Стратифікований випадковий відбір

Метод вибіркових досліджень - це спосіб відбору певної кількості одиниць популяції, за результатами вивчення яких дослідник робить висновки стосовно характеристик цієї популяції.

При стратифікованому випадковому відборі популяція, що містить N одиниць, спочатку поділяється на субпопуляції (підпопуляції), що складаються відповідно з N_1, N₂,..., N_L одиниць. Ці підпопуляції не містять спільних одиниць і разом вичерпують усю популяцію, так що справедлива рівність (1):

N₁ + N₂ +... + N_L = N.

Такі підпопуляції називають стратами. Для того, щоб можна було повністю скористатися вигодами від стратифікації, значення N₁, N₂,…, N_L повинні бути відомі. За визначених страт, у кожній страті вибірка добувається за допомогою простого випадкового відбору. Обсяги вибірок всередині страт позначаються відповідно через n₁,n₂,..., n_L.

У роботі ставиться задача порівняння точності стратифікованого випадкового відбору та простого випадкового відбору на прикладі вибіркового обстеження домогосподарств віртуального міста StatVillage. Для розв'язання поставленої задачі використано наступні теоретичні положення.

Теорема 1: Оскільки при простому випадковому відборі вибіркові середні всередині страт є незміщеними оцінками середнього страт, то при стратифікованому випадковому відборі середнє значення стратифікованої вибірки є незміщеною оцінкою середнього значення популяції.

Теорема 2: Дисперсія середнього значення стратифікованої вибірки знаходиться формулою (4), де f_h - частки відбору в кожній страті.

Наслідок: Якщо частки відбору в усіх стратах малі, то дисперсію середнього значення стратифікованої вибірки обчислюють за формулою (5).

Означення: Стратифікацією з пропорційним розміщенням n_h називається стратифікація при якій частка відбору однакова для всіх страт, де n_h - обсяг вибірки, який добувається зі страти h обчислюється за формулою (6).

Для вибірки з пропорційним розміщенням n_h дисперсія середнього значення стратифікованої вибірки визначається рівністю (7), а за умов однакової дисперсії всередині страт - за формулою (8).

Теорема 3: Дисперсія оцінки сумарного значення популяції визначається формулою (9).

Теорема 4: Незміщеною оцінкою дисперсії виступає оцінка вигляду (10), а за умов однакової оцінки дисперсії всередині страт - оцінка (11).

Означення: Стратифікацією з оптимальним розміщенням називають стратифікацію, за якої дисперсія середнього значення стратифікованої вибірки мінімальна.

Теорема 5: Якщо виконується співвідношення (13), то дисперсія середнього значення стратифікованої вибірки мінімальна.

Теорема 6: Якщо загальний обсяг вибірки незмінний і виконується рівність (14), то дисперсія середнього значення стратифікованої вибірки мінімальна.

Теорема 7: Якщо знехтувати величинами порядку n_h/N, то для дисперсії середнього значення стратифікованої вибірки при стратифікації з пропорційним розміщенням справедливі нерівності (15).

У роботі була поставлена наступна задача:

За вибіркою домогосподарств міста StatVillage оцінити сумарне значення загального доходу сімей та кількість жителів. Використати стратифікований відбір із пропорційним та оптимальним розміщеннями і двома варіантами розбиття на страти:

1. ={блоки 1-32}, ={блоки 33-64}, ={блоки 65-96}, ={блоки 97-128};

2. ={блоки 1-32}, ={блоки 33-80}, ={блоки 81-128}.

Змінна, за якою відбувається стратифікація - загальний прибуток домогосподарств. n=96.

Необхідно порівняти точності оцінок, знайдених за допомогою простого випадкового відбору і стратифікованого відбору з пропорційним розміщенням n_h та оптимальним розміщенням n_h.

При розв'язанні поставленої задачі ми користувались вищенаведеною теорією та програмами StatVillage і Maple.

Використовуючи програмне середовище Maple за допомогою генератора випадкових чисел ми отримували номери необхідних одиниць домогосподарств з кожної страти для обох варіантів розбиття. Потім у середовищі StatVillage ставили позначку в клітинах з отриманими номерами. Після натиснення кнопки "Get the Sample Units" з'являлись стовпці з даними які ми використовували для подальших обчислень.

При розбитті на 4 страти обсяги вибірок ми обчислювали за формулою (16) при стратифікації з оптимальним розміщенням n_h і (17) при стратифікації із пропорційним розміщенням n_h. Обсяги відбору в стратах дорівнювали: 24 у кожній страті при пропорційному розміщенні n_h і n₁=67, n₂=3, n₃=23, n₄=3 при оптимальному розміщенні n_h. В останньому випадку обсяги відбору у стратах суттєво різняться, так як формула (16) враховує величину дисперсії всередині страти. При стратифікації з пропорційним розміщенням обсяги відбору залежить тільки від обсягу страти та загальної частки відбору, тому при однаковому обсязі страт обсяг відбору однаковий для кожної страти.

Ми отримали наступні результати: при оцінюванні сумарного значення загального прибутку та кількості жителів найбільш точним виявився стратифікований відбір із оптимальним розміщенням, другим за точністю є стратифікований відбір із пропорційним розміщенням, найменш точним є простий випадковий відбір. Аналогічний результат отримуємо при розбитті на 3 страти.

Таким чином ми підтвердили результат теореми 7 (15).

Стратифікований випадковий відбір має свої переваги та недоліки. До переваг можна віднести те, що стратифікований випадковий відбір завжди забезпечує високу точність за умови однорідності одиниць всередині страт, причому чим більшими є відмінності між стратами, тим більшою буде точність. Крім того, він дає більш повну інформацію про популяцію, ніж простий випадковий відбір.

Проте, стратифікований випадковий відбір має деякі недоліки, наприклад, для його застосування необхідно мати додаткову інформацію про структуру популяції для оптимального розбиття на страти.

Список використаних джерел

Стратифікований випадковий відбір

Теорема 1. . (3)

Теорема 2. . (4)

Наслідок. (5)

Означення. Стратифікація з пропорційним розміщенням n_h:

(6)

Наслідок. (7)

Наслідок (8)

Теорема 3. . (9)

Теорема 4. : . (10)

Наслідок. (11)

Означення. Стратифікація з оптимальним розміщенням n_h:

(12)

Теорема 5. (13)

Теорема 6. (14)

Теорема 7. (15)

Постановка задачі

За вибіркою домогосподарств міста StatVillage оцінити сумарне значення загального доходу сімей та кількість жителів, обчислити дисперсії цих оцінок. Використати стратифікований відбір із пропорційним та оптимальним розміщеннями:

1. ={блоки 1-32}, ={блоки 33-64}, ={блоки 65-96}, ={блоки 97-128};

2. ={блоки 1-32}, ={блоки 33-80}, ={блоки 81-128}.

Змінна, за якою відбувається стратифікація - загальний прибуток домогосподарств.

Обсяг вибірки n=96.

Необхідно порівняти точності оцінок, знайдені за допомогою простого випадкового відбору і стратифікованого відбору з пропорційним розміщенням та оптимальним розміщенням.

Пропорційне розміщення, розбиття на 4 страти

Оптимальне розміщення, розбиття на 4 страти

Загальний прибуток

Кількість жителів домогосподарства