Способы решения систем линейных уравнений

Различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Основные понятия матрицы и действия над ними. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Правило Крамера, система n линейных уравнений с n неизвестными.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 06.03.2010
Размер файла 72,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

В = 2 7 3 0 ~ 0 1 7 -20 ~ .

3 10 1 10 0 1 7 -20 0 1 7 -20

Из коэффициентов полученной матрицы составим систему, равносильную исходной:

x1 + 3x2 - 2x3 = 10;

x2 + 7x3 = -20.

Из второго уравнения выразим x2 через x3: х2 = -20 - 7x3. Поставив в первое уравнение системы значение x3, получим x1 = 70 + 23x3. Итак, имеем общее решение исходной системы:

x1 = 70 + 23x3;

x2 = -20 - 7x3.

Пример 3. Решить систему уравнений

x1 + x2 - 3x3 = 5;

2x1 - 3x2 + 2x3 = -3;

3x1 + 2x2 + x3 = 7.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее:

1 1 -3 5 1 1 -3 5 1 1 -3 5

В = 2 -3 2 -3 ~ 0 -5 8 -13 ~ 0 -5 8 -13 .

3 -2 -1 7 0 -5 8 -8 0 0 0 5

Составим систему уравнений, равносильную исходной:

x1 + x2 - 3x3 = 5;

- 5x2 + 8x3 = -13;

0x1 + 0x2 + 0x3 = 5.

Система уравнений решений не имеет, так как мы получили уравнение 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5, которое не имеет решений.

2.5 Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (14) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (14) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (14)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (14) составим матрицу

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

……………………

am1 am2 … amn

которую назовем основной матрицей системы (14), и матрицу

a11 a12 … a1n b1

B = a21 a22 … a2n b2

……………………… …… (26)

am1 am2 … amn bm

которую назовем расширенной матрицей системы (14).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c1, c2, ..., сп - некоторое ее решение.

Тогда имеют место равенства:

а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1;

а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2;

……………………………

аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2, ..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz, ..., сп -- решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.

b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn ;

b2 = а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn ;

………………………………

bm = аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn,

где c1, c2, ..., сп -- коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x1 = c1, ..., хп = сп, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера - Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7;

2x1 + x2 - 4x3 - 2x4 = 1;

x1 - 3x2 + 6x3 - 5x4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например

5 -1 = 7,

2 1

а все миноры третьего порядка равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например

5 -1 7

2 1 1 = -35.

1 -3 0

Согласно критерию Кронекера - Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Пример 2. При каких k совместна система уравнений

x + ky = 3,

kx + 4y = 6?

Поскольку r ? 0, то эта система совместна в двух случаях: когда ? ? 0

И когда R = r = 1. Поэтому рассмотрим два случая.

1) Если ? = 0, т.е. если r ? 0, т.е. если k2 ? 4, то по правилу Крамера система имеет единственное решение.

Значит, для любого k, кроме k = 2 и k = -2, система имеет единственное решение.

2) Если R = r = 1, т.е. если

1 k = 3 k = 1 3 = 0,

k 4 6 4 k 6

т.е. если k = 2, то система совместна.

Подводя итог, получаем, что исходная система совместна при любых k кроме k = -2.

Используя критерий Кронекера - Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

a1x + b1y = c1,

a2x + b2y = c2. (26)

Основная матрица этой системы

a1 b1

a2 b2

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a1 b1 с1

a2 b2 с2

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (26). Тогда:

Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a1, a2, b1, b2, c1, c2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (26).

Если r = 0, R = 1, т.е. a1 = a2 = b1 = b2 = 0 и c + c ? 0, то система (26) не имеет решений.

Если r =1, R = 1, то система (26) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

Если r = 1, R = 2, то система (26) не имеет решений.

Если r = 2, R = 2, то система (26) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

Если система (26) имеет единственное решение, то r = R =2.

Если любая пара действительных чисел является решением системы (26), то r = R = 0.

Если система (26) не имеет решений, то r ? R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (26) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (26) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ? 0, a + b ? 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (26)

Теорема 2.2 Пусть две прямые заданы уравнениями

a1x + b1y - c1 = 0,

a2x + b2y - c2 = 0, (27)

где a + b ? 0, a + b ? 0.

Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем достаточность условий.

Если r = R = 2, то система (27) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

Если r = 1, R = 2, то система (27) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a1 b1 = 0, c1 b1 = 0, a1 c1 = 0.

a2 b2 c2 b2 a2 c2

Эти условия можно переписать так:

a1b2 = b1a2, (28)

c1b2 = b1c2, (29)

a1c2 = c1a2. (30)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а1 = 0, то b1 ? 0, так как a1 + b1 ? 0. Тогда из (28) следует, что а2 = 0, а так как a2 + b2 ? 0, то b2 ? 0. Тогда из (29) находим, что c1/b1 = c2/b2 = б и при этом уравнения прямых примут вид

b1(y - б) = 0, b2(y - б) = 0. Поскольку b1 ? 0, b2 ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y - б = 0.

б) Если b1 = 0, то а1 ? 0, а из (28) тогда следует, что b2 = 0(причем 2 ? 0). Тогда из (30) имеем c1/a1 = c2/a2 = в, и поэтому уравнения прямых примут вид а1(x - в) = 0, а2(x - в) = 0. Поскольку а1 ? 0, а2 ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x - в = 0.

в) Если а1 ? 0 и b1 ? 0, то из (28) вытекает, что а2/a1 = b2/b1 = г, а из (29) и (30) вытекает, что с2 = b2c1/b1 = a2c1/a1. Т.е. получаем, что а2 = га1, b2 = гb1, c2 = гc1, и поэтому уравнения прямых примут видa1x + b1y - c1 = 0, г(a1x + b1y - c1)= 0. Поскольку г ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Т е о р е м а д о к а з а н а п о л н о с т ь ю.

Заключение

Работа над рефератом была очень интересной.

? в процессе работы я узнала много нового;

? я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;

? теперь я знаю, какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, и ещё в своей работе я изучила многие другие теоретические вопросы;

? также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

Список литературы

А.А.Дадаян. Алгебра и геометрия./А.А.Дадаян, В.А.Дударенко. Минск: „Вышэйная школа”, 1989г.

Ф.Р.Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р.Гантмахер. Москва: „Наука”, главная редакция физико-математической литературы, 1967г.

Математический энциклопедический словарь. Москва: „Советская энциклопедия”, 1988г.

Л.Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”./Л.Андреева. Анжеро-Судженск. 1999г.

Д.К.Фаддеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К.Фадеев, И.С.Саминский. Москва: „Наука”, 1977г.


Подобные документы

  • Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.

    контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009

  • Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.

    курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012

  • Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.

    лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010

  • Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.

    реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011

  • Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.

    контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010

  • Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.

    лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014

  • Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

    реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009

  • Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.

    лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008

  • Примеры операций над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, две его составляющие: прямой и обратный ходы. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы.

    контрольная работа [33,2 K], добавлен 05.02.2009

  • Ознакомление с основами метода Гаусса при решении систем линейных уравнений. Определение понятия ранга матрицы. Исследование систем линейных уравнений; особенности однородных систем. Рассмотрение примера решения данной задачи в матрической форме.

    презентация [294,9 K], добавлен 14.11.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.