Основы статистики

Формулы средней ошибки выборки.

В связи с тем, что признаки в изучаемой совокупности варьируют, то состав единиц, попавших в выборку, может не совпадать с составом единиц всей совокупности. Это означает, что Р и не совпадают с W и. Возможное расхождение между этими характеристиками определяется ошибкой выборки, которая определяется по формуле:

где - генеральная дисперсия.

где - выборочная дисперсия.

Отсюда видно, где генеральная дисперсия отличается от выборочной дисперсии в раз.

Существует повторный и бесповторный отбор. Сущность повторного отбора состоит в том, что каждая, попавшая в выборку единица, после наблюдения возвращается в генеральную совокупность и может быть исследована повторно. При повторном отборе средняя ошибка выборки рассчитывается:

Для показателя доли альтернативного признака дисперсия выборки определяется по формуле:

На практике повторный отбор применяется редко. При бесповторном отборе, численность генеральной совокупности N в ходе выборки сокращается, формула средней ошибки выборки для количественного признака имеет вид:

, тогда

Одно из возможных значений, в которых может находиться доля изучаемого признака равно:

где - ошибка выборки альтернативного признака.

При выборочном обследовании 10 % изделий партии готовой продукции по методу без повторного отбора получены следующие данные о содержании влаги в образцах.

Влажность %	Число образцов	хi
До 13	4	12
13-15	18	4
15-17	50	16
17-19	22	18
19 и выше	6	20
	100

Определить средний % влажности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается ср. % влажности всей готовой продукции, с вероятность 0,987 возможные пределы удельного веса стандартной продукции при условии, что к нестандартной партии относятся изделия с влажностью до 13 и выше 19 %.

Лишь с определенной вероятностью можно утверждать, что генеральная доля от выборочной доли и генеральная средняя от выборочной средней, отклоняются в tраз.

В статистике эти отклонения называются предельными ошибками выборки и обозначаются .

Вероятность суждений можно повысить или понизить в t раз. При вероятности 0,683 , при 0,954, при 0,987, тогда показатели генеральной совокупности по показателям выборки определяются:

Средний процент влажности генеральной совокупности может быть любым значением, находящемся в пределах от 15,82 до 16,33.

;

Таким образом, удельный вес стандартных изделий в генеральной совокупности находится в пределах 81 % - 99 %.

Из расчета задачи видно, что возможные пределы удельного веса единиц генеральной совокупности будут находиться:

А среднее значение генеральной совокупности находится в пределах :

1.8 Способы формирования выборочных с совокупностей

Районированный и нерайонированный отбор. Формирование выборочной совокупности происходит из единиц генеральной совокупности, причем, отбор может быть нескольких видов:

нерайонированный отбор - отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной совокупности не разбитой на группы по каким-либо признакам;

районированный - генеральная совокупность делится на группы по признакам.

Пример, отбор предприятий по отраслям. Разбивка генеральной совокупности на группы происходит по реально существующим признакам, в данном случае такой отбор называется типическим.

Типический отбор облегчает формирование выборочных совокупностей и обеспечивает более равномерное распределение единиц в генеральной совокупности.

При типическом отборе показатели выборочной характеристики, более точнее, чем при нерайонированном отборе.

Собственно-случайный отбор.

Дает лотерея, жеребьевка или тираж, при этом обеспечивается абсолютно равная возможность попадания в выборку любой единицы.

Пример, тираж «Лото Батыр» и попадание в выборку любого билета, при этом ошибка выборки определяется по формуле:

Механический отбор.

Составляют список всех единиц совокупности и определяют интервал путем деления числа генеральной совокупности на число выборочной совокупности.

Поэтому в выборочную совокупность войдут единицы генеральной совокупности, расположенные в списке через данный интервал.

Принцип случайного отбора в механической выборке обеспечивается тем, что единицы в генеральной совокупности располагаются в таком порядке, который не оказывает влияние на изучаемый признак или фактор. Механический отбор можно использовать и без применения списков, а брать единицы так, как они располагаются в генеральной совокупности.

Пример, при 2 % отборе из 100 единиц в выборку попадает каждый 50-й. Ошибка выборки при механическом отборе, рассчитывается исходя их внутригрупповой дисперсии или средней из групповых дисперсий.

Однако, если генеральная совокупность разбита на группы по строго нейтральному признаку, то ошибку выборки, исходя из внутригрупповой дисперсии, определить нельзя, т.к. внутригрупповая равна общей дисперсии.

Типический отбор.

Данный отбор состоит из 2 этапов:

определяют признак, по которому проводится районирование генеральной совокупности;

в группах проводят механический отбор единиц выборочной совокупности.

При этом ошибка выборки рассчитывается:

где исходя из закона сложения дисперсии равна разности общей дисперсии и межгрупповой дисперсии, т.е.

С помощью корреляционного отношения, которое определяется как корень квадратный из частного межгруппового и общей дисперсией:

В связи с этим, дисперсия выборочной средней в типической выборке равна:

Следовательно, типизация уменьшает ошибку выборки на

Численность единиц выборочной совокупности между группами обычно распределяется пропорционально численности по группам единиц в генеральной совокупности в группах на соответствующие групповые средние квадратические отклонения.

Разновидностью типической выборки является систематический отбор, т.е. механический отбор из совокупности ранжированной по какому-либо признаку, связанному с изучаемым признаком.

Пример, отбор рабочих по семейному бюджету, связанному с их средней заработной платой.

Многоступенчатая выборка.

Типичный отбор состоит в многоступенчатой выборке из сочетания нескольких стадий отбора, причем на каждой стадии имеется своя единица отбора (отрасль предприятия, численность и средняя заработная плата.).

Пример, проведем многоступенчатую выборку. В области имеются 13 предприятий общей численностью 4 тыс. человек. Требуется отобрать 200 человек так, чтобы с каждого предприятия было 25 работников с различным уровнем заработной платы.

№ завода	Численность чел.	Комулятивная численность	Фонд оплаты труда тыс. тенге	Средняя з/пл. тыс. тенге
1	680	680	93364	137,3
2	460	1140	61318	133,3
3	510	1650	66708	130,8
4	400	2050	51040	127,6
5	420	2470	52920	126,0
6	420	2890	52584	125,2
7	200	3090	24560	122,8
8	310	3400	37076	119,6
9	150	3550	17685	117,9
10	70	3620	8197	117,1
11	140	3760	16058	114,7
12	110	3870	12441	113,1
13	130	4000	14495	111,5
	4000	62947	508446	127,11

I ступень. Определим число предприятий, попадающих в выборку: предприятий.

Для того, чтобы приступить к отбору предприятий, определим величину интервала:

Каждый 5000-ый работник попадает в выборку:

№ п/п	№ предприятия	Комулятивная численность	Численность	ФОТ
1	1	250	680	93364
2	2	750	460	61318
3	3	1250	510	66708
4	4	1750	400	51040
5	5	2250	420	52920
6	6	2750	420	52584
7	8	3250	310	24560
8	11	3750	140	16058
			3340	418552

II ступень.

Проверяем репрезитивность средней заработной платы. по всем предприятиям:

Выборочные данные репрезитивны, т.к. выборочная средняя ненамного отличается от общей средней.

III ступень.

Определим рабочих внутри предприятия. Рабочих делят на квалифицированных и неквалифицированных. Так по данным 1-го предприятия из 680 человек 544 являются квалифицированными, значит, 4/5 квалифицированные, а 1/5 - неквалифицированные, т.е. из 25 рабочих 20 войдут в первую группу, пять во вторую. Далее составляют 2 списка по квалификациям и определяют интервал внутри каждого списка:

Таким образом, 27-ой рабочий по списку войдет в выборку.

Далее по другим предприятиям аналогично. Из этого видно, что предприятия в пределах отрасли отбирают механическим отбором с последующей проверкой репрезитивности по среднему уровню заработной платы.

Рабочих же выбирают на основе пропорционально типическому отбору. Многоступенчатый отбор принимают при наличии нескольких типов единиц отбора, которые отличаются по своим масштабам, при этом необходимо так организовать выборочное исследование, чтобы оно равномерно распределялось между отдельными частями сложного явления.

Многофазная выборка.

Отличается от многоступенчатой тем, что на всех ступенях обследуется одна и та же единица отбора (обследование крестьянских хозяйств, где более полно обследуется каждое 3-е, 9-е, 27-е и т.д. хозяйство, при этом ошибка выборки незначительна и выборочные показатели более точно характеризуют генеральную совокупность).

Комбинирование выборочного наблюдения со сплошным.

Характерно для многофазной выборки. Оно позволяет проверить более точно типичность выборочных данных по отношению к генеральным характеристикам. Выборочные показатели сопоставляются с данными сплошного наблюдения.

Серийная выборка.

Если в выборку попадают не отдельные единицы совокупности, а целые серии, такая выборка называется серийная.

Пример, при 10 % обследовании качества продукции можно проверять каждую 10-ю единицу (механический отбор), при серийном - через 9 часов каждый 10-й час обследуется вся выпущенная продукция в течении целого часа.

Серийный отбор применяется редко, т.к. дает высокую ошибку выборки.

Моментная выборка.

На определенные моменты времени фиксируется наличие отдельных элементов изучаемого процесса.

Пример, изучение использования работниками рабочего времени и времени работы оборудования.

Моментное наблюдение охватывает все единицы совокупности, поэтому является сплошным. Цель - на основе выборочных характеристик дать репрезентативную оценку всей генеральной совокупности. Т.к. при моментном наблюдении обычно характеризуется альтернативный признак (работа или простой), то оценка репрезентативности проводится по формулам средней и предельной ошибки выборки. При этом, в качестве численности выборочной совокупности, принимается число записей моментного обследования.

Пример, в цехе работает 20 станков. За 8-ми часовую смену каждые полчаса проводились моментные обследования. Определить в каких пределах будет находиться доля работающих станков за все время смены, если в 32 случаях замечен простой, вероятность 0,954.

Малая выборка.

Такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не более 20. Хотя общий принцип выборочного наблюдения - чем больше выборочная совокупность, тем точнее показатели, иногда используют малую выборку.

Малая выборка применяется при обследовании качества продукции с последующим уничтожением проверяемой единицы.

Средняя ошибка малой выборки определяется по формуле:

Причем, малая выборочная дисперсия рассчитывается:

Следовательно, предельная ошибка выборки:

Но в данном случае коэффициент доверия - tотличен от применяемого t в других выборочных наблюдениях. Он зависит от n(числа выборки), при увеличении n распределение стремится к нормальному и при n = 20 мало чем отличается от нормального. Если n = 20; t = 1 вероятность = 0,683.

t = 2 0,954

t= 3 0,997

Проверка типичности выборочных данных.

Кроме вероятностной оценки репрезентативности выборочных данных путем расчета средней и предельной ошибки выборки по каждому показателю проверка типичности часто осуществляется путем сопоставления выборочных данных с данными сплошного отбора.

Пример, обследование уровней заработной платы. Типичность отобранных предприятий проверяется путем сравнения средней заработной платы на отобранных предприятиях со средней заработной платой всех предприятий.

Существует 2 способа распространения данных выборочного наблюдения:

- способ прямого пересчета

пример, надой с одной коровы за год составил 2500 л. Среднее поголовье коров в частном владении 10000 голов. Ошибка выборки составляет 20 л. Определить годовой надой со всего поголовья имеющихся у селян:

Способом прямого пересчета можно распространять данные выборочного наблюдения на основе соотношения численности выборочной и генеральной совокупности.

Пример, при выборочном 3 % обследовании качества продукции в выборку попало 1000 единиц, из которых качество 20 не соответствует стандарту. Ошибка выборки = 2 единицы. Используя соотношение численности можно рассчитать, что число некачественных единиц из 20000 будет равно:

от 360 до 440

- способ коэффициентов, применяют при проведении выборочного наблюдения для проверки и уточнения данных сплошного обследования.

Сопоставляя выборочные данные с данными сплошного наблюдения, определяют поправочный коэффициент, а с его помощью вносят поправки в данные выборочной совокупности.

1.9 Ряды динамики

Понятие и виды рядов динамики.

Статистика рассматривает общественные явления в непрерывном развитии.

Ряд динамики - последовательно расположенные в хронологическом порядке показатели, характеризующие общественные явления и процессы в развитии. В ряду динамики для каждого отрезка времени приводится два показателя:

показатель времени

показатель уровня ряда (у).

Кроме них могут также показываться производные.

Исследование рядов динамики дает возможность показать развитие явления во времени, тенденции развития, темпы роста, основные пути развития. Ряды динамики могут состоять из - абсолютных;

- относительных;

- средних величин.

Примером ряда динамики средних величин является урожайность культур по хозяйствам области; ср. производительности.

Примером ряда динамики относительных величин может быть ряд, характеризующий темпы роста производства продукции.

Ряд динамики абсолютных величин характеризует уровни развития общественных явлений, либо на определенные моменты времени, либо за определенные промежутки времени. В зависимости от этого ряды динамики делят на:

интервальные;

моментные.

Разница между ними заключается в том, что в моментном ряду интервал - это промежуток времени между датами, а в интервальном - это промежуток времени, за который обобщены приводимые сведения.

На основе ряда динамики абсолютных величин могут быть получены ряды динамики относительных и средних величин.

Сопоставимость уровней ряда динамики.

Анализировать ряды динамики нельзя, если приводятся несопоставимые данные. Несопоставимость статистических данных во времени может быть вызвана следующими причинами:

инфляционным процессом;

территориальные изменения;

изменения единиц счета;

изменения курса валют;

изменения степени охвата статистического наблюдения;

несовершенство методологии статистического наблюдения.

Для того, чтобы привести уровни ряда в ряду динамики к сопоставимым уровням ряда необходимо провести смыкание рядов динамики.

Это можно сделать лишь в том случае, если один из уровней ряда имеется в старом и новом исчислении.

Стоимость основных фондов, млн.тг	2008	2009	2010	2011
- до переоценки	6700	6900	-	-
- после переоценки	-	7500	7800	8200

1)- коэффициент переоценки

2) - уровень стоимости основных фондов для 2008г.

Статистические показатели динамики социально-экономических явлений.

Для количественной оценки динамики проводят расчет таких показателей, как абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, темп наращивания, средний абсолютный прирост, средний темп роста.

В основе расчета показателей ряда динамики лежит сравнительный анализ уровней ряда либо с постоянной, либо с переменной базой сравнения. При постоянной базе сравнения каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же показателем (уровнем), принятым за базу (у₀). При переменной базе сравнения каждый уровень ряда сравнивают с предыдущим ().

1. Абсолютный прирост - это разность 2 уровней ряда в исходных единицах измерения:

- базисный

- цепной абсолютный

Абсолютный прирост может иметь отрицательное значение, если уровень изучаемого периода ниже уровня базисного периода или предшествующего. Между цепным и базисным абсолютным приростом существует взаимосвязь: сумма цепных абсолютных приростов равна абсолютному приросту последнего уровня ряда динамики:

2. Темпы роста - это отношение 2 уровней ряда, может выражаться в виде коэффициента, но чаще в %.

Цепные

Базисные

Если темп роста > 100%, то идет увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным или предыдущим и наоборот. Между базисным и цепными темпами роста существует взаимосвязь - произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего уровня ряда динамики.

3. Темпы прироста - характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Определяется двумя способами:

1-й способ - путем вычитания из темпа роста 100%:

2-й способ - путем деления абсолютного прироста на уровень принятый за базу или предыдущий уровень ряда динамики:

- базисные

Если уровни ряда динамики сокращаются, то соответствующие показатели темпов прироста будут с минусом, т.к. они характеризуют уменьшение ряда динамики в %.

4. Темпнаращивания - показывает в экономике наращивание во времени экономического потенциала. Вычисляется деление цепных абсолютных приростов на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

Производственная мощность на предприятии характеризуется следующими данными:

I. Интервальный ряд динамики «А»

Показатель	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Производственная мощность т/сутки	206,4	208,3	210,2	211,5	213,4	217,3

Определить:

1. Все аналитические показатели ряда динамики «А».

2. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста.

3. Привести графическое изображение динамики производственной мощности.

II. Моментный ряд динамики «В»

Показатель	1 января	1 февраля	1 марта	1 апреля
Остатки сырья на складе	76	70	66	62

Привести расчет среднемесячного уровня остатков сырья на складе по данным моментного ряда динамики «В» по формуле средней хронологической для моментного ряда.

I. 1). Абсолютный прирост

Цепные:

Базисные:

2). Темп роста

Базисные:

Цепные:

3). Темп прироста

Базисные: 1-й способ:

2-й способ:

и т.д.

Цепные: 1-й способ:

2-й способ:

4). Темп наращивания:

5). Средний абсолютный прирост:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7. Динамика производственной мощности

Анализ рядов динамики.

Для анализа рядов динамики применяется сравнительный анализ, для того, чтобы выяснить какое явление развивается быстрее. Если сравниваются одноименные величины, то можно сопоставлять как абсолютные значения, так и относительные.

Сравнительный анализ производства хлеба за сентябрь 1997г.

Декада	Выпуск тыс. тонн	Выпуск БМв % к АН	Абсолютный прирост	Темп роста
	Аксай нан	Бродмастер		Аксай нан	Бродмастер	Аксай нан	Бродмастер
I	5	8	8/5 100	-	-	-	-
II	12	6		12-5	6-8	12/5 100	6/8 100
III	7	4	4/7 100	7-12	4-6	7/12 100	4/6 100

Если производится сравнительный анализ разноименных явлений, то сравнивать можно только относительные величины. Для этого определяют базисные темпы роста к какой-либо единой базе сравнения. Такой прием называется приведение рядов динамики к общему основанию.

Выявление основной тенденции динамики.

При изучении динамики любого из явлений, главной задачей анализа ставится выявление основной тенденции в развитии. Количественная характеристика явления в динамике многих факторов и их развитии зависит от этих факторов.

Пример, сезонные колебания.

Для этого используют сглаживание рядов динамики по методу скользящей средней или по методу аналитического выравнивания уровней ряда динамики.

Метод скользящей средней

Число	Выпуск продукции	Сглаживание по 5 дням
1	45	-
2	46,5	-
3	47,8	46,1
4	46,3	46,06
5	44,9	45,82
6	44,8	46
7	45,3	46,56
8	48,7	47,1
9	49,1	47,9
10	47,6	48,72
11	48,8	47,8
12	49,4	46,78
13	44,1	46,3
14	44,0	-
15	45,2	-

1)

2) , и т.д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8. Динамика выпуска продукции: у1 - фактическая кривая; у2 - сглаженная

Для того, чтобы сгладить ряд по 5 дням необходимо по каждым последующим 5 дням рассчитать среднюю арифметическую простую, при этом среднее число за первых 5 дней поставить на 3-ю дату, а следующие 5 дней начинать рассчитывать со 2-го числа, а результат ставить на 4-ю дату. Чем больше интервал, за который исчисляется средняя, тем больше сглаженный ряд усредняет фактический ряд, при этом теряется много информации. Чем меньше интервал, тем больше сглаженный ряд приближается к конкретному ряду. По сглаженному ряду, показанному на графике можно выявить тенденцию в развитии.

Метод аналитического выравнивания ряда динамики по прямой

Если фактические уровни ряда динамики нанести на график, то получим ломаную линию, которая будет отражать как основные тенденции в развитии, так и отклонения от них, вызванные сезонными колебаниями или другими факторами. Чтобы выявить тенденцию необходимо выровнять ломаную линию, в основе выравнивания лежит теоретический анализ сущности данного явления и законы его развития. Как известно, уравнение прямой выражается следующей формулой: , где - значение уровней выровненного ряда динамики;

- параметры прямой;

t - показатель времени.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы фактические уровни ряда динамики (у) заменить теоретическими уровнями ряда (). Прямая, выравнивающая ряд должна проходить в максимальной близости от фактических уровней ряда, т.е. сумма квадратов отклонений должна быть наименьшей. Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров :

где, у - фактические уровни ряда,

n - число уровней ряда.

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы сумма t была равна 0, для этого даты необходимо расположить так:

-7-6-5-4-3-2-1 0 +1+2+3+4+5+6+7;

,

тогда уравнение принимает вид:

Число	Фактические уровни	Условное число	Условные уровни
1	2010	-7	10	49	-14070	1993,76
2	2025	-6	25	36	-12150	2005,66
3	2042	-5	42	25	-10210	2017,56
4	1910	-4	-90	16	-7640	2029,46
5	1960	-3	-40	9	-5880	2041,36
6	2101	-2	101	4	-4202	2053,26
7	2050	-1	50	1	-2050	2065,16
8	2130	0	130	0	0	2077,06
9	2152	1	152	1	2152	2088,96
10	2103	2	103	4	4206	2100,86
11	2080	3	80	9	6240	2112,76
12	2193	4	193	16	8772	2124,66
13	2204	5	204	25	11020	2136,56
14	2230	6	230	36	13380	2148,46
15	1966	7	-34	49	13762	2160,36
Всего:	31156			280	3330

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9. Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Интерполяция и экстраполяция рядов динамики.

Выравниванием рядов динамики пользуются для того, чтобы найти значение недостающего члена ряда. Такой способ называется интерполяцией.

Экстраполяцией рядов динамики называют прием, который заключается в том, что, продолжая найденные математические кривые можно предсказать дальнейшее развитие событий. Прогнозирование базируется на знании развития прогнозируемого явления, а также факторов, влияющих на это явление и того, каким образом эти факторы могут изменить развитие явления.

Приемы изучения сезонных колебаний.

Сезонное колебание - это более или менее устойчивые внутригодовые колебания в ряду динамики, обусловленные специфическими условиями производства или потребления данного товара.

Сезонные колебания характеризуются индексами сезонности (J_S) совокупность которых образует сезонную волну. Индекссезонности - средняя величина, определенная из % отношений по одноименным месяцам фактических уровней ряда динамики к выровненным уровням.

Для выявления сезонных колебаний берут данные за несколько лет с распр6еделением по месяцам, это делается для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой бы не отражались индивидуальные факторы одного года. Определяя индексы сезонности, пользуются несколькими методами, выбор которых зависит от вида ряда:

1). Если ряд содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем определить сезонную волну, определяют общую тенденцию, при этом рассчитывают % фактических данных к выровненным, а индекс сезонности по формуле:

2). Если же ряд не содержит ярко выраженную тенденцию, то такой ряд называют стабильным, а индекс сезонности рассчитывают по формуле:

Вычисление индексов сезонности в стабильном ряду динамики.

Месяц	Закупка молока	Месячные данные в % к среднегодовой
	2009	2010	2011	Всего за 3 года	В среднем за год
Январь	1530	1600	1760	4890	1630	62,8
Февраль	1920	2440	2560	6920	2306,6	88,8
Март	2740	3390	3220	9350	3116,6	120
Апрель	3280	3980	4030	11290	3763,3	144,9
Май	2750	3280	4000	10030	3343,3	128,7
Июнь	3280	3910	4580	11770	3923,3	151
Июль	2590	2840	3150	8580	2860	110,7
Август	2140	2260	2520	6920	2306,6	88,8
Сентябрь	2250	2520	2660	7430	2476,6	95,3
Октябрь	1980	2290	2200	6470	2156,6	83
Ноябрь	1490	1930	1680	5100	1700	65,4
Декабрь	1460	1790	1510	4760	1586,6	61

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10. Индекс сезонности

Определить индекс сезонности реализации свежих фруктов в магазинах города (тонн).

Месяц	Фактические данные	Выровненные	Фактические в % к выровненным	Js
	2009	2010	2011	2009	2010	2011	2009	2010	2011
Январь	35	48	68	32,5	56,9	81	107,7	84,2	83,9	91,9
Февраль	30	42	55	34,9	58,9	83	85,9	71,3	66,3	74,5
Март	28	40	50	36,9	60,9	85	75,9	65,6	58,8	66,8
Апрель	25	36	42	38,91	62,9	87	64,3	57,2	48,3	56,6
Май	22	38	54	40,9	64,9	89,01	53,8	58,6	60,7	57,7
Июнь	38	46	65	42,9	66,9	91,02	88,6	68,8	71,4	76,3
Июль	52	70	90	44,9	68,97	93,02	115,8	101,6	96,8	104,7
Август	85	95	120	46,9	70,98	95,02	181,2	133,9	126,3	147,1
Сентябрь	92	115	145	48,9	72,98	97,03	188,1	157,8	149,4	165,1
Октябрь	80	102	130	50,9	74,98	99,03	157,2	131,2	131,2	141,6
Ноябрь	75	94	120	53,1	76,98	101,04	141,2	122,2	118,8	121,4
Декабрь	50	75	95	55,1	78,99	103,04	90,7	95,05	92,2	92,7

t	y	t2	yt	yt	t	y	t2	yt	yt
-17.5	35	306.25	-612.5	32.5	0.5	70	0.25	35	68.97
-16.5	30	272.25	-495	34.9	1.5	95	2.25	142.5	70.98
-15.5	28	240.25	-434	36.97	2.5	115	6.25	287.5	72.98
-14.5	25	210.25	-362.5	38.91	3.5	102	12.25	357	74.98
-13.5	22	182.25	-297	40.9	4.5	94	20.25	423	76.99
-12.5	38	156.25	-475	42.9	5.5	75	30.25	412.5	78.99
-11.5	52	132.25	-598	44.9	6.5	68	42.25	442	81
-10.5	85	11.25	-892.5	46.9	7.5	55	56.25	412.5	83
-9.5	92	90.25	-874	48.93	8.5	50	72.25	425	85
-8.5	80	72.25	-680	50.9	9.5	42	90.25	399	87
-7.5	75	56.25	-562.5	53.1	10.5	54	110.25	567	89.01
-6.5	50	42.25	-325	55.1	11.5	65	132.25	847.5	91.02
-5.5	48	30.25	-264	56.9	12.5	90	156.25	1125	93.02
-4.5	42	20.25	-189	58.9	13.5	120	182.25	1620	95.02
-3.5	40	12.25	-140	60.9	14.5	145	210.25	2102.5	97.03
-2.5	36	6.25	-90	62.9	15.5	130	240.25	2015	99.03
-1.5	38	2.25	-57	64.9	16.5	120	272.25	1980	101.04
-0.5	46	0.25	-23	66.9	17.5	95	306.25	1662.5	103.04

Для упрощения расчетов обозначим t, таким образом, чтобы сумма tбыла равна 0 и:

1.10 Индексы

Общие понятия об индексах.

Для характеристики явлений и процессов экономической жизни, статистика наряду с другими показателями использует индексы. Слово «индекс» в переводе - показатель.

Индекс - обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, состоящих из элементов, которые непосредственно не подчиняются суммированию.

К совокупностям, элементы которых можно суммировать, относятся те совокупности, в которых дается сравнительная характеристика объемов: динамика посевных площадей, динамики выпуска конкретного вида продукции, динамики оплаты труда и т.д.

К совокупностям, элементы которых не поддаются суммированию, относятся такие 2 вида:

- характеристика 1 тонны пшеницы, молока, стали и т.д. В таких совокупностях рассчитывается индекс физического объема произведенной (проданной, потребленной) продукции;

- совокупности, где характеризуются цены (одной тонны пшеницы, молока и т.д.).

Для характеристики общего уровня цен (себестоимости, производительности, урожайности)применяются индексы себестоимости, цен и т.д.

Индексы применяются в следующих сферах:

1). Для сравнительной характеристики элементов конкретной совокупности;

2). Динамики;

3). Для пространственного сравнения;

4). Для сравнения факта с планом;

5). При факторном анализе.

Классификация индексов.

Индексы классифицируются по ряду признаков:

1. В зависимости от объектов исследования:

индексы объема (структуры);

качественные индексы (индексы цены, себестоимости).

2. По охвату:

индивидуальные индексы;

общие индексы;

групповые индексы.

Индивидуальные индексы - дают сравнительную характеристику отдельных элементов совокупности (индекс физического объема, себестоимости, производительности и т.д.).

Обозначается i.

Общие индексы - характеризуют изменение совокупности в целом, обозначают J.

Групповые индексы - охватывают не все элементы совокупности, а только отдельные части.

Групповые индексы рассчитывают с помощью метода группировок, собирая и группируя данные за период.

3. В зависимости от методологии расчета общие и групповые индексы делят на:

агрегатные;

средние из индивидуальных.

Агрегатные - основная форма экономических индексов.

Средние из индивидуальных - производная форма, они получаются путем расчета и преобразования агрегатных. Если совокупность состоит из 3 и более периодов, то может быть рассчитана цепная и базисная система индексов.

Принципы и методы исчисления общих индексов.

Для того, чтобы рассчитать общий индекс, необходимо преодолеть несуммарность отдельных элементов изучаемого явления, это достигается путем введения в индекс дополнительного неизменного показателя, тесно связанного с индексируемой величиной. Этот показатель называется весами агрегатного индекса или показателем сопряжения. Так, если индексируются цены, то для того, чтобы преодолеть несуммарность цен, цены умножают на количество.

Существует два правила построения общих индексов:

1. Если строятся индексы объема (структуры), то качественные величины берутся по базисным данным.

2. Если строятся индексы качества, то объемные величины берутся по отчетным данным.

Агрегатные индексы. В международной статистике для построения агрегатных индексов применяются следующие обозначения:

q - физический объем произведенной продукции (количество);

p - цена;

z - себестоимость;

d - структура (удельный вес);

1 - отчетный период;

0 - базисный период.

Вид продукции	Ед. измерения, тыс.	Июль	Август	Индивидуальные индексы
		Кол-во	Цена, тенге	Кол-во	Цена, тенге	Физического объема	Цены
Молоко	Л	5000	300	6000	276	1,2	0,92
Мясо	Ц	25000	200	32000	190	1,28	0,95
Картофель	Т	10000	120	11000	102	1,1	0,85

Индивидуальный индекс физического объема проданной продукции определяется путем деления конкретного элемента совокупности в отчетном периоде на базисный период:

Общий индекс физического объема определяется по формуле:

где - размер товарооборота в отчетном периоде при ценах базисного периода;

- размер товарооборота в базисном периоде.

Индекс физического объема показывает, что за счет изменения количества реализованной продукции изменяется размер товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным. Товарооборот возрос на 24%. Для того, чтобы определить изменение товарооборота в натуральном выражении , необходимо из числителя общего индекса физического объема вычесть знаменатель:

=9520000-7700000=1820000рублей

Индекс цены

Общий индекс цены показывает на сколько % изменился размер товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения индивидуальных цен. Для того, чтобы рассчитать на сколько тенге изменился товарооборот за счет изменения цен нужно применить формулу:

Вывод: общий индекс цены показывает, что на 6,96 % уменьшился размер товарооборота за счет изменения цен.

Общий индекс товарооборота

Общий индекс товарооборота показывает на сколько % изменяется товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным при влиянии двух факторов и цены и физического объема. Для того, чтобы узнать на сколько тенге изменился товарооборот в отчетном по сравнению с базисным периоде, необходимо из числителя вычесть знаменатель:

Вывод: товарооборот в августе увеличился по сравнению с июлем на 15 %.

Между индексом цены, индексом физического объема и индексом товарооборота существует взаимосвязь:

Индексы постоянного, переменного состава и индексы структурных сдвигов

Индекс постоянного состава показывает изменение общей средней цены за счет изменения индивидуальных цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Индекс структурных сдвигов показывает изменение средней цены в отчетном периоде за счет изменения физического объема.

Индекс переменного состава - это индекс средней цены, который показывает на сколько % средняя цена изменяется в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Индекс переменного состава равен произведению индекса постоянного состава на индекс структурных сдвигов:

Средние индексы

Для характеристики обобщающих показателей, характеризующих изменение количественной характеристики явления, используются средние индексы. На основе агрегатных индексов могут быть рассчитаны:

средний арифметический индекс;

средний гармонический индекс.

Средний арифметический индекс вычисляется при исчислении индивидуального индекса физического объема. Он используется, если неизвестны данные о физическом объеме в отчетном периоде, в таком случае физический объем отчетного периода рассчитывают исходя из индивидуального индекса физического объема:

Индекс средний арифметический вычисляется:

Средний гармонический индекс определяется исходя из преобразований агрегатного индекса цены, для этого, исходя из расчета индивидуального индекса цены, определяется цена базисного периода.

Средний гармонический индекс цены вычисляется:

Используя следующие данные о производстве продукции на заводе, определить общий рост физического объема в отчетном периоде по сравнению с базисным, используя взаимосвязь индексов, определить на сколько % изменились цены, если известно, что стоимость продукции в фактических ценах выросла на 2 %.

Вид продукции	Производство продукции в базисном периоде, тыс. тенге	Изменение количества продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным	Индивидуальные индексы
Клей IC	233	+ 5	1,05
Клей IIС	312	Без изменения	1
Клей обойный	170	- 3	0,97

Индексный метод анализа факторов

Индексный метод широко применяется для анализа роли отдельных факторов в динамике социально-экономического явления. Изменение количественной характеристики данного явления происходит под влиянием одного или нескольких факторов, выступающих как множителей совокупного результата.

Динамика товарооборота в фактических ценах обусловлена совместным изменением как цены, так и количества проданных товаров.

Индекс физического объема товарооборота и индекс цены выступают соизмерителями роли этих факторов на общее изменение размера товарооборота в фактических ценах. Таким образом, чтобы образовать систему индексов, необходимо чтобы соизмерителями в индексах были разные уровни, причем это соизмерение получалось через произведение двух или нескольких индексов.

1.11 Статистические методы изучения взаимосвязей между социально-экономическими явлениями и процессами

Взаимосвязи общественных явлений и необходимость их статистического изучения.

Общественные явления формируются под действием многих факторов. В соответствии с принципом диалектического материализма общественные явления органически связаны между собой, зависят друг от друга, обуславливают друг друга и находятся в постоянном движении и развитии.

Поэтому изучить то или иное явление можно только на основе взаимосвязи с окружающими его явлениями. Связь между общественными явлениями многообразна (связь между производством, потреблением, распределением продукции).

Одной из основных задач экономической реформы является: повышение эффективности производства. Решению этой задачи призван способствовать научно обоснованный экономический анализ, в котором повышается роль и значение статистического метода выявления взаимосвязей.

Виды и формы взаимосвязей между явлениями.

Существует два вида связи между факторами и результативными признаками:

функциональная связь

корреляционная связь

При функциональной связи каждому значению величины факторного признака соответствует только одно значение результативного признака. Функциональные связи обычно выражаются формулами и исследуются в математике и физике.

Пример, площадь круга - результативный признак - прямо пропорциональна его радиусу - факторный признак.

Однако, функциональные связи имеют место и в экономике.

Пример, заработная плата рабочего повременной оплате равна произведению часовой тарифной ставки на число отработанных часов.

Функциональная связь является точной и полной, т.к. обычно известны все факторы, оказывающие влияние на результативный признак. При функциональных связях величина результативного признака полностью показывается факторными признаками. Однако, в массовых явлениях общественной жизни в виду крайнего разнообразия факторов и их взаимосвязи и противоречивого действия этих факторов, не поддающихся строгому учету и контролю, возникает широкое варьирование результативного признака. Это свидетельствует о том, что связь между признаками неполная, а проявляется лишь в общем и среднем. Такие связи называются корреляционными. При корреляционной связи под влиянием изменения многих факторных признаков (ряд из которых может быть неизвестен), меняется средняя величина результативного признака.

Пример, корреляционная связь между влиянием удобрения и урожайностью культур, между производительностью и энергооснощенностью предприятия.

Важная особенность корреляционных связей состоит в том, что они обнаруживаются не в отдельных случаях, а в массовых общественных явлениях.

Проявление корреляционных зависимостей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе фактов индивидуальные особенности и второстепенные факты сгладятся и зависимость проявится достаточно отчетливо.

Вторая важная особенность корреляционных связей состоит в том, что эти связи неполные. Даже на массовых данных обнаруженные зависимости не будут носить полного, т.е. функционального характера.

В зависимости от действия функциональных и корреляционных связей их делят на:

прямые

обратные

Прямая связь - направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака фактора, т.е. с увеличением факторного признака увеличивается и результативный и наоборот.

Обратная связь - направление изменения результативного признака не совпадает с изменением факторного признака, т.е. при увеличении факторного признака результативный уменьшается и наоборот.

По форме связи бывают:

1. Прямолинейные - с возрастанием величины факторного признака происходит непрерывное возрастание результативного признака и наоборот.

Математически такая зависимость представляется уравнением прямой:

График представлен в виде прямой. Эту зависимость называют линейной.

2. Криволинейные - с возрастанием величины факторного признака изменение результативного признака происходит неравномерно, направление его может даже меняться. Графически этот процесс представлен гиперболой, параболой и ломаной.

Для корреляционных связей есть различия в том случае, если:

исследуется связь между одним признаком - фактором и результативным признаком;

исследуется связь между несколькими признаками - факторами и результативным признаком.

В первом случае имеет место парная связь и парная корреляция, во втором случае многофакторная связь и множественная корреляция.

Для исследования функциональных связей применяется индексный и балансовый метод.

Балансовый метод изучения взаимосвязи. Статистический баланс представляет собой систему показателей, которая состоит их 2-х сумм абсолютных величин, связанных между собой законом равенства:

Эту сумму можно представить следующим равенством:

остаток на начало + приход = расход + остаток на конец.

Товары	Остаток на 1.01	Приход за квартал	Итого (баланс)	Продано в розницу	Продано оптом	Итого в расход	Остаток на 1.04	Баланс
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1	5	12	17	8	3	11	6	17
2	8	15	23	18	-	18	5	23
3	2	8	10	5	2	7	3	10
Итого			50					50

Балансовый метод дает возможность не только анализировать показатели во взаимосвязи, но и осуществлять взаимный контроль данных и рассчитывать недостающие показатели.

Продано в розницу = остаток на начало + приход - продано оптом - остаток на конец.

Измерение тесноты связи между атрибутивными признаками.

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова.

Для измерения тесноты связи согласованного варьирования атрибутивных варьирующих признаков применяются различные показатели, наиболее общим из них является коэффициент взаимной сопряженности Чупрова. Он применяется для сопряжения связи двух атрибутивных признаков, когда это варьирование образует 3 и более группы.

Распределение 500 студентов заочников по оценкам на экзамене и характеру работы.

Характер работы Оценки	По специальности	Не по специальности	Итого
Отлично	50	25	75
(в квадрате)	2500	625	0,15
(делим на итог)	7,1429	4,1666	11,3095
Хорошо	110	40	150
(в квадрате)	12100	1600	0,30
(делим на итог)	34,5714	10,6666	45,238
Удовлетворительно	180	65	245
(в квадрате)	32400	4225	0,492
(делим на итог)	92,5714	28,1666	120,738
Не удовлетворит.	10	20	30
(в квадрате)	100	400	0,0984
(делим на итог)	0,2857	2,6666	2,9523
Итого	350	150	500

1,0436 - эта сумма за вычетом единицы называется показателем взаимной сопряженности и обозначается , тогда коэффициент Чупрова рассчитывается:

,

где m - число групп по каждому признаку.

=0.1587

Кч изменяется от 1 до 0, но уже при значении 0,3 можно судить о тесной связи между вариацией изучаемых признаков.

Коэффициент ассоциации.

Если вариация обоих атрибутивных признаков ограничена двумя группами, то коэффициент Чупрова может быть определен проще, в виде коэффициента ассоциации. Для этого исходные данные сводятся в комбинированную четырех клеточную таблицу.

	1	2
1	a	b	a + b
2	c	d	c + d
	a + c	b + d

Ка рассчитывается по формуле:

Распределение населения на городское и сельское по переписям

Место жительства	39 г.	70 г.	89 г.
	г	н/г		г	н/г		г	н/г
Город	80,9	19,1	100	93,8	6,2	100	99,8	0,2	100
Село	50,6	49,4	100	84	16	100	99,5	0,5	100
	131,5	68,5		177,8	22,2		199,3	0,7

Ка изменяется от -1 до +1. Чем ближе он к крайним значениям, тем сильнее связаны между собой изучаемые признаки.

Метод сравнения параллельных рядов.

После того, как на основании теоретического анализа будет выявлено, что между изучаемыми явлениями существует взаимосвязь, необходимо выявить тесноту этой связи.

Это можно сделать с помощью параллельных рядов, для этого факторы, характеризующие результативный признак располагаются в возрастающем порядке, т.е. составляется ранжированный ряд, параллельно записываются признаки фактора.

Путем составления, расположенных таким образом рядов, определяются существенные связи и их направления.

Уровни энерговооруженности (х) и производительности труда (у) по 15 заводам.

№ п/п	х	у	№ п/п	х	у	№ п/п	х	у
1	6,0	2	6	7,9	3	11	9,4	5
2	6,1	3	7	8,2	4	12	9,9	7
3	6,8	6	8	8,5	5	13	10,5	7
4	7,2	4	9	8,6	6	14	11,2	8
5	7,4	2	10	9,1	8	15	11,3	6

Рассматривая данные таблицы можно заметить, что с возрастанием признака х возрастает и признак у. Для сравнительного анализа параллельных рядов могут применяться элементарные показатели к которым можно отнести:

коэффициент Фехнера (К_ф), который оценивает связь на основе сравнения признаков с их средней арифметической.

№ п/п	Знаки отклонений	№ п/п	Знаки отклонений	№ п/п	Знаки отклонений
	х	у		х	у		х	у
1	-	-	6	-	-	11	+	-
2	-	-	7	-	-	12	+	+
3	-	+	8	-	-	13	+	+
4	-	-	9	+	+	14	+	+
5	-	-	10	+	+	15	+	+

где С - число совпадений знаков х и у;

Н - число несовпадений знаков х и у

К_ф изменяются от +1 до -1. Если К_ф равен +1, то имеет место полностью согласованная прямая изменчивость.

Если коэффициент равен 0 - изменчивость не согласуется.

Если коэффициент равен -1, то полная обратная согласованная изменчивость.

- коэффициент корреляции рангов . он учитывает согласованность рангов, которые представлены в виде номеров, присвоенных единицам совокупности по каждому из признаков:

n - число единиц в совокупности;

d - разность рангов.

Метод аналитических группировок.

Значительно более сильно будет выделяться корреляционная зависимость, если применять метод группировки и сравнивать не индивидуальные значения, а групповые средние.

Такой прием единственно возможный, если нужно выявить зависимость на примере 100, 1000 единиц. При этом необходимо образовать такое количество групп, при котором в вариации групповых средних в максимальной степени будет проявляться влияние группировочного признака.

Чем больше групп образуется, тем больше увеличивается межгрупповая вариация, но при этом нельзя растягивать группировку, особенно при небольшом числе наблюдений. В этом случае группы получаются малочисленные и средние из них будут носить случайный характер, а межгрупповая вариация будет отражать не только влияние фактора признака, но и других факторов. Следовательно, нужно выбрать оптимальное число групп для конкретного случая, чтобы групповые средние перестали носить случайный характер и с каждой новой группой имели тенденцию к росту или снижению.

Составим группировку, состоящую из 4 групп: по энерговооруженности

Группы	х	у		Группы	у
6,0-7,325	26,1	15	3,75	6,0-7,1	11	2,2
7,33-8,65	32	14	3,5	7,1-8,2	9	1,8
8,65-9,98	37	26	6,5	8,2-9,3	23	4,6
9,98-11,31	33	21	5,25	9,3-10,4	12	2,4
		76	19		55	11

Оптимальной является вторая группировка, т.к. здесь нет ни одного исключения тенденции к росту групповой средней. Арифметические группировки характеризуют лишь общие черты связи между признаками и не дают ответа о силе связи. Силу связи можно определить, рассчитав эмпирическое корреляционное отношение (К детерминации ).

Для этого необходимо произвести следующие этапы:

- определить дисперсию групповых средних, расчет ведем по второй группировке и по формуле:

определить общую дисперсию по уровням производительности труда:

- определить коэффициент детерминации (). Коэффициент детерминации определяется путем деления дисперсии групповых средних на общую дисперсию:

коэффициент детерминации показывает, сто энерговооруженность предприятия определяет изменение производительности труда, а эмпирическое корреляционное отношение показывает, что связь между энерговооруженностью и производительностью труда высокая, т.к. изменяется в пределах от 0 до 1, если связи отсутствуют, то =0, если находится в пределах от 0,1 до 0,3 - связь слабая.

2. Макроэкономическая статистика

2.1 Статистика населения и трудовых ресурсов

Экономически активное население (рабочая сила) -- часть населения, обеспечивающая предложение рабочей силы для производства товаров и услуг. Численность экономически активного населения включает занятых и безработных.

Коэффициент экономической активности населения определяется отношением численности экономически активного населения к общей численности населения:

Коэффициент занятости населения определяется отношением численности занятого населения к численности экономически активного населения:

Коэффициент безработицы определяется отношением численности безработных к численности экономически активного населения:

Численность трудовых ресурсов определяется как численность трудоспособного населения в трудоспособном возрасте и работающих лиц за пределами трудоспособного возраста (лица пенсионного возраста и подростки).

2.2 Статистика социально-экономической эффективности общественного производства

Система показателей, характеризующих развитие экономики, включает результаты деятельности на всех уровнях производства. Оценка конечных результатов деятельности осуществляется на уровне отдельного предприятия, организации, учреждения и других хозяйствующих субъектов, а также в разрезе секторов отраслей и экономики в целом.

Система статистических показателей необходима для достоверной оценки результатов функционирования и прогнозирования дальнейшего развития экономики страны

Показатели результатов функционирования экономики в целом на макроуровне принято называть макроэкономическими показателями. Они определяются на основе системы национальных счетов (СНС) и характеризуют различные стадии экономической деятельности: производство товаров и услуг, образование и распределение доходов и их конечное использование.

Стадия производства характеризуется следующими показателями: валовой выпуск (ВВ), промежуточное потребление (ПП), валовая добавленная стоимость (ВДС) и валовой внутренний продукт (ВВП).

Валовой выпуск -- это суммарная стоимость всех произведенных товаров и услуг за год в экономике, имеющих рыночный и нерыночный характер.

Товары и услуги оцениваются по основным ценам, т.е. ценам, по которым они продаются, поэтому валовой выпуск в отраслевом разрезе исчисляется в основных ценах.

Промежуточное потребление определяется как стоимость товаров и рыночных услуг, которые трансформируются или полностью потребляются в течение данного периода с целью производства других товаров и услуг. Потребление основного капитала (амортизация) не входит в промежуточное потребление.

Валовая добавленная стоимость (ВДС) исчисляется на уровне отраслей экономики как разность между валовым выпуском товаров, услуг и промежуточным потреблением. Термин «валовая» означает то, что показатель включает потребленную в процессе производства стоимость основного капитала.

В системе национальных счетов валовая добавленная стоимость оценивается в основных ценах. Т.е. в ценах, включающих субсидии на продукты, но не включающих налоги на продукты.

Налоги на продукты включают платежи, размер которых прямо зависит от стоимости произведенной продукции и оказанных услуг: налог на добавленную стоимость, налог с продаж, акцизы и др. Налоги на импорт -- это налоги на импортируемые товары и услуги.

Термин «чистые» налоги на продукты и импорт (ЧНП) и (ЧНИ) в данном случае означает, что налоги показаны за вычетом соответствующих субсидий.

Субсидии (С) -- текущие некомпенсируемые выплаты из федерального бюджета предприятиям при условии производства ими определенного вида продукции или услуг.

ВДС (в основных ценах) = (ВВ - ПП) - косвенно измеряемые услуги финансового посредничества.

ВДС (в рыночных ценах) = ВДС (в основных ценах) + ЧНП + ЧНИ,

ЧНП = НП - С,

ЧНИ = НИ - С,

где ЧНП, ЧНИ -- чистые налоги на продукты и импорт,

НП и НИ -- налоги на продукты и импорт,

С -- субсидии.

Валовой внутренний продукт (ВВП) является основным экономическим индикатором в зарубежной и отечественной статистике. ВВП -- показатель стоимости товаров и услуг, созданной в результате производственной деятельности институциональных единиц на экономической территории данной страны, как правило, за год.