Компьютер как средство наглядности в обучении математике

4. Отсюда на основании предыдущего следствия C = A₁C₁B₂.

5. A₁C₁B₂ = A₁C₁B₁.

6. Углы A₁C₁B₂ и A₁C₁B₁ равны между собой и не совпадают (!), что противоречит основному свойству откладывания угла.

7. Следовательно, допущение неверно, и поэтому AB = A₁B₁.

8. Тогда по первому признаку равенства треугольников ABC = A₁B₁C₁.

Замечания: 1. Второй признак равенства треугольников имеет и другое название -- «признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам».

2. Примененный выше метод доказательства называется методом от противного. Этот метод каждый раз начинается с отрицания того, что нужно доказать.

Перед рассмотрением следующего признака равенства треугольников, учащиеся познакомятся с равнобедренным треугольником и его свойством.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны (АВ и ВС, рис. 12) называются боковыми, а третья сторона (AC) -- основанием.

Теоремы 1 (об углах при основании равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2 (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.

\

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14

Доказательства. 1. Пусть АВ = ВС (рис. 13), BK-- биссектриса ABC.

В треугольниках АВК и СВК АВ = ВС, BK-- общая сторона, АВК = СВК. Тогда по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) АВК = СВК. Из их равенства следует, что A=C.

2. Замысел доказательства третьего признака.

Пусть ABC и A₁B₁C₁ (рис. 14) -- данные треугольники. Построим еще третий треугольник A₁B₂C₁ следующим образом:

C₁A₁B₂ = A и A₁C₁B₂ = C.

Докажем, что данные треугольники равны A₁B₂C₁. Отсюда будет следовать, что они равны между собой. При этом возможны три случая. Рассмотрим один из них.

Доказательство третьего признака.

1. ABC = A₁B₂C₁ на основании второго признака (по стороне и двум прилежащим углам).

2. Для доказательства равенства треугольников A₁B₁C₁ и A₁B₂C₁ выполним дополнительное построение: построим отрезок B₁B₂.

3. Так как A₁B₂C₁ = АВС, то A₁B₂ = АВ; кроме того, A₁B₁ = АВ. Поэтому A₁B₂= A₁B₁ и, значит, A₁B₁B₂ -- равнобедренный.

4. Аналогично доказывается, что C₁B₁B₂--равнобедренный.

5. По предыдущей теореме A₁B₁B₂ = A₁B₂B₁ и C₁B₁B₂ = C₁B₂B₁.

6. Отсюда A₁B₁C₁ = A₁B₂C₁.

7. Тогда A₁B₁C₁ = A₁B₂C₁ по двум сторонам и углу между ними.

8. Если треугольники АВС и A₁B₁C₁ равны треугольнику A₁B₂C₁, то они равны между собой.

Замечания: 1. Третий признак равенства треугольников имеет и другое название -- «признак равенства треугольников по трем сторонам».

2. В рассмотренном случае углы А и А₁--острые. В двух других возможных случаях эти углы соответственно прямые и тупые. (Эти случаи рекомендуется рассмотреть самостоятельно.)

2.2 Особенности учебного материала, связанные с графическими иллюстрациями. Описание программы “Равенство треугольников”

При изучении равенства может быть широко использована компьютерная графика, при этом возможны иллюстрации двух типов:

а) статичная иллюстрация равенства двух треугольников (изображение двух равных треугольников общего вида, отмечается черточками и дугами равные стороны и углы, приводится краткая символическая запись определения; активизация познавательной деятельности осуществляется с помощью заданий, связанных с приводимым рисунком);

б) динамическая иллюстрация, показывающая совмещение равных треугольников с помощью движения, процесс движения при этом показывается на экране.

Первый признак равенства треугольников также допускает демонстрации в указанных выше двух режимах: статичном и динамическом. Аналогичные демонстрации предложены для введения второго и третьего признака равенства треугольников.

При изложении доказательств демонстрации призваны были показать последовательность дополнительных построений, их поэтапное выполнение (в соответствии с последовательностью шагов доказательства).

Программа “Равенство треугольников” написана на языке программирования Visual Basic под операционную систему Windows 9x. Программа состоит из 15 демонстраций:

1) Статичная демонстрация - Определение равенства треугольников;

2) Динамическая демонстрация - Определение равенства треугольников;

3) Тест - Определение равенства треугольников;

4) Статичная демонстрация - Первый признак равенства треугольников;

5) Динамическая демонстрация - Первый признак равенства треугольников;

6) Тест Первый признак равенства треугольников;

7) Статичная демонстрация - Второй признак равенства треугольников;

8) Динамическая демонстрация - Второй признак равенства треугольников;

9) Тест - Второй признак равенства треугольников;

10) Демонстрация к доказательству второго признака равенства треугольников;

11) Статичная демонстрация - Третий признак равенства треугольников;

12) Динамическая демонстрация - Третий признак равенства треугольников;

13) Тест - Третий признак равенства треугольников;

14) Общий тест на предыдущие пункты;

15) Демонстрация к доказательству третьего признака равенства треугольников.

При запуске программы появляется окно приглашения (рис. 26).

Рис. 26

После нажатия кнопки “Запуск” начнется выполнение программы.

На синей полосе вверху каждой демонстрации будет приведена тема данного кадра.

Под синей полосой на белом фоне текущая демонстрация.

Внизу экрана расположена кнопка перехода к следующей демонстрации.

Демонстрация 1 (приложение № 1, рис. 1).

На синей полосе надпись “ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ”. Это тема данного кадра. На экране нарисованы два равных треугольника ABC и A₁B₁C₁. Отмечены равные стороны и углы, причем равные стороны выделены одинаковым цветом.

Ниже, слева, дана символьная запись определения равенства треугольников, а, справа словесная.

Нажав кнопку “Демонстрация 2” переходим к второй демонстрации.

Демонстрация 2 (приложение № 1, рис. 2).

Это динамическая демонстрация. Контур треугольника ABC движется и совмещается с треугольником A₁B₁C₁. Этот процесс продолжается 3 раза. Ниже рисунка дано определение равенства треугольников. Кнопка “Тест” включается после первого совмещения треугольников. Нажав на нее, перейдем к третьей демонстрации.

Демонстрация 3 (приложение № 1, рис. 3).

Это тест. Ученику предложен вопрос и ответы на него. Выбрав правильные, ученик переходит к “Демонстрации 4” .

Демонстрация 4 (приложение № 1, рис. 4).

Демонстрация 4 это кадр, с которого начинается цикл кадров посвященных первому признаку равенства треугольников. Приведены два равных треугольника. Отмечены равные углы и две равные стороны треугольников, причем они выделены цветами. Приведена символьная и словесная запись первого признака равенства треугольников.

Демонстрация 5 (приложение № 1, рис. 5).

Это динамическая демонстрация. Контур треугольника ABC движется и совмещается с треугольником A₁B₁C₁. Этот процесс продолжается 3 раза. Ниже рисунка первый признак равенства треугольников. Кнопка “Тест” включается после первого совмещения треугольников. Нажав на ее перейдем к шестой демонстрации.

Демонстрация 6 (приложение № 1, рис. 6).

Это тест к первому признаку равенства треугольников. Ученику необходимо выбрать правильные утверждения. Выбрав, ученик переходит к “Демонстрации 7” .

Демонстрация 7 (приложение № 1, рис. 7).

Демонстрация 7 ко второму признаку равенства треугольников. Приведены два равных треугольника. Отмечены равные углы и две равные стороны треугольников, причем равные стороны выделены красным цветом. Приведена символьная и словесная запись второго признака равенства треугольников.

Демонстрация 8 (приложение № 1, рис. 8).

Это динамическая демонстрация. Контур треугольника ABC движется и совмещается с треугольником A₁B₁C₁. Этот процесс продолжается 3 раза. Ниже рисунка приводится текст второго признака равенства треугольников. Кнопка “Тест” включается после первого совмещения треугольников. Нажав на ее перейдем к девятой демонстрации.

Демонстрация 9 (приложение № 1, рис. 9).

Демонстрация 10 (приложение № 1, рис. 10, 11, 12).

В следующих трех кадрах приведена динамическая демонстрация доказательства второго признака равенства треугольников.

На рисунке два треугольника, с отмеченными равными сторонами и углами, и под ними символьная запись второго признака равенства треугольников. Показывается построение A₁B₁C₂. Строится A₁C₂, затем B₁C₂. Треугольник A₁B₁C₂ задерживается на экране 5 секунд, затем строится заново. После трех построений треугольник остается на экране.

Демонстрация 11 (приложение № 1, рис. 13).

Это статическая демонстрация к третьему признаку равенства треугольников. Приведены два равных треугольника. Отмечены равные стороны треугольников, причем равные стороны выделены одинаковыми цветами. Приведена символьная и словесная запись третьего признака равенства треугольников.

Демонстрация 12 (приложение № 1, рис. 14).

Это динамическая демонстрация. Контур треугольника ABC движется и совмещается с треугольником A₁B₁C₁. Этот процесс продолжается 3 раза. Ниже рисунка приводится текст теоремы (третий признак равенства треугольников). Кнопка “Тест” включается после первого совмещения треугольников. Нажав на ее перейдем к тринадцатой демонстрации.

Демонстрация 13 (приложение № 1, рис. 15).

Демонстрация 14 (приложение № 1, рис. 16).

Тест по всем пройденным трем признакам равенства треугольников и определению равенства треугольников.

Демонстрация 15 (приложение № 1, рис. 17-20).

Доказательство третьего признака равенства треугольников.

3. Планирование и анализ урока с использованием программы “Равенство треугольников”

Урок с помощью компьютера может проводится по-разному: либо компьютер используется при изучении данной темы, нового материала, либо на этапе обзора, систематизации и закрепления данной темы.

В начале учеников знакомят с тем, что им предстоит сделать. То есть, повторить с помощью компьютера определение и признаки равенства треугольников, вспомнить доказательства второго и третьего признаков, ответить на тесты программы.

Первый этап.

Дети самостоятельно работают за компьютерами, смотрят предложенные демонстрации и отвечают на вопросы тестов.

Второй этап.

На втором этапе проводится совместная работа учителя и класса. Разбирается каждая демонстрация, например, ученик читает вслух какой-то признак или определение. В тесте отмечаются правильные ответы и ответы учеников. Разбирается каждое утверждение из теста. В демонстрациях 10 и 15 (доказательства второго и третьего признаков) ученики сами рассказывают замысел доказательства.

Урок по представленному плану проводился в 9 классе средней школы №11 Зимовниковского района в 2004/2005 учебном году. Было 15 учеников (по количеству компьютеров).

Были поставлены следующие цели урока:

1. Развить интерес у учеников к математике и информатике.

2. Исследовать возможности компьютерной графики для применения на уроках геометрии, в частности на теме “Равенство треугольников”.

3. Исследовать роль учителя и его возможное поведение на интегрированном уроке.

Охарактеризуем кратко проведенный урок.

После пятиминутного объяснения о том, что им предстоит сделать дети сели за компьютеры. Они были уведомлены, что после окончания работы им раздадут тест для проверки усвоенных знаний.

Спустя 10 минут тест попросил первый ученик. Это был достаточно сильный ученик. В течение следующих 5-10 минут тесты взяли остальные ученики.

За время занятий на компьютерах я не играл активной роли. При возникновении вопроса я подходил к ученику и помогал разрешить возникший у него вопрос. То есть моя помощь детям была индивидуальна. Я заметил, что вопросы дети, в зависимости от своего уровня развития, ставили совершенно разные. У сильных учеников вопросы носили более глубокий характер, чем у остальных. Из чего можно сделать вывод, что, объясняя данную тему на обычном уроке, я не смог бы индивидуально работать с каждым учеником и много вопросов остались бы неразрешенными для детей.

Затем я попросил учеников ответить на вопросы теста еще раз, но уже с помощью компьютера. То есть дети сами себя проверяли, находили свои ошибки или утверждались в правильности своих ответов. Это заняло от 5-10 минут, в течение которых я помогал детям, у которых возникли вопросы.

Следует заметить, что у сильных учеников вопросы возникали реже или не возникали вообще. Из чего следует, что такие программы должны носить дифференцированный характер, то есть материал должен быть различным для сильных и слабых учеников.

Затем дети сели за парты и я у доски подводил итоги и задавал вопросы по теме. По их поведению было понятно, что они знают ответ или находятся близко от него. Но правильно выразить свою мысль словами для них было затруднительно.

В заключении один из сильных учеников доказал теорему об угле вписанном в окружность.

Выводы:

В целом прошедшим уроком я остался удовлетворен. Были получены некоторые сведения о роли учителя на таких интегрированных уроках, о том, какой должна быть обучающая программа.

Урок показал, что компьютер не берет на себя все функции учителя, а только помогает ему в проведении урока и распределении своего внимания на разных учеников.

В целом поставленные мной цели были достигнуты. Можно сделать вывод, что такие программы являются перспективным направлением в обучении математике и другим естественным и гуманитарным дисциплинам.

Заключение

Сейчас, когда идет повсеместное внедрение средств новых информационных технологий во все сферы деятельности человека и в образовательный процесс в частности, остро ощущается нехватка программных средств. Для усиления эффективности этого процесса необходимо наличие развитого программного обеспечения, а также разработанной методической базы. В этих условиях тема выполненной дипломной работы и предмет ее исследования представляется очень своевременным.

В данной работе делалась попытка собрать методический материал для разработки обучающих программ, обобщить опыт по их созданию и разработать такую программу.

Из проведенной работы можно сделать следующие выводы:

· разработка обучающих программ и их внедрение в процесс обучения позволяет освободить для учителя время для индивидуальной работы с учениками во время занятий, то есть дифференцировать процесс обучения в каждом классе;

· компьютер не призван заменить учителя на уроке, а лишь помочь учителю улучшить процесс обучения;

· разработка обучающих программ является перспективным направлением в области улучшения качества образования.

Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. Для 7 9 кл. с углубл. Изуч. Математики. Мн.: Нар. Асвета, 1997.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. М.: Просвещение, 1992.

3. Болтянский В.Г. Информатика и преподавание математики // Математика в школе. 1989, №4 с.86-90.

4. Болтянский В.Г., Рубцов В.В. Проблемы компьютеризации обучения // Математика в школе. 1986, №1 с. 69-72.

5. Ганчев И., Кучннов И., Данова Т., Данов К. Из опыта компьютеризации в школах Болгарии // Математика в школе. 1987, №3 с. 70-72.

6. Гарнаев А.Ю. Visual Basic 6.0: разработка приложений. // СПб.: BHV-Петербург, 2001.

7. Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование // Математика в школе. 1989, №1 с.14-31.

8. Исаков В.Н. Сценарий компьютерного курса “Степные функции” // Математика в школе. 1997, №2 с.37-42.

9. Киселева А.П. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1980.

10. Кузнецов Э.И. Новые информационные технологии и обучение математике // Математика в школе. 1990, №5 с. 5-8.

11. Марюков М.Н. Компьютерные обучающие системы в геометрии // Математика в школе. 1997, №2 с.35-37.

12. Монахов В.М. Перспективы разработки и внедрения новой информационной технологии обучения на уроках математики // Математика в школе. 1991, №3 с.58-62.

13. Монахов В.М. Что такое новая информационная технология обучения // Математика в школе. 1990, №2 с.47-53.

14. Пенкин А.Ф. Об организации межпредметной связи курсов алгебры и информатики // Математика в школе. 1991, №5 с.11.

15. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Пособие для 6 10 кл. М.: Просвещение, 1998.

16. Райтингер М., Муч Г. Visual Basic 6.0: для пользователя: пер. с нем. // К.: Издательская группа BHV, 1999.

17. Скобелев Г.Н. Компьютер и школьная лекция // Математика в школе. 1990, №2 с.14.

18. Смола М.Н. Сценарий программы по теме “Подобие треугольников” // Математика в школе. 1993, №2 с.31-32.

19. Соколов А.В. Тема “Равенство треугольников” обрабатывается на компьютере // Математика в школе. 1993, № 5 с.51-52.

20. Титаренко Г. Visual Basic 6.0 // СПб.: BHV-Петербург, 2001.

21. Цукарь А.Я. Применение ЭВМ в обучении математике // Математика в школе. 1991, №2 с. 26-28.

Приложения

Демонстрации к программе «Равенство треугольников»

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Рис.9

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Рис.16

Рис.17

Рис.18

Рис.19

Рис.20