Простейшими функциями от матриц являются многочлены. В дальнейшем будет дано общее определение функций от матриц, а сейчас укажем явное выражение для многочлена от матрицы, имеющей нормальную форму Жордана. Рассмотрим сначала отдельную клетку Жордана порядка n.

с 1 0 … 0 0

с 1 … 0 0 (1)

А = ……….. .

с 1

с

Покажем, что для всех натуральных m имеет место формула

с^m (^m) с^m-1 … (_n-1) с^m-n+1

А^m = с^m … (_n-2) с^m-n+2 (2)

………. ,

с^m

где положено

m m(m-1) … (m-k+1)

k 1· 2 … k .

Доказательство проще всего провести индукцией по m. Для m=1 формула (2) совпадает с (1) и поэтому верна. С другой стороны, если равенство (2) верно для какого-нибудь m, то умножая его на А, мы непосредственными вычислениями получим, что для Аm+1 формула (2) также верна.

Пусть теперь f(л) - некоторый многочлен от л:

f(л) = б0 + б1л + б 2лІ + … + бkлk.

Согласно определению

f(А) = б 0Е + б1А + б2АІ + … + бkАk.

Подставляем сюда вместо матриц Аm их значения из (2), мы увидим, что в i-й строке и (i+s)-м столбце матрицы f(А) стоит выражение

k

? бm m(m-1) … (m-s) сm-s 1 fs (с) .

m=0 1 • 2 … s1 • 2 … s

Следовательно окончательно имеем

f(с) fґ(с) f"(с) … f^(n-1)(с)

f(с) fґ(с) … f^(n-2)(с) (3)

f(А) = ………………….. .

f(с)

Мы вычислили пока значение многочлена от клетки Жордана. Однако общая жорданова матрица А есть прямая сумма отдельных клеток Жордана:

А = А1 + А2 + … + Аs,

и отсюда имеем

f(А) = f(А1) + f(А2) + … + f(Аs).(4)

Здесь f(А1), …, f(Аs) - многочлены от отдельных клеток Жордана, выражения которых даны формулой (3). Этот результат можно применить и к вычислению многочленов от матриц А, не имеющих формы Жордана. В самом деле, сначала ищем такое Т, чтобы матрица Т-1АТ = В имела нормальную форму Жордана; затем вычисляем f(В) согласно формулам (3) и (4) и, наконец, в силу отношения

f(А) = f(ТВТ-1) = Тf(В) Т-1

получаем значение f(А).

§2. Скалярные функции

Общее понятие матричных функций определяется совершенно аналогично понятию обыкновенных числовых функций. Именно рассмотрим некоторое множество матриц m. Если каждой матрице А из m поставлена в соответствие некоторая матрица В, то говорят, что В есть функция от А, определенная на m. Мы хотим теперь каждой обыкновенной числовой функции с= f(л) , заданной на некотором множестве комплексных чисел и удовлетворяющей сформулированным ниже требованиям, поставить в соответствие определенную матричную функцию f(А). Соответствие это строится следующим образом. Пусть даны некоторая числовая функция с= f(л) и произвольная матрица А. Обозначим через с1, с2, …, сs различные собственные значения матрицы А. Приведем А к нормальной форме Жордана:

Т-1АТ = В =В1 + В2 + … + Вt,

где В1, …, Вt- клетки Жордана, и рассмотрим какую-нибудь из них, например

с_i 1 0 …. 0

В_i = с_i 1 …. 0 (5)

…….. ,

с_i

отвечающую элементарному делителю (л-сi)ni. Если функция f(л) определна в окрестности точки сi и имеет конечные производные fґ(с), …, f(ni-1) (сi), то мы полагаем по определению,



f(с_i) fґ(с_i) … f^(ni-1)(с_i)

f (В_i) = f(с_i) … f^(ni-2)(с_i)

…………………….. . (6)

f(с_i)

Далее, если f(л) определена в окрестности каждой точки с1, …, сs и имеет в них конечные производные надлежащих порядков, то мы полагаем также

f(В) = f(В1) + f(В2) + … + f(Вt), (7)

f(А) = Тf(В)Т-1 = Т(f(В1) + … + f(Вt)) Т-1.(8)

Матрица f(А) называется значением функции f(л) при л=А. Ниже будет показано, что f(А) не зависит от способа приведения матрицы А к нормальной форме и, таким образом, является некоторой матричной функцией от А. Эта функция называется соответствующей числовой функции f(л). Ясно, что далеко не все матричные функции имеют соответствующие числовые. Те из них, для которых соответствующие числовые функции существуют, называются скалярными функциями.

Отметим несколько простейших свойств скалярных функций:

1°. Если f(л) есть многочлен от л, то значение скалярной функции f(А) совпадает со значением многочлена f(л) при л=А.

Действительно, само определение скалярных функций выбрано таким образом, чтобы для многочленов оно совпадало со старым.

2°. Пусть А-матрица и f1(л), f2(л) - числовые функции, для которых выражения f1(A) и f2(А) имеют смысл. Если f(л)= f1(л) + f2(л), то f(А) также имеет смысл и f(А)= f1(А) + f2(А).

3°. Если А-матрица, f1(л) и f2(л) - числовые функции для которых f1(А) и f2(А) имеют смысл, и f(л)= f1(л)f2(л), то f(А) имеет смысл и f(А)= f1(А)f2(А).

Доказательства свойств 2° и 3° аналогичны, поэтому мы ограничимся рассмотрением свойства 3°. Чтобы вычислить f1(А), f2(А), f(А), мы согласно определению, должны привести А к нормальной форме Жордана В и воспользоваться формулами (7) и (8). Если удастся показать, что f(В)= f1(В)f2(В), то из (8) непосредственно получится f(А)= f1(А) f2(А). С другой стороны,

f(В)= f(В1) + f(В2) + … + f(Вt),

f1(В)f2(В) = f1(В1) f2(В2) + … + f1(Вt) f2(Вt),

поэтому все дело сводится к доказательству равенств

f(Вi)= f1(Вi) f2(Вi) (i=1, 2, …, t),

где Вi - клетки Жордана. Беря значения f1(Вi), f2(Вi) из формулы (6) и перемножая, мы обнаружим, что в к-й строке и (k+j)-м столбце матрицы f1(Вi) f2(Вi) будет стоять элемент, равный

f1(с) · f2(j)(с) + fґ1(с) · f2(j-1)(с) + … + f1(j)(с) · f2(с).

Это выражение можно переписать в виде

[f1(с) f2 (j)(с) + fґ1(с) f2 (i-1)(с) + … + f1(j)(с) · f2(с)],

что согласно правилу дифференцирования произведения функций совпадает с f (j)(с). Таким образом,

f1(Вi) f2(Вi) = f(Вi),

и утверждение 3° доказано.

Аналогичным образом, используя правило дифференцирования функции от функции, можно было бы показать, что если числовые функции ц(л) и f(ц(л)) удовлетворяют требованиям, при которых выражение f(ц(л)) определено, и если ш(л)= f(ц(л)), то ш(А)= f(ц(А)).

4?. Пусть А-матрица, имеющая собственные значения с1, с2, …, сn, причем каждое собственное значение выписано здесь столько раз, какова его кратность. Если f(л) - числовая функция и f(А) имеет смысл, то собственные значения матрицы f(А) равны f(с1), f(с2), …, f(сn).

В самом деле, собственные значения матриц f(А) и Т-1f(А)Т=f(Т-1АТ) соответственно равны, поэтому мы можем предполагать, что А имеет нормальную форму Жордана. Формулы (5) и (6) показывают, что в этом случае f(А) имеет треугольную форму, причем по главной диагонали f(А) стоят числа f(с1), f(с2), …, f(сn). Поскольку диагональные элементы треугольной матрицы являются ее собственными значениями, то утверждение 4? доказано.

Рассмотрим два примера. 1) Пусть f(л)= л-1. Эта функция определена всюду, кроме л=0, и при всех значениях л, отличных от нуля, имеет производные любых порядков. Следовательно, если матрица А не имеет нулевых собственных значений, т.е. если А неособенная, то f(А) имеет смысл. Но л · f(л)=1, поэтому А · f(А)=Е, откуда f(А)= А-1. Таким образом, функции л-1 отвечает обратная матрица.

2) Пусть f(л)=?л. Эта функция при л?0 имеет конечные производные любых порядков. Таким образом, выражения vА имеет смысл для всех неособенных матриц А. Полагая в соотношении

f(л)f(л) =л

л=А, мы получим

f(А)f(А) =А.

Мы доказали, следовательно, что из всякой неособенной матрицы можно извлечь квадратный корень.

Пример.

Найти Аn, если

1 4 2

А = 0 -3 -2

0 4 3 .

Найдем А²

1 4 2 1 4 2 = 1 0 0 = Е

А² = А А = 0 -3 -2 0 -3 -2 0 1 0

0 4 3 0 4 3 0 0 1

Итак, Аⁿ = Е, если n=2к и Аⁿ = А, если n=2к+1.

Итак, Аn = Е, если n=2к и Аn = А, если n=2к+1.

§3. Представление значений функций многочленами

Во всех курсах высшей алгебры рассматривается задача, как по заданной системе различных чисел с1, с2, …, сs и произвольной системе чисел 1, 2, …, s построить многочлен f(л), который в точках с1, с2, …, сs принимает соответственные значения б1, б2,…,бs . Решение дается в виде известного интерполяционного многочлена Лагранжа.

Для дальнейшего важно уметь строить многочлены, которые не только сами, но и их производные до некоторого порядка принимают заданные значения в точках с1, с2, …, сs. Эта задача является, таким образом, непосредственным обобщением предшествующей. Утверждение о ее разрешимости сформулируем в виде отдельной леммы.

Лемма. Пусть заданы различные числа с1, с2, …, сs и таблица из (к+1) s произвольных чисел бij. Найдется многочлен р(л), который в каждой точке сi имеет значение бi0, а его j-я производная - значение бij (=1, , …, s; j= 1, …, к).

Сначала удобнее построить вспомогательный многочлен рi(л) такой, что он и его производные до к-го порядка имеют требуемые значения лишь в точке сi, а в остальных заданных точках обращаются в нуль. Положим

цi(л)= вi0 + вi1 (л - сi) + …+ вik(л - сi)k,

Цi(л) = (л - с1)k+1… (л - сi-1)k+1(л - сi+1)k+1… (л - сs)k+1,

рi(л) = цi(л) Цi(л),

где вi0, вi1, … , вik - некоторые пока не определенные числа.

Очевидно, при любых вi0 , …, вik имеем

рi(сj) = рi(сj) = … = рi (k)(сj) = 0 (j?i).

Согласно правилу дифференцирования произведения

рi(j) = цi(j)(сi) Фi(сi) + jц i(j-1)(сi) Фi (сi) + … + цi(сi)Фi (j)(сi)

или

ij = j ! вij Фi(сi) + j ! вij-1Фi(сi) + … + вi 0Фi(j)(сi).(9)

Так как Фi(сi)?0, то из соотношений (9) при j=0, 1, …, k можно последовательно определить числа вi0, вi1, … , вiк и тем самым найти рi(л). Многочлен

р(л) = р1(л) + р2(л) + … + рs(л)

будет, очевидно, удовелтворять всем требованиям леммы.

Рассмотрим некоторую числовую функцию f(л) и матрицу А, для которой значение f(А) определено. Покажем, что тогда найдется многочлен р(л), для которого р(А), будет равно f(А). Обозначим через с1, с2, …, сs различные собственные значения матрицы А. Пусть ее порядок есть n. Согласно только что доказанной лемме мы можем построить многочлен р(л), удовлетворяющий требованиям

р(сi) = f(сi), рґ(сi) = fґ(сi), …, р (n-1)(сi) = f(n-1)(сi)(10)

(i= 1, …, s).

Для определения смысла выражения f(А) нам нужны были только значения функции f(л) и ее производных самое большее до (n-1)-й в точках с1, с2, …, сs. Поскольку эти значения у f(л) и р(л) совпадают, то f(А)=р(А). Итак:

Т е о р е м а 1. Значения всех cкалярных функций от матрицы А можно представить многочленами от А.

В частности, рассматривая функцию f(л)=vл, мы видим, что для каждой неособенной матрицы А существует такой многочлен р(л), для которого

р(А)р(А) = А.

С помощью теоремы 1 легко решается вопрос об однозначиности определения значения f(А). В самом деле, зная функцию f(л) и ее производные в точках с1, …, сs, мы можем построить многочлен р(л), значение которого р(А) не зависит от приведения матрицы А к нормальной форме Жордана и в то же время совпадает с f(А). Следовательно, значение f(А), определенное с помощью приведения матрицы А к нормальной форме, от способа этого приведения не зависит.

Сделаем еще одно замечание. Пусть f(л) - некоторая числовая функция, А - матрица, для которой f(А) имеет смысл. Согласно теореме 1 мы можем найти многочлен р(л), для которого р(А)=f(А). При заданной функции f(л) многочлен р(л) зависит лишь от элементарных делителей матрицы А. Но элементарные делители матрицы А и транспонированной матрицы Аґ совпадают, поэтому р(Аґ)=f(Аґ). Легко усмотреть, что р(Аґ)=р(А)ґ. Таким образом, для всех скалярных функций f(А) имеем f(А)=f(А)ґ.

§4. Элементарные делители функций

Рассмотрим вопрос, как по элементарным делителям матрицы А найти элементарные делители какой-нибудь ее скалярной функции f(А). Приведем А к нормальной форме

Т-1АТ = В = В1 + В2 + … Вt, (11)

где В1, … ,Вt, - клетки Жордана. Согласно определению

f(А) = Т f(В) Т-1,

и, следовательно, элементарные делители матриц f(А) и f(В) совпадают. Из (11) вытекает, что

f(В) = f(В1) + f(В2) + … + f(Вt);

поэтому система элементарных делителей матрицы f(В) есть объединение систем элементарных делителей клеток f(В1), …, f(Вt). Таким образом, наш первоначальный вопрос сводится к следующему: дана клетка Жордана Вi с элементарным делителем (л-сi)ni требуется найти элементарные делители для f(Вi).

На основании формул (5), (6) имеем

л - f(сi) - fґ(сi) … - f(ni-1) (сi)

лЕi-f(Bi) = л-f(сi) … - f(ni-2) (сi)

………………………….. .(12)

Ищем наибольшие общие делители D1(), D2(), ..., Dni() миноров 1-го, 2-го, ..., ni-го порядков этой матрицы. Старший из них Dni() равен определителю матрицы, следовательно,

Dni() = (-f(i))ni .

Все остальные являются делителями Dni() и поэтому имеют вид (-f(i))б. Рассмотрим Dni-1(). Этот многочлен должен быть делителем всех миноров порядка ni-1 матрицы (12), в том числе и минора (), получающегося вычеркиванием первого столбца и последней строки. Однако если в этот минор подставить вместо число f(i), то получится матрица треугольной формы с элементами - f(j) на главной диагонали и, значит,

(i) = (-f(i))ni-1 . (13)

Мы предположим теперь, что f(i)0. Равенство (13) показывает тогда, что () не делится на - f(i). Но многочлен Dni-1() должен быть общим делителем многочленов () и Dni(), следовательно, Dni-1()=1. Остальные многочлены Dni-2(), ..., D2(),D1() являются делителями Dni-1() и поэтому также равны единице. Составляя отношения Dк+1 : Dк, мы видим, что инвариантными множителями матрицы (12) будут 1, ... , 1, (-f(i))ni , вследствие чего матрица (12) будет иметь только один элементарный делитель (-f(i))ni. Отсюда следует

Т е о р е м а 2. Пусть матрица А имеет собственные значения 1, ..., s и f() - функция, для которой f(i)0 (i=1, ..., s). Тогда, если матрица f(А) существует, то ее элементарные делители можно получить заменой каждого элементарного делителя (-i)ni матрицы А выражением (-f(i))ni .

Например, если А - неособенная матрица, f()=-1 , то f(А)= А-1 и f(i)=-i-20. Поэтому, если каждый элементарный делитель (-i)ni матрицы А заменить выражением (-i-1)ni, то получится система элементарных делителей обратной матрицы.



5. Степенные ряды

Последовательность квадратных матриц

А1, А2, ..., Аm, Аm+1, ... .(14)

одного и того же порядка называется сходящейся к матрице А, если элементы матриц (14), стоящие на пересечении заданного столбца и заданной строки, стремятся к соответствующему элементу матрицы А. Из этого определения непосредственно ясно, что если матрицы Аm и Bm при возрастании m стремятся соответственно к А и В, то Аm+Bm и АmBm стремятся к А+В и АВ. В частности, если Т - постоянная матрица, а матрица Аm стремится к А, то Т-1АmТ будет иметь своим пределом Т-1АТ. Далее, если

Аm = Аm(1) + Аm(2) + ... + Аm(s)(m=1, 2, ...),

где порядки клеток от m не зависят, то Аm при возрастании m стремится к некоторому пределу тогда и только тогда, если к пределу стремится каждая клетка Аm(i) отдельно.

Последнее замечание позволяет весьма просто решить вопрос о сходимости так называемых степенных рядов от матрицы. Пусть

б0 + б1 + б22 + ... + бmm + ... (15)

- формальный степенной ряд относительно переменной . Выражение

б0Е +б1А + б2А2 + ... + бmАm + ... (16)

называется соответствующим степенным рядом от матрицы А, а многочлен

fn(А) = б0Е + б1А + ... + бnАn

- n-й начальной суммой этого ряда. Ряд (16) называется сходящимся, если последовательность начальных сумм f1(А), ...., fm(А), ... имеет предел; в случае существования этот предел называется суммой ряда (16).

Приведем матрицу А к нормальной форме

Т-1АТ = В = В1 + В2 + ... + Вt ,

где В1, …, Вt - клетки Жордана. Сходимость последовательности fm(А) равносильна сходимости последовательности Т-1fm(А)Т (m=1, 2, …). Но

Т-1fm(А)Т = fm (Т-1АТ) = fm(В) = fm(В1) + ... + fm(Вt),

поэтому вопрос о сходимости ряда (16) равносилен следующему; при каких условиях этот ряд сходится для клеток Жордана В1, ..., Вt? Рассмотрим одну из этих клеток, например Вi. Пусть ей отвечает элементарный делитель (-i)ni . Согласно формуле (3)

fm(i) fm(i) ... fm(ni-1)(i)

fm(i) ... fm(ni-2)(i),

fm(Вi) = ....................................

fm(i)

cледовательно, fm(Вi) при возрастании m тогда и только тогда стремится к некоторому пределу, когда к пределу стремится fm(i), fm(i), ..., fm(ni-1)(i), т.е. когда в точке i сходится ряд (15), а также ряды получаемые из него почленным дифференцированием до (ni-1)-го раза включительно. Из теории аналитических функций известно, что все эти ряды заведомо сходятся, если либо i лежит внутри круга сходимости ряда (15), либо i лежит на окружности круга сходимости и (ni-1)-я производная от ряда (15) в точке i сходится. Следовательно, доказана

Т е о р е м а 3. Для того чтобы степенной ряд от матрицы А сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждое собственное значение i матрицы А либо находилось внутри круга сходимости соответствующего степенного ряда f(), либо лежало на круге сходимости с тем, чтобы одновременно ряд, полученный (ni-1) - кратным дифференцированием ряда f(), сходился в точке i, где ni - степень наивысшего элементарного делителя, принадлежащего i .



Литература

Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, Гостехиздат, М., 1954.

Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел, М., Высшая школа, 1989.

Курош А.Г., Курс высшей алгебры, Издание 6.

Мальцев А.И., Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1975.

Мишина А.П., Проскуряков И.В., Высшая алгебра, Издательство физико-математической литературы, М., 1962.

Размещено на Allbest.ru