Гидромеханика в нефтегазовом деле

МАССОВЫЕ (ОБЪЁМНЫЕ) И ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ

Имеется два типа сил, действующих на элемент твёрдой среды: массовые (объёмные) и поверхностные.

Массовые силы действуют в каждой точке объёма среды.

Величина массовой силы, действующей на элемент среды, пропорциональна его объёму или массе. Например, сила тяжести - вес элемента среды, равный произведению массы на ускорение силы тяжести g. Если ввести плотность среды , равную массе единицы объёма, то действующую на элемент силу тяжести можно записать как произведение величины g на объём элемента.

Таким образом, сила тяжести, действующая на единицу массы, есть g, а сила тяжести, действующая на единицу объёма g.

Плотность, вообще говоря, зависит от давления. При высоких давлениях, господствующих на больших глубинах в мантии, увеличение плотности пород может составить до 50% значения плотности при нулевом давлении.

Мантийная порода	Плотность мантийной породы, кг/м3
Типичная	3250
Базальт и габбро	2950
Гранит и диорит	2650 - 2800

В отличие от массовых сил, поверхностные силы приложены ТОЛЬКО К ПОВЕРХНОСТИ, ограничивающей элемент объёма. Они обусловлены межатомными силами, действующими со стороны материала, находящегося с одной стороны от поверхности, на материал, находящийся с противоположной стороны.

Величина поверхностной силы прямо пропорциональна площади поверхности, на которую она действует. Кроме того, эта сила зависит от ориентации поверхности.

ПРИМЕР: Рассмотрим силу, приложенную к основанию столба породы на глубине у от поверхности Земли и уравновешивающую вес столба. (Рис. 2.1. Массовая и поверхностная силы, действующие на вертикальный столб породы).

Площадь поперечного сечения равна ;

Вес столба с площадью поперечного сечения равен gy;

Поверхностная сила, уравновешивающая этот столб, _ууА направлена вверх и распределена по горизонтальной поверхности площадью на глубине у.

ДОПУЩЕНИЯ: на боковые поверхности не действует никаких вертикальных сил и плотность постоянна.

ТАКИМ ОБРАЗОМ: _уу есть сила, приходящаяся на единицу площади и направленная перпендикулярно горизонтальной поверхности, Т,Е, НАПРЯЖЕНИЕ.

Поскольку силы, действующие на равновесный столб породы, должны быть равны, получаем, что

_уу = gy. (1)

Сила, приходящаяся на единичную площадь и перпендикулярная горизонтальным плоскостям, линейно растёт с глубиной.

Нормальное напряжение, вызванное весом вышележащих пород, называется ЛИТОСТАТИЧЕСКИМ НАПРЯЖЕНИЕМ или ДАВЛЕНИЕМ.

НАПРИМЕР, литостатическое напряжение в основании континентальной коры при её средней плотности 2750 кг/м³ и толщине коры 35 км (3.5 10⁴ м) будет равно:

_уу = 2750 кг/м³10 м/с²3.510⁴м = 9.625 10⁸Па = 962.5 МПа (9.625 кбар).

В системе СИ единицей давления или напряжения является паскаль (Па); 1 Па = 1 кг/мс²;. 1 мегапаскаль МПа = 10⁶ Па; 1 бар = 10⁵ Па = 0.98692 атм.

Поскольку плотность жидкой мантии (3300 кг/м³ ) больше плотности пород континента (2750 кг/м³), то можно считать, что континент является блоком, плавающим в мантии (Рис.2.2. Континентальный блок, "плавающий" на "жидкой" мантии.) Согласно закону Архимеда, выталкивающая сила, действующая на континент, равна весу вытесненной мантийной породы. В основании континента напряжение _уу = _кgh, где _к - плотность континентальных пород, h - толщина континента. На этой же глубине в мантии напряжение составит _уу = _мgb, где _м - плотность мантии, b - глубина погружения континента в мантию.

С другой стороны, согласно гидростатическому равновесию эти два напряжения должны быть равны:

_кgh = _мgb, т.е. _кh = _мb. (2)

Применительно к континентальной коре принцип гидростатического равновесия называется ПРИНЦИПОМ ИЗОСТАЗИИ.

Откуда можно определить:

Возвышение континента над окружающей мантией:

h - b = h - _кмh = h (1-_км; (3)

Глубину океанического бассейна относительно поверхности континента (Рис.2.3. Структура континентального и океанического регионов):

(4)

где:

h_кк, _кк толщина и плотность континентальной коры;

h_в глубина океана;

_в плотность воды;

h_ок толщина океанической коры;

_ок плотность океанической коры;

_м плотность мантии.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИЙ

Деформация (изменение расстояния) между отдельными точками среды - характерная черта движения СС.

Удлинение или укорочение произвольно направленного единичного отрезка , проходящего через точку среды М(х₁,х₂,х₃), вычисляется по формуле

(1.19)

где _i = Cos (, ) - направляющие косинусы отрезка; _ii - удлинения (укорочения) единичных отрезков, направленных параллельно координатным осям Ох_i ; _{ij ji} (i j) - изменения первоначально прямых углов, образованных отрезками, направленными параллельно координатным осям Ох_i , Оx_j.

Таким образом, деформация элементарного объёма среды в окрестности точки М полностью определяется шестью величинами _ij , которые называются КОМПОНЕНТАМИ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИЙ.

Для малых деформаций ( 1) верны следующие соотношения Коши (в декартовой системе координат):

(i, j = 1,2,3), (1.20)

где u _i- компоненты вектора перемещения в точке М.

Тройка перпендикулярных направлений, где в окрестности точки деформация элемента определяется без изменения прямых углов (_ij = 0, i j), только удлинением или укорочением _ij = _i , называется ГЛАВНЫМИ ОСЯМИ ДЕФОРМАЦИЙ, а величины _i (i - 1,2,3) - ГЛАВНЫМИ УДЛИНЕНИЯМИ, которые могут быть найдены из следующего соотношения

,

где - символ Кронекера

Коэффициенты этого уравнения не зависят от выбора системы координат, они инвариантны.

Первый коэффициент этого уравнения имеет очень простой геометрический смысл: это относительное изменение объёма в окрестности точки.

. (1.21)

Коэффициенты a и b геометрического смысла не имеют и поэтому не являются характеристикой деформаций.

Характеристикой искажения формы элемента сплошной среды служит инвариантная величина

,

ИНТЕНСИВНОСТЬ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА

Величины _{1 2 3 2 3 1} , _{3 1 2} - называются ГЛАВНЫМИ СДВИГАМИ

1.08 _max

где _max - наибольший из главных сдвигов.

В произвольной декартовой системе координат величина Г вычисляется по формуле

.(1.22)

Иногда используется величина, которая называется интенсивностью деформации, или приведённой деформацией

.

Для характеристики деформационного состояния служит параметр Надаи

(1.23)

который изменяется от - 1 (при чистом удлинении) до + 1(при чистом укорочении). В случае чистого сдвига он равен 0. При всестороннем расширении или сжатии параметр не имеет смысла.

Часто компоненты деформации представляют в следующем виде:

(1.24)

где e_ij - компоненты, характеризующие только деформации сдвига, называются компонентами девиатора деформаций; _ij - символ Кронекера.

Отсюда следует, что компоненты тензора деформации растяжения (сжатия) _ii отличаются от соответствующих компонент девиатора e_ii на 1/3 объёмной деформации, а компоненты деформации сдвига не отличаются, т.е.

Если известны компоненты деформации _ij как функции декартовых координат x_i, то для однозначного определения трёх компонент u_i вектора перемещений из шести соотношений (1.20) НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, чтобы функции _ij удовлетворяли условиям совместимости (ИЛИ НЕРАЗРЫВНОСТИ) деформаций Сен-Венана:

(1.25)

и т.д., всего шесть условий (остальные получаются из выписанных круговой заменой индексов 1 2 3 1).

Таким образом, условия совместимости (1.25) являются уравнениями, связывающими компоненты _ij тензора деформаций.

Для анализа больших деформаций, если главные оси при деформации не поворачиваются, используются НАТУРАЛЬНЫЕ УДЛИНЕНИЯ (укорочения)

где l_i0, l_i - начальные и текущие длины элемента в соответствующих направлениях.

Характерные соотношения для малых деформаций являются справедливыми и для натуральных удлинений.

Если скорость частиц сплошной среды v = (v₁, v₂, v₃), то за бесконечно малый промежуток времени dt среда испытывает бесконечно малую деформацию, определяемую перемещениями u_i = v_idt (i =1, 2, 3).

Компоненты этих деформаций, вычисленные по формулам (1.20), имеют общий множитель dt, разделив на который получаем

(1.26)

где _ij - компоненты тензора скоростей деформаций.

Величины _ij определяют скорости удлинения (укорочения) единичных отрезков в направлениях Ox_i, _ij (i j) - угловые скорости изменения первоначально прямых углов, составленных единичными отрезками вдоль координатных осей.

Подобно формуле (1.19) скорость удлинения (укорочения) любого единичного отрезка вычисляется по формуле

Аналогично соотношениям (1.21) - (1.23) инвариантами скорости деформации являются:

скорость относительного объёмного расширения (сжатия)

_{11 22 33 1 2 3} divv; (1.28)

интенсивность скоростей деформации сдвига относительно главных осей

(1.29)

где _{1 2} - ₃, _{2 3} - _{1 3 1 2} - главные скорости сдвигов (относительно произвольной системы координат Н выражается формулой 1.22);

параметр Надаи

Компоненты скоростей деформации _ij , как и компоненты деформации _ij не могут быть произвольными. Они должны удовлетворять условиям совместимости (аналогичным условиям 1.25).

Подобно (1.24) для компонент тензора _ij скоростей деформаций верно соотношение

_{ij ij} 1/3_ij, (1.30)

где _ij - компоненты, характеризующие только скорости деформации сдвига, называемые компонентами девиатора скорости деформаций.

УПРУГОСТЬ И ИЗГИБ

Упругими деформациями называются такие, которые после снятия приложенных напряжений исчезают.

Материалы, в которых при данных напряжениях возникают упругие деформации, называются упругими материалами.

Почти все твёрдые тела (горные породы) при относительно низких температурах и давлениях и не слишком высоких напряжениях являются упругими. гидростатика нефтяной скважина жидкость

Упругие деформации в твёрдых телах прямо пропорциональны приложенным напряжениям.

Изотропными материалами называются такие, у которых упругие свойства не зависят от направления.

При высоких уровнях напряжений и температур в породах проявляются отклонения от упругого поведения.

При низких температурах и всесторонних давлениях породы проявляют хрупкие свойства и при значительных девиаторных напряжениях разрушаются.

В недрах Земли, где всестороннее давление растёт с глубиной и когда оно достигает предела хрупкого разрушения, в породе возникают пластические деформации.

Пластическими называют непрерывные, необратимые деформации, происходящие без разрушения.

При этом, после того, как действие силы, вызывающей пластическую деформацию прекращается, деформация частично сохраняется (не исчезает полностью).

СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Упругая твёрдая среда называется линейной и изотропной в том случае, если напряжения в ней линейно связаны с деформациями, а механические свойства среды не зависят от направления.

В такой среде главные оси напряжений и деформаций совпадают. Связь между напряжениями и деформациями удобно записать в системе координат, связанной с главными осями:

G) , (3.1)

(G , (3.2)

G (3.3)

где упругие модули и G (модуль сдвига) называются параметрами Ламе.

Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации возникает напряжение G) в том же направлении и напряжения в других взаимно перпендикулярных направлениях:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

где Е (модуль Юнга, меняется для горных пород в пределах 10 - 100 ГПа) и (коэффициент Пуассона, меняется в пределах 0.1 - 0.4)- материальные параметры среды.

Главная компонента напряжения создаёт деформацию в направлении своего действия и деформации в двух других взаимно перпендикулярных направлениях.

Упругие свойства среды характеризуют, задавая и G или и . Эти параметры не являются независимыми.

Одноосное напряжённое состояние. В этом случае отлично от нуля только одно главное напряжение, например, . = = 0 , тогда

(3.7)

Отсюда видно, что напряжение вызывает не только деформацию в направлении своего действия, но и деформации в перпендикулярных направлениях и .

Если - напряжение сжатия, то - укорочение, а и - удлинения.

Эти деформации показаны на рис. 3.2, (Рис.3.2. Деформация под действием одноосного сжатия), где элементxyz стал короче в направлении оси , но толще в направлении осей х и z.

В соответствии с равенствами (3.4)- (3.6) мы можем написать:

(3.8)

Сравнивая это равенство с (3.7), получаем:

(3.9)

Из (3.1) и (3.7) находим

, (3.10)

совместно с (3.8) для модуля Юнга получаем:

(3.11)

С помощью (3.9) (3.11) выражаем и G через и :

(3.12)

(3.13)

В случае одноосного сжатия или растяжения соотношение (3.8) превращается в закон Гука:

(3.14)

Линейно-упругое тело называется иначе Гуковским телом.

Относительное изменение объёма (дилатация ) определяется в этом случае выражением:

1 - (3.15)

Из формулы видно, что уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях.

Из выражения (3.15) можно определить коэффициент Пуассона для несжимаемой среды, объём которой не меняется под действием приложенного напряжения.

Чтобы это реализовать, при одноосном сжатии должно быть равно Ѕ. Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений.

Одноосная деформация. Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, .Тогда (3.1)- (3.3.) дают

G (3.19)

(3.20)

а (3.4)-(3.6) упрощаются следующим образом:

(3.21)

(3.22)

Плоское напряжённое состояние. Возникает тогда, когда имеется только одно нулевое главное напряжение, например, . (Рис.3.5. Плоское напряжённое состояние). Тонкая пластина нагружена с боков. Определим компоненты деформации (3.4) -(3.6)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Плоская деформация. В этом случае равна нулю только одна главная деформация , например, ₃ . На рис. 3.7. (Пример плоской деформации) длинная балка жёстко зажата между двумя стенками, которые не позволяют ей расширяться или сжиматься в продольном направлении. Кроме того, вдоль всей длины на балку действуют равномерно распределённые напряжения ₁и _.

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ И РЕАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Простейшей механической моделью сплошной среды является модель идеальной жидкости, для которой характерно отсутствие сопротивления (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому. Отдельные части взаимодействуют только в виде нормального давления. Т.е. в любой точке идеальной жидкости касательные напряжения равны 0, а нормальные (р); (или через компоненты девиатора напряжений): .

Уравнением состояния дли идеальной жидкости служит зависимость плотности от давления и температуры:

(2.1)

Например, для идеального газа приемлемо уравнение Клапейрона -Менделеева:

.

Если плотность жидкости - функция только давления = f(p), то жидкость называют БАРОТРОПНОЙ.

Когда имеет место степенная зависимость = срⁿ, то говорят, что движение происходит при ПОЛИТРОПИЧЕСКОМ процессе.

Для капельных жидкостей, сжимаемость для которых чрезвычайно мала, в большом диапазоне изменения давления связь между плотностью и давлением линейна:

,

₀ - плотность, соответствующая давлению р₀, К_ж - модуль объёмного сжатия, порядок которого равен 10⁴nМПа.

Экспериментальные данные и общие физические представления показывают, что при больших температурах и давлениях любая среда практически обладает свойствами идеальной жидкости.

В нормальных условиях модель идеальной жидкости широко используется при изучении движения многих жидкостей и газов вдали от твёрдых границ.

Одно из наиболее известных уравнений движения идеальной жидкости - закон Бернулли:

который гласит: При установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот вдоль линии тока остаётся величиной постоянной.

В тех случаях, когда силами трения или напряжения сдвига при движении жидкости пренебречь нельзя, используют следующую по сложности модель - вязкую ньютоновскую жидкость. Уравнениями состояния для такой жидкости, кроме уравнения (2.1) , будет:

, (2.2)

Т.е. между компонентами девиатора напряжений и скоростей деформации существует прямо пропорциональная связь.

Или, через компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации

Например, при плоском слоистом течении жидкости вдоль оси Ох₁, когда v₁ = v₁(x₁, x₂), v₂ = v₃ = 0, нормальные и касательные напряжения равны:



Если, кроме того, жидкость несжимаема (div v = 0) и скорость v₁ не зависит от x₁ , то уравнение состояния имеет простейший вид:

Коэффициент пропорциональности называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ВЯЗКОСТИ ИЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТЬЮ жидкости.

Размерность коэффициента динамической вязкости (сила длина)(длина² скорость) = силавремя/длина².

В системе СИ единицей вязкости является паскаль-секунда 1Пас = 1нс/м².

Величина 1 пуаз = 0.1 Па с.

Динамическая вязкость воды при 20С равна 10^-3 Па с.

Иногда пользуются отношением , которое называется кинематической вязкостью и обозначается буквой . Размерность кинематической вязкости м²/с.

Для газов и капельных жидкостей динамическая и кинематическая вязкости слабо зависят от давления, но сильно от температуры: убывают с повышением температуры, а у воздуха - растут.

Таблица

ТС	0	20	40	60	80	100
Вода, Пас	1.792	1.005	0.656	0.469	0.357	0.284
Вода, м2/с	1.792	1.007	0.661	0.477	0.367	0.296
Воздух, Па с	1.709	1.808	1.904	1.997	2.088	2.175
Воздух, м2/с	0.132	0.150	0.169	0.188	0.209	0.230

Для учёта вязкости от температуры существует много различных эмпирических формул, однако практики предпочитают пользоваться табличными значениями.

Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых уравнениями (2.2), обладает большинство чистых жидкостей и газов. Однако, многие растворы, в том числе буровые и тампонажные, проявляют свойства, отличные от свойств ньютоновских жидкостей.

Вязкость неньютоновских жидкостей зависит не только от температуры и давления, но и от скорости сдвига, деформации, времени, характера движения.

Основной признак неньютоновского поведения жидкостей заключается в нелинейном поведении компонент девиаторов напряжений и скоростей деформации.

На рис.6 (Характерные зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига) показаны две характерные кривые зависимости напряжения сдвига ₁₂ = от скорости деформации сдвига для неньютоновских жидкостей при плоском прямолинейном установившемся движении вдоль оси Ох₁. Здесь же для сопоставления штрихпунктиром показана линейная зависимость для ньютоновской жидкости.

Поведение жидкости, описываемое кривой 1, называется ПСЕВДОПЛАСТИЧНЫМ, а кривой 2 - ДИЛАТАНТНЫМ. Различными авторами предлагалось множество аппроксимаций этих кривых, но наиболее широкое применение получили двухпараметрические аппроксимации:

Модель Шведова-Бингама для псевдопластичных жидкостей (вязкопластичная бингамовская жидкость).

. (2.3)

Характеризуется тем, что обладает пространственной жёсткой структурой и благодаря этому сопротивляется внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдёт предельного значения, соответствующего этой структуре. После этого структура полностью разрушается и жидкость начинает вести себя как обачная ньютоновская вязкая жидкость при кажущемся напряжении, равном избытку действительного напряжения над предельным ₀ .

Модель Освальда -Вейля (степенная), используемая для обоих типов жидкостей:

(2.4)

где ₀ - предельное (или динамическое) напряжение сдвига; - пластическая (структурная) вязкость; k - показатель консистенции; n - показатель неньютоновского поведения: при n < 1 жидкость псевдопластичная, при n > 1 - дилатантная.

Между параметрами моделей устанавливается следующая связь:

где: - скорость деформации сдвига, выше которой зависимость от практически линейна (см. рис.6, стр.31).

ОТМЕТТЬТЕ ТОТ ФАКТ, что реологические параметры ₀ n - для тампонажного и бурового растворов зависят от температуры, давления, состава, диапазона изменения скорости деформации сдвига , для которой справедливы модели (2.3) и (2.4).

Чтобы установить характер зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформации сдвига и определить реологические параметры жидкости в заданных условиях, используют наиболее простые формы движения:

установившееся ламинарное (слоистое) течение жидкости вдоль оси цилиндрической трубы;

тангенциальное течение между двумя соосными цилиндрами.

При этих течениях линии тока либо прямые линии, либо - концентрические окружности. Такие течения можно создать лишь в специальных приборах: капиллярных или ротационных вискозиметрах.

При течении жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами длиной L , из которых наружный вращается с угловой скоростью , реологические параметры для бингамовской жидкости могут быть определены из соотношения:

,

а для жидкости, соответствующей степенной модели:

,

где М -вращающий момент, приложенный к наружному цилиндру; = R₀/R; R₀ и R - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно.

Для произвольного течения несжимаемых ( = 0)вязкопластичных жидкостей используются следующие уравнения состояния, обобщающие уравнения (2.2) и модели (2.3), (2.4) :

_ij = 0 при T ₀

s_ij = 2 ( + ₀ H₁)_ij при T > ₀ (2.5)

и (2.6)

где Н₁ - интенсивность скоростей деформаций сдвига при = 0:

,

Т - интенсивность касательных напряжений

.

При определённых нестационарных режимах течения буровые и тампонажные растворы могут проявлять особые свойства неньютоновского поведения:

тиксотропность - зависимость жёсткости структуры от продолжительности деформирования и предыстории движения;

запаздывание во времени установления деформации при действии постоянного напряжения или, наоборот, запаздывание во времени установления напряжений при постоянной деформации (релаксация напряжений).

Эмпирически установлено, что по мере увеличения скорости течения всякое упорядоченное движение частиц жидкости постепенно нарушается и переходит в новую форму - турбулентное движение , при котором движение частиц становится неупорядоченным (хаотичным). Несмотря на то, что первые наблюдения турбулентного течения были сделаны более 100 лет тому назад, до настоящего времени нет строгой теории, каким образом ламинарное движение перерождается в турбулентное. В 1883 году О. Рейнольдс впервые обнаружил, что переход ламинарного движения в турбулентное наступает при достижении некоторого критического значения параметра, который известен нам как параметр Рейнольдса: ,

где - средняя скорость потока; d - диаметр трубы; , - плотность и вязкость жидкости.

Для ньютоновских жидкостей наиболее вероятная нижняя граница = 2320, а верхняя 50000. При этом, чем плавнее вход в трубу, тем позже наступает турбулентный режим. Помимо этого на величину верхней границы Re_кр сильное влияние оказывают следующие факторы:

сильное отклонение трубы от цилиндрической формы;

заметная шероховатость поверхности трубы;

наличие в жидкости твёрдых тел, коллоидных или дисперсных образований;

изменение граничных условий;

действие внешних возмущений и т.д.

Для вязкопластичных сред переход от структурного к турбулентному режиму течения принято определять по величине обобщённого параметра Рейнольдса:

для степенной модели (2.8)

для модели Бингама (2.9)

Нижняя граница обобщённых параметров Re b Re_* равна 2100.

Отличительным признаком турбулентных течений является зависимость скорости от времени в любой точке потока.

Для количественного описания турбулентных течений Рейнольдс предложил действительные скорости (давления) в данной точке представлять в виде суммы средних во времени величин и пульсационных составляющих. Однако, для развитого турбулентного течения пульсационные составляющие пренебрежимо малы со средними значениями величин, поэтому сохраняется интегральная теорема движения, эквивалентная трём дифференциальным уравнениям (1.45) + уравнение неразрывности (1.13). В этом случае вместо обычных значений величин используются их средние значения, а вместо напряжений _ij используется сумма компонент напряжений, связанных со средними скоростями + напряжения Рейнольдса: .

Иначе говоря, для решения задач турбулентного течения ВОЗМОЖНО применение уравнений механики сплошной среды, при условии, что величины v_i, p, _ij , входящие в эти уравнения, будут, соответственно, заменены на величины

Для описания напряжений Рейнольдса предложено несколько полуэмпирических уравнений состояния, наиболее известным из которых является уравнение Прандтля:

В частном случае, при течении жидкости между параллельными плоскостями в направлении оси Ох1, уравнение (2.10) принимает вид:

Анализируя свойства турбулентного потока в трубах вблизи твёрдой стенки, Прандтль принимал l = 0.36s, где s - расстояние от стенки трубы.

Таким образом, ОБЩАЯ ЗАДАЧА ГИДРОМЕХАНИКИ заключается в определении:

компонент v_i (i=1,2,3) вектора скорости v ;

компонент симметричного девиатора напряжений s_ij = s_ji (i,j = 1,2,3);

давления р;

плотности жидкости в любой точке области.

В общем случае это 11 искомых функций, которые должны удовлетворять при ламинарном режиме течения полной системе дифференциальных уравнений:

уравнение движения (2.11)

уравнения неразрывности движения или сохранения массы

(2.12)

уравнений механического состояния = f (p); (2.13)

(2.14)

Для неньютоновских жидкостей возможны и другие уравнения состояния. Известные в литературе уравнения Навье - Стокса можно получить, подставляя уравнения (2.14) в (2.11). При решении конкретных задач мы будем использовать упрощенный вид этих уравнений.

При турбулентных течениях жидкостей и газов внешний вид системы остаётся практически прежним, нужно только помнить, что вместо обычных величин в них подставляются величины усреднённые по времени и где напряжения Рейнольдса могут быть связаны с компонентами средних скоростей деформаций, например, посредством уравнения Прандтля (2.10)

обозначения основных величин

компоненты девиаторов напряжений

компоненты скоростей деформаций

символ Кронекера

соотношения Коши

скорость деформации объёма

проекции объёмных сил и ускорений

интенсивность касательных напряжений

интенсивность скорости деформации сдвига при =0.

Решение системы уравнений может быть единственным и однозначным ТОЛЬКО при выполнении ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ:

- на поверхности контакта жидкость-твёрдое тело;

р = р₀ - на свободной поверхности (v₀, p₀ - заданные величины скорости твёрдого тела и внешнее давление).

БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОДИНАМИКИ ПРИ ПРОМЫВКЕ И ЦЕМЕНТИРОВАНИИ СКВАЖИН

При промывке и цементировании скважин простейшими базовыми задачами гидромеханики, допускающими аналитическое решение, являются задачи о течении жидкости в плоской щели (между двумя параллельными бесконечными пластинами) в круглой трубе и в кольцевом пространстве между двумя соосными цилиндрами.

Для их решения необходимо исходить из следующих условий:

жидкость несжимаема ( = const);

течение установившееся ();

все частицы жидкости движутся параллельно твёрдым стенкам канала, что означает, что при совмещении координатной оси Oz с направлением течения, отличной от нуля будет лишь одна составляющая v_z скорости

концевые эффекты пренебрежимо малы, то есть, картина течения в любом сечении, нормальном к потоку, идентична , что справедливо для сечений, удалённых от концов канала на расстояние равное 0.035 d Re, где d - характерный размер поперечного сечения: для щели - это расстояние между плоскостями; для трубы - её диаметр; для кольцевого пространства - удвоенный зазор;

вдоль потока действует постоянный градиент давления равный , где р - полный перепад давления между двумя сечениями, находящимися на расстоянии L друг от друга;

на жидкость действует объёмная сила _z g _{x y} , обусловленная только силой тяжести, где принимают знак (+) если жидкость движется вниз, и знак () - вверх, когда положительное направление оси Оz совпадает с направлением движения.

Скорости частиц жидкости в рассматриваемых каналах симметричны относительно плоскости yz - для щели и относительно оси Oz - для круглой трубы и кольцевого пространства, то v_z = v(x) и v_z= v(r) соответственно.

Поэтому, согласно соотношениям Коши (2.15). уравнениям состояния (2.14) при течении жидкости в щели, отличными от 0 будут только одна СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ и одно НАПРЯЖЕНИЕ СДВИГА:

(2.18)

Для течения в трубе и кольцевом пространстве

(2.19)

Система дифференциальных уравнений (2.11)- (2.14) существенно упрощается:

уравнения движения и уравнения неразрывности удовлетворяются тождественно;

уравнение механического состояния в плоской щели принимает вид:

,

а в кольцевом пространстве

,

где: p gL - гидродинамические потери давления, обусловленные только движением жидкости независимо от направления течения.

Интегрирование этих уравнений при условиях _xz = 0 при х = 0 для щели и _rz = 0 при r = 0 для круглой трубы приводит к выражениям:

(2.20)

(2.21)

где постоянная интегрирования с² 0 только при течении жидкости в кольцевом пространстве.

ЗАПОМНИТЕ, что соотношения (2.18)-(2.21) справедливы при ламинарном течении ЛЮБОЙ жидкости (ньютоновской или неньютоновской). Сохранятся они и при турбулентном режиме течения, но под величинами v, P,_xz, _rz , будут пониматься усреднённые по времени значения этих величин:

.

Далее рассматриваются аналитические решения граничных задач течения жидкости в щели и в кольцевом пространстве (в зависимости от характера течения и реологических свойств жидкости).

При этом определяются основные интегральные гидродинамические характеристики потока: объёмный расход Q, средняя скорость v_ср , коэффициент сопротивления .

Определение объёмного расхода по заданному перепаду давления обычно называют ПРЯМОЙ ЗАДАЧЕЙ ГИДРОДИНАМИКИ, а определение перепада давления по заданному расходу - ОБРАТНОЙ.

Все результаты, рассматриваемые далее, относятся к решениям прямой граничной задачи, а полученные зависимости используются для ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ. Для этой цели определяется закон сопротивления, т.е. зависимость коэффициента от характеристик течения.

Основополагающей задачей гидродинамики (гидравлики) является экспериментальное установление закона сопротивления.

Если не зависит от Р, то для коэффициента сопротивления получаем известный закон Дарси -Вейсбаха, широко используемый для определения гидравлических потерь в цилиндрических каналах при турбулентном режиме течения:

.

ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ В ЩЕЛЕВОМ КАНАЛЕ

Ламинарное течение неньютоновской жидкости.

Согласно соотношениям (2.18), отличными от 0 будут лишь одна скорость деформации и одно напряжение сдвига и сохранится только одно уравнение состояния

,

(2.23)

Сравнивая это уравнение с решением (2.20)

получим дифференциальное уравнение относительно скорости

,

решение которого, при граничном условии v(h) = 0, (2h - ширина щели) имеет вид

. (2.24)

Используя формулы (2.22) можно определить основные характеристики потока:

объёмный расход

среднюю скорость

коэффициент сопротивления

,

где S, S - соответственно площади поперечного сечения и боковой смоченной поверхности канала; f = / W- коэффициент трения Фаннинга; - касательное напряжение у поверхности канала; - кинетическая энергия единицы объёма жидкости; b - длина поперечного сечения щели; - параметр Рейнольдса для плоской щели.

Например:

при = 1000кг/м³; v_ср = 1 м/с; 2h = 0.01 м; = 0.01 Па с

ИМЕЕМ: Re_щ = 1000; = 0.048; P/L = 1200 Па/.

ВЫВОД: на каждые 1000м гидравлические потери составят 1.2 МПа.

Ламинарное течение жидкости Шведова - Бингама.

Пользуясь тем же уравнением (2.18), и подставляя его в (2.16- интенсивность касательных напряжений) и (2.17- интенсивность скорости деформации сдвига при скорости деформации объёма = 0) будем иметь:

(2.26).

Знак () выбран из-за того, что .

Система уравнений упрощается до одного уравнения (2h₀ - жёсткое ядро потока, см. рис.7, стр.43. Характерный вид профиля скорости в щели при течении неньютоновской жидкости Шведова-Бингама):

(2.27)

Сравнивая уравнение (2.27) с (2.20) получим уравнение скорости

(2.28)

и формулу для вычисления ядра потока

 (2.29)

Интегрируя уравнение (2.28) при v (h) = 0, найдём следующее распределение скорости:

(2.30)

Отсюда следует:

при h₀ = h движение жидкости происходить не будет, т.к. v (x) = 0;

условием существования движения является h₀ < h или, используя формулу (2.29),

Однако, если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига ₀, а статическим _{00 0}, то условием страгивания покоящейся жидкости будет .

По формулам (2.22) определяют основные характеристики потока (впервые получены М.П. Воларовичем и А.М. Гуткиным):

 (2.31)

Как видно из полученных выражений, кинематические характеристики потока Q, v_ср и коэффициент сопротивления зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает трудности при решении обратной задачи.

Если исходить из того, что практический интерес представляют случаи, когда Р ₀ (h₀<<1), то, приняв c (h₀) = 1 - 3/2h₀, получим

(2.32)

где - обобщённый параметр Рейнольдса; = (1+ 1/4Sen_щ) - приведённая вязкость жидкости Шведова - Бингама; Sen_щ = ₀2h/v_ср - параметр Сен - Венана для плоской щели.

Например, при = 1350 кг/м³, ₀ = 5 Па, = 0.04 Па с; v_ср = 1 м/с, h = 0.02 м.

ПОЛУЧИМ:



т.е. в этом случае на каждые 1000 м гидравлические потери составляют 0.675 МПа.

Неньютоновская жидкость Освальда - Вейля.

Используя в системе (2.14) соотношения (2.18) и (2.26), получим:

Сопоставляя это уравнение состояния с решением (2.20) приходим к дифференциальному уравнению относительно скорости:

(2.33)

Интегрируя это уравнение при граничном условии v (h) = 0, получим распределение скорости:

(2.34)

где: .

Интегральные характеристики потока при этом будут:

;

где - обобщённый параметр Рейнольдса и - приведённая вязкость жидкости Освальда -Вейля для плоской щели. При n = 1 и k = формулы (2.34) - (2.35) совпадут с формулами (2.24) - (2.25).

Турбулентный режим течения. Когда параметры , или больше критических значений, решение уравнения движения записывается в виде (сравните с 2.20):

.

Касательное напряжение в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига уравнениями вида (2.23), (2.27) или (2.33). Напряжение Рейнольдса в силу соотношений (2.10), (2.18) и (2.26) удовлетворяет уравнению Прандтля:

, (2.37)

где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - х , т.е.

l = жs (2.38)

где ж - константа, определяемая из опыта.

Напряжение имеет существенное значение лишь в непосредственной близости от стенок канала, т.е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.

В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением. Поэтому после подстановки (2.37) и (2.38) в (2.36) получим следующее исходное дифференциальное уравнение:

Размещено на Allbest.ru