Геометрическое приложение определённого интеграла

.

Функция y = f(x) на отрезке [x_i-1x_i] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что . С учётом этого длина звена M_i-1M_i равна

,

длина всей ломаной - .

Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением y = f(x), , определяется формулой

.



Пример. Найти длину отрезка параболы y = x² от точки A(0,0) до точки B(2,4).

Решение: , поэтому

.

Ответ:

Кривая задана параметрически . Заменим в переменную x на переменную t. Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой

.



Пример. Найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.

Решение: кривая задаётся уравнениями

.

Ответ:

Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол как параметр, получим

,

.

Пример. Найти длину кардиоиды .

Решение: , поэтому . Ответ явно бессмысленен. Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня из . Правильное решение:



Однако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви и удвоить её:

Ответ: L=8a (ед.)

3.5.4 Объёмы тел вращения

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений.

Рисунок. 34



Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x=a и x=b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела.

Рассечём это тело плоскостями x = x₀ = a, x = x₁, x = x ₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x _n-1, x = x_n = b на n слоёв (a = x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на каждом из отрезков [x_i-1, x_i] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = x_i-1 и x = x_i приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому

.

Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси.

Рисунок. 35



Если объём V получается в результате вращения кривой y = f(x), , вокруг оси Ox, то, очевидно, , поэтому

.

Пример. Найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг оси Ox.

Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении t от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра t₀ , равное , крайней правой точке соответствует значение t_k = 0. Формула для кривой, заданной параметрически, примет вид

, поэтому



Ответ:

Рисунок. 36

Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры ABCD вокруг оси Oy, рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса x, толщины , высоты f(x). Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщину и высоты f(x); суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной оси находится по формуле

.



Рисунок. 37

Пример. Найти объём тора, полученного вращением окружности вокруг полярной оси.

Решение:

.

Ответ:

3.5.5 Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)



(- длина окружности кольца, - его ширина).

Пример. Найти площадь тора, образующегося при вращении окружности вокруг оси Ox.

Решение:

Ответ:



Глава IV. Применение геометрического приложения определенного интеграла при решении задач

4.1 Вычисление площади плоской фигуры

Задание.1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми , . Сделать чертеж области[8].

Решение: найдем точки пересечения данных кривых:

Ответ:



Задание.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями, уравнения которых и x-y-1=0 [4].

Решение. Найдем точки пересечения данных функций

Выразим x через y, получим: . Решив квадратное уравнение, получим следующие корни: и Подставим в одно из уравнений системы уравнений, тогда и .

Найдем площадь фигуры

Ответ:

Задание.3. Найти площадь бесконечной полосы под линией

Решение. Искомая площадь представляется интегралом



Так как

то

Аналогично вычисляется первое слагаемое, и получаем:

Ответ: S=

Задание.4. Найти площадь фигуры, заключенные между параболами и [6]. Решение. Площадь S есть разность площадей ONAL и OKAL. Параболы пересекаются в точках O(0;0) и A(2p;2p). Имеем:

то есть составляет треть площади квадрата OLAR.

Ответ:

Задание.5. Найти площадь эллипса [6].

Решение.



Ответ:

Задание.6. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями , y=0, x=1[8].

Решение.

Ответ:

Задание.7. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями y и осью Ox [1].

Решение.

Ответ:

Задание.8. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y=x², прямыми х=1, х = 3 и осью Ох [3].



Решение. Пользуясь формулой , находим искомую площадь

S =

Ответ: S=8

Задание.9. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абсцисс при условии [3].

Решение. Разбиваем сегмент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx ? 0, на втором -- sinx ? 0. Следовательно, используя формулы

и , имеем, что искомая площадь

Ответ: S=4



4.2 Вычисление объема тела вращения

Задание.1. Найти объём усечённого конуса, образованного вращением прямой y = x + 1 вокруг оси OX и ограниченной линиями x = 0 и x = 3 [7].

Решение. В соответствии с формулой, нахождения объема тела, имеем:

Ответ: V=21)

Задание.2. Найти объем шара радиуса R [19].

Решение. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х -- абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:



.

Так как , то

.

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , , получим

Ответ:

Задание.3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу [13].

V =xdy.

V = 2ydy = y = 8.

Ответ: V= 8

Задание.4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = и x = [16].



Решим систему уравнений

и получим = 0, = 1, = 0, = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

Ответ:

Задание.5. Вычислить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями и y=6-x [17].



Графики и y=6-x пересекаются в точках =1 и =5.

Ответ:

Задание.6. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций (ось вращения Ox) [10].

Строим график.



Объем тела вращения:

Ответ: )

Задание.7. Найти объем эллипсоида

[13]



Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a? x? b.), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc(1 - ). Поэтому, по формуле имеем

V = bc(1 - )dx = abc.

Ответ: V =abc



4.3 Вычисление площади поверхности вращения

Задание.1. Найти площадь поверхности шара радиуса R[7].

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности , -R? x ?R, вокруг оси Ох. По формуле находим

Ответ:

Задание.2. Дана циклоида 0 ? t ? 2?. Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох [20].

Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

т.е. Следовательно,

Ответ:

Задание.3. Найти площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы вокруг Ox от x=0 до x=2 [7].

Решение.

Ответ:

Задание.4. Вычислить площадь поверхности, образованную вращением вокруг оси Ox дуги кубической параболы [7].

Решение.



Ответ: )

4.4 Вычисление длины дуги

Задание.1. Вычислить длину дуги кривой y = ln x от точки с абсциссой до .[1]

Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах, определяется по формуле:

В нашем случае следовательно,



. Тогда

Ответ:

Задание.2. Найти длину кривой от точки M(0;1) до N() [19].



Ответ:

Задание.3. Найти длину окружности радиуса R [20].

Найдем 1/4 часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как , то Значит, l=2?R. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х=cost, у = Rsint (0?t?2?), то

Ответ: l=2?R (ед.)

Задание.4. Найти длину дуги кривой , где [7].

;

, ;



Ответ:

Задание.5. Вычислить длину дуги

,

где [7].

Решение.

; ?

?

Ответ:

Задание.6. Вычислить длину дуги ,

Решение.

Ответ: )

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы показано применение определенного интеграла в геометрии. Где рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления. Интегральный метод используется для поиска устанавливаемой величины при решении конкретных задач, и установлении теоретических фактов. В нашем случае задачи на вычисление площади плоской фигуры, вычисление объема тела вращения, вычисление площади поверхности вращения и вычисление длины дуги.

Определенный интеграл находит свое применение, как было уже сказано выше, в других областях (в физике, экономике и т.п.), само понятие вводится в 10-11 классах при решении задач геометрии, а также используется в научной деятельности.



Список литературы

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начало анализа. Учебник для 10-11 классов. - М.: Просвещение, 2005. - 384 с.

2. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. - М.: Высшая школа, 1999. - 695 с.

3. Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов/ И.И. Баврин.- М.: Просвещение, 1993. - 319 с.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие/ Г.Н. Берман. - СПб, Профессия, 2005.- 432с.

5. Воднев, Математический словарь высшей школы/ Воднев, Наумович; под ред. Богданова. - М.: МПИ, 1989. - 527с.

6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. - М.: АСТ: Апрель, 2010.-703с.

7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. - Высшая школа, 1986. - 410с.

8. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 класс а/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбург. - М.: Просвещение, 2001 г. - 384 с.

9. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридма. - М.: Юнити, 2000. - 271 с.

10. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)/Л.А. Кузнецов. - М.: Высшая школа, 1994. -- 206 с.

11. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики/ Э.С. Маркович. - М.: Высшая школа, 1972. - 480 с.

12. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах / И.А. Марон. - М.: Наука, 1970. - 400 с.

13. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике/ Д.Т. Письменный. - M.: Айрис - пресс, 2003. - 288 c.

14. Тер-Крикоров, А.М Курс математического анализа/А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 -672с.

15. Шипачев В.С Высшая математика/ В.С. Шипачев. - М.: Высшая школа, 1998. -- 479 с.

16. Электронный ресурс: http://www.pm298.ru/reshenie/ljews.php

17. Электронный ресурс:

http://botaniks.ru/vicheslinie_obema_tela_vrajeniya.php

18. Электронный ресурс: http://zo-grado.ucoz.ru/_ld/0/42_ind_int_pr.pdf - good cait

19. Электронный ресурс: http://tkachenko-mephi.narod.ru/pdfs/2semVf2.pdf

20. Электронный ресурс: http://www.znannya.org/?view=geom-fiz-priloz-opr-integrala

Размещено на Allbest.ru