Понятие многочленов

Задача 11

Найдите многочлен второй степени f (x), если, f (1) =1, f (2) =2, f (3) =5.

Решение. Многочлен второй степени имеет вид f (x) =ax2+bx+c. Вычислив f (1), f (2), f (3), получим

Решив эту систему, найдем: a=1, b=-2, c=2, т.е. f (x) =x2-2x+2.

Задача 12

Даны многочлены f (x) =x3-2x2+3 и g (x) =x2-x+2. Найдите f (g (1)).

Решение.

Вычислим сначала g (1) =12-1+2=2. Тогда f (g (1)) =f (2) =23-2?22+3=3.

Задача 13

Даны многочлены f (x) и g (x), причем ст. (f (x) g (x)) =5 и ст. (f (x) +g (x)) =3. Найдите ст. f (x) и ст. g (x).

Решение.

Из условий задачи следует, что ст. f (x) +ст. g (x) =5. Значит, возможны следующие случаи:

ст. f (x) =0, ст. g (x) =5;

ст. f (x) =1, ст. g (x) =4;

ст. f (x) =2, ст. g (x) =3;

ст. f (x) =3, ст. g (x) =2;

ст. f (x) =4, ст. g (x) =1;

ст. f (x) =5, ст. g (x) =0.

Если допустить, что ст. f (x) =0, ст. g (x) =5, то легко заметить, что ст. (f (x) +g (x)) =5. Значит, случай 1 невозможен. Аналогично и в случаях 2, 5,6. Таким образом, либо ст. f (x) =2 и ст. g (x) =0, или наоборот.

Задача 14

Укажите такой многочлен f (x), для которого числа - 1, 2, 3, 5 являются корнями.

Решение.

f (x) = (x+1) (x-2) (x-3) (x-5).

Задача 15

Укажите такой многочлен f (x), который при x=1, 2, 3, 4, 5 принимает значение, равное 7.

Решение.

f (x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) +7.

Задача 16

Найдите f (g (x)), g (f (x)) и f (f (x)), если f (x) =2x-1, а g (x) =x3+2x+3.

Решение.

f (g (x)) =2 (x3+2x+3) - 1; g (f (x)) = (2x-1) 3+2 (2x-1) +3; f (f (x) =2 (2x-1) - 1.

Задача 17

Докажите, что cos 200 является иррациональным числом.

Решение.

Воспользуемся известной формулой cos3?=4cos3?-3cos?. Отсюда cos600=4cos3200-3cos200. Учитывая, что cos600=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8cos3200-6cos200-1=0. Следовательно, cos200 является корнем многочлена f (x) =8x3-6x-1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень cos200 не является рациональным числом, т.е. cos200 - число иррациональное.

Задача 18

Докажите, что уравнение x4-3x3y=y4 не имеет решений в целых числах, отличных от нуля.

Решение.

Допустим, что уравнение имеет решение в целых числах x=a, y=b, отличных от нуля, т.е. a4-3a3b=b4. Так как b?0, то разделим обе части полученного равенства на b4. Тогда (a/b) 4-3 (a/b) - 1=0. Таким образом, a/b - рациональный корень многочлена f (t) =t4-3t3-1. Но, как легко убедиться, f (t) рациональных корней не имеет. Получили противоречие, а значит, наше допущение неверно.

Задача 19

Даны f=2x 1 x 23+x23+x12 и g=x1 x2+2x1+x1 x22-3x22.

1.Найти сумму f+g и упорядочить ее лексиографическиж записать f,g в виде ссуммы однородных компонентов.

2. найти высшие члены и степениf+g

3. Упорядочить лексигрофически и произведение

Решение:

1. f=(2x1 x22+x23)+x12 f-сумма2 однородных компонентов 3-й степени и оного компонента 2-й степени т.е сумма степени одна и таже

g=x1 x2+2x1+(x1 x22-3x22)

f+g=2x1 x22+x1 x2+2x1 +x1 x22+x23 -3x22+x12=x12+3x1 x22+x1 x2+2x1+x23-3x2

2. вычислить член в лексиграфической записи стоит первый

x12

deg(f+g)={2+0;1+2;1+1;1+0;0+3;0+2}=3

3. f*g=x13 x22+x13 x2+2x13-3x12 x23+2x12 x24+2x12 x23+4x12 x22-6x1 x25+x1 x25+2x1 x23-3x26+x1 x24=x13 x22+x13 x2+2x13-x12 x23+2x12 x24+4x12 x22-5x1 x25+x1 x24+2x1 x23-3x26=x13 x22+x13 x2+2x13+2x12 x24-x12 x23+x12 x22-5x1 x25+x1 x24+2x1 x23-3x26

deg(f*g)=max{3+2;3+1;3+0;2+4;2+3;2+2;1+5;1+4;1+3;0+6}=6 или degf+degg=3+3=6

Задача 20

Представьть многочлен f=4x13 x2 x32+3x1 x22 x32-x12 x2 x33+2x1 x23 x3 -3x13 x22 x3+2x13 x2 x33+8x1 x3-5x1 x2+2x3-17

1.Ввиде ссуммы однородных компонентов

2. Лексиографической записью

3. Как многочлен от x3

Решение:

1. (4x13 x2 x32-x12 x2 x33-3x13 x22 x3) 6-й степени

3x1 x22 x32+2x1 x23 x3 5-й степени

2x13 x 2x33 7-й степени

8x1 x3-5x1 x2 2-й степени

2x3 1-й степени

-17 0-й степени

2. -3x13 x22 x3+2x13 x2 x33+4x13 x2 x32-x12 x 2x33+2x1 x 23x3+3x1 x22 x32-5x1 x2+8x1 x3+2x3-17

3. (2x13 x2 -x12 x2)x33+(4x13 x2+3x1 x22)x32+(-3x13 x2+2x1 x23+8x1+2)x3-(5x1 x2+17)

Задача 21

Записать симметрический многочлен, который содержит одночлен 3x23 x32 и и имеет минимально возможное количество членов.

Решение:

Рассмотрим подстановки:

X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3

X1 X3 X2 X3 X2 X1 X2 X1 X3 X2 X3 X1 X3 X1 X2

3X33X22 3X23X12 3X13X32 3X12X333X13X22

f=3X33X22 + 3X23X12 + 3X13X32+ 3X12X33 + 3X13X22

Задача 22

Являются ли симметричными многочлены:

f=(х1-х2)(х2-х3)(х3-х1)

g=(x1-x2)2 (x2-x3)2 (x3-x1)2

h=x13+x23+x33-x1 x2 x3

k=x1 x2+x3 x4

Решение:

Многочлен f(x1,x2,…xn) пренадлежит К называется симметричным, если он не изменяется при перестановке входящих в него переменных

f (x1,x2,x3)=( х1-х2)(х2-х3)(х3-х1)

f(x3,x2,x1)= (х3-х2)(х2-х1)(х1-х3)=-f(x1,x2,x3) антисимметричный

g(x1,x2,x3)=g (x1,x3,x2)= g (x3,x1,x2)= g (x2,x1,x3)= g (x3,x2,x1)= g (x2,x3,x1) симметрический

h (x1,x2,x3)= h(x1,x3,x2)= h(x3,x1,x2)= h(x2,x1,x3)= h(x3,x2,x1)= h(x2,x3,x1) симметрический

k (x1,x2,x3,x4)? k (x1,x4,x3,x2 )не симметрический



Задача 23

Составить симметрический многочлен от переменных x1,x2,x3 с наименьшим числом одночлена x1 3x2

Решение:

x1 3x2+ x1 x2 3+ x1 3x2+ x1 3x3+ x1 x33+ x2 3x3

Задача 24

Выразить через элементарные симметрические многочлены

F=(x1-x2)2 (x2-x3)2 (x3-x1)2

Решение:

f=(x1-x2)2 (x2-x3)2 (x3-x1)2= (x12-2 x1 x2+x22) (x22-2x2 x3+x32) (x32-2x1 x3+x12)

f-однородный degf=6

Таблица. высший член находится как произведение высших членов сомножителей x12*x22*x12=x14 *x22

Система показателей высших членов	Высшие члены	Соответствующая комбинация
4 2 0	x14 x22	?12 ?22
4 1 1	A x14 x2 x3	A ?13 ?3
3 3 0	B x13 x23	B ?23
3 2 1	C x13 x22 x3	C ?1 ?2 ?3
2 2 2	D x12 x22 x32	D ?32

Таблица

X1	X2	X3	?1	?2	?3	f
1	1	1	3	3	1	0
1	1	0	2	1	0	0
1	1	-1	1	-1	-1	0
2	1	1	4	5	2	0



Приложение 2

Задачи о многочленах без решения

Задача 1

Доказать, что многочлен

a1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6y2+a7x4+a8y4+a9x2y2+a10xy3+a11x3y

не является произведением двух многочленов, одного от x, другого от y, если не один из его коэффициентов не равен нулю.

Задача 2

Многочлен с действительными коэффициентами ax2+bx+c, a>0 имеет чисто мнимый корень. Доказать, что его можно представить в виде (Ax+B) 2+ (Cx+D) 2.

Задача 3

Докажите, что многочлен x12-x9+x4-x+1 при всех действительных значениях x положителен.

Задача 4

При каких значениях a и b многочлен x4+ax3+bx2-8x+1 имеет точный квадрат.

Задача 5

Докажите, что если многочлен a0xn+a1xn-1+ … +an, a0?0 при всех действительных значениях х положителен, то он представляется в виде суммы квадратов двух многочленов.

Задача 6

Число с является корнем многочлена

f (x) =anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0. Укажите какой-либо корень многочлена на g (x) =anxn-an-1xn-1+an-2xn-2+ … + (-1) na0.



Задача 7

Пусть многочлен f (x) с целыми коэффициентами принимает значение, равное 5, при пяти различных целых значениях переменной х. докажите, что f (x) не имеет целых корней.

Задача 8

Пусть f (x) - многочлен с целыми коэффициентами и несократимая дробь l/m является его корнем. Докажите, что если: f (0), f (1) - нечетные числа, то m - четное число.

Задача 9

Многочлен f (x) обладает следующим свойством: для некоторой арифметической прогрессии значения х с разностью, отличной от нуля, соответствующее значение многочлена так же образует арифметическую прогрессию.

Докажите, что ст. f (x) ?1.

Задача 10

Найдите степень многочлена f (x), если, f (x) = (a2-4) x3+ (a-2) x2+3.

Задача 11

Найдите многочлен второй степени f (x), если, f (1) =1, f (2) =2, f (3) =5.

Задача 12.

Даны многочлены f (x) =x3-2x2+3 и g (x) =x2-x+2. Найдите f (g (1)).

Задача 13

Даны многочлены f (x) и g (x), причем ст. (f (x) g (x)) =5 и ст. (f (x) +g (x)) =3. Найдите ст. f (x) и ст. g (x).

Задача 14

Укажите такой многочлен f (x), для которого числа - 1, 2, 3, 5 являются корнями.

Задача 15

Укажите такой многочлен f (x), который при x=1, 2, 3, 4, 5 принимает значение, равное 7.



Задача 16

Найдите f (g (x)), g (f (x)) и f (f (x)), если f (x) =2x-1, а g (x) =x3+2x+3.

Задача 17

Докажите, что cos 200 является иррациональным числом.

Задача 18

Докажите, что уравнение x4-3x3y=y4 не имеет решений в целых числах, отличных от нуля.

Задача 19

Даны f=2x 1 x 23+x23+x12 и g=x1 x2+2x1+x1 x22-3x22.

1.Найти сумму f+g и упорядочить ее лексиографический записать f,g в виде суммы однородных компонентов.

2. найти высшие члены и степениf+g

3. Упорядочить лексигрофически и произведение

Задача 20

Представать многочлен f=4x13 x2 x32+3x1 x22 x32-x12 x2 x33+2x1 x23 x3 -3x13 x22 x3+2x13 x2 x33+8x1 x3-5x1 x2+2x3-17

1.Ввиде ссуммы однородных компонентов

2. Лексиографической записью

3. Как многочлен от x3

Задача 21

Записать симметрический многочлен, который содержит одночлен 3x23 x32 и и имеет минимально возможное количество членов.

Задача 22

Являются ли симметричными многочлены:

f=(х1-х2)(х2-х3)(х3-х1)

g=(x1-x2)2 (x2-x3)2 (x3-x1)2

h=x13+x23+x33-x1 x2 x3

k=x1 x2+x3 x4



Задача 23

Составить симметрический многочлен от переменных x1,x2,x3 с наименьшим числом одночлена x1 3x2

Задача 24

Выразить через элементарные симметрические многочлены

F=(x1-x2)2 (x2-x3)2 (x3-x1)2

Задача 25

Решить систему x2+xy+y2=49

x4+x2y2+y4=931



Приложение 3

Тест с ответами

1. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.

2. Иногда многочлен называют полиномом.

3. Если имеется многочлен f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и an?0, то число n называют степенью многочлена f (x)

4. Многочлены нулевой степени - это числа, отличные от нуля.

5. Многочлен второй степени f (x) =ax2+bx+c называется квадратным трехчленом.

6. Многочлен первой степени вида g (x) =x+c называется линейным двучленом.

7. Два многочлена f (x) и g (x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены. В этом случае пишут: f (x) =g (x).

8. Число с называется корнем многочлена f (x), если f (c) =0.

9. Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей, или, короче, ст. (f (x) g (x)) =ст. f (x) +ст. g (x).

10. Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен произведению старших членов (коэффициентов) сомножителей.

11. Суперпозицией многочленов f (x) и g (x) называется многочлен, обозначаемый f (g (x)), который получается если в многочлене f (x) вместо x подставить многочлен g (x).

12. Число различных корней ненулевого многочлена f (x) не больше, чем его степень.

13. Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с.

14. Если несократимая дробь l/m (l,m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член - на 1.

15. симметричные многочлены - многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y.

16. Степень многочлена - наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен (с ненулевым коэффициентом).

17. Многочлен называется однородным, если все его одночлены имеют одну и ту же степень



Приложение 4

Тест без ответов

1. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется _________

2. Иногда многочлен называют ___________

3. Если имеется многочлен f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и an?0, то число n называют _____________________________

4. Многочлены нулевой степени - это числа, отличные от __________

5. Многочлен второй степени f (x) =ax2+bx+c называется ____________ _____________

6. Многочлен первой степени вида g (x) =x+c называется ___________ ____________

7. Два многочлена f (x) и g (x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и________ ________. В этом случае пишут: f (x) =g (x).

8. Число с называется________ __________ ___, если f (c) =0.

9. Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме__________ ______, или, короче, ст. (f (x) g (x)) =ст. f (x) +ст. g (x).

10. Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен ____________ __________ ________ ________________.

11. __________ __________ ____называется многочлен, обозначаемый f (g (x)), который получается если в многочлене f (x) вместо x подставить многочлен g (x).

12. Число различных корней ненулевого многочлена f (x) не больше, чем _____ __________

13. Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, ____________________________________

14. Если несократимая дробь l/m (l,m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на __ , _______________________

15. _________ ____________- многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y.

16. __________ ___________- наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен (с ненулевым коэффициентом).

17. Многочлен называется однородным, если ____

Размещено на Allbest.ru