Случайные величины

Пусть имеется n независимых случайных величин 1, 2, ..., n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина распределена по закону, который называется «распределение 2» или «распределение Пирсона». Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы.

При n>1 график плотности распределения случайной величины 2 представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.

Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины 2 в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения 2.

Таблица 1

Обычно такая таблица позволяет по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый квантиль q2, если q и q2 связаны соотношением:

P(2 > q2) = q.

Эта формула означает вероятность того, что случайная величина 2 примет значение, большее, чем определенное значение q2, равна q.

Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения 2. Из него видно, что случайная величина 2 с 10-ю степенями свободы с вероятностью q=0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью q=0,975 превышает 0,00098.

Задача. Найти интервал (12, 22), в который случайная величина 2 с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.

Решение. График плотности распределения 2 с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия:

P(2 < 12) = P(2 > 22) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1)

тогда P(12 < 2 < 22) = 0,9.

Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: 22 = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P(2>12)=0,95. Из таблицы 1. определяем: 12=3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи: значение случайной величины 2 с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3).

Распределение Стьюдента

Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида , где и - независимые случайные величины, причем - нормально распределенная случайная величина с параметрами M = 0 и D = 1, а распределена по закону 2 c k степенями свободы.

Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы.

График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распределения схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.

Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение tq, для которого выполняется соотношение P(t > tq)=q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.

Таблица 2

Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.

Решение. Очевидны соотношения:

P(-x < t < x) = P(t < x) = 1 - P(t x) = 0,9.

Из последнего равенства следует:

P(t x) = 0,1, (n = 12).

Определяем из таблицы: x=1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.

Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t - случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.

Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x1 равна 0,995 , следовательно, в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x1= -x, x2=x, причем x определяется из условия P(t>x)=0,01. Из таблицы 2 находим: x=3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:

P(t > -3,055) = 0,995.

Распределение Фишера

Важные приложения имеет в статистике случайная величина:

,

где - случайная величина, распределенная по закону 2 с k1 степенями свободы, а - случайная величина, распределенная по закону 2 с k2 степенями свободы.

Случайная величина F распределена по закону, называемому законом распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы. При заданных числах k1 и k2 и по вероятности q по таблице определяется значение Fq такое, что:

P(F > Fq) = q.

Обычно таблицы составляются для значений q, равных 0,05 или 0,01, а иногда для обоих этих значений. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 3.

В этой таблице в верхней части каждой клетки дается значение Fq при q = 0,05, а в нижней части - при q = 0,01.

Таблица 3

Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины. В основе доказательств этих теорем лежит неравенство Чебышева. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений .

Дисперсия такой величины .

Пусть - любое положительное число. Исключим из суммы все члены, для которых .

В этом случае сумма уменьшится: , где .

Если теперь в правой части этого неравенства все значения заменить на меньшее значение , то неравенство усилится: .

В этом неравенстве - это вероятности таких значений , для которых , а вся сумма представляет собой вероятность того, что случайная величина , т.е.:

Отсюда следует неравенство Чебышева:

,

которое позволяет оценить вероятность того, что .

Замечание. Если рассмотреть противоположное событие , то вероятность такого события .

Это неравенство используется, в частности, для доказательства теоремы Чебышева.

Теорема. Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин, с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной :

.

Тогда, каково бы ни было число , вероятность события

стремится к единице при .

Доказательство. Положим .

Эта величина является случайным числом. Найдем ее математическое ожидание и дисперсию:

.

Так как независимы, то дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

Из неравенства Чебышева с учетом сделанных обозначений, т.е. , получаем .

Отсюда следует, что с ростом вероятность события стремится к единице.

Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченным множеством значений этой величины. Она показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.

Размещено на Allbest.ru