Теория статистики

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительных и кратковременных факторов, в том числе различных случайных обстоятельств. В то же время выявление основной закономерности изменения уровня ряда предполагает ее количественное выражение, которое свободно от случайных воздействий.

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

Укрупнение интервалов (аралы?тарды ірілендіру). Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденции развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

Скользящая средняя (жылжымалы орташа). В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда.

Аналитическое выравнивание (аналитикалы? тегістеу). Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени уt = f (t), где уt - уровни динамического ряда по соответствующему аналитическому уравнению на момент t.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

Линейная уt = b₀ + b₁t

Парабола второго порядка уt = b₀ + b₁t + b₂t²

Реже:

Показательная уt = b₀b₁^t

Логарифмическая парабола уt = b₀b₁tb₂t²

Линейная зависимость (сызы?ты т?уелділік) выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

НАПРИМЕР: имеются данные о потреблении овощей по области за 2003-2011 гг. на одного члена домохозяйства в месяц, кг:

2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
10,0	10,7	12,0	10,3	12,9	16,3	15,6	17,8	18,0

Выявить основную тенденцию потребления овощей за 2003-2011 годы.:

методом скользящей средней;

методом аналитического выравнивания.

Решение. Исчислим трехлетние скользящие средние уровни ряда за 2003-2011 гг.:

У₁ = (У₁ + У₂ + У₃ )/3= (10,0+10,7 + 12,0)/3 = 32,7/3 = 10,9 кг;

за 1990-1992 гг.:

У₂ = (У₂+ У₃ + У₄)/3 = (10,7+ 12,0 + 10,3)/3 = 33/3 = 11,0 кг;

Динамика потребления овощей на одного члена домохозяйства за месяц по области за 1993-2001 гг., кг

Год	Потребление овощей за месяц на одного члена домохозяйства, У	Скользящие трехлетние суммы, у	Трехлетние скользящие средние
А	1	2	3
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011	10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0	- 32,7 33,0 35,2 39,5 44,8 49,7 51,4 -	- 10,9 11,0 11,8 13,2 15,9 16,6 17,1 -

В результате обработки ряда динамики методом скользящей средней проявилась тенденция к росту потребления овощей.

метод аналитического выравнивания ряда динамики по прямой.

Уравнение прямой имеет вид

У_t = a₀ + a₁t,

Где у - теоретические уровни;

а₀ и а₁ - параметры прямой;

t - показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).

Для нахождения параметров

а₀ n + a₁ t = y,

а₀ t + a₁ t ²= yt,

где y - фактические уровни ряда динамики;

n - число уровней.

Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало его отсчета приходилось на середину рассматриваемого периода

Расчетные данные для определения параметров системы нормальных уравнений и выровненных теоретических значений (y_t)

Год	Потребление овощей за месяц на одного члена домохозяйства, y	t	t2	yt	Уt
A	1	2	3	4	5
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011	10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0	-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4	16 9 4 1 0 1 4 9 16	-40.0 -32.1 -24.0 -10.3 0 16.3 31.2 53.4 72.0	9,3 10,41 11,52 12,63 13,74 14,85 15,96 17,07 18,18
	123.6	0	60	66.5	123.66

Так как t = 0, то система нормальных уравнений примет вид:

a₀ n = y,

a₁ t ² = yt

Отсюда

a₀ = y / n = 123.6/9 = 13.74 кг,

a₁ = yt / t ² = 66,5/60 = 1,11 кг.

Уравнение прямой будет иметь вид

у_t = 13,74 +1,11t

Параметры а₀ и а₁ можно исчислить иначе с помощью определителей:

а_{0 =} ( y t ² - yt t)/(n t ² - ( t)² ) а₁ = (n уt - y t)/(n t ² - ( t)²)

Отсюда следует, что для нахождения параметров необходимо получить уt, t ², уt. Обозначим годы ( t ) порядковыми номерами.

Год	Потребление овощей за месяц на одного члена домохозяйства, кг	t	t2	yt	yt
A	1	2	3	4	5
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011	10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0	1 2 3 4 5 6 7 8 9	1 4 9 16 25 36 49 64 81	10,0 21,4 36,0 41,2 64,5 97,8 109,2 142,4 162,0	9,3 10,41 11,52 12,63 13,74 14,85 15,96 17,07 18,18
итого	123.6	45	285	684,5	123.66

a₀ = (123,6*285 - 684,5 * 45)/(9*285 - 45 ²) = (35226 - 30802,5)/(2565 - 2025) = 4423,6/ 540= 8,19 кг

a₁ = (9 * 684,5 - 123,0 * 45)/(9*285 - 45 ²) = (6160,5 - 5562,0)/(2565 - 2025) = 598,5 / 540= 1,11

у_t = 8,19 + 1,11t

3. Если в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (как в большую, так и в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых колебательных процессов. Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер - возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, производство молока и мяса по месяцам года, потребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т.д.).

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам или каким-либо другим внутригодичным периодам. Наиболее часто при изучении сезонности используется прием вычисления отклонений внутригодовых данных от среднегодовой.

Чтобы избавиться от влияния особенностей некоторых лет, внутригодовые и среднегодовые данные вычисляются как средние за несколько лет.

НАПРИМЕР: необходимо выявить сезонные колебания продажи яиц на основе данных за 3 года.

Данные о реализации яиц за 3 года

№ месяца	Реализация яиц	Индекс сезонности
	1 год (у1)	2 год (у2)	3 год (у3)	Сумма реализации за 3 года	Средний объем реализации за каждый год (Уср)
А	1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 А	1533 1922 2746 3289 2749 3282 2597 1	1599 2448 3397 3985 3282 3815 2843 2	1759 2568 3329 4033 4000 4586 3154 3	4891 6938 9472 11307 10031 11683 8594 4	1630 2313 3134 3796 3344 3928 2865 5	62,7 88,9 120,1 144,1 128,1 151,0 110,0 6
8 9 10 11 12	2144 2249 1983 1495 1461	2263 2529 2290 1936 1798	2524 2660 2200 1680 1518	6931 7438 6473 5111 4777	2310 2479 2158 1704 1592	88,8 95,3 82,9 65,5 61,2
итого	27450	32282	33911	93646	31243

Для того чтобы рассчитать средний объем реализации за каждый месяц, нужно

У = У₁У₂У₃ / n

где n - число лет (3 года)

для расчета среднего общего показателя реализации:

У_общ = У / k = 93646 / (12 *3)

Расчет индексов сезонности для каждого месяца за 3 года:

I_сезон. = У / У_общ. = 1630 / 2601 = 62,7



Для наглядности можно построить график сезонной волны.

10. Индексы

1. Индекс - это относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени (тогда говорят об индексах динамики), в пространстве (территориальные индексы), или в сравнении с каким-либо условным уровнем, например планового показателя, уровня договорных обязательств и т.п. соответственно вводят индекс выполнения обязательств, или, если плановый уровень сравнивается с уровнем предыдущего периода, - индекс планового задания.

Обычно сопоставляемые показатели характеризуют явления, состоящие из разнородных элементов, непосредственное суммирование которых невозможно в силу их несоизмеримости. НАПРИМЕР: различные виды продукции предприятий нельзя суммировать. В качестве меры соизмеримости разнородных продуктов можно использовать цену, себестоимость или трудоемкость единицы продукции.

Величина, изменение которой изучается в данном конкретном случае с помощью индекса, называется индексируемой величиной.

Для удобства восприятия индексов в теории статистики разработана определенная символика. НАПРИМЕР:

количество обозначается через q_i;

цена единицы изделия - P_i;

себестоимость единицы изделия - z_i;

трудоемкость единицы изделия - t_i и т.д.

По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и сводные (общие) индексы. Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменение только одного элемента совокупности (например, изменение выпуска легковых автомобилей определенной марки). Индивидуальный индекс обозначается символом i.

В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей (например, индекс физического объема продукции) и индексы качественных показателей (например, индексы цен, себестоимости).

При вычислении индексов различают сравниваемый уровень и уровень, с которым производится сравнение, который называется базисным.

Индексы бывают цепные и базисные. Цепные получают при сопоставлении текущего уровня с предыдущим. Базисные получают при сопоставлении с уровнем периода, принятым за базу.

Так, уровень товарооборота в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного года Q₁ сравнивается с аналогичной суммой выручки базисного года Q₂. В итоге получаем индивидуальный индекс товарооборота. i_Q= Q₁ / Q₂, или например индивидуальный индекс цены i_p= P₁ / P₂, количества проданных товаров i_q= q₁ / q₂,

Аналогично i_p показывает, во сколько раз изменилась общая сумма выручки под влиянием изменения цены товара - i_Q = i_{q *} i_p

2. Если изучаемое явление неоднородно и уровни необходимо привести к общей мере в экономическом анализе применяют общие индексы. К примеру, неоднородной совокупностью является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Тогда сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений взвешивающего показателя на объемный), например: Q = Уp q. Например, индекс общего объема товарооборота:

I_Q = У p₁ q₁

У p₀ q₀; разница между числителем и знаменателем индекса Д_Q = У p₁ q₁ - У p₀ q₀ составляет абсолютное изменение товарооборота.

На прирост товарооборота оказывает влияние изменение цен и количество проданных товаров. Влияние изменения цен покажет агрегатный индекс цен:

I_P = У p₁ q₁/ У p₀ q₁; (ф-ла Пааше) или

I_P = У p₁ q₀ / У p₀ q₀; (Ласпейреса)

где p - индексируемая величина, q - объемы, или веса, которые фиксируются на уровне одного периода (отчетного или базисного). Разница между числителем и знаменателем индекса Д^p_Q = У p₁ q₁ - У p₀ q₁ или Д^p_Q= У p₁ q₀ - У p₀ q₀ означает:

В первом случае - абсолютный прирост товарооборота (выручки от продаж) в результате среднего изменения цен или экономию (перерасход) денежных средств населения в результате среднего снижения (повышения цен);

Во втором случае - условный абсолютный прирост товарооборота, если бы объемы продаж не изменились по сравнению с базисным периодом;

Влияние изменения количества проданных товаров покажет агрегатный индекс физического объема:

I_q = У p₀ q₁/ У p₀ q₀;

где q - индексируемая величина, а p - соизмеритель, или вес, зафиксированный на одинаковом уровне. Разница между числителем и знаменателем индекса Д^q_Q = У p₀ q₁ - У p₀ q₀ составляет абсолютное изменение товарооборота за счет изменения физического объема.

3. Средний индекс - это индекс, рассчитанный как средняя из индивидуальных индексов. Различают следующие виды таких индексов:

Среднеарифметический индекс физического объема:



I_q = У i_q p₀ q₀ / У p₀ q₀

где i_q =q₁ q₀,

Среднегармонический индекс цен:

I_p = У p₁ q₁ / У p₁ q₁ /i_p (Пааше),

где i_p = p₁ p₀

Среднеарифметический индекс цен:

I_p = У i_p p₀ q₀ / У p₀ q₀ (Ласпейреса)

Если индексы качественных показателей построены на основе весов, взятых на уровне отчетного периода (например, по формуле Пааше), то рассмотренные выше индексы и их элементы взаимосвязаны между собой:

I_Q = I_p I_q (так называемая мультипликативная модель)

Д_Q = Д^p_pq + Д^q_pq (аддитивная модель)

Если сравнивают друг с другом не два периода (момента), а более, то выделяют цепную и базисную системы индексов. Эти индексы взаимосвязаны между собой:

Произведение цепных индексов равно конечному базисному;

Частное от деления двух смежных базисных индексов равно промежуточному цепному.

НАПРИМЕР:

Имеются следующие данные о проданных товарах:



Товары	Единица измерения	Количество, тыс. ед.	Цена, тг.
		Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
А Б	кг л	100 200	75 180	150 50	200 60

Определить:

индивидуальные индексы объемов продаж, цен и товарооборота;

агрегатные индексы физического объема;

агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Лайспейреса;

общий индекс товарооборота;

абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объемов, цен и за счет совместного действия обоих факторов.

РЕШЕНИЕ:

для «А» i_q = 75/100= 0.75 (снижение на 25%)

i_p = 200/150 = 1,333 (рост на 33,3%)

i_Q = 200*75/150*100 = 1,0 (без изменения), при этом 1,0= 1,33*0,75

для «Б» i_q = 180/200=0,9 (снижение на 10%)

i_p =60/50=1,2 (рост на 20%)

i_Q = 60*180+50*200 = 1.08 (рост на 8%), 1,08 = 0,9*1,2

2) I_q = У p₀ q₁ / У p₀ q₀ = (75*150+180*50)/(100*150+200*50) = 20250/25000 = 0,81 или 81 %

Количество проданных товаров по двум видам в среднем снизилось на 19%

3) а) Пааше I_P = У p₁ q₁ / У p₀ q₁ = (200*75+60*180)/(150*75+50*180) = 25800/20250 = 1,274 или 127,4 %

Средний прирост на все товары составил 27,4%



б) Ласпейреса I_P = У p₁ q₀ / У p₀ q₀ = (200*100+60*200)/(150*100+50*200) = 32000/25000 = 1,28 или 128 %

Если бы население приобрело товаров в отчетном периоде столько же, сколько и в базисном, то цены в среднем увеличились бы на 28%.

Заниженное значение индекса цен Пааше объясняется тем, что резкое повышение цен на товар «А» (на 33.3%) по сравнению с товаром «Б» вызвало и более резкое снижение объемов покупок (на 25,% по сравнению с 10%).

4) I_Q = У p₁ q₁/ У p₀ q₀ = (200*75+60*180)/(150*100+50*200) = 25800/25000 = 1,032, или 103,2%

Товарооборот по двум товарам возрос на 3,2%

5) Д^q_Q = У p₀ q₁ - У p₀ q₀ = 20250-25000= -4750 тыс. тг,

за счет снижения количества реализованных товаров, выручка от продажи снизилась на 4750 тыс. тг

по методике Пааше

Д^p_Q = У p₁ q₁ - У p₀ q₁ 25800-20250 =5550 тыс. тг

(за счет среднего роста цен выручка возросла на 5550 тыс. тг, эту же величину составил перерасход денег у населения);

по методике Ласпейреса

Д^p_Q= У p₁ q₀ - У p₀ q₀ = 32000-25000=7000 тыс. тг

(если население в отчетном периоде купило бы столько же товаров, как в базисном, то перерасход составил бы 7000 тыс. тг)

Д_Q= У p₁ q₁ - У p₀ q₀ = 25800-25000=800 тыс. тг

(товарооборот по всем товарам возрос на 800 тыс. тг)

Взаимосвязь между индексами:

I_Q = I_p I_q 1,032 = 1,274*0,810

Между абсолютными приростами

Д_Q = Д^p_pq + Д^q_pq 800 = (5550-4750) тыс. тг

4. Индексный метод широко применяется также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. Для этого исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава это отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя. Этот индекс для любых качественных показателей имеет следующий вид:

I_Xcp = X₁ / X₀ = Уx₁ f₁ / У f₁: Уx₀ f₀/ У f₀

величина этого индекса характеризует изменение средней за счет влияния двух факторов: осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности и структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава представляет собой отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (при постоянной структуре). Этот индекс учитывает только изменение индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя (х) у единиц совокупности. В общем виде он выглядит так:

I_X = Уx₁ f₁ / У f₁: Уx₀ f_{1 /} У f₁

для расчета индекса можно использовать агрегатную

форму индекса:

I_X = X₁ = Уx₁ f₁ / Ух₀ f₁

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры на динамику среднего уровня индексируемого показателя и рассчитывается по формуле:

I_S = Уx₀ f₁ / У f₁: Уx₀ f₀/ У f₀

Под структурными изменениями понимается изменение отдельных групп единиц совокупности в общей их численности. Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики среднего уровня качественного показателя имеет вид:

I_Хср = I_х I_S.

Между важнейшими индексами существуют взаимосвязи, позволяющие на основе одних индексов получить другие. Например,

индекс стоимости продукции - это произведение индексов цен и физического объема продукции:

I_pq = I_p I_q

индекс издержек производства представляет собой произведение индекса себестоимости единицы продукции и индекса физического объема произведенной продукции:

I_zq = I_z I_q

индекс товарооборота - это произведение индекса цен и индекса физического объема товарооборота:

I_Q = I_p I_q

В индексах средних уровней в качестве весов могут быть взяты удельные веса единиц совокупности (d = f / Уf), которые отражают изменения в структуре изучаемой совокупности. Тогда систему взаимосвязанных индексов можно записать в следующем виде:

Уx₁ d₁ / Уx₀ d₀= Уx₁ d₁ / Уxf₀ d₁ . Уx₀ d₁/ Уx₀ d₀,

Территориальные индексы - это разновидность относительных величин сравнения, когда сопоставляются сложные показатели, относящиеся к одному и тому периоду времени, но к разным территориям (городам, районам, областям, государствам). На основе территориальных индексов выполняются международные сопоставления.

Построение простейших территориальных индексов рассмотрим на примере показателя товарооборота для двух районов («А» и «Б»).

Территориальный индекс товарооборота - это отношение суммы выручки от продажи в одном из районов к аналогичному показателю в другом. Один из районов (например, «Б») принимается за базу сравнения, т.е.

I_QА/Б = УP_А q_A/ УP_Б q_Б,

объем товарооборота от ассортимента и количества проданных товаров, а также от цен. Территориальный индекс физического объема рассчитывается как

I_qА/Б = УP_ср q_A / УP_ср q_Б,

Территориальный индекс цен:

I_{Р А/Б} = УP_А q/ УP_Б q,

в этих формулах Р_ср - средняя межрайонная цена товара каждого вида, Р_ср = (P_А q_А + P_Б q_Б)/( q_А + q_Б); q = (q_А + q_Б) - суммарный по двум районам объем продаж каждого вида товара.

11. Статистические приемы изучения взаимосвязей

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться со взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. При этом проявляются количественные характеристики причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из важнейших задач статистики.

В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Полная связь довольно часто проявляется в физике и химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.

Корреляционная связь (полная или статистическая) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому - сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. При этом, каждому значению аргумента соответствует случайно распределенные в некотором интервале значения функции. (ПРИМЕР С УРОЖАЙНОСТЬЮ)

По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Их также называют положительными и отрицательными.

По аналитической форме связи бывают линейными и нелинейными

С точки зрения взаимодействующих факторов связь бывает парной и множественной.

Кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной характерно участие какой-то третьей переменной, которая обусловит связь. Ложная связь не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

По силе связи различаются сильные и слабые связи.

Задачи собственно корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа - это установление формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Простейшим приемом выявления связи является построение корреляционной таблицы. В основу группировки положены два изучаемых во взаимосвязи признака - Х и У. Частоты f показывают количество соответствующих сочетаний Х и У. Если частоты расположены в таблице беспорядочно, то можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания частот допустимо утверждать о связи между Х и У. При этом, если значения концентрируются около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Наглядным изображением корреляционной таблицы служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладываются значения Х, по оси ординат - У, а точками показывается сочетание Х и У.

Линейный коэффициент корреляции (r) используют для количественной оценки тесноты связи между двумя признаками:

r = (XY - X*Y)/(_x*y),

где _x*y - среднеквадратические отклонения признаков. Можно использовать и другие формулы, но результат должен быть одинаковым для всех вариантов расчета.

Линейный коэффициент корреляции принимает значения в интервале от (-1) до (+1). Принято считать, что если [r] 0, то связь слабая; при [r] = (0,3 -0,7) - средняя; при [r] 0,7 - сильная, или тесная. Когда r =1 - связь функциональная. Если же r = 0, то это говорит об отсутствии линейной связи между Х и У. Однако в этом случае возможно нелинейное взаимодействие, что требует дополнительной проверки и других измерителей.

Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой

У_х= а₀ +а₁х_,

где у - индивидуальные значения результативного признака;

х - индивидуальные значения факторного признака;

а₀, а₁ - параметры уравнения прямой (уравнения регрессии);

У_х - теоретическое значение результативного признака.

Параметры уравнения прямой а₀ и а₁ определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов или по формулам:

у = na₀ + a₁x

yx = a₀x + a₁x² , a₁ = (n yx - x y)/( nx² - x x)

или а₁=(У(х - )(у - ))/(У(х - )²)

а₀ = - a_{1 р}

НАПРИМЕР: Имеются выборочные данные по 10 однородным предприятиям:

Исходные данные	Расчетные значения
№ предприятия	Электровооруженность труда на одного рабочего, кВт-ч Х	Выпуск продукции на одного рабочего, т У	ху	х -	у -	(х - )2	(у - )2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.	2 5 3 7 2 6 4 9 8 4	3 6 4 6 4 8 6 9 9 5	6 30 12 42 8 48 24 81 72 20	-3 0 -2 2 -3 1 -1 4 3 -1	-3 0 -2 0 -2 2 0 3 3 -1	9 0 4 4 9 1 1 16 9 1	9 0 4 0 4 4 0 9 9 1
Итого:	50	60	343	0	0	54	40
В среднем	5	6	34,3

а₁ = (9 +0 +4+ 0 +6 +2 + 0 +12 +9 +1)/54 = 43/54 = 0,7963

а₀ = 6 - 0,7963*5 а₀ = 2,02

Конкретное уравнение регрессии имеет вид: у_х = 2,02 + 0,7963

Это означает, что с увеличением электровооруженности труда одного рабочего на 1 кВт-ч выпуск готовой продукции возрастет на 0,796 т.

Но это произойдет в том случае, если между данными двумя факторами действительно существует связь, чтобы определить ее наличие и измерить тесноту связи, рассчитаем коэффициент корреляции.

у_х = 5,4 = 2,32 у_у = 4 = 2

r = (34,3 - 5*6)/(2,32 * 2) = 0,927

Связь прямая, сильная.

Исчисленный коэффициент необходимо на достоверность. Проверку проводят путем расчета критерия надежности по формуле:

t_r =(I r I)/ у_r

t - критерий надежности;

r - коэффициент корреляции;

у_r - средняя ошибка коэффициента корреляции.

Если отношение коэффициента корреляции равно или больше 3, то r считается надежным, а связь доказанной с вероятностью 0,997. Если это отношение меньше 3, то связь между изучаемыми признаками нельзя считать доказанной и выводы анализа не используются. В свою очередь у_r определяется по формуле

у_r = 1 -r² / vn,

где r² - коэффициент детерминации, характеризующий удельный вес изучаемого признака в общей колеблемости. Он говорит о возможном числе случаев из 100.

n - число наблюдений.

у_r = 1 - 0,859 / 10 = 0,141/3,162 = 0,044 , следовательно, в 86 случаях из 100 выпуск продукции в группе однородных предприятий возрастает под воздействием электровооруженности.

t_r = 0.927 /0,044= 21.06

Рассчитаем t коэффициент корреляции превысил свою ошибку в 21 раз, следовательно, связь между факторами можно считать доказанной.

4. Когда требуется охарактеризовать связь множества независимых переменных с результативным признаком речь идет о множественной корреляции или множественной регрессии.

В таком случае, во-первых необходимо решить вопрос о регрессии. Зачастую от его решения зависят оценки тесноты связи. Прежде всего, определяют перечень независимых переменных в уравнении, это делается на основе теоретических положений, список Х может быть большим.

Первоначально обычно берется линейная модель множественной регрессии

У_теор. = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ + ... + а_пх_п,

Где У_теор. - расчетное (ожидаемое) значение У при фиксированных значениях Х₁, Х₂, Х₃ ...; а_0, а_1, а_2, ... а_п, - коэффициенты регрессии.

Для оценки уравнения регрессии рассчитывается коэффициент множественной корреляции.

Наиболее общие формулы для его определения имеют вид:

R = v1 - у² _ост / у²,

где у² - общая дисперсия (дисперсия У)

у² _ост - остаточная дисперсия, характеризующая вариацию У за счет факторов, не включенных в уравнение регрессии

Размещено на Allbest.ru