алкоголя. Из водителей младше 30 лет 200 были под влиянием алкоголя. Пусть А -событие, что водитель был под влиянием алкоголя; У - событие, что водитель моложе 30.

а) найти Р(А) и Р(У)

б) найти вероятность, что водитель моложе 30 лет и трезвый

в) водитель старше 30 лет. Какова вероятность, что он употреблял алкоголь.

г) водитель моложе 30 лет. Какова вероятность. Что он под влиянием алкоголя.

№ 38. 5600 жителей маленького города были опрошены на предмет строительства нового моста. Результаты приведены:

	Мужчины	Женщины
За	1400	280
Против	840	3080

а) какова вероятность, что случайно выбранный житель мужчина и за строительство?

б) какова вероятность, что случайно выбранный мужчина.

в) случайно выбранным оказалась женщина. Какова вероятность, что она проголосовала за.

г) какова вероятность, что случайно выбранный оказался либо мужчиной, либо проголосовавшим за.

№ 39. В фирме работает 15000 человек. 62% - мужчины, 23% получают более $30000 в год. 18% - мужчины, получающие более 30000 в год. Наугад выбран сотрудник

а) какова вероятность, что это мужчина, получающий более 30000?

б) какова вероятность, что это мужчина или получающий более 30000?

в) выбран мужчина. Какова вероятность, что он получает более 30000?

г) какова вероятность, что это женщина, получающая более 30000?

№ 40. Количество студентов, обучающихся на разных программах бакалавров и магистров приведено ниже

	Бакалавры	Магистры
Бизнес	150	50
Инженер	150	25
Наука	100	25

Наугад выбран студент

а) какова вероятность, что это бакалавр?

б) выбран бакалавр. Какова вероятность, что он обучается бизнесу?

в) какова вероятность, что студент является магистром, изучающим науки.

г) какова вероятность, что студент либо магистр, либо изучает бизнес.

№ 41. Дана следующая информация о событиях А, В, С и Д

Р(А)=0.4 Р(АUД)=0.6 Р(А?С)=0.04

Р(В)=0.2 Р(А/В)=0.3

Р(С)=0.1 Р(А?Д)=0.03

а) найти Р(Д)

б) найти Р(А?В)

в) найти Р(А/С)

г) события А и В - независимы?

№ 42. На встрече выпускников САФ присутствует 200 человек

	Мужчины	Женщины
В браке	20	30
Одинокие	100	50

Случайно выбирается один

а) какова вероятность, что это женщина?

б) какова вероятность, что это женатый мужчина.

в) выбрали мужчину. Какова вероятность, что он женатый?

г) какова вероятность, что это замужняя женщина?

№ 43. 60% студентов САФ - девушки. Из них 15% учится на отлично. Из юношей на отлично учится 10%. Из отличников одного надо послать на олимпиаду по менеджменту. Какова вероятность, что это юноша?

№ 44. Продукт выпускается 2 фирмами А и В, причем, доля рынка А - 65%, доля рынка В - 35%. 10% продуктов фирмы А бракованы, 8% продуктов фирмы В бракованы. Взят наугад один продукт и он оказался без дефектов. Какова вероятность. что он изготовлен на фирме А?

№ 45. 30% студентов САФ не являются жителями Иркутска. Их успеваемость за последнюю сессию составила 70%. Из иркутян успеваемость 60%. Какова вероятность, что встреченный студент, сдавший сессию без двоек, оказался иркутянином?

№ 46. 40% информации студент получает от преподавателя, остальную из учебников. Тесты, даваемые преподавателем, составляют - 10%, тесты из учебников составляют 20%. Студент выполнил тест. Какова вероятность, что это тест из учебника?

№ 47. Студенты составили бизнес-план и хотят его предложить одной из 2-фирм А и В. Вероятность, что проект примет А - 0.4, вероятность, что примет фирма В - 0.6. Известно, что 60% новых проектов в А приносят прибыль, 30% новых проектов в В также приносят прибыль. Проект принес прибыль. Какова вероятность, что бизнес-план передан в фирму А.

№ 48. В городе 2 автосервиса. Первому принадлежит 40% всей доли, второму - 60%. Вероятность, что в первом сервисе вам сделали качественный ремонт - 0.8, во втором - 0.75. Вы отдали автомобиль для ремонта и он оказался качественным, какова вероятность, что ремонт был сделан в первом автосервисе?

№ 49. Из 250 студентов САФ 50 проживают в общежитии. 10% студентов, проживающих в общежитии опаздывают на занятия. 20% проживающих не в общежитии также опаздывают. Студент опоздал. Какова вероятность, что этот студент из общежития?

№ 50. Практика показывает, что 7% накладных оформляются неправильно. Наугад отобраны 20. Какова вероятность. что как минимум 3 оформлены неправильно?

№ 51. Фирма решила начать продажу своих акций. Известно, что 80% брокеров посоветовали своим клиентам купить эти акции. Наугад отобраны 6 брокеров. Найти вероятность, что по крайней мере четверо предложили клиентам купить эти акции.

№ 52. В среднем 2 станка в течение часа выходят из строя. Для устранения неполадок на заводе работает специальный инженер, однако ему приходится вызывать ассистента, если происходит более 2-х поломок в час. Как часто в среднем потребуется помощь ассистента в течение 120 часов.

№ 53. 60% студентов университета девушки. Случайно выбрано 10 студентов. Какова вероятность, что не меньше 7 - девушки?

№ 54. Фирма выпускает товар, 10% которого брак. Товар поступает заказчику партиями. Заказчик проверяет 12 наугад выбранных единиц товара и, если в нем брака не больше 1, то партия принимается. Какова вероятность, что партия будет принята? Сколько (примерно) из 100 партий будет возвращено обратно?

№ 55. 90% жителей Иркутска добираются до работы на общественном транспорте. В фирме 11 сотрудников. Какова вероятность, что не менее 9 из них пользуются общественным транспортом? (Фирма расположена в Иркутске).

№ 56. 95% населения России осуждают США за агрессию в Ираке. Какова вероятность, что среди аспирантов Сибирско-Американского факультете (их 10) не более 20% считают, что США действует правильно?

№ 57. 80% студентов САФ успешно сдает тест TOEFL после двух лет обучения. 12 студентов проходят практику (а она после 2 курса) в туристических компаниях. Какова вероятность, что в группе не менее 10, сдавших тест.

№ 58. 10% студентов ИГУ умеют играть на гитаре. Отбирается группа в 20 человек для поездки в Германию. Какова вероятность, что не 5 из них умеют играть на гитаре?

№ 59. В среднем за 15 минут на автозаправку прибывает 10 автомобилей. Какова вероятность, что в течение 3-х минут на заправку приедут не менее 4-х машин?

№ 60. В среднем происходит один телефонный звонок в ИГУ за 2 минут. Какова вероятность, что за 5 минут будет не менее 6 звонков?

№ 61. В среднем учебник по бизнес-статистике в библиотеке САФ спрашивается 5 раз за 2 дня. Какова вероятность, что в течение одного дня учебник спрашивали не более 1 раза?

№ 62. За 1 час в среднем происходит 2 автоаварии. Какова вероятность, что в течение с 10 до 14 часов будет не более 2-х аварий?

№ 63. Нотариус обслуживает в среднем 3-х клиентов за 1 час. Какова вероятность, что в течение 2-х часов будет обслужено не больше 1 клиента?

№ 64. На каждом курсе САФ студенты разбиты на 2 группы. В среднем успеваемость каждой группы 80%. (В группе считается 25 человек). Какова вероятность, что на 2-ом курсе сдадут сессию без двоек ровно 46 человек.

№ 65. В среднем учебная нагрузка преподавателя САФ составляет 12 часов в неделю. Каков процент преподавателей имеет нагрузку более 4-х часов в день. Если в неделе 6 дней?

№ 66. Из 28 студентов второго курса САФ, сдавших тест TOEFL, выбрана группа в 7 человек. Какова вероятность, что в группе будет 3 юноши. Если число юношей, сдавших тест, 14 человек?

№ 67. В игре в покер сдается по 5 карт. Какова вероятность получения игроком 2 тузов, если в колоде 52 карты?

№ 68. Из 12 шаров, находящихся в урне, выбирается 6. Какова вероятность, что среди них будет ровно 2 красных. Если в урне 5 красных шаров?

№ 69. В 10-томном собрании сочинений А.С. Пушкина 3 тома содержат только стихотворения. Выбирается 6 томов. Какова вероятность. что среди них 2 будут только со стихотворениями?

№ 70. Из 16 шахматных фигур одного цвета наугад выбираются 4. Какова вероятность, что среди них есть одна ладья?

№ 71. Из 10 домашних матчей «Сибскана» проиграла в двух. Выбрано 5 матчей для показа по телевидению. Какова вероятность, что один раз будет показан проигранный матч?

№ 72. Среди 12 студентов, работающих в компьютерном классе, 5 студентов 2 курса. Неожиданно сломалось 4 компьютера. Какова вероятность, что 3 студента 2 курса смогут продолжить работу?

№ 73. Среди более чем 20000 учебников в библиотеке САФ 3% учебники по математике. В течение недели выдано 150 учебников. Какова вероятность, что среди выданных учебников 5 по математике?

№ 74. В течение последнего хоккейного сезона посещаемость матчей в Иркутске составляла 20000 болельщиков, среди них 200 - женщины. 500 болельщиков приходило на стадион за 2 часа до начала игры, чтобы занять места. Какова вероятность. что среди них будет ровно 2 женщины?

№ 75. 2% производимой продукции не соответствуют стандартам. Если в партии из 200 деталей обнаружится более 3-х нестандартных, то партия не принимается заказчиком. Какова вероятность, что партия будет принята?

№ 76. В Иркутске 3% населения больны туберкулезом. Какова вероятность, что среди студентов САФ 1 и 2 курса (всего 100 человек) есть один больной?

№ 77. Вероятность опечатки в книге 0,001. В книге 700 страниц. Какова вероятность. что в книге нет опечаток?

№ 78. Производители карманных калькуляторов знают, что 1% проданных калькуляторов имеют дефекты и их надо заменить по гарантии. Аудиторская фирма купила 500 калькуляторов. Какова вероятность, что надо заменить не более 2-х калькуляторов?

№ 79. Из 1000 сторублевых купюр 1 поддельная. Вы продаете автомобиль за 300000 и с Вами рассчитываются сторублевками. Какова вероятность, что 2 будут поддельными?

№ 80. Что не относится к функции распределения вероятности дискретной случайной величины:

а) f(x)?0

б) Уf(x)=1

в) Уf(x)=0

г) и а) и б)

д) все ответы неверны

№ 81. Спрос на товар и вероятностное распределение дано таблицей:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Прогнозируемый спрос:

а) 1

б) 2,2

в) 2 - т.к. имеет наибольшую вероятность

г) 4 - т.к. наибольший уровень спроса

д) 0

№ 82. Спрос на товар и вероятностное распределение дано таблицей:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Какова вероятность покупки по крайней мере двух единиц:

а) 0,7

б) 0,6

в) 0,3

г) 0,4

№ 83. 60% студентов - девушки. Выбрано 8 студентов. Какова вероятность, что 2 из них девушки:

а) 0,0896

б) 0,2936

в) 0,0413

г) 0,0007

д) все ответы неверны

№ 84. 60% студентов - девушки. Выбрано 8 студентов. Какова вероятность, что по крайней мере 7 из них - девушки:

а) 0,1064

б) 0,0896

в) 0,0168

г) 0,8936

д) все ответы неверны

№ 85. 60% студентов - юноши. Выбрано 8 студентов. Какова вероятность, что по крайней мере 6 из них - девушки:

а) 0,0413

б) 0,0079

в) 0,0007

г) 0,0499

д) все ответы неверны

№ 86. Вероятность обслуживания количества клиентов приведена в таблице:

Х	0	1	2	3	4	5	6
Р	0,05	0,1	0,15	0,35	0,2	0,1	0,05

Ожидаемое количество обслуживаемых клиентов:

а) 6

б) 0

в) 3,05

г) 21

д) больше 6

№ 87. Вероятность покупки определенного количества товаров приведена в таблице:

Х	0	1	2	3	4	5	6
Р	0,05	0,1	0,15	0,35	0,2	0,1	0,05

Стандартное отклонение равно:

а) 1,431

б) 2,047

в) 3,05

г) 21

д) больше 6

№ 88. 40% сотрудников фирмы - женщины. Выбрано 5 сотрудников. Вероятность, что среди них 2 женщины:

а) 0,0778

б) 0,7780

в) 0,5

г) 0,3456

д) все ответы неверны

№ 89. 40% сотрудников фирмы - женщины. Выбрано 5. Вероятность, что среди них нет женщин:

а) 0,0778

б) 0,7780

в) 0,5

г) 0,3456

д) все ответы неверны

№ 90. 4% сотрудников БИБММ старше 60 лет. Выбрано 5. Какова вероятность, что среди них 2 старше 60:

а) 0,2592

б) 0,0142

в) 0,9588

г) 0,0397

д) 0

№ 91. Из 100 выпускников университета 20% планируют поступить в аспирантуру. Стандартное отклонение этого биномиального распределения:

а) 20

б) 16

в) 4

г) 2

д) 8

№ 92. Что из следующего о дискретной случайной величине и ее распределении вероятности справедливо:

а) значение случайной величины неотрицательны

б) значение f(x) должны быть не меньше 0

в) f(x) принимает наибольшее значение в срединной точке

г) и б) и в)

д) все ответы неверны

№ 93. Что не характерно для биномиального закона распределения:

а) эксперимент состоит из n идентичных испытаний

б) в каждом испытании возможно только два исхода

в) испытания независимы

г) вероятности исходов одни и те же

д) все ответы неверны

№ 94. Что характерно для биномиального закона распределения:

а) имеется по крайней мере 2 исхода

б) вероятность меняется от испытания к испытанию

в) испытания независимы

г) все ответы правильны

д) и а) и в)

№ 95. В биномиальном законе:

а) вероятность не меняется от испытания к испытанию

б) вероятность меняется от испытания к испытанию

в) испытания связаны друг с другом

г) и а) и в)

д) все ответы неверны

№ 96. Что не является свойством биномиального закона:

а) эксперимент состоит из n идентичных испытаний

б) каждый исход может быть либо успех, либо неуспех.

в) вероятности исходов могут изменяться

г) испытания зависимы

д) и в) и г)

№ 97. Стандартное отклонение биномиального закона:

а) nP(1-n)

б) P(1-P)

в) nP

г) nP(1-P)

д) все ответы неверны

№ 98. Математическое ожидание биномиального закона:

a) P·n(1-n)

б) P(1-P)

в) nP

г) nP(1-P)

д) все ответы неверны

№ 99. Дисперсия биномиального закона:

а) P(1-P)

б) nP

в) n(1-P)

г) nP(1-P)

д) все ответы неверны

№ 100. 2% всех изделий бракованы. Выбрано 5. Вероятность, что имеется 2 бракованных изделия:

а) 0,0004

б) 0,0038

в) 0,1000

г) 0,0201

д) 0,0315

№ 101. Разница между биномиальным законом и гипергеометрическим в том, что:

а) вероятность успеха может быть меньше 0,5

б) вероятность успеха меняется от испытания к испытанию

в) имеется только два исхода

г) случайная величина непрерывна

д) все ответы неверны

№ 102. Вероятность успеха равна 0,06. Закон распределения биномиальный. Какова вероятность двух успехов в семи испытаниях:

а) 0,0036

б) 0,06

в) 0,0554

г) 0,28

д) 0,0357

№ 103. х - случайная величина с функцией распределения вероятностей:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

для =1,2 или 3. Математическое ожидание:

а) 0,333

б) 0,500

в) 2,000

г) 2,333

д) все ответы неверны

№ 104. Для непрерывной случайной величины вероятность, что случайная величина примет конкретное значение равна:

а) 1

б) между 0 и 1

в) 0,5

г) 0

д) все ответы неверны

№ 105. Для стандартного нормального закона область слева от среднего значения равна:

а) -0,5

б) 0,5

в) любое число между 0 и 1

г) 0

д) все ответы неверны

№ 106. Что не является характеристикой нормального закона:

а) среднее и медиана равны

б) среднее может быть положительным, отрицательным и нулевым

в) распределение симметрично

г) стандартное отклонение всегда равно 1

д) все ответы неверны

№ 107. В стандартном нормальном распределении, значение Z:

а) от минус бесконечности до плюс бесконечности

б) от -1 до +1

в) от 0 до 1

г) от -3,09 до +3,09

д) все ответы неверны

№ 108. Функция, определяющая распределение вероятности для непрерывной случайной величины:

а) нормальная функция

б) равномерная функция

в) и а) и б)

г) функция плотности вероятности

д) все ответы неверны

№ 109. В случае, когда непрерывное вероятностное распределение аппроксимирует дискретное вероятностное распределение:

а) значение 0,5 прибавляется или вычитается из области

б) значение 0,5 прибавляется к значению х

в) значение 0,5 вычитается из значения х

г) значение 0,5 прибавляется или вычитается из значения х

д) все ответы неверны

№ 110. Большее значение стандартного отклонения делает кривую нормального закона:

а) сдвинутой вправо

б) сдвинутой влево

в) уже и более высокой

г) шире и более сплющенной

д) все ответы неверны

№ 111. Что не является характеристикой нормального закона:

а) симметрия

б) область под кривой (площадь) равна 1

в) 99,7% всех значений находятся на расстоянии плюс или минус одного стандартного отклонения от центра

г) среднее и медиана совпадают

д) все ответы неверны

№ 112. Для нормального закона отрицательное значение Z означает:

а) ошибку вычисления

б) соответствующая область отрицательна

в) Z находится левее центра

г) и б) и в)

д) все ответы неверны

№ 113. Среднее стандартного нормального закона:

а) равно 1

б) любое число

в) любое положительное число

г) любое между -1 и +1

д) все ответы неверны

№ 114. Стандартное отклонение нормального закона:

а) любое неотрицательное число

б) 1

в) любое число

г) 0

д) все ответы неверны

№ 115. Стандартное отклонение нормального закона в стандартном виде:

а) любое неотрицательное число

б) 1

в) любое число

г) 0

д) все ответы неверны

№ 116. Нормальный закон распределения:

а) непрерывное распределение вероятности

б) дискретное распределение вероятности

в) и а) и б)

г) имеет стандартное отклонение 1

д) и а) и г)

№ 117. Если центр нормального распределения отрицателен:

а) стандартное отклонение отрицательно

б) дисперсия отрицательна

в) ошибка в расчетах

г) стандартное отклонение 0

д) все ответы неверны

№ 118. Для стандартного нормального закона вероятность Z?0:

а) 0

б) -0,5

в) 0,5

г) 1

д) все ответы неверны

№ 119. Наивысшая точка на кривой нормального закона:

а) на расстоянии одного стандартного отклонения от среднего

б) на расстоянии двух стандартных отклонений от среднего

в) в точке среднего

г) в точке медианы

д) и в) и г)

№ 120. Х распределена непрерывно между 70 и 90. Вероятность, что х находится между 80 и 95:

а) 0,75

б) 0,5

в) 0,05

г) 1

д) все ответы неверны

№ 121. Z - переменная стандартного нормального закона:

Р(-1,96?Z?-1,4)

а) 0,8942

б) 0,0558

в) 0,475

г) 0,4192

д) все ответы неверны

№ 122. Время сборки деталей равномерно распределено в интервале от 6 до 10 мин. Функция плотности вероятности на этом интервале равна:

а) 0,25

б) 4,00

в) 5,00

г) 0

д) все ответы неверны

№ 123. Время сборки деталей равномерно распределено в интервале от 6 до 10 мин. Вероятность сборки между 7 и 9 мин. равна:

а) 0

б) 0,5

в) 0,2

г) 1

д) все ответы неверны

№ 124. Время сборки деталей равномерно распределено в интервале от 6 до 10 мин. Вероятность сборки меньше 6 мин. равна:

а) 0,5

б) 0

в) 0,15

г) 1

д) все ответы неверны

№ 125. Время сборки деталей равномерно распределено в интервале от 6 до 10 мин. Вероятность сборки больше чем за 7 мин. равна:

а) 0,25

б) 0,75

в) 0

г) 1

д) все ответы неверны

№ 126. Время сборки деталей равномерно распределено в интервале от 6 до 10 мин. Среднее время сборки (в мин.):

а) 16

б) 2

в) 8

г) 4

д) все ответы неверны

№ 127. Стандартное нормальное распределение есть нормальное распределение:

а) с м=1, д=0

б) с м=0, д=1

в) м - любое, д=1

г) м и д - любые

д) все ответы неверны

№ 128. Z - стандартная нормальная переменная Р(1,20<Z<1,85):

а) 0,4678

б) 0,3849

в) 0,8527

г) 0,0829

д) все ответы неверны

№ 129. Z - стандартная нормальная переменная Р(-1,20<Z<1,50):

а) 0,0483

б) 0,3849

в) 0,4332

г) 0,8181

д) все ответы неверны

№ 130. Вес хоккеистов имеет нормальное распределение с м=200 фунтов и д=25. Вероятность, что хоккеист весит более чем 241,25 фунтов:

а) 0,4505

б) 0,0495

в) 0,9505

г) 0,9010

д) все ответы неверны

№ 131. Вес хоккеистов имеет нормальное распределение с м=200 фунтов и д=25. Вероятность, что хоккеист весит 250 фунтов:

а) 0,4772

б) 0,9772

в) 0,0528

г) 0,5

д) все ответы неверны

№ 132. Вес хоккеистов имеет нормальное распределение с м=200 фунтов и д=25. Какой процент хоккеистов имеет вес между 180 и 220:

а) 34,13%

б) 0,6826%

в) 68,24%

г) 34,13%

д) все ответы неверны

№ 133. 15% студентов в понедельник отсутствовало. К декану приглашено 12 студентов. Какова вероятность, что из них 4 отсутствовало:

а) 0,0683

б) 0,0213

в) 0,0021

г) 0,1329

д) все ответы неверны

№ 134. 15% студентов отсутствовало в понедельник. 12 студентов должны были писать контрольную. Какова вероятность, что по крайней мере 6 не писало контрольную:

а) 0,0040

б) 0,0968

в) 0,0001

г) 0,9960

д) все ответы неверны

№ 135. Z - стандартная нормальная переменная Р(1,41<Z<2,85):

а) 0,4772

б) 0,3413

в) 0,8285

г) 0,1359

д) все ответы неверны

№ 136. Х - нормально распределенная переменная с м=8, д=4.

Р(1,48<х<15,56):

а) 0,0222

б) 0,4190

в) 0,5222

г) 0,9190

д) все ответы неверны

№ 137. Х - нормально распределенная переменная с м=5, д=4. P(x?10,52):

а) 0,0029

б) 0,8380

в) 0,4971

г) 0,0971

д) все ответы неверны

№ 138. Х - нормально распределенная переменная с м=22, д=5. Р(x<9,7):

а) 0,4931

б) 0,0069

в) 0,9931

г) 0,0138

д) все ответы неверны

№ 139. 20% покупателей в американских магазинах платят наличными. Посетило магазин 121 покупатель. Вероятность, что 33 или меньше покупателей расплатились наличными:

а) 0,0174

б) 0,4826

в) 0,9772

г) 0,9826

д) все ответы неверны

№ 140. 10% пассажиров электричек покупают абонементы. В электричке ехало 144 пассажира. Вероятность, что абонементы были более чем у 22:

а) 0,0174

б) 0,0244

в) 0,4756

г) 0,9756

д) все ответы неверны

№ 141. Время пути от дома до университета равномерно распределено между 40 мин. И 1,5 часа. Вероятность, что студент доедет меньше, чем за 80 мин.:

а) 0,02

б) 0,8

в) 0,2

г) 1

д) все ответы неверны

№ 142. Время пути от дома до университета равномерно распределено между 40 мин. и 1,5 часа. Вероятность, что студент будет ехать более 1 часа:

а) 1

б) 0,4

в) 0,02

г) 0,6

д) все ответы неверны

№ 143. Начальная зарплата выпускников магистерских программ нормально распределена с м=40000 и д=5000. Вероятность, что данный выпускник имеет зарплату как минимум 30000:

а) 0, 4772

б) 0,9772

в) 0,278

г) 0,0228

д) все ответы верны

№ 144. Начальная зарплата выпускников магистерских программ нормально распределена с м=40000 и д=5000. Вероятность, что данный выпускник имеет зарплату не меньше 47500:

а) 0,4332

б) 0,9332

в) 0,0668

г) 0,5000

д) все ответы неверны

№ 145. Начальная зарплата выпускников магистерских программ нормально распределена с м=40000 и д=5000. Сколько процентов выпускников имеют зарплату от 34000 до 46000:

а) 38,49%

б) 38,59%

в) 50%

г) 76,98%

д) все ответы неверны

№ 146. Х - нормально распределенная переменная с м=8, д=2. Р(x>10):

а) 0,3413

б) 0,8413

в) 0,1587

г) 0,5

д) все ответы неверны

№ 147. Х - нормально распределенная переменная с м=8, д=2. Р(11<x<12):

а) 0,4772

б) 0,4332

в) 0,9104

г) 0,0440

д) все ответы неверны

№ 148. Вес деталей имеет нормальное распределение с м=8 кг., д=2. Сколько процентов деталей весит более 11,7 кг.:

а) 46,78%

б) 96,78%

в) 3,22%

г) 53,22%

д) все ответы неверны

№ 149. Вес деталей имеет нормальное распределение с м=8 кг., д=2. Сколько процентов деталей имеет вес между 6,4 и 8,9 кг.:

а) 11,45%

б) 28,81%

в) 17,36%

г) 46,17%

д) все ответы неверны

№ 150. Z - стандартная нормальная переменная. Каково значение Z, если область справа от Z равна 0,1112:

а) 0,3888

б) 1,22

в) 2,22

г) 1,37

д) все ответы неверны

№ 151. Z - нормально распределенная переменная. Какое значение Z, если область между -Z и Z равна 0,754:

а) 0,377

б) 0,123

в) 2,16

г) 1,16

д) все ответы неверны

№ 152. Z - нормально распределенная переменная. Какое значение Z, если область справа от Z равна 0,9803:

а) -2,06

б) 0,4806

в) 0,0997

г) 3,06

д) все ответы неверны

№ 153. Z - нормально распределенная переменная. Какое значение Z, если область между -Z и Z равна 0,796:

а) 1,43

б) 2,33

в) 1,27

г) 0,255

д) все ответы неверны

№ 154. Z - нормально распределенная переменная. Какое значение Z, если область между -Z и Z равна 0,7062:

а) 1,15

б) 1,05

в) 0,375

г) 1,26

д) все ответы неверны

№ 155. Z - нормально распределенная переменная. Какое значение Z, если область справа от Z равна 0,2946:

а) 0,67

б) 0,82

в) 0,54

г) 0,823

д) все ответы неверны

№ 156. Z - нормально распределенная переменная. Какое значение Z, если область слева от Z равна 0,7224:

а) 0,63

б) 0,59

в) -0,59

г) -0,63

д) все ответы неверны

№ 157. Z - нормально распределенная переменная. Какое значение Z, если область слева от Z равна 0,1515:

а) 1,03

б) -1,03

в) 0,39

г) -0,39

д) все ответы неверны

Размещено на Allbest.ru