Розглянуто особливості використання адаптивних методів для моделювання температурних полів теплових труб (ТТ). ТТ являє собою герметичний теплопередаючий пристрій, що працює по замкнутому випарно-конденсаційному циклу при наявності теплового контакту із зовнішніми джерелами та стоками теплоти. Теплота, що сприймається ТТ від зовнішнього джерела, використовується на випарювання теплоносія, що знаходиться всередині корпусу, і потім переноситься парою по паровому каналу у центрі ТТ при деякому перепаді тиску. Конденсат повертається в зону випарювання або під дією капілярних сил, що забезпечуються капілярною структурою стінок ТТ, або за рахунок масових сил. Математичною моделлю взято двовимірне нестаціонарне ДРЧП відносно температури U=U(x,y,t) стінок труби. При дослідженні ефективності адаптивних методів як точний взято розв'язок, одержаний при розрахунку з фіксованою сіткою та мінімальними значеннями кроків. Підвищення графіку наближеного розв'язку відповідає температурі у зоні нагріву, пониження - у зоні конденсації.

Показано, що для подібних задач, градієнти розв'язку яких не змінюють з часом свого положення, доцільно проводити автоматичний вибір кроків не на кожному часовому кроці, а кожні 5-10 кроків, що скорочує час обчислень. Виявлено, що при моделюванні ТТ адаптивний метод працює приблизно в 3-4 рази швидше, ніж при використанні фіксованих сіток при однаковій точності розв'язку. Такі ж результати одержано і при моделюванні кільцевої ТТ, коли труба утворює замкнутий контур. Проведено порівняння ефективності використання адаптивної сітки для методів змінних напрямків та розщеплення і показано, що для цих задач метод змінних напрямків вдвічі ефективніше, ніж метод розщеплення.

Розглянуто особливості використання адаптивних методів до складних задач моделювання впливу лазерного випромінювання на матеріали. Для цих задач притаманні малі розміри зони зовнішнього впливу, великі значення градієнтів розв'язку та зміна їх положення у просторі (жорсткі динамічні задачі), що при використанні фіксованих сіток вимагає розрахунку з дуже ущільненою сіткою по усій розрахунковій області та значного збільшення витрат машинного часу. Розглянуто дві тривимірні задачі моделювання температурного поля.

У першій задачі моделюється рух променя лазера по поверхні металевої пластини у напрямку вісі OY зі змінною швидкістю .

Необхідно визначити закон зміни швидкості променя, при якому максимальна температура поверхні пластини на траєкторії його руху буде постійною і дорівнюватиме заданій величині, тобто необхідно розв'язати задачу оптимізації.

Розв'язання таких задач базується на багатократному, декілька десятків разів, обчисленні цільової функції при цілеспрямованій зміні керованих параметрів. У даному випадку однократне обчислення цільової функції, що визначається кусково-сталою функцією , полягає у розв'язанні крайової задачі для тривимірного нестаціонарного ДРЧП, яке для фіксованих сіток може тривати більше години, тому одержати розв'язок задачі оптимізації у розумні строки цим методом нереально. Адаптивні сітки значно скорочують кількість вузлів при збереженні точності розрахунків. При розв'язуванні задачі оптимізації використано градієнтний метод, крайової задачі для ДРЧП - метод розщеплення по координатах, модифікований для нерівномірних сіток. Час однократного розв'язання крайової задачі адаптивним методом на ЕОМ Celeron 1,7 GHz, 256 МБ ОЗУ при допустимій похибці результату 10% складає біля 9 хвилин.

Слід відзначити важливу особливість задач моделювання дії лазера - велику чутливість результатів до взаємного положення центру променя та вузлів сітки. Функція впливу променя має приблизно вигляд конуса з основою радіусом та висотою і при найменшому відхиленні центру від якогось вузла істотно змінюються результати. І хоча адаптивний алгоритм максимально скупчує вузли у зоні впливу (по довжині радіусу розташовуються 5 вузлів), цього виявляється недостатньо для функцій з такими великими градієнтами. Тому для задач подібного типу необхідно при побудові сітки додавати у центр променя ще один вузол.

У другій задачі розглянуто моделювання температурного поля при виготовленні за допомогою лазера відрізного кругу з алмазним покриттям. Для напилення алмазного порошку сталевий корпус круга розміщують між двома дисками-матрицями.

По колу другої матриці є поглиблення, у яке в процесі виготовлення інструменту сиплеться суміш алмазного та металевого порошків. На суміш діє промінь лазера, що рухається зі швидкістю . Високотемпературний нагрів приводить до спікання суміші з корпусом диска.

Температурне поле даного об'єкту можна описати тривимірним рівнянням теплопровідності у циліндричних координатах:

відносно температури з початковою умовою.

Оскільки об'єкт складається з матеріалів трьох типів: матеріал матриць, диску, порошкової суміші - параметри залежать від координат і кожен приймає одне з трьох значень. Крайова умова на верхній поверхні фізичної області у зоні дії лазерного випромінювання має вигляд:

а на цій же поверхні поза зоною дії випромінювання:

де - координата по вісі OZ зони впливу випромінювання, - температура навколишнього середовища, - коефіцієнт тепловіддачі. Крайові умови на інших поверхнях моделюють теплообмін з навколишнім середовищем. Велика потужність випромінювання та малі розміри світлової плями приводять до великих градієнтів температурного поля (рис.19), що істотно ускладнює моделювання і робить його неможливим без використання адаптивних методів.

Задача розв'язувалась за допомогою адаптивного методу розщеплення по координатах. Оскільки по координаті z об'єкт має неоднакові розміри, кількість рівнянь у кожній з систем, що генеруються, буде неоднаковою і залежатиме від . Аналогічно будуть різними системи у напрямку .

Для точного відображення різницевою сіткою геометричних розмірів об'єкту згідно рис.18 алгоритмом передбачена вставка у напрямку чотирьох додаткових вузлів з координатами 11, 11.54, 11.74, 12.24, що відповідають вказаним геометричним розмірам. Вставка не виконується, якщо вже є вузол з такими або близькими координатами. Аналогічно додаються 4 вузли у напрямку . Час розв'язання даної задачі адаптивним методом на ЕОМ Celeron 1,7 GHz, 256 МБ ОЗУ при допустимій похибці результату 10% складає біля 27 хвилин, кількість часових кроків - 78.

Аналіз розв'язання даної задачі показує, що характер розташування вузлів різницевої сітки відповідає градієнту розв'язку - вони скупчуються у зоні дії променя і пересуваються по розрахунковій області разом з ним. Кількість просторових вузлів по кожній координаті у 4-5 разів менша, ніж у випадку рівномірної сітки при однаковій точності результату, що забезпечує істотне скорочення часу моделювання.

ВИСНОВКИ

У дисертації вирішено проблему розвитку теорії чисельного моделювання ОРП у напрямку розробки методів автоматизованої побудови оптимальних різницевих сіток з метою підвищення ефективності комп'ютерного моделювання технічних об'єктів, моделями яких є ДРЧП. Новий підхід до побудови адаптивних методів дискретизації розрахункової області ґрунтується на принципі вкладених сіток і дозволяє реалізувати генерацію змінної нерівномірної різницевої сітки, вузли якої скупчені у зонах великих градієнтів розв'язку та розріджені у зонах гладкої його поведінки, що значно скорочує загальну кількість вузлів та, відповідно, різницевих рівнянь при заданій точності розрахунків. Розроблені адаптивні методи дозволяють набагато скоротити витрати машинного часу при збереженні точності, і, отже, підвищити складність і точність вихідних диференційних моделей без зростання витрат машинного часу. На відміну від інших, дані методи забезпечують одержання результату з наперед заданою точністю, мінімізують неавтоматизований етап підготовки задачі до розв'язання та внаслідок своєї економічності дозволяють реалізувати комп'ютерну оптимізацію параметрів технічних пристроїв, що проектуються.

Для розв'язання зазначеної проблеми виявилося необхідним розробити методи оцінки похибки результату та визначення її чутливості до змін кроків сітки, обчислення функцій трансформації, побудови на кожному часовому кроці нової оптимальної сітки, формування з урахуванням нерівномірності сітки різницевих рівнянь та удосконалення методів їх розв'язання.

Основні наукові і практичні результати полягають у наступному.

Методи автоматизованої побудови змінних різницевих сіток, адаптованих до поведінки розв'язку, підвищують ефективність моделювання багатовимірних динамічних високоградієнтних процесів в об'єктах з розподіленими параметрами. З метою зменшення витрат часу на підготовчий етап моделювання та витрат машинного часу на розв'язання задачі запропоновано новий підхід до побудови змінних нерівномірних сіток, який базується на використанні вкладених сіток і дозволяє істотно скоротити розмірність систем різницевих рівнянь та час моделювання.

Тип адаптивної сітки, яку доцільно використовувати, залежить від характеру розв'язку. Тому запропоновано й обгрунтовано класифікацію нестаціонарних моделей ОРП з погляду наявності зон з великими градієнтами розв'язку і динаміки їх координат та сформульовані рекомендації щодо застосування адаптивних сіток різних типів для їх розв'язання, що дозволяє скоротити час обчислень.

Для оцінки на кожному часовому кроці похибки розв'язку, від якої залежить локальна густина сітки, запропоновано й обгрунтовано метод, інваріантний до різницевої схеми й заснований на використанні вкладених сіток. На відміну від відомих методів, одночасно з похибкою визначається її чутливість до зміни конфігурації різницевої сітки, що скорочує додаткові обчислення на визначення характеру трансформації сітки.

Ступінь розтягування або ущільнення сітки в околі даного вузла, що визначається функціями трансформації сітки, залежить від значень старших похідних розв'язку і визначається вимогою не перевищення локальною похибкою урізання заданого граничного значення на наступному часовому кроці. Вперше запропоновано метод знаходження функцій трансформації сітки у кожному координатному напрямку, у тому числі для тривимірного простору, на основі яких приймається рішення про зміну густини сітки в околі кожного вузла. У порівнянні з іншими, даний метод не використовує допоміжні диференційні рівняння, що скорочує витрати машинного часу на побудову нової сітки.

Точність розв'язку, одержаного на нерівномірній сітці, залежить від співвідношення її кроків. Вперше для одно-, дво-, тривимірних задач розроблено метод побудови змінної нерівномірної сітки на підставі функцій її трансформації, у якому мінімізується функціонал від кусково-сталої функції кроків з обмеженнями, що накладаються вимогами точності. На відміну від інших методів, тут виключається використання допоміжних вагових функцій, які формуються вручну, що скорочує витрати часу дослідника на підготовку задач до розв'язання.

Показано, що для розв'язання нежорстких моделей ОРП достатньо використовувати змінні рівномірні сітки. Вперше запропоновано метод побудови змінної рівномірної різницевої сітки, яка трансформується на кожному часовому кроці, що скорочує витрати на її побудову і дозволяє одержувати результат з наперед заданою точністю.

Удосконалено метод апроксимації змінних граничних умов на проміжних часових шарах різницевих схем розщеплення для дво- та тривимірних задач, який підвищує точність результату.

Системи різницевих рівнянь, які формуються у методах розщеплення при моделюванні тривимірних процесів, мають велику розмірність. Для скорочення необхідного об'єму пам'яті удосконалено метод їх розв'язання, при якому розв'язується послідовність систем невеликої розмірності. Для урахування нерівномірності сітки в розрахунковій області удосконалено методи формування різницевих рівнянь для одно-, дво- та тривимірних задач.

При моделюванні процесів з вузьколокалізованим зовнішнім впливом великої потужності точність результату істотно залежить від взаємного положення центру зони впливу та вузлів сітки. Для таких випадків з метою збереження точності удосконалено метод побудови адаптивної сітки введенням у зону впливу додаткових вузлів.

Адаптивні методи ускладнюють програмне забезпечення та вимагають додаткових розрахунків по оцінці точності, обчисленню функцій трансформації та координат вузлів сітки, інтерполяції розв'язку. Але адаптивні методи при однаковій точності результату зменшують кількість вузлів у кожному координатному напрямку у 5-10 разів порівняно з фіксованою сіткою, хоча загальний виграш машинного часу значно менший (в середньому у 3-5 разів) внаслідок необхідності вказаних додаткових розрахунків. Скорочення машинного часу найбільш істотно для жорстких динамічних моделей (у 5-10 разів) і зростає при підвищенні вимог до точності результату.

Із практичної точки зору, отримані у роботі результати дозволяють підвищити ефективність моделювання об'єктів з розподіленими параметрами і реалізовувати комп'ютерну оптимізацію їх параметрів. Розроблене програмне забезпечення, що використовує запропоновані адаптивні методи, було використане для дослідження їх ефективності на тестових задачах та розв'язання прикладних задач моделювання розповсюдження забруднювачів в атмосфері, теплових процесів у теплопередаючих пристроях, процесів обробки матеріалів лазерним випромінюванням, а також у навчальному процесі.

ОСНОВНІ ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лук'яненко С.О. Адаптивні обчислювальні методи моделювання об'єктів з розподіленими параметрами. Ї К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2004. Ї 236 с. - одноосібна монографія.

2. Лукьяненко С.А. Математическое моделирование распространения загрязнителей в атмосфере // Актуальные проблемы устойчивого развития / Под общей ред. И.В.Недина, Е.И.Сухина. Ї К.: Знания Украины, 2003. Ї С. 377-384. - автору належить п.6.6.2 спільної монографії.

3. Рассамакин Б.М., Лукьяненко С.А., Хайрнасов С.М., Рассамакин А.Б. Теплопередающие устройства и адаптивные методы расчета их температурного режима // Актуальные проблемы устойчивого развития / Под общей ред. И.В.Недина, Е.И.Сухина. Ї К.: Знания Украины, 2003. Ї С.384-393. - автором у п.6.6.3 спільної монографії запропоновано структуру різницевих рівнянь методу розщеплення у випадку нерівномірної сітки для незамкненої теплової труби.

4. Сліпченко В.Г., Писаренко В.Г., Лук'яненко С.О., Дацюк О.А. Розробка моделей динаміки розвитку надзвичайних ситуацій // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні (Матеріали наукових досліджень за програмою “ГРАНІТ” 1997 року) / За заг. ред. В.Г.Сліпченка. -- 2-ге вид., випр. і доповн. -- К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2005. -- С. 273-288. - автором у п.5.3 спільної монографії розглянуто моделювання розвитку надзвичайних ситуацій з використанням адаптивних методів.

5. Лук'яненко С.О. Математичне моделювання антропогенного впливу на стан біосфери // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні (Матеріали наукових досліджень за програмою “ГРАНІТ” 1998 року) / За заг. ред. В.Г.Сліпченка. -- 2-ге вид., випр. і доповн. -- К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2005. -- С. 26-31. - автору належить п.3.1 спільної монографії.

6. Лукьяненко С.А. Математическое моделирование и оптимизация антропогенного воздействия на окружающую среду // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні (Матеріали наукових досліджень за програмою “ГРАНІТ” 1999 року) / За заг. ред. В.Г.Сліпченка. -- 2-ге вид., випр. і доповн. -- К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2005. -- С.62-67. - автору належить п.1.7 спільної монографії.

7. Лук'яненко С.О. Прогнозне моделювання екологічного впливу еконебезпечних підприємств на довкілля // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні (Матеріали наукових досліджень за програмою “ГРАНІТ” 2000 року) / За заг. ред. В.Г.Сліпченка. - К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2003. -- С.232-242. - автору належить п.5.2 спільної монографії.

8. Лук'яненко С.О. Математичні методи розв'язання диференціальних рівнянь для моделювання розповсюдження забруднювачів // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні (Матеріали наукових досліджень за програмою “ГРАНІТ” 2001 року) / За заг. ред. В.Г.Сліпченка. -- К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2003. -- С. 81-94. - автору належить п.2.2.6 спільної монографії.

9. Лук'яненко С.О. Адаптивні методи моделювання сценаріїв перенесення мутагенних сполук у зонах ризику // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні (Матеріали наукових досліджень за програмою “ГРАНІТ” 2002 року / За заг. ред. В.Г.Сліпченка. -- К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2003. -- С. 131-156. - автору належить п.5 спільної монографії.

10. Лук'яненко С.О. Математичне моделювання перенесення забруднювачів // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні (Матеріали наукових досліджень за програмою “ГРАНІТ” 2003 року) / За заг. ред. В.Г.Сліпченка. -- К.: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””, 2005. -- С. 111-127. - автору належить п.7 спільної монографії.

11. Лук'яненко С.О. Адаптивний метод розв'язання нестаціонарних диференціальних рівнянь теплопровідності // Енергетика: економіка, технології, екологія. Ї 2002. Ї №1. Ї С. 57-61.

12. Лук'яненко С.О. Адаптивний метод розв'язання двовимірних рівнянь теплопровідності // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України. Вип.21. Ї К.: 2003. Ї С. 126-135.

13. Лук'яненко С.О. Змінні нерівномірні різницеві сітки при моделюванні розповсюдження забруднювачів в атмосфері // Автоматизовані системи управління і нові інформаційні технології. Збірник наукових праць. Вип.1. Ї К.: Академперіодика, 2003. Ї С. 68-80.

14. Лук'яненко С.О. Адаптивні різницеві сітки при розв'язанні двовимірного квазілінійного рівняння теплопровідності // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. -- 2005. -- №1. -- С. 137-143.

15. Рассамакин Б.М., Лукьяненко С.А., Хайрнасов С.М., Смаковский Д.С. Контурные тепловые трубы и адаптивные методы математического моделирования их тепловых полей // Инновационное развитие топливно-энергетического комплекса: проблемы и возможности / Под общей ред. Г.К. Вороновского, И.В. Недина. Ї К.: Знания Украины, 2004. Ї С. 320-324. -автором у п.6.2.1 спільної монографії запропоновано адаптивний метод та досліджено його ефективність для випадку контурних теплових труб.

16. Лукьяненко С.А., Молодид А.К. Математическое моделирование энергоемких технологических процессов // Экономическая безопасность государства и информационно-технологические аспекты ее обеспечения / Под общей ред. Г.К. Вороновского, И.В. Недина. Ї К.: Знания Украины, 2005. Ї С. 510-515. - автором у п.5.2.4 спільної монографії запропоновано адаптивний алгоритм моделювання впливу лазерного випромінювання на матеріали.

17. Лук'яненко С.О., Шарапов М.О. Адаптивні методи моделювання розповсюдження аерозольних викидів підприємств в атмосферу // Енергетика: економіка, технології, екологія. Ї 2001. Ї №3. Ї С. 64-69. - автором запропоновано адаптивний алгоритм зі змінною рівномірною сіткою.

18. Лук'яненко С.О., Ажевський О.Г., Верзун Є.А. Адаптивний метод розв'язання двовимірних рівнянь теплопровідності при проектуванні енергетичних установок // Енергетика: економіка, технології, екологія. Ї 2002. Ї №2. Ї С. 49-56. - автором запропоновано адаптивний метод розщеплення для двовимірних задач теплопровідності.

19. Лук'яненко С.О., Шурбований М.В. Метод побудови нерівномірних сіток при розв'язуванні нестаціонарних диференціальних рівнянь теплопровідності // Енергетика: економіка, технології, екологія. Ї 2002. Ї №3. Ї С. 52-58. - автором запропоновано метод побудови нерівномірної сітки.

20. Горошко І.О., Лук'яненко С.О., Ніколаєнко Ю.Є. Адаптивний метод змінних напрямків при моделюванні теплових труб // Моделювання та інформаційні технології: Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці НАНУ.-- К.: ИПМЭ НАНУ, 2003. -- Вип.24. -- С. 60-68. - автором запропоновано алгоритм та структуру різницевих рівнянь для адаптивного методу змінних напрямків моделювання кільцевих теплових труб.

21. Ніколаєнко Ю.Є., Лук'яненко С.О., Митько Л.О. Чисельне моделювання процесів у незамкнутій тепловій трубі // Моделювання та інформаційні технології: Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці НАНУ. -- К.: ИПМЭ НАНУ, 2003. -- Вип.25. -- С. 72-84. - автором розроблено структуру різницевих рівнянь та алгоритм побудови сітки для методу розщеплення.

22. Ніколаєнко Ю.Є., Лук'яненко С.О., Митько Л.О. Чисельне моделювання процесів у тепловій трубі при роботі у замкненому контурі з конденсатором // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці НАНУ. -- К.: ИПМЭ НАНУ, 2004. -- Вип.25. -- С. 76-84. - автором запропоновано алгоритм побудови та розв`язання різницевих рівнянь для випадку нерівномірної сітки.

23. Верлань А.Ф., Лукьяненко С.А. Адаптивные разностные сетки при математическом моделировании распространения загрязнения в атмосфере // Электронное моделирование. -- 2004. -- 26, №6. -- С. 3-12. - автором запропоновано метод побудови функцій трансформації сітки та досліджена його ефективність на прикладі тривимірного рівняння переносу та дифузії.

24. Лук'яненко С.О., Рассамакін Б.М., Крайносвіт А.А. Математичне моделювання теплопередаючих пристроїв з використанням адаптивних обчислювальних методів // Автоматизовані системи управління і нові інформаційні технології. Збірник наукових праць. Вип.3. -- К.: Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій та систем НАН України та МОН України, 2003. -- С. 106-116. - автором запропоновано обчислювальну схему адаптивного методу змінних напрямків.

25. Лук'яненко С.О., Німчук І.Б. Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі // Системні дослідження та інформаційні технології. -- 2005. -- №3. -- С. 88-98. - автором запропоновано обчислювальну схему розв'язання нелінійних різницевих рівнянь у випадку нерівномірної сітки.

26. Лукьяненко С.А., Зинчук А.Я. Переменные неравномерные сетки при расчете одномерной тепловой волны // Электронное моделирование. -- 2005. -- 27, №1. -- С. 21-30. - автором запропоновано адаптивний алгоритм для нелінійного рівняння теплопровідності та досліджена його ефективність на прикладі моделювання розповсюдження теплової хвилі.

27. Лукьяненко С.А., Черненко М.А. Адаптивный метод моделирования сварки лазером тонких листов // Известия Белорусской инженерной академии. --2005. -- №1(19)/1. -- С. 154-157. - автором запропоновано метод побудови адаптивної сітки у випадку вузько локалізованої функції зовнішнього впливу.

28. Лук'яненко С.О. Математичне моделювання розповсюдження забруднень в атмосфері // Матеріали міжгалузевої науково-практичної конф. “Оцінка ризику захворювань від забруднення навколишнього середовища та впровадження нових технологій”.-- К: ІВЦ “Видавництво “Політехніка””. -- 2003. -- С. 75-80.

29. Лук'яненко С.О. Адаптивні різницеві сітки при розв'язанні параболічних диференціальних рівнянь // Журнал обчислювальної та прикладної математики (Матеріали 2-ї міжнародної конференції “Обчислювальна та прикладна математика”). -- №2 (91). -- 2004. -- С. 111.

30. Лукьяненко С.А., Николаенко Ю.Е. Адаптивный метод моделирования воздействия концентрированного потока тепла на материалы // Труды Междунар. конф. “Информационные технологии в управлении энергетическими системами”. -- К.: ИПМЭ АН Украины. -- 2005. -- С. 75-76. - автором досліджено ефективність адаптивних сіток при моделюванні роботи лазерного скальпеля.

АНОТАЦІЇ

Лук'яненко С.О. “Адаптивні методи чисельного моделювання високоградієнтних процесів в об'єктах з розподіленими параметрами”. -- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.05.02 -- Математичне моделювання та обчислювальні методи. -- Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, Київ, 2006 р.

Дисертацію присвячено розв'язанню науково-прикладної проблеми підвищення ефективності моделювання об'єктів з розподіленими параметрами за рахунок оптимального вибору вузлів різницевої сітки. Запропоновано новий підхід до автоматизованої побудови змінних нерівномірних різницевих сіток, адаптованих до динаміки зміни функції, що відшукується, який базується на використанні вкладених сіток і дозволяє істотно скоротити розмірність систем різницевих рівнянь та час моделювання.

Запропоновано й обґрунтовано спосіб оцінки похибки розв'язку, який одночасно з похибкою визначає її чутливість до зміни конфігурації різницевої сітки, що скорочує обчислення на визначення характеру її трансформації.

Запропоновано й обґрунтовано спосіб визначення параметрів трансформації сітки на основі даних про чутливість похибки до величин кроків, що дозволяє уникнути розв'язання допоміжних диференційних рівнянь і скоротити витрати машинного часу на побудову нової сітки.

Запропоновано й обґрунтовано спосіб побудови змінної нерівномірної сітки на підставі функцій її трансформації, який виключає використання допоміжних вагових функцій, що формуються вручну.

З практичної точки зору, отримані в роботі результати дозволяють істотно скоротити час моделювання об'єктів з одночасним збереженням точності.

Ключові слова: диференційні рівняння у частинних похідних, метод скінчених різниць, різницева сітка, адаптивні методи, лазер.

Лукьяненко С.А. “Адаптивные методы численного моделирования високоградиентных процессов в объектах с распределенными параметрами”. --Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.05.02 -- Математическое моделирование и вычислительные методы. -- Национальный технический университет Украины “Киевский политехнический институт”, Киев, 2006 г.

Диссертация посвящена вопросам моделирования объектов с распределенными параметрами, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Предложено направление решения научно-прикладной проблемы повышения эффективности моделирования таких объектов в случае наличия в решении больших градиентов, которые изменяют со временем свое положение в пространстве, за счет оптимального выбора узлов разностной сетки. Новый подход к автоматизированному построению переменных неравномерных разностных сеток, адаптированных к динамике изменения искомой функции, базируется на использовании вложенных сеток и позволяет существенно сократить время моделирования.

В работе исследованы особенности моделирования процессов с узколокализованным внешним воздействием (луч лазера) и показано, что точность результата существенно зависит от взаимного расположения центра зоны влияния и узлов сетки. Для таких случаев метод построения адаптивной сетки усовершенствован введением в зону влияния дополнительных узлов.

Эффективность адаптивных методов исследована при решении линейных и квазилинейных тестовых задач моделирования температурных полей. Приведены результаты решения прикладных трехмерных задач моделирования процессов обработки материалов лазерным излучением, распространения загрязнителей в атмосфере, процессов в тепловых трубах. Показано, что адаптивные методы при одинаковой точности результата в 5-10 раз уменьшают количество узлов в каждом координатном направлении по сравнению с фиксированной сеткой. Однако общие затраты машинного времени сокращаются меньше, в среднем в 3-5 раз, вследствие дополнительных расчетов трансформации сетки. Сокращение затрат машинного времени наиболее существенно, в 5-10 раз, при моделировании высокоградиентных динамических процессов и растет с увеличением точности.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, метод конечных разностей, разностная сетка, адаптивные методы, лазер.

Lukyanenko S.O. “Adaptive methods of numerical modelling highly-gradient processes in objects with the allocated parameters” - the Manuscript. The dissertation on reception of a scientific degree of Dr.Sci.Tech. behind a speciality 01.05.02 - Mathematical modelling and computing methods. - National technical university of Ukraine “ Kiev polytechnical institute ”, Kiev, 2006.

The dissertation is devoted to the decision of a scientific-applied problem of increase of efficiency of modelling objects with the allocated parameters at the expense of an optimum choice of junction of a differential grid. It is offered the new approach to the automated construction replaceable non-uniform differential grids adapted for dynamics of change of required function which is based on use of the enclosed grids and allows to reduce significally dimension of systems differential the equations and time of modelling.

The way of a rating of an error of the decision which simultaneously with a margin error defines its sensitivity change of a configuration differential grids which reduces calculation to definition of character of its transformation is offered and proved.

The way of definition of parameters of transformation of a grid is offered and proved on the basis of the data on sensitivity of an error to sizes of steps which allows to avoid decisions auxiliary differential equations and to reduce expenses of machine time for construction of a new grid.

The way of construction of a replaceable non-uniform grid is offered and proved on the basis of functions of its transformation which excludes use of auxiliary weight functions which are formed manually.

From the practical point of view, the results received in job allow to reduce significally time of modelling of objects with simultaneous preservation of accuracy.

Keywords: the differential equations in partial derivatives, finite-difference method, differentialgrid, adaptive methods, the laser.

Размещено на Allbest.ru