Теория функций

Исследование природы аналитических функций продолжает привлекать внимание многих математиков. Хотя трудно перечислить их достижения, не вдаваясь при этом в излишне специальные детали, нельзя не упомянуть некоторые из направлений современных исследований. Среди общих целей - (1) установление взаимосвязей между распределением нулей аналитической функции и способом, которым она отображает некоторое семейство областей (например, дисков); (2) изучение поведения аналитической функции вблизи границы ее области определения; (3) установление зависимостей между поведением функции в одной точке и ее поведением в какой-то другой точке, находящейся на некотором расстоянии от первой и (4) установление характеристических свойств, которыми обладают все функции некоторого класса (например, свойство всех функций f отображать данную область D1 на область D2). В последнее десятилетие математики стали уделять больше внимания сложным проблемам, связанным с теорией функций двух и более комплексных переменных, аналитических по каждой из переменных в отдельности.

ПРИЛОЖЕНИЯ

В естественных науках. Аналитические функции широко используются в некоторых областях науки и техники просто потому, что дают в руки исследователя удобный математический аппарат. Ч.Штейнметц (1865-1923) был первым, кто привлек внимание инженеров-электриков к тем практическим преимуществам, которые дают комплексные функции при рассмотрении проблем, связанных с переменным током. Аналогично, для упрощения процедуры решения линейных дифференциальных уравнений, возникающих в электротехнике и механике, О.Хевисайд (1850-1925) ввел формальное операционное исчисление, которое ныне вытеснено преобразованиями Лапласа и Фурье, представляющих частные случаи интегрального представления Коши из теории аналитических функций. В связи с этим при вычислении несобственных действительных интегралов, часто возникающих в практических проблемах, широко используется теория вычетов Коши.

Более основательный вклад был внесен теорией аналитических функций в гидродинамику и теорию теплопроводности. Первая точка соприкосновения - связь с понятием гармонической функции. Если функция F аналитична в области D и F(z) = u + iv, то дифференцируя уравнения Коши - Римана (7), нетрудно убедиться в том, что u и v - решения дифференциального уравнения Лапласа в частных производных

Любое решение уравнения (13) в области D называется функцией, гармонической в D. Таким образом, действительная (или мнимая) часть любой аналитической функции - функция, гармоническая всюду. Наоборот, если H - любая функция, гармоническая в односвязной области D, то она является действительной частью некоторой комплексной функции F, аналитичной в D.

Дифференциальное уравнение типа (13) возникает во многих задачах в различных областях науки и техники. Оно является математической формулировкой закона о распределении температуры в неравномерно нагретом теле. Левая часть этого уравнения входит в так называемое волновое уравнение, играющее фундаментальную роль в теории колебаний. Неудивительно, что прикладные математики широко используют методы теории функций комплексного переменного для решения своих задач.

В гидродинамике теория функций комплексного переменного используется для решения задач, связанных со установившимся плоско-параллельным течением несжимаемой безвихревой жидкости. Вектор скорости такой жидкости в точке (x, y) можно записать в виде a(x,y) + ib(x,y); в силу природы течения существует гармоническая функция u, такая, что

Функция u называется потенциалом скоростей течения. Соответствующая аналитическая функция F называется комплексным потенциалом скоростей, ее действительная часть совпадает с u. Пользуясь конформными отображениями, такую функцию можно использовать для описания линий тока при обтекании сложного профиля, погруженного в движущуюся жидкость. В аэродинамике изучение обтекания привело к открытию закона образования подъемной силы крыла самолета.

В чистой математике. Математика - не коллекция изолированных друг от друга областей. Известные доказательства возможности разложения на n множителей любого многочлена P(x) = c0 + c1x +... + cnxn основано на использовании основных идей из теории функций, в частности теоремы Лиувилля или принципа аргумента (Гаусс, 1799). Доказательство теоремы о простых числах и ее уточнения, касающиеся частоты, с которой простые числа 2, 3, 5, 7, 11, ... встречаются среди целых чисел, основана на аналитической структуре некоторых комплексных функций, введенных Риманом, Дирихле и Ж.Адамаром (1865-1963). Необходимость уточнения некоторых интуитивно очевидных свойств плоских кривых на основе интегральной теоремы Коши, привело к появлению таких топологических понятий, как гомология и гомотопия (А.Пуанкаре, 1854-1912). Позднее изучение взаимосвязи между гармоническими функциями и аналитическими функциями, определенными на многосвязных множествах, привели к созданию понятия накрывающей поверхности и к более ясному пониманию понятия римановой поверхности, первоначально введенном (в 1851) для облегчения построения теории многозначных функций. В свою очередь это послужило стимулом к разработке таких идей в теории комплексных многообразий и общей теории пучков.

ЛИТЕРАТУРА

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функционального анализа, 4 изд. М., 1976

Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976

Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1977

Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М., 1978