Способы решения систем линейных уравнений

x₁ + 3x₂ - 2x₃ = 10;

x₂ + 7x₃ = -20.

Из второго уравнения выразим x₂ через x₃: х₂ = -20 - 7x₃. Поставив в первое уравнение системы значение x₃, получим x₁ = 70 + 23x₃. Итак, имеем общее решение исходной системы:

x₁ = 70 + 23x₃;

x₂ = -20 - 7x₃.

Пример 3. Решить систему уравнений

x₁ + x₂ - 3x₃ = 5;

2x₁ - 3x₂ + 2x₃ = -3;

3x₁ + 2x₂ + x₃ = 7.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее:

1 1 -3 5 1 1 -3 5 1 1 -3 5

В = 2 -3 2 -3 ~ 0 -5 8 -13 ~ 0 -5 8 -13 .

3 -2 -1 7 0 -5 8 -8 0 0 0 5

Составим систему уравнений, равносильную исходной:

x₁ + x₂ - 3x₃ = 5;

- 5x₂ + 8x₃ = -13;

0x₁ + 0x₂ + 0x₃ = 5.

Система уравнений решений не имеет, так как мы получили уравнение 0x₁ + 0x₂ + 0x₃ = 5, которое не имеет решений.

2.5 Критерий совместности общей

системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (14) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (14) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (14)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (14) составим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которую назовем основной матрицей системы (14), и матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (26)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (14).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c₁, c₂, ..., с_п - некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n = b₁;

а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁, с₂, ..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z, ..., с_п -- решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.

b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n ;

b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n ;

_. …………………………………

b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n,

где c₁, c₂, ..., с_п -- коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x₁ = c₁, ..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера - Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

5x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 7;

2x₁ + x₂ - 4x₃ - 2x₄ = 1;

x₁ - 3x₂ + 6x₃ - 5x₄ = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например

5 -1 = 7,

2 1

а все миноры третьего порядка равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например

5 -1 7

2 1 1 = -35.

1 -3 0

Согласно критерию Кронекера - Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Пример 2. При каких k совместна система уравнений

x + ky = 3,

kx + 4y = 6?

Поскольку r ? 0, то эта система совместна в двух случаях: когда ? ? 0

И когда R = r = 1. Поэтому рассмотрим два случая.

1) Если ? = 0, т.е. если r ? 0, т.е. если k² ? 4, то по правилу Крамера система имеет единственное решение.

Значит, для любого k, кроме k = 2 и k = -2, система имеет единственное решение.

2) Если R = r = 1, т.е. если

1 k = 3 k = 1 3 = 0,

k 4 6 4 k 6

т.е. если k = 2, то система совместна.

Подводя итог, получаем, что исходная система совместна при любых k кроме k = -2.

Используя критерий Кронекера - Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

a₁x + b₁y = c₁,

a₂x + b₂y = c₂. (26)

Основная матрица этой системы

a₁ b₁

a₂ b₂

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a₁ b₁ с₁

a₂ b₂ с₂

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (26). Тогда:

Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (26).

Если r = 0, R = 1, т.е. a₁ = a₂ = b₁ = b₂ = 0 и c + c ? 0, то система (26) не имеет решений.

Если r =1, R = 1, то система (26) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

Если r = 1, R = 2, то система (26) не имеет решений.

Если r = 2, R = 2, то система (26) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

Если система (26) имеет единственное решение, то r = R =2.

Если любая пара действительных чисел является решением системы (26), то r = R = 0.

Если система (26) не имеет решений, то r ? R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (26) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (26) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ? 0, a + b ? 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (26)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a₁x + b₁y - c₁ = 0,

a₂x + b₂y - c₂ = 0, (27)

где a + b ? 0, a + b ? 0.

Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

Если r = R = 2, то система (27) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

Если r = 1, R = 2, то система (27) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a₁ b₁ = 0, c₁ b₁ = 0, a₁ c₁ = 0.

a₂ b₂ c₂ b₂ a₂ c₂

Эти условия можно переписать так:

a₁b₂ = b₁a₂, (28)

c₁b₂ = b₁c₂, (29)

a₁c₂ = c₁a₂. (30)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а₁ = 0, то b₁ ? 0, так как a₁ + b₁ ? 0. Тогда из (28) следует, что а₂ = 0, а так как a₂ + b₂ ? 0, то b₂ ? 0. Тогда из (29) находим, что c₁/b₁ = c₂/b₂ = б и при этом уравнения прямых примут вид

b₁(y - б) = 0, b₂(y - б) = 0.

Поскольку b₁ ? 0, b₂ ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y - б = 0.

б) Если b₁ = 0, то а₁ ? 0, а из (28) тогда следует, что b₂ = 0(причем

а₂ ? 0). Тогда из (30) имеем c₁/a₁ = c₂/a₂ = в, и поэтому уравнения прямых примут вид а₁(x - в) = 0, а₂(x - в) = 0. Поскольку

а₁ ? 0, а₂ ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x - в = 0.

в) Если а₁ ? 0 и b₁ ? 0, то из (28) вытекает, что а₂/a₁ = b₂/b₁ = г, а из (29) и (30) вытекает, что с₂ = b₂c₁/b₁ = a₂c₁/a₁. Т.е. получаем, что

а₂ = га₁, b₂ = гb₁, c₂ = гc₁, и поэтому уравнения прямых примут вид

a₁x + b₁y - c₁ = 0, г(a₁x + b₁y - c₁)= 0. Поскольку г ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Теорема доказана полностью.

Заключение.

Работа над рефератом была очень интересной.

? в процессе работы я узнала много нового;

? я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;

? теперь я знаю, какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, и ещё в своей работе я изучила многие другие теоретические вопросы;

? также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Способы решения систем линейных уравнений ", а также в качестве дополнительного материала.

Список литературы:

1. А.А.Дадаян. Алгебра и геометрия./А.А.Дадаян, В.А.Дударенко. Минск: „Вышэйная школа", 1989г.

2. Ф.Р.Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р.Гантмахер. Москва: „Наука", главная редакция физико-математической литературы, 1967г.

3. Математический энциклопедический словарь. Москва: „Советская энциклопедия", 1988г.

4. Л.Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений"./Л.Андреева. Анжеро-Судженск. 1999г.

5. Д.К.Фаддеев. „Сборник задач по высшей алгебре"./ Д.К.Фадеев, И.С.Саминский. Москва: „Наука", 1977г.