Для наглядного представления о форме плотности распределения случайной величины X используются понятия полигона и гистограммы распределения, которые строятся по интервальному вариационному ряду. Для построения полигона нужно из середины каждого частичного интервала восстановить перпендикуляр длиной рi* = ni/n и соединить отрезками прямых вершины этих перпендикуляров. Вершины крайних перпендикуляров соединяются с концами крайних частичных интервалов. Относительные частоты рi* представлены в таблице последней строкой. Чтобы построить гистограмму, нужно на каждом частичном интервале построить прямоугольник высотой pi* (рис. 1).

Рис. 1. Полигон и гистограмма эмпирического распределения

Относительные частоты pi* есть не что иное, как эмпирические вероятности попадания случайной величины в соответствующие интервалы (здесь и далее символ * означает, что величина определена по экспериментальным данным). Если по оси OY откладывать не pi, а отношения pi*/i, где i - длины частичных интервалов, то полигон и гистограмма будут различными формами представления эмпирической плотности распределения вероятностей.

Любая группировка исходных данных, подобная той, которая применяется при построении интервального вариационного ряда, приводит к частичной потере информации. Интервальный вариационный ряд не содержит точных значений элементов выборки, так как все элементы, попавшие в i-й интервал (i = 1, 2, ..., r), фактически приравниваются к значению , находящемуся в середине интервала. Современная вычислительная техника позволяет проводить обработку данных, исходя непосредственно из простого вариационного ряда при любом объёме выборки. Использовать интервальный вариационный ряд рационально тогда, когда этого требует сам метод обработки экспериментальных данных.

Эмпирические числовые характеристики. Числовые характеристики случайных величин, найденные на основе экспериментальных данных, называются точечными оценками этих характеристик или эмпирическими характеристиками. Чтобы понять структуру формул, определяющих эмпирические моменты случайной величины, рассмотрим простой вариационный ряд Xn = x1x2, ..., xn}. Можно формально считать, что рассматривается дискретная случайная величина, имеющая n возможных значений с вероятностями 1/n. Математическое ожидание этой случайной величины и дисперсия определяются по общему правилу:

Данные формулы соответствуют простому вариационному ряду. Для сгруппированного вариационного ряда число слагаемых в уменьшится до r, где r - число различных по величине элементов выборки, за счёт группирования одинаковых слагаемых. Для интервального вариационного ряда формулы будут иметь такую же структуру, однако вместо непосредственных измерений, в ней фигурируют середины частичных интервалов xi. Учитывая эти особенности, можно записать общие формулы для вычисления начальных *k и центральных *k эмпирических моментов случайной величины Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика - М., 2006 -с.95:

В этих формулах первая строка соответствует простому вариационному ряду, вторая - сгруппированному, третья - интервальному вариационному ряду. Формулы связи между центральными и начальными моментами не изменяется, т.е.

Эмпирическое математическое ожидание случайной величины совпадает с первым начальным моментом 1*, а её эмпирическая дисперсия совпадает со вторым центральным моментом 2*. Формулы, определяющие основные характеристики случайной величины, также сохраняют свою структуру. В них достаточно заменить теоретические моменты k и k на эмпирические k* и k*. Таким образом, эмпирические характеристики асимметрия (скошенность) и эксцесс определяются по обычным формулам:

Где - эмпирическое среднее квадратическое отклонение величины Х.

При вычислении эмпирических характеристик можно делать некоторые предварительные преобразования выборки, которые приводят к упрощению вычислений. При этом опираются на соответствующие свойства математического ожидания, дисперсии и т.п. Например, математическое ожидание можно вычислять по формуле:

Постоянная величина C выбирается так, чтобы суммирование оказалось наиболее простым. Преобразование типа X - C означает сдвиг всей выборки по числовой оси на величину C. Дисперсия не изменяется, т.е. D*X} = D*X - C}. Можно вводить масштабный коэффициент, т.е. рассматривать величину X вместо величины X, где - масштабирующий множитель. При вычислениях следует учитывать, что MX} = MX}, а DX} = 2 DX}. Такие преобразования часто приводят к упрощению вычислений. Если вычисления проводятся на ЭВМ, то эти преобразования не целесообразны.

Точечные оценки параметров. Свойства эмпирических характеристик.

Требуется оценить некоторый параметр , связанный со случайной величиной X, используя выборку Xn = x1,х2, ..., хn}. Пусть в качестве такой оценки выбрана однозначная функция от элементов выборки * = *(x1, х2, ..., хn). Для конкретных значений элементов выборки эта оценка представляет собой одно число. Такие оценки называются точечными оценками параметров, так как на числовой оси они изображаются одной точкой. Задача состоит в том, чтобы найти такую оценку *, которая была бы в определённом смысле наиболее близкой к оцениваемому параметру .

Как функция элементов выборки, оценка * является случайной величиной. Определим её математическое ожидание. Оно, очевидно, будет зависеть от истинных числовых характеристик изучаемой величины X и от объёма выборки n. Пусть получено равенство:

М*} = + (, n),

где (, n) - некоторая функция истинного значения параметра . Желательно, чтобы функция (, n) равнялась нулю. Это бы означало, что математическое ожидание оценки параметра равно истинному значению этого параметра. Оценка *, обладающая таким свойством, называется несмещённой оценкой параметра . Если (, n) 0, то * называется смещённой оценкой параметра , а сама функция (, n) называется смещением.

Если при n оценка параметра сходится по вероятности к истинному значению параметра, то оценка * называется состоятельной оценкой параметра . Для дальнейшего изучения свойств оценки * можно определить её дисперсию, которая также окажется функцией от истинных числовых характеристик изучаемой случайной величины X и от объёма выборки n, т.е. D{*} = D(, n). Если оценка состоятельная, то D(, n) стремится к нулю при n Различные оценки одного и того же параметра будут иметь разные дисперсии. Та из них, которая имеет наименьшую дисперсию, называется эффективной оценкой данного параметра.

Приведем краткий анализ эмпирических числовых характеристик. Найдем математическое ожидание и дисперсию оценки mx случайной величины Х:

Здесь учтено, что элементы выборки xi, являясь независимыми реализациями случайной величины X, имеют те же самые характеристики, что и сама величина X. Таким образом,

Из этого следует, что mX* является несмещённой и состоятельной оценкой истинного математического ожидания mx случайной величины X (DmX*}0 при n.

Аналогичный анализ для эмпирической дисперсии DX* показывает, что

Таким образом, эмпирическая дисперсия является смещённой оценкой дисперсии. Смещение равно (-Dx/ n) и стремится к нулю при n. Однако при малом объёме выборки это смещение оказывается существенным. Для его устранения вводится поправочный коэффициент, при умножении которого на DX* получается другая оценка дисперсии, не имеющая смещения. Эта оценка обозначается обычно через S2 (читается: «S - квадрат»):

Очевидно, что MS2} = Dx.

Вычисление дисперсии величины S2 не представляет принципиальных трудностей, но оказывается достаточно громоздким. Вычисления показывают, что эта дисперсия пропорциональна величине 1/n и, следовательно, стремится к нулю при n. Таким образом, величина S2 является несмещённой и состоятельной оценкой истинной дисперсии Dx. Её рекомендуется использовать вместо оценки Dx*, особенно при малых значениях n.

Свойством несмещённости обладают только первые два эмпирических момента. Моменты более высоких порядков ни при каких весовых коэффициентах суммирования таким свойством не обладают, т. е. они всегда имеют неустранимое смещение.

Рассмотрим кратко методы нахождения оценок. Один из методов предполагает задание структуры оценки с точностью до неизвестных параметров, которые определяются из условия минимума дисперсии оценки. Примером применения этого метода является определение оценки математического ожидания случайной величины в случае неравноточных измерений. Пусть по выборке Xn = x1, x2, ..., xn} требуется оценить параметры mx и Dx, причём измерения xi были произведены с разной точностью, т.е.

Чем меньше дисперсия измерения, тем больше доверия этому измерению, т.е. измерения должны учитываться оценкой с разными весовыми коэффициентами. Исходя из этого, выберем следующую структуру оценки:

(1)

Чтобы оценка была несмещенной, необходимо выполнение условия:

т.е. . Коэффициенты bi нужно выбрать так, чтобы они минимизировали бы дисперсию оценки. Так как измерения статистически независимы, то . Коэффициенты bi должны определяться из условия , i=1,2,…n, при ограничении .

Проводя минимизацию, получим:

(2)

Итак, при неравноточных измерениях для оценки математического ожидания следует пользоваться формулой (1), подставляя в неё коэффициенты bi из (2).

Второй метод нахождения оценок - метод моментов. В этом методе используются теоретические формулы, которые связывают оцениваемый параметр с моментами случайной величины. Для получения оценки неизвестного параметра нужно в соответствующую формулу подставить вместо теоретических моментов эмпирические моменты. Предположим, например, что случайная величина X распределена по экспоненциальному закону: f(x) = exp{-x}, где > 0, x > 0, причём параметр неизвестен. Требуется оценить этот параметр. Пусть по выборке Xn получена оценка математического ожидания mx* исследуемой случайной величины. С другой стороны, известна формула, связывающая параметр экспоненциального распределения с математическим ожиданием mx: = = 1/ mx. Подставляя в эту формулу вместо mx оценку mx*, получим оценку параметра : * = 1/mх*. В некоторых случаях оценки, полученные этим простым способом, совпадают с оценками, полученными с помощью других, более сложных методов.

Третий метод - метод наибольшего правдоподобия. Этот метод требует знания закона распределения случайной величины с точностью до неизвестных параметров. Предположим, что плотность распределения вероятностей величины X равна fx(x, ), где - неизвестный параметр, который требуется оценить. Тогда каждое измерение xi из выборки Xn = {x1, х2, ..., xn} будет иметь плотность распределения fx(xi,). Элементы выборки xi являются статистически независимыми, поэтому n - мерная плотность распределения вероятностей выборки равна произведению одномерных плотностей, т.е.

Эту плотность называют функцией правдоподобия. Можно предполагать, что в выборке чаще встречаются те возможные значения величины X, для которых плотность распределения имеет относительно большие значения. Из этого следует, что в качестве оценки параметра логично взять такое значение, которое максимизирует функцию правдоподобия. Однако с целью упрощения вычислений используют не функцию правдоподобия непосредственно, а её натуральный логарифм:

Доказано, что эта функция имеет максимум, причём значение = *(x1, х2, ..., хn), при котором достигается этот максимум, является оценкой параметра , обладающей наименьшей дисперсией. Таким образом, для определения оценки нужно решить уравнение

Решение этого уравнения *(x1, х2, ..., хn) и будет оценкой параметра . Оценки, найденные таким способом, называются оценками максимального (или наибольшего) правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия всегда являются эффективными оценками.

Доверительные интервалы. Общие определения. Точечные оценки оценивают неизвестное значение параметра одним числом. Недостатком точечных оценок является то, что в них не указывается точность оценки параметра при выборках конечного объёма. Можно лишь сказать, что при n оценки параметров сходятся по вероятности к истинным значениям этих параметров. Иногда удобнее оценивать значение параметра с помощью интервала, в который это значение попадает с определённой вероятностью. Пусть - оцениваемый параметр, а 1 и 2 - две функции элементов выборки x1, x2, ..., xn, такие, что 1 < 2. Если выполняется соотношение

P{1 < < 2} = , (3)

то интервал (1, 2) называется 100 -процентным доверительным интервалом параметра . Другими словами, доверительный интервал - это интервал, в котором с заданной вероятностью находится значение неизвестного параметра. Значения 1 и 2 называют соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала, a - доверительной вероятностью или коэффициентом доверия. Неважно, каким образом были получены границы интервала 1 и 2, важен сам факт выполнения соотношения (3). Доверительный интервал даёт определённую информацию о точности оценки данного параметра.

Для построения доверительного интервала необходимо знать тот или иной закон распределения вероятностей. Предположим, например, что неизвестный параметр можно интерпретировать как некоторую случайную величину с известной плотностью распределения вероятностей f(). Пусть * = *( x1, х2, ..., хn) - точечная оценка параметра . Тогда в некоторых случаях можно определить условную плотность распределения вероятностей

Следовательно, из соотношения

можно определить границы 1и 2 доверительного интервала с доверительной вероятностью .

Однако не всегда можно задать неизвестный параметр плотностью распределения вероятностей. Обычно неизвестный параметр является некоторой постоянной величиной. Поэтому при построении доверительного интервала пользуются не условной плотностью распределения f( | *), а условной плотностью f(* | ). Рассмотрим один из возможных способов построения доверительного интервала с использованием этой плотности. Зададим некоторую доверительную вероятность и рассмотрим соотношение Р|* - | < } = .

Это соотношение определяет симметричный относительно доверительный интервал. Рассматривая это соотношение как уравнение относительно , можно определить , используя известную плотность f(* | )0. Тем самым доверительный интервал будет найден.

Величина определяет ширину доверительного интервала. Для фиксированного значения доверительной вероятности и для неизменной плотности f(* | ) эта величина является постоянной. Границы доверительного интервала определяются равенствами = *- и = * + . Если считать и * переменными, то эти два равенства являются уравнениями прямых линий. Вся область, заключённая между этими прямыми, называется доверительной областью. Располагая доверительной областью можно определить доверительный интервал для любого значения оценки *.

Для дискретных случайных величин не всегда можно найти доверительный интервал, имеющий коэффициент доверия, в точности равный , если задано произвольно. Это связано с тем, что закон распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый характер.

Установление доверительного интервала не означает того факта, что неизвестный параметр принадлежит этому интервалу. Можно лишь утверждать, что с вероятностью у этот параметр находится внутри интервала. При этом, разумеется, с вероятностью 1 - данный параметр находится вне этого интервала. Доверительную вероятность у выбирают достаточно большой ( = 0,9 0,99). Следует иметь в виду, что при увеличении доверительной вероятности увеличивается длина доверительного интервала. Таким образом, при выборе значения доверительной вероятности следует придерживаться разумного компромисса. Если есть необходимость повысить доверительную вероятность при сохранении длины доверительного интервала, то нужно увеличить объём выборки.

3. Алгоритм выполнения практического задания

1. Уровень социальной напряженности в регионе, как правило, обусловливает определенный уровень в нем преступности.

На листе БД вариант 7 дана таблица, содержащая значения показателей по регионам, отражающих в них уровень социальной напряженности.

2. Построим распределение регионов по уровню их социальной напряженности. Для этого:

- вставим лист и назовем его «Ранги». Для создания листа нажать правую кнопку мыши над ярлычком откроется контекстное меню, в нем выбрать Вставить. Для того, чтобы переименовать активный лист, укажем в меню Формат на пункт Лист, а затем выберем команду Переименовать. Введем новое имя поверх старого.

- создадим таблицу «Рейтинг регионов» с шапкой:

Рейтинг регионов

Для этого перемещаем курсор в различные ячейки таблицы и производим ввод с клавиатуры заголовков таблицы.

Столбец № заполним соответствующими значениями с листа бд_вариант 7 (ячейка А4): =бд_Вариант7!A4.

Столбец Округ заполним соответствующими значениями с листа бд_вариант 7 (ячейка В4) : =бд_Вариант7!В4.

Столбец Регион заполним соответствующими значениями с листа бд_вариант 7 (ячейка С4) : =бд_Вариант7!С4.

- Для столбца Ранг Y введем функцию РАНГ () (ячейка D4): =РАНГ(бд_Вариант7!D4;бд_Вариант7!$D$4:$D$82;0)

Для столбца Ранг Х введем функцию РАНГ () (ячейка Е4): =РАНГ(бд_Вариант7!E4;бд_Вариант7!$E$4:$E$82;0)

- В столбце Средний ранг определим среднее значение для каждого региона двух столбцов Ранг Y и Ранг Х (ячейка F4): =СРЗНАЧ(D4:E4)

- В столбце Рейтинг распределим места регионов по полученным средним значениям регионов (ячейка G4): =РАНГ(F4;$F$4:$F$82;0).

3. Дадим графическую интерпретацию рейтинга регионов по уровню социальной напряженности. Для этого:

- вставим лист, назовем его «Диаграмма рейтинга». Для создания листа нажать правую кнопку мыши над ярлычком откроется контекстное меню, в нем выбрать Вставить. Для того, чтобы переименовать активный лист, укажем в меню Формат на пункт Лист, а затем выберем команду Переименовать. Введем новое имя поверх старого;

- скопируем таблицу Рейтинг регионов на лист «Диаграмма рейтинга» при помощи команд контекстного меню, вызываемого правой кнопкой мыши, Копировать и Специальная вставка/Значения;

- выделим таблицу «Диаграмма рейтинга» и для сортировки выполним команду меню Данные/Сортировка. Укажем сортировка по столбцу Рейтинг, по убыванию.

- построим диаграмму типа Гистограмма, иллюстрирующую рейтинг регионов по уровню их социальной напряженности при помощи команды меню Вставка/Диаграмма - тип диаграммы гистограмма, укажем параметры диаграммы.

4. Определим уровень социальной напряженности по округам. Для этого:

- вставим лист, назовем его «Итоги». Для создания листа нажать правую кнопку мыши над ярлычком откроется контекстное меню, в нем выбрать Вставить. Для того, чтобы переименовать активный лист, укажем в меню Формат на пункт Лист, а затем выберем команду Переименовать. Введем новое имя поверх старого.

- скопируем таблицу Рейтинг регионов на лист «Итоги» при помощи команд контекстного меню, вызываемого правой кнопкой мыши, Копировать и Специальная вставка/Значения;

-отсортируем таблицу по столбцу Округ. Для этого выделим таблицу «Итоги» и для сортировки выполним команду меню Данные/Сортировка. Укажем сортировка по столбцу Округ, по возрастанию. Выполним команду Данные/Промежуточные итоги. В открывшемся окне укажем параметры: при каждом изменении Округ, операция Среднее, Добавить итоги по Рейтинг.

5. Построим график, по оси Х у которого- округ, по оси Y- средний ранг округа, полученный по результатам подведения промежуточных итогов по округам при помощи команды меню Вставка/Диаграмма - тип диаграммы гистограмма, укажем параметры диаграммы.

6. Используя пакет Анализа данных, построим уравнение регрессии, определяющее зависимость Y от X по всей совокупности регионов.

- вставим лист, назовем его «Регрессия». Для создания листа нажать правую кнопку мыши над ярлычком откроется контекстное меню, в нем выбрать Вставить. Для того, чтобы переименовать активный лист, укажем в меню Формат на пункт Лист, а затем выберем команду Переименовать. Введем новое имя поверх старого.

- скопируем столбцы базы данных на этот лист при помощи команд контекстного меню Правка и Копировать.

- Выполним команду СЕРВИС - АНАЛИЗ ДАННЫХ - РЕГРЕССИЯ, введем параметры окна.

В результате будут определены основные параметры и характеристики уравнения, построен график подбора и остатков.

Параметры регрессионного уравнения

В данном случае регрессионного уравнение будет иметь вид

Y = 16.6983+1.0105X

Интерпретировать это уравнение можно следующим образом: при увеличении уровня безработицы региона на 1% (Х), численность населения с денежными доходами ниже величины прожиточного минимума в процентах (Y) возрастут в среднем на 1 % при отсутствии влияния прочих факторов.

Качество модели в целом можно оценить множественным коэффициентом детерминации (R-квадрат), который для пары признаков Y и X равен:

R2 = r 2 = (0,6363)2 = 0,4049

Таким образом, можно сделать вывод, что 40.5% изменчивости результативного признака Y объясняется изменчивостью признака X, то есть доля объясненной дисперсии результативного признака (Y) фактором (Х) равна 40.5%, что является достаточно хорошим результатом, учитывая однофакторность модели.

Этот результат подтверждается данными следующей таблицы:

Вывод итогов

6. Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Для этого заполним таблицу:

Столбцы Наблюдение, Y, Предсказанное Y, Остатки заполним данными из соответствующих таблиц.

Столбец (ячейка Е108): =ABS(B108-C108)/B108.

В конце таблицы посчитаем сумму по этому столбцу (ячейка Е187): =СУММ(E108:E186).

В следующем столбце рассчитаем (ячейка F107): =E187/СЧЁТ(B108:B186)*100.

В нашем примере = 22,38%, т.к. значения средней относительной ошибки аппроксимации немногим более 20%, то можно точность уравнения определить как недостаточно высокую.

Список использованной литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М:Высшая школа, 2003

2. ГОСТ Р 50922-96. Защита информации. Основные термины и определения

3. Кадеев Д.Н. Информационные технологии и электронные коммуникации - М, 2006

4. Конеев И, Беляев А. Информационная безопасность предприятия - Спб:Питер, 2003

5. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика - М., 2006

6. Организационно-правовое обеспечение информационной безопасности/Под ред. Стрельцова А.А. -М, 2008

7. Шаньгин В.Ф. Информационная безопасность компьютерных систем и сетей - М, 2008

Размещено на Allbest.ru