Возникновение и развитие математики как науки

Однако на исходный вопрос так и не было дано ответа. Свободна ли от противоречий "аксиоматическая теория множеств"? Новые попытки доказательств непротиворечивости "формализованных" теорий были предприняты в 1920-х годах Д.Гильбертом (1862-1943) и его школой и получили название "метаматематики". По существу, метаматематика представляет собой раздел "прикладной математики", где объектами, к которым применяются математические рассуждения, являются предложения формализованной теории и их расположение внутри доказательств. Эти предложения надлежит рассматривать лишь как материальные комбинации символов, производимые по некоторым установленным правилам, без каких бы то ни было ссылок на возможный "смысл" этих символов (если таковой существует). Хорошей аналогией может служить игра в шахматы: символы соответствуют фигурам, предложения - различным позициям на доске, а логические выводы - правилам передвижения фигур. Для установления непротиворечивости формализованной теории достаточно показать, что в этой теории ни одно доказательство не заканчивается утверждением 0 № 0. Однако можно возразить против использования математических аргументов в "метаматематическом" доказательстве непротиворечивости математической теории; если бы математика была противоречивой, то математические аргументы утратили бы всякую силу, и мы бы оказались в ситуации порочного круга. Чтобы ответить на эти возражения, Гильберт допустил к использованию в метаматематике весьма ограниченные математические рассуждения того типа, который считают допустимым интуиционисты. Однако вскоре К.Гёдель показал (1931), что непротиворечивость арифметики невозможно доказать столь ограниченными средствами, если она действительно непротиворечива (рамки настоящей статьи не позволяют нам изложить остроумный метод, с помощью которого был получен этот замечательный результат, и дальнейшую историю метаматематики).

Резюмируя с формалистской точки зрения сложившуюся проблемную ситуацию, мы должны признать, что она далека от завершения. Использование понятия множества ограничивалось оговорками, которые специально вводились чтобы избежать известных парадоксов, и нет никаких гарантий, что в аксиоматизированной теории множеств не возникнут новые парадоксы. Тем не менее ограничения аксиоматической теории множеств не помешали рождению новых жизнеспособных теорий.

МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНЫЙ МИР

Несмотря на заявления о независимости математики никто не станет отрицать, что математика и физический мир связаны друг с другом. Разумеется остается в силе математический подход к решению проблем классической физики. Верно и то, что в весьма важной области математики, а именно в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, процесс взаимообогащения физики и математики достаточно плодотворен.

Математика полезна при интерпретации явлений микромира. Однако новые "приложения" математики существенно отличаются от классических. Одним из важнейших инструментов физики стала теория вероятностей, которая раньше применялась главным образом в теории азартных игр и страховом деле. Математические объекты, которые физики ставят в соответствие "атомным состояниям", или "переходам", носят весьма абстрактный характер и были введены и исследованы математиками задолго до появления квантовой механики. Следует добавить, что после первых успехов возникли серьезные трудности. Это произошло в тот момент, когда физики пытались применить математические идеи к более тонким аспектам квантовой теории; тем не менее многие физики по-прежнему с надеждой взирают на новые математические теории, полагая, что те помогут им в решении новых проблем.

Математика - наука или искусство? Даже если мы включим в "чистую" математику теорию вероятностей или математическую логику, выяснится, что в настоящее время другие науки используют менее 50% известных математических результатов. Что же мы должны думать об оставшейся половине? Иначе говоря, какие мотивы стоят за теми областями математики, которые не имеют отношения к решению физических проблем?

Мы уже упоминали об иррациональности числа как о типичном представителе такого рода теорем. Другим примером может служить теорема, доказанная Ж.-Л.Лагранжем (1736-1813). Вряд ли найдется математик, который бы не назвал ее "важной" или "красивой". Теорема Лагранжа утверждает, что любое целое число, большее или равное единице, может быть представлено в виде суммы квадратов не более чем четырех чисел; например, 23 = 32 + 32 + 22 + 12. При существующем ныне положении вещей немыслимо, чтобы этот результат мог пригодиться при решении какой-нибудь экспериментальной задачи. Правда, физики имеют дело с целыми числами сегодня гораздо чаще, чем в прошлом, но целые числа, которыми они оперируют, всегда ограничены (они редко превышают несколько сотен); следовательно, такая теорема, как теорема Лагранжа, может быть "полезна" только в том случае, если применять ее к целым числам, не переходящим некоторой границы. Но стоит нам ограничить формулировку теоремы Лагранжа, как она сразу перестает быть интересной для математика, поскольку вся притягательная сила этой теоремы заключается в ее применимости ко всем целым числам. (Существует великое множество утверждений о целых числах, которые можно проверить с помощью компьютеров для очень больших чисел; но, коль скоро общего доказательства не найдено, они остаются гипотетическими и не интересны профессиональным математикам.)

Сосредоточенность на темах, далеких от непосредственных приложений, не является чем-то необычным для ученых, работающих в любой области, будь то астрономия или биология. Однако, в то время как экспериментальный результат можно уточнить и улучшить, математическое доказательство всегда носит окончательный характер. Именно поэтому трудно удержаться от искушения рассматривать математику, или по крайней мере ту ее часть, которая не имеет отношения к "реальности", как искусство. Математические проблемы не навязываются извне, и, если принять современную точку зрения, мы совершенно свободны в выборе материала. При оценке некоторых математических работ у математиков нет "объективных" критериев, и они вынуждены полагаться на собственный "вкус". Вкусы же сильно меняются в зависимости от времени, страны, традиций и отдельных личностей. В современной математике существуют мода и "школы". В настоящее время имеются три такие "школы", которые мы для удобства назовем "классицизмом", "модернизмом" и "абстракционизмом". Чтобы лучше понять различия между ними, проанализируем различные критерии, которыми пользуются математики, когда оценивают теорему или группу теорем.

(1) По общему мнению, "красивый" математический результат должен быть нетривиальным, т.е. не должен быть очевидным следствием аксиом или ранее доказанных теорем; в доказательстве должна использоваться какая-то новая идея или остроумно применены старые представления. Иначе говоря, для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудности, с которыми он столкнулся при его получении.

(2) У любой математической проблемы имеется своя история, так сказать "родословная", которая следует той же общей схеме, по которой развивается история любой науки: после первых успехов может пройти определенное время, прежде чем будет найден ответ на поставленный вопрос. Когда решение получено, история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Например, упоминавшаяся выше теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых, пятых степеней и т.д. Так возникает "проблема Варинга", до сих пор не получившая окончательного разрешения. Кроме того, если нам повезет, решенная нами проблема окажется связанной с одной или несколькими фундаментальными структурами, а это, в свою очередь, приведет к новым проблемам, связанным с этими структурами. Даже если первоначальная теория в конце концов "умирает", она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги. Современные математики столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще несколько столетий.

(3) Каждый математик согласится с тем, что, когда перед ним возникает новая задача, его обязанность - решить ее любыми возможными средствами. Когда задача касается классических математических объектов (классицисты редко имеют дело с другими типами объектов), классицисты пытаются решить ее, используя только классические средства, в то время как другие математики вводят более "абстрактные" структуры с тем, чтобы использовать общие теоремы, имеющие отношение к задаче. Это различие подходов не ново. Начиная с 19 в. математики делятся на "тактиков", стремящихся найти чисто силовое решение проблемы, и на "стратегов", склонных к обходным маневрам, дающим возможность сокрушить противника малыми силами.

(4) Существенным элементом "красоты" теоремы является ее простота. Разумеется, поиск простоты свойствен всей научной мысли. Но экспериментаторы готовы примириться с "некрасивыми решениями", лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением "патологических" результатов. С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении "патологий" теории симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий