Структура и гидродинамическая устойчивость закрученных потоков с зонами рециркуляции

Исследована задача смешения турбулентных потоков в осесимметричном канале с произвольной формой боковой поверхности. Данная проблема актуальна в связи с разработкой экологически чистой технологии сжигания природного топлива в современных ТЭС. Комбинированные высотные сооружения (КВС), предназначенные для этой цели, объединяют дымовую трубу и мокрую градирню. Принцип работы такого устройства состоит в следующем. Дымовой газ, предварительно очищенный в установке сероудаления, подается в нижней части вытяжной башни в поток воздуха, разогретого в теплообменнике. При движении по вытяжной трубе поток дыма смешивается с теплым воздухом и за счет естественной тяги удаляется в атмосферу. Типичные значения параметров КВС составляют: диаметр основания 90 м, высота 100 м, расход дымовых газов во внутреннем потоке 300 м³/с при температуре газов 120єС, расход воздуха для внешнего потока 5000 м³/с при температуре газов 70єС.

Схема рассматриваемого течения изображена на рис. 21. Закрученный поток дымового газа поступает в центральную часть входного сечения вытяжной трубы. Внешний незакрученный поток теплого воздуха подается коаксиально .

Постановка задачи основана на использовании параболизованных уравнений Навье-Стокса и алгебраической модели турбулентности. Решение проводится методом поверхностей равных расходов. Для этого в цилиндрической системе координат определяются гладкие линии

, ,

каждая из которых представляет линию тока и удовлетворяет уравнению

при . (35)

Сетка линий заранее неизвестна и строится вместе с решением ( - ось симметрии, а - стенка канала). Рассматривая в качестве неизвестных функции

,

и интегрируя каждое уравнение из системы законов сохранения массы смеси, импульса, энергии и массы примесей в приближении пограничного слоя по от до с учетом (35), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений на каждой линии :

,

, (36)

, , .

Здесь , , - осевая, радиальная и азимутальная составляющая скорости соответственно, - температура, - концентрация примеси, - плотность, - давление, - показатель адиабаты, точка означает дифференцирование по .

Система уравнений (36) записана в безразмерном виде. Для этого , , , , , отнесены соответственно к максимальным значениям , , , , , внутренней струи на входе в канал, а - к . Три безразмерных параметра системы (36) , , представляют собой число Фруда, параметр закрутки и аналог числа Маха : , в которых - ускорение силы тяжести, - удельная теплоемкость.

В рассматриваемом приближении давление определяется уравнением

,

которое после интегрирования может быть записано в виде:

.

Для нахождения вычисляется по формуле средних, рассчитывается по соответствующим рекуррентным соотношениям и определяется интегрированием уравнения

, (37)

.

Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнений системы (36), (37), в которых и - соответствующие диссипативные члены.

Граничные условия на оси течения для неизвестных системы (36) следуют из условий симметрии. В пристенной части течения по мере движения газа развивается пограничный слой. В данном исследовании считалось, что пограничный слой является тонким и зона равномерного течения простирается до стенки, поэтому принималось

.

Система уравнений (36)-(37) замыкается заданием модели турбулентности. Принимается алгебраическая модель на основе представления о величине длины пути смешения Прандтля, которая для закрученных течений связана с турбулентной вязкостью следующим образом:

, (38)

где индекс принимает значения для осевого направления и для азимутального. Безразмерные значения эмпирических констант задавались равными: ; .

Расчеты проводились при следующих распределениях в начальном сечении :

(39)

где . Область решения определялась длиной , боковая поверхность принималась либо цилиндрической , либо задавалась уравнением .

Основное внимание при исследовании процесса смешения двух турбулентных потоков уделялось влиянию закрутки внутренней струи на характеристики течения. Полученные результаты показывают, что закрутка внутренней струи приводит к замедлению потока и образованию минимума в распределении скорости на оси течения (рис. 22). Определено критическое значение закрутки , при которой возможно проведение расчетов на основе параболизованных уравнений Навье-Стокса. Другой эффект в распределении осевой скорости связан с разгоном струи за счет действия подъемной силы.

В распределении азимутальной скорости наиболее важное свойство заключается в следующем. При слабой закрутке (0,2) за счет действия подъемной силы, обусловленной разностью температур, поток увеличивает скорость своего вращения. Умеренная закрутка 1 полностью ликвидирует эффект усиления вращения потока, и максимум азимутальной скорости монотонно убывает вдоль оси течения.

Во всех случаях закрутка потока способствует более быстрому выравниванию температур по длине канала. Протяженность области выравнивания температур слабо зависит от значения температуры внешнего потока и определяется в основном значением закрутки внутренней струи.

Концентрация вредных примесей на выходе из канала уменьшается в 2-4 раза. С увеличением закрутки, благодаря эффективному смешению потоков, концентрация примесей снижается на более близком расстоянии от входного сечения. На выходе из вытяжной трубы значение концентрации незначительно зависит от начальной закрутки внутренней струи.

Наглядное представление, как организовано течение внутри вытяжной трубы, можно получить из рис. 23. Линии тока достаточно быстро сходятся к центру по мере увеличения расстояния . Эту информацию можно использовать для профилирования стенок вытяжной трубы с целью сокращения габаритов возводимого сооружения, уменьшения расходов на материалы и повышения устойчивости конструкции.

В приложении приведены вычислительные алгоритмы, которые применяются для решения полной системы уравнений Навье-Стокса и исследований устойчивости закрученных течений методом нормальных мод. Рассмотрен прямой метод неполной редукции для решения уравнения Пуассона относительно функции тока, проведено сравнение различных конечно-разностных схем для аппроксимации конвективных членов в уравнениях переноса и представлен метод решения соответствующих сеточных уравнений. Для задачи нахождения собственных значений получены асимптотические решения в окрестности особых точек в виде степенных рядов по методу Фробениуса.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведено численное исследование закрученных течений в осесимметричном канале и неограниченной среде на основе разработанных алгоритмов и программ. Результаты расчетов представлены в виде картин линий тока и профилей скорости в различных поперечных сечениях потока. Рециркуляционные зоны во всех исследованных случаях имели тороидальную структуру. При достаточно сильной закрутке вниз по потоку за первой зоной противотока формировалась вторая область возвратного течения, более протяженная по осевой координате с меньшей скоростью рециркуляции. Для течений в осесимметричном канале посредством дополнительной радиальной подачи жидкости через боковую поверхность можно влиять на форму и размеры рециркуляционных зон вплоть до полного их устранения. В задаче о взаимодействии струи с кольцевым закрученным потоком в приосевой части потока возможно образование кольцевой зоны рециркуляции. Для коаксиально закрученных потоков в вихревых камерах наличие приосевой зоны рециркуляции зависит от значения и направления скорости вращения внешнего потока. При увеличении сильной закрутки внешнего потока в противоположном и в одинаковом направлениях по отношению к внутреннему потоку размеры рециркуляционной зоны увеличиваются. Увеличение умеренной закрутки внешнего потока может приводить как к увеличению приосевой области возвратного течения, так и к ее уменьшению вплоть до полного ее исчезновения. Впервые получены картины линий тока с двухъячеистой структурой зоны рециркуляции.

2. Разработан метод расчета двухфазных вихревых течений, основанный на конвективно-диффузионной модели в приближении пассивной примеси. Представленный метод позволяет проводить расчеты течений смесей газа с мелкими малоинерционными частицами с потерей массы частиц осаждением на стенках за счет действия центробежных (или гравитационных) сил. На основе данного метода проведено численное моделирование различных технических устройств: вихревого распылителя, классификатора частиц по размерам, пылеотделителя, гидротехнического отстойника. Получены картины распределения концентрации частиц в различные моменты времени. Используемая математическая модель позволяет описать основные свойства исследуемых течений - образование рециркуляционных областей, возникновение разряжения в приосевой части потока под действием закрутки и унос частиц из потока путем их осаждения.

3. Продемонстрирована возможность использования применяемого метода расчета ламинарных закрученных течений для моделирования турбулентных закрученных течений путем перехода к эффективным значениям определяющих параметров.

4. Разработана математическая модель распространения аэрированной струи в массиве жидкости для задачи строительства очистных и аэрационных сооружений. На основе метода интегральных соотношений получена система уравнений баланса массы и импульса, для которой сформулирована задача Коши. Методом Рунге-Кутта получены численные решения, характеризующие глубину проработки водоема в зависимости от угла наклона подаваемой струи. Представленные расчетные зависимости позволяют проводить поиск оптимальных вариантов установки аэраторов в системах струйной аэрации.

5. Разработана математическая модель смешения турбулентных потоков в осесимметричном канале с произвольной формой боковой поверхности для экологически чистой технологии сжигания природного топлива в современных ТЭС. Рассчитаны поля течений, распределения температур и концентраций в вытяжной трубе комбинированного высотного сооружения. Показано, что начальная закрутка способствует интенсификации процесса смешения. Особый интерес для течений в вытяжной трубе представляет слабая и умеренная закрутка внутренней струи дымовых газов, при которой в потоке наблюдается эффект дополнительного вращения. Сильная закрутка приводит к резкому торможению потока и возможному образованию приосевой зоны возвратного течения. Представленный метод позволяет проводить поиск оптимальных режимов течения в комбинированных высотных сооружениях и других устройствах для выброса в атмосферу дыма и газов, содержащих вредные примеси, с целью обеспечения наименьшего экологического ущерба.

6. Разработан эффективный численный метод решения спектральной задачи устойчивости закрученных течений по отношению к неосесимметричным возмущениям. Численно исследован спектр собственных значений задачи об устойчивости свободного вихря с профилями скорости, полученными из автомодельного решения Бэтчелора. На основе подробных расчетов проведен анализ собственных решений с выделением растущих возмущений восьми типов (мод неустойчивости). Рассмотрены поведение каждой моды в отдельности и свойства полного набора мод в зависимости от свободных параметров. Найдена новая вязкая мода, более неустойчивая по сравнению с другими ранее известными вязкими модами. Впервые установлено существование неустойчивых невязких мод при больших значениях параметра закрутки потока. Для всех неустойчивых мод определены критические числа Рейнольдса и максимальные коэффициенты усиления. Обнаружено и исследовано свойство ветвления собственных решений. Вычислены координаты точек ветвления, и с их помощью построены кривые нейтральной устойчивости при фиксированных значениях чисел Рейнольдса. Показано, что ветвление мод и скачкообразное изменение границ областей неустойчивости связано с существованием кратных корней в исходной задаче на собственные значения.

7. Проведены исследования устойчивости внутренних модельных течений с закруткой в осесимметричном канале. Показано, что для течения Пуазейля во вращающейся трубе при числах Рейнольдса выше критического значения даже слабая закрутка приводит к неустойчивости течения. Для течений с распределением азимутальной скорости типа вихря Бюргерса, соответствующим практическим приложениям, определено критическое значение закрутки, при котором поток теряет устойчивость.

8. Исследована задача о нормальных модах колебаний, развивающихся на фоне плоскопараллельного течения, определяемого рассчитанными профилями скорости в локальных поперечных сечениях потока. Для течений в осесимметричном канале рассчитаны коэффициенты усиления и фазовые скорости неустойчивых возмущений. Установлены пределы существования закрученных рециркуляционных течений, которые определяются их гидродинамической устойчивостью. Показано, что существуют два механизма неустойчивости. Первый связан с влиянием закрутки потока, второй - с образованием зон возвратного течения. При наличии в потоке двух зон рециркуляции бегущая волна возмущений проходит последовательно две зоны, в которых происходит наиболее быстрый рост ее амплитуды. Этот эффект способствует разрушению вихря.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией министерства образования и науки Российской Федерации

1. Ахметов В.К., Волшаник В.В. Исследование распространения аэрированной затопленной струи // Гидротехническое строительство. 1994. № 10. С. 24-26.

2. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Взаимодействие струи с кольцевым закрученным потоком // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1995. № 2. С. 39-46.

3. Ахметов В.К., Волшаник В.В. Расчет течений с возвратными зонами в камере отстойника // Гидротехническое строительство. 1996. № 5. С. 29-31.

4. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. О новой вязкой моде неустойчивости свободного вихря // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1999. № 6. С. 76-80.

5. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Распыление порошка закрученным потоком с зоной рециркуляции // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. № 6. С. 3-15.

6. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Разделение частиц по размерам закрученным потоком // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2001. № 3. С. 56-60.

7. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Неустойчивость свободного вихря при большой закрутке потока // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2003. № 1. С. 54-58.

8. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное исследование рециркуляционных зон в вихревой камере // Аэромеханика и газовая динамика. 2003. № 3. С. 39-45.

9. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Ветвление собственных решений спектральной задачи об устойчивости свободного вихря // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2005. № 5. С. 54-59.

10. Ахметов В.К., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Смешение нагретых газов в осесимметричном канале с предварительной закруткой потока // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 3. С. 19-29.

11. Akhmetov V.K. Numerical simulation of vortex flows for civil engineering and environmental problems // Int. Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Begel House Inc. Publishers & ASV. 2007. V. 3. № 2. P. 61-74.

12. Ахметов В.К. Численное моделирование вихревых течений в задачах инженерной экологии // Вестник МГСУ. 2008. № 1. С. 67-81.

13. Akhmetov V.K. Structure of a recirculating flow and mass transfer of rigid particles in hydro technical settle construction // Int. Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Begel House Inc. Publishers & ASV. 2009. V. 5. № 1-2. P. 70-75.

Монография, учебное пособие

14. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное моделирование вязких вихревых течений для технических приложений. Монография. М.: Изд-во АСВ, 2009. 176 с.

15. Сидоров В.Н., Ахметов В.К. Математическое моделирование в строительстве. Учебное пособие. М.: Изд-во АСВ, 2007. 336 с.

Статьи, опубликованные в других научных журналах и изданиях

16. Ахметов В.К. Исследование закрученных потоков вязкой несжимаемой жидкости численными методами // Механика деформируемых сред. М.: Изд-во МГУ. 1985. C. 24-26.

17. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное исследование закрученных течений в канале и неограниченной среде. М., 1986. 43 c. - Деп. в ВИНИТИ 06.08.86. № 5594-В86.

18. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Исследование структуры и устойчивости закрученных течений в канале и неограниченной среде // Современные проблемы механики жидкости и газа. Тезисы докладов Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Грозный, 1986. C. 55.

19. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. К вопросу об устойчивости свободного вихря // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1987. № 2. С. 35-40.

20. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Развитие и устойчивость закрученных течений // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. № 4. С. 3-11.

21. Ахметов В.К. Численное исследование коаксиально закрученных потоков вязкой несжимаемой жидкости // Численные методы механики сплошной среды. Часть 1. Тезисы докл. школы молодых ученых (г. Абакан, 28.05-03.06.1989). Красноярск, 1989. С. 26-27.

22. Ахметов В.К., Волшаник В.В., Мордасов А.П. Экологическая эффективность применения струйно-вихревых аэраторов по результатам модельных и натурных испытаний // Физическое и математическое моделирование гидравлических процессов при исследовании гидроузлов комплексного назначения. Тез. научно-техн. совещания (г. Дивногорск, 24-26 мая 1989). Л.: ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989. С. 62-63.

23. Карелин В.Я., Кривченко Г.И., Мордасов А.П., Волшаник В.В., Зуйков А.Л., Ахметов В.К. Физическое и математическое моделирование систем гашения энергии в вихревых водосбросах // Физическое и математическое моделирование гидравлических процессов при исследовании гидроузлов комплексного назначения. Тез. научно-техн. совещания (г. Дивногорск, 24-26 мая 1989). Л.: ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989. С. 11-12.

24. Ахметов В.К., Волшаник В.В., Мордасов А.П., Конате С. Физическая и математическая модели течения в камере отстойника с головной системой промыва // Труды X конференции Высшей Технической Школы Брно. Секц. гидравлика и гидротехника (г. Брно, 25-28 авг.). Брно: ВУТ, 1989. С. 13-19.

25. Карелин В.Я., Ахметов В.К., Зуйков А.Л., Мордасов А.П., Волшаник В.В. Численный метод расчета взаимодействия закрученных потоков в камере смешения контрвихревого аэратора // Труды 2-го Международного симпозиума по межфазному массопереносу. Миннеаполис: Университет штата Миннесота, 1990.

26. Мордасов А.П., Орехов Г.В., Волшаник В.В., Зуйков А.Л., Ахметов В.К., Иванова Т.А., Арискин Н.Н., Лебедева О.Э., Притчин В.П., Крымов А.Н. Руководство по проектированию и конструкторская документация вихревых аэраторов на донных водовыпусках плотин. М.: Роскомвод, Росгипроводхоз, МИСИ. 1990.

27. Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Swirling flows and their stability // Proc. of the Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 3-7 July. 1995. P. 217.

28. Ахметов В.К., Волшаник В.В., Мордасов А.П., Рышлавы В. Распространение насыщенной растворенным кислородом струи в водном массиве // Экологическое образование в МГСУ: состояние, тенденции и координация. Тезисы докладов на семинаре 22 июня 1995 г. М.: МГСУ, 1996. С. 51-52.

29. Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Vortex atomizer of rigid particles // Proc. of the Seven International Conference on Liquid Atomization and Spray Systems. August 18-22. 1997. Seoul. Korea. V. II. P.765-771.

30. Варапаев В.Н., Ахметов В.К. Определение области существования решения задачи взаимодействия плоской турбулентной струи со встречным потоком. М., 1998. 7 c. - Деп. в ВИНИТИ 16.07.98. № 2237-В98.

31. Варапаев В.Н., Ахметов В.К. Численное моделирование комбинированного теплообмена в незамкнутых конвективных каналах. М., 1998. 6 c. - Деп. в ВИНИТИ 16.07.98. № 2238-В98.

32. Ахметов В.К. Аэродинамика вихревого распылителя // Численные и аналитические методы решения прикладных задач. Сб. научн. трудов. М.: МГСУ, 1998. С. 95-102.

33. Ахметов В.К. Вязкая неустойчивость вихря Бэтчелора // Численные и аналитические методы решения прикладных задач. Сб. научн. трудов. М.: МГСУ, 1998. С. 103-107.

34. Ахметов В.К. Массоперенос в вихревом распылителе // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 2. М.: МГСУ, 1999. С. 77-89.

35. Ахметов В.К. Фракционное разделение полидисперсных порошков закрученным потоком // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 3. М.: МГСУ, 2000. С. 26-35.

36. Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Particle transport and deposition in a vortex atomizer // Proc. of the 8-th International Conference on Liquid Atomization and Spray Systems. Pasadena. CA. USA. July 16-20. 2000. 7 p.

37. Ахметов В.К. Топография неустойчивости вихря Бэтчелора // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 4. М.: МГСУ, 2001. С. 13-18.

38. Ахметов В.К. Турбулентное смешение закрученной струи с осевым потоком // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 5. М.: МГСУ, 2002. С. 45-50.

39. Ахметов В.К. Математическое моделирование коаксиально закрученных потоков с зонами рециркуляции // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 6. М.: МГСУ, 2003. С. 85-95.

40. Ахметов В.К. Численное исследование спектра собственных значений задачи устойчивости свободного вихря // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 7. М.: МГСУ, 2004. С. 79-94.

41. Ахметов В.К. Математическое моделирование процессов тепломассобмена в комбинированных высотных сооружениях // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 8. М.: МГСУ, 2005. С. 44-53.

42. Ахметов В.К. Математическое моделирование течения в отстойнике с учетом осаждения частиц // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 9. М.: МГСУ, 2006. С. 138-150.

43. Ахметов В.К., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Влияние закрутки на смешение нагретых газов в осесимметричном канале // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 18-26 апреля 2006. Москва. МГУ им М.В. Ломоносова. М.: Изд-во МГУ, 2006. С. 24.

44. Ахметов В.К. Численное моделирование закрученных течений в осесимметричном канале с проницаемыми и непроницаемыми стенками // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 10. М.: МГСУ, 2007. С. 60-70.

45. Ахметов В.К. Влияние закрутки на устойчивость внутренних модельных течений // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 10. М.: МГСУ, 2007. С. 41-51.

46. Ахметов В.К. К вопросу о роли гидродинамической неустойчивости в задаче о распаде вихря // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 10. М.: МГСУ, 2007. С. 52-59.

47. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Устойчивость закрученных течений с зонами рециркуляции в осесимметричном канале // Проблемы современной механики: к 85-летию со дня рождения академика Г.Г. Черного. Сборник. М.: МГУ, Омега-Л, 2008. С. 621-636.

48. Ахметов В.К. Математическое моделирование закрученных течений в комбинированных высотных сооружениях // Фундаментальные науки в современном строительстве. Сборник докладов шестой научно-практической и учебно-методической конференции. М.: МГСУ, 2008. С. 41-46.

49. Ахметов В.К., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Закрученные течения с зонами рециркуляции: структура и гидродинамическая устойчивость // Модели и методы аэродинамики. Материалы 8-ой международной школы-семинара (Евпатория, 4-13 июня 2008). М.: МЦМНО, 2008. С. 11-12.

50. Ахметов В.К. Математическое моделирование распространения аэрированной струи в массиве жидкости // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2008. № 4. С. 29-32.

51. Ахметов В.К. Математическое моделирование вихревых течений в теплоэнергетическом строительстве // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Сборник трудов международной научно-практической конференции. М.: МГСУ, 2008. С. 165-173.

52. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Устойчивость свободных и ограниченных закрученных течений с зонами рециркуляции // Инженерная физика. 2008. № 6. С. 6-13.

53. Ахметов В.К. Численное моделирование двухфазного вихревого течения в гидротехническом отстойнике // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2008. № 6. С. 66-70.

54. Ахметов В.К. Численное исследование смешения нагретых газов в осесимметричном канале с произвольной формой боковой поверхности. М., 2009. 11 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900430.

55. Ахметов В.К. Математическая модель распространения аэрированной затопленной струи в массиве жидкости. М., 2009. 9 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900431.

56. Ахметов В.К. Конвективно-диффузионная модель для расчета массопереноса мелкодисперсных частиц закрученным потоком с зонами рециркуляции. М., 2009. 6 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900432.

57. Ахметов В.К. Расчет гидродинамической устойчивости вязких закрученных течений по отношению к неосесимметричным возмущениям. М., 2009. 8 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900433.

58. Ахметов В.К. Численное моделирование закрученных течений с зонами рециркуляции с использованием схемы Леонарда. М., 2009. 7 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900434.

59. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Вязкая неустойчивость концевого вихря Бэтчелора // Модели и методы аэродинамики. Материалы 9-ой международной школы-семинара (Евпатория, 4-13 июня 2009). М.: МЦМНО, 2009. С. 6-7.

Размещено на Allbest.ru