Общая теория статистики

3) Для расчета межгрупповой дисперсии сначала определим общую среднюю как среднюю арифметическую взвешенную из групповых средних:

Среднюю можно также вычислить обычным способом.



Как видим, межгрупповая дисперсия, характеризующая различия в величине результативного признака (выработки) за счет факторного признака (квалификации), значительно превышает внутригрупповые дисперсии, которые отражают случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов.

4) Общую дисперсию найдем по правилу сложения дисперсий

=+=0,91+2,2=3,11

Общую дисперсию можно также вычислить обычным способом.

5) Долю вариации результативного признака (выработки) под влиянием факторного (квалификации) показывает коэффициент детерминации:

Таким образом, различия в величине выработке рабочих на 70,7% объясняются различиями в их квалификации, а на 29,3% - влиянием прочих факторов.

Пример 4. По имеющимся данным о ценах товара в различных фирмах города рассчитать показатель асимметрии распределения:

4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6 4,1

Решение.

Зная, что

=4,4

Мо=4,3

,

вычислим

Значение показателя асимметрии говорит о наличии значительной правосторонней асимметрии.

5. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

дисперсия вариация корреляционный регрессионный статистическая сводка

Статистическое исследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной ее части. Одним из наиболее распространенных в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод.

1. Понятие о выборочном исследовании

Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5-10%, реже до 15-25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью (или выборкой).

Значение выборочного метода состоит в том, что при меньшей численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется с меньшими затратами и в более короткие сроки, повышая оперативность статистической информации.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной степени отличаться от состава генеральной совокупности. Это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методов отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Способы определения ошибки выборки при различных приемах формирования выборочной совокупности и распространение характеристик выборки на генеральную совокупность составляют основное содержание статистической методологии выборочного метода.

2. Характеристики выборочной совокупности и их распространение на генеральную совокупность.

При использовании выборочного метода в социально-экономических исследованиях обычно применяют два основных вида обобщающих показателей: относительную величину альтернативного признака и среднюю величину количественного признака.

Относительная величина альтернативного признака характеризует долю (удельный вес) единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой совокупности только наличием (отсутствием) изучаемого признака. Например, доля нестандартных изделий во всей партии товара, удельный вес продавцов в общей численности работников магазина и т.п.

Средняя величина количественного признака - это обобщающая характеристика варьирующего признака, который имеет различные значения у отдельных единиц статистической совокупности. Например, средний вес изделия, средняя выработка одного продавца и т.д.

В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается Р), а средняя величина варьирующего признака - генеральной средней (обозначается ).

В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей w , а среднюю величину в выборке - выборочной средней .

Выборочная доля определяется из отношения единиц, обладающих изучаемым признаком, m к общей численности единиц выборочной совокупности n:

Основная задача выборочного исследования - на основе характеристик выборочной совокупности w и получить достоверные суждения о показателях доли P и средней в генеральной совокупности.

Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей измеряются средней ошибкой выборки м. В математической статистике доказывается, что значения м определяются по формуле

,

где - генеральная дисперсия. Но при проведении выборочных обследований она, как правило, неизвестна. На практике для определения м обычно используется дисперсия выборочной совокупности у² .

При этом для показателя доли альтернативного признака дисперсия определяется по формуле дисперсии альтернативного признака, т.е.

у_w ² = w(1-w)

Следует иметь в виду, что приведенная выше формула расчета средней ошибки выборки м применяется лишь при повторном отборе, когда каждая попавшая в выборку единица после фиксации значения изучаемого признака должна быть возвращена в генеральную совокупность, где ей опять представляется возможность попасть в выборку. Но на практике выборочные обследования проводятся обычно по схеме бесповторного отбора, при котором повторное попадание в выборку одних и тех же единиц исключено.

Поскольку при бесповторном отборе численность генеральной совокупности N в ходе выборки сокращается, то в формулу расчета м включают дополнительный множитель . Формула средней ошибки выборки принимает следующий вид:

- общий вид:

- для выборочной доли

- для выборочной средней

Значения средней ошибки выборки для выборочной доли и выборочной средней необходимы для установления возможных значений генеральной доли P и генеральной средней . Пределы значений этих показателей определяются по формулам:

P= w

=

В математической статистике доказывается, что пределы значений характеристик генеральной совокупности P и отличаются от характеристик выборочной совокупности w и на величину с вероятностью 0,683. Т.е. в 683 случаях из тысячи генеральные характеристики будут находиться в установленных пределах, в остальных 317 случаях они могут выйти за эти пределы.

Вероятность суждения можно повысить, если расширить пределы отклонений, увеличив среднюю ошибку выборки в t раз. Таким образом, показатели генеральной совокупности по показателям выборки определяются по формулам:

P= w

=

Величина называется предельной ошибкой выборки Д. Т.е.

Д_w =

Д_x =

Множитель t называется коэффициентом доверия и определяется в зависимости от того, с какой вероятностью надо гарантировать результаты выборочного обследования. Конкретные значения коэффициента доверия t для различных степеней вероятности определяются с помощью функции А.М.Ляпунова. На практике пользуются готовыми таблицами этой функции:

t	Вероятность	t	Вероятность
0,0	0,0000	2,0	0,9545
1,0	0,6827	2,5	0,9876
1,5	0,8664	3,0	0,9973

3. Оптимальная численность выборки

При организации выборочного наблюдения прежде всего следует иметь в виду, что размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборки n. Уменьшение средней ошибки выборки всегда связано с увеличением объема выборки, но не в прямой пропорции. Из формулы расчета средней ошибки выборки м следует, что м обратно пропорционально , т.е. при увеличении выборки в 4 раза ее ошибки уменьшаются лишь вдвое.

Рассмотрим формулу предельной ошибки выборки для случая повторной выборки:

Д_x = =

Отсюда:

Численность выборки для бесповторного отбора определяется аналогично:

Используемая в формулах величина Д_x - это абсолютная величина предельной ошибки выборки. На практике нередко задается величина не абсолютной предельной ошибки, а величина относительной погрешности выраженная в процентах к средней:

,

откуда

Для оценки неизвестной величины у² (дисперсии в генеральной совокупности) используются следующие способы:

· пробное обследование небольшого объема

· использование данных прошлых выборочных обследований, проводившихся в аналогичных целях

· если распределение признака в генеральной совокупности можно отнести к нормальному закону распределения, то у?R/6, где R - размах вариации.

4. Примеры решения задач

Пример 1. Проведено выборочное обследование партии заготовок деталей. При механическом бесповторном отборе 2,5 % изделий получены следующие данные о распределении образцов по весу.

Исходные данные	Расчетные показатели
Вес изделия, г.	Число изделий	Середина интервала	xf
до 1000	22	987,5	21725	-52,5	2756,25	60637,5
1000-1025	77	1012,5	77962,5	-27,5	756,25	58231,25
1025-1050	183	1037,5	189862,5	-2,5	6,25	1143,75
1050-1075	85	1062,5	90312,5	22,5	506,25	43031,25
1075-1100	23	1087,5	25012,5	47,5	2256,25	51893,75
свыше 1100	10	1112,5	11125	72,5	5256,25	52562,5
Итого	400		416000			267500

При условии, что к нестандартной продукции относятся заготовки весом до 1000 г. и свыше 1100 г. определить пределы значения удельного веса стандартной продукции и среднего веса изделия для всей партии с вероятностью 0,954.

Решение.

По условию n = 400. Найдем N = 400*100% / 2,5% = 16000 шт.

Установим обобщающие показатели выборочной совокупности.

Расчет выборочной доли w.

Число стандартных единиц в выборке m = 400- (22+10) = 368, общее число единиц в выборке n = 400.

, т.е. удельный вес стандартных изделий в выборке 92%

Расчет выборочной средней . Вычислим по формуле средней взвешенной . Для этого определим середины интервалов. Середины крайних (открытых) интервалов определим, исходя из гипотезы равнонаполненности интервалов, т.е. принимаем границы первого интервала от 975 до 1000 г., последнего - от 1100 до 1125 г.

Средний вес изделия в выборке составляет г.

Установим средние ошибки выборки для обобщающих характеристик выборочной совокупности, пользуясь формулами для бесповторного отбора:

Для выборочной доли.

т.е. средняя ошибка выборки для доли стандартной продукции составляет 1,33%

Для выборочной средней.

Сначала требуется вычислить у² =

т.е. средняя ошибка выборки для средней величины составляет 1,27 г.

Установим предельные значения для характеристик генеральной совокупности, учитывая, что вероятности 0,954 соответствует значение коэффициента доверия t=2:

Для генеральной доли

P= w = 92 2*1,33 (%), или 89,34% ? P ? 94,66%

Для генеральной средней

== 1040 2* 1,27 (г) , или 1037,46 г. ? ? 1042,52 г.

Итак, с вероятностью 95,4% доля стандартных изделий в партии находится в пределах от 89,34% до 94,66%, а средний вес изделия - в пределах от 1037,46 до 1042,52

Пример 2. По данным пробного обследования среднее квадратическое отклонение веса нарезных батонов составило 15,4 г. Необходимо установить оптимальный объем выборки из партии нарезных батонов (2000 шт.), чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки не превысила 3% веса 500-граммового батона.

Решение. Итак, по условию

у = 15,4 г.

= 3%

N = 2000 шт.

= 500 г.

Заданную относительную ошибку выборки выразим абсолютной величиной:

г.

Значение коэффициента доверия, соответствующее вероятности 0,997, t=3

Подставляем значения в формулу для бесповторного отбора:

шт.

Итак, для соблюдения указанных условий требуется провести обследование 10 батонов.

5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Для определения среднегодового стажа работы рабочих завода произведена десяти процентная бесповторная выборка.

Стаж работы, годы	До 2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12
Число рабочих	20	80	100	60	30	10

Определить с вероятностью 0,954:

1. Пределы, в которых находится средний стаж работы всех рабочих предприятия

2. Пределы, в которых находится доля рабочих со стажем до 6 лет.

6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗИ

1. Основные понятия и предпосылки корреляционно-регрессионного анализа

Большинство статистических исследований ставит своей целью выявление взаимозависимостей меду признаками. Все статистические методы прогнозирования базируются на факте существования таких зависимостей, иначе прогноз стал бы невозможным. Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса: факторные, или факторы - признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними, признаков, и результативные - признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков.

Между общественными явлениями существует два типа связи: функциональная и корреляционная.

При функциональной связи изменение независимых переменных приводит к получению точно определенных значений зависимой переменной.

Корреляционной связью называется важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой переменной. В статистике принято различать следующие варианты зависимостей:

1. парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными)

2. частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

3. множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование

По направлению различают прямую связь, при которой с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) значений результативного, и обратную связь, при которой значения факторного признака изменяются под воздействием факторного в противоположном направлении.

Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитической формы связи. Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторов, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения. Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая оценивает силу статистической связи, вторая исследует ее форму.

Предпосылки корреляционно-регрессионного анализа.

1. Наличие данных по достаточно большой совокупности явлений. Это общее условие всякого статистического исследования. Обычно считается, что число наблюдений должно быть в 5-6 (а лучше - не менее чем в 10 раз) больше числа факторов. Большое число наблюдений позволяет закону больших чисел, действуя в полную силу, обеспечить эффективное взаимопогашение случайных отклонений от закономерного характера связи признаков.

2. Качественная однородность тех единиц, которые подвергаются изучению методами корреляционно-регрессионного анализа.

3. При выполнении вышеуказанных требований далее необходимо провести количественную оценку однородности исследуемой совокупности по комплексу признаков. Одним из возможных вариантов такой оценки является расчет относительных показателей вариации (традиционно широкое применение для этих целей получил коэффициент вариации).

4. При ограничении числа факторов, вводимых в модель, наряду с качественным анализом целесообразно использовать и количественные оценки, позволяющие конкретно охарактеризовать влияние факторов на результативный показатель. Включаемые в исследование факторы должны быть независимы друг от друга, так как наличие тесной связи между ними свидетельствует о том, что они характеризуют одни и те же стороны изучаемого явления и дублируют друг друга.

5. Целесообразным является изучение формы распределения исследуемых признаков, т.к. все основные положения теории корреляции разрабатывались применительно к предположению о нормальном характере распределения исследуемых признаков. Это условие связано с применением метода наименьших квадратов (МНК) при расчете параметров корреляции: только при нормальном распределении МНК дает оценку параметров, отвечающую принципам максимального правдоподобия. На практике эта предпосылка выполняется приближенно. Однако при значительном отклонении распределения признаков от нормального закона возникают проблемы с оценкой надежности рассчитанных по выборочным данным коэффициентов корреляции.

В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение имеет две цели:

1. измерение тесноты связи двух или более признаков между собой

2. измерение параметров уравнения, выражающего зависимость средних величин результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков;

2. Измерение степени тесноты корреляционной связи

в случае парной зависимости

Показатели тесноты связи используются для решения следующих задач:

1. Вопрос о необходимости изучения данной связи и целесообразности ее практического применения.

2. Вопрос о степени различий тесноты связи для конкретных условий.

3. Для выявления решающих факторов, воздействующих главным образом на формирование величины результативного признака.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции Пирсона:

Значение линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к к нормальному. Он принимает значения в интервале -1 ? r ? 1. Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные - прямую. При r=0 линейная связь отсутствует. Чем ближе r по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. При r=1 связь функциональная.

Квадрат коэффициента корреляции r² представляет собой коэффициент детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную влиянием вариации факторного признака.

Для оценки существенности (значимости) линейного коэффициента корреляции используется тот факт, что величина при условии отсутствия связи в генеральной совокупности распределена по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы (где n - объем выборки). Полученную t_расч сравнивают табличным значением. Коэффициент корреляции признается значимым при уровне значимости , если t_расч>t_табл. В этом случае практически невероятно, что найденное значение коэффициента корреляции обусловлено только случайными совпадениями. Уровень значимости показывает вероятность принятия ошибочного решения, например, при =0,05 в среднем пяти случаях из ста есть риск сделать ошибочное заключение о значимости коэффициента корреляции (в социально-экономических исследованиях обычно =0,1, =0,05 или =0,01).

3. Вычисление параметров уравнения регрессии

Задачи регрессионного анализа:

1. установление формы зависимости

2. определение функции регрессии

3. использование уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной

Важнейшим этапом построения регрессионной модели является установление математической функции, которая лучше других выражает реальные связи между анализируемыми признаками. Выбор типа функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опыт предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически - перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

Уравнение однофакторной парной линейной корреляционной связи имеет вид:

=a₀+a₁x,

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a₀, a₁ - параметры уравнения регрессии

Параметры уравнения a₀, a₁ находят посредством МНК, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений эмпирических данных y_i от теоретических _i, рассчитанных по модели, т.е.

У(y_i -_i)² min

Для нахождения минимума данной функции, ее частные производные приравнивают нулю и получают систему нормальных уравнений:

na₀ + a₁ Уx= Уy

a₀ Уx+ a₁ Уx²= Уxy

Решая систему в виде, получают значения параметров уравнения.

Параметр a₁ называется коэффициентом регрессии. Его можно найти также по формуле:

Коэффициент регрессии a₁ показывает, насколько в среднем изменяется величина результативного признака (в его единицах измерения) при изменении факторного признака на единицу.

Параметр a₀ показывает усредненное влияние прочих факторов на результативный признак. Параметр a₀ связан с коэффициентом регрессии a₁ соотношением

Коэффициент регрессии a₁ применяется также для расчета коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака при изменении факторного признака на 1%:

4. Примеры решения задач

Пример 1. Имеется следующая информация по 10 однотипным торговым предприятиям о возрасте типового оборудования (в годах) и затратах на его ремонт (в тыс. руб.).

Среднее значение возраста типового оборудования составило 7 лет, среднеквадратическое отклонение равно 2,43.

Среднее значение затрат на ремонт составило 2,7 тыс. руб, среднеквадратическое отклонение равно 1,3.

Среднее произведение значений признаков равно 21,71.

Оценить тесноту связи показателей, построить адекватную регрессионную модель.

Решение. Возраст оборудования - факторный признак (х), влияющий на затраты на ремонт (у). Итак, =7 , =2,7, = 21,71, =2.43, =1.3

Оценка тесноты связи

Рассчитаем коэффициент корреляции =0.89

Значение коэффициента корреляции свидетельствует о возможном наличии сильной прямой связи между признаками.

Значимость коэффициента корреляции проверяется с помощью распределения Стьюдента.

С учетом уровня значимости =0,05 и 8 степеней свободы табличное значение t_табл=2,3. Поскольку t_расч>t_табл, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что между признаками существует сильная прямая связь.

Значение коэффициента детерминации r²=0,89²=0,792 свидетельствует о том, что 79,2% общей вариации затрат на ремонт оборудования объясняется изменением возраста оборудования (а оставшиеся 20,8% - другими причинами).

Вычисление параметров уравнения регрессии

=2,7-0,476*7= -0,632

Подставляя значение найденных параметров в уравнение

=a₀+a₁x

получаем уравнение регрессии:

= -0,632+0,476* x

Найденное значение коэффициента регрессии a₁ = 0,476 говорит о том, что увеличение возраста оборудования в среднем на 1 год приводит к увеличению затрат на ремонт в среднем на 0,476 тыс.руб.

Коэффициент эластичности позволяет выразить эту взаимосвязь в процентах:

При увеличении возраста оборудования на 1% затраты на ремонт возрастают на 1,23%.

5. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. По следующим данным оценить тесноту связи показателей, построить адекватную регрессионную модель, рассчитать коэффициент эластичности, сделать выводы.

= 17 =15,3 =268,6 =3,4 =2,8

7. РЯДЫ ДИНАМИКИ И ИХ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. Понятие о статистических рядах динамики

Основная цель статистического изучения динамики социально-экономических явлений состоит в выявлении и измерении закономерностей их развития во времени. Это достигается посредством построения и анализа статистических рядов динамики (или динамических рядов, или временных рядов).

Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента:

1. показатель времени t. В качестве показателей времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

2. соответствующие им уровни развития изучаемого явления y. Уровнями ряда динамики называются отдельные наблюдения этого ряда. Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными и средними величинами.

В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, либо к отдельным периодам. В соответствии с этим выделяют:

· моментные ряды динамики, которые отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Посредством моментных рядов динамики изучаются показатели, отображающие состояние изучаемых явлений на отдельные даты, например, состояние кадров, товарные запасы, наличие основных фондов и т.д.

Пример моментного ряда динамики:

Дата	1.01.2001г.	1.04.2001г.	1.07.2001 г.	1.10.2001 г.	1.01.2002 г.
Число работников, чел.	192	190	195	198	200

интервальные ряды динамики, которые отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени. Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый уровень интервального ряда складывается из данных за более короткие интервалы. Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получать ряды динамики более укрупненных периодов.

Пример интервального ряда динамики:

Год	1987	1988	1989	1990	1991
Объем розничного товарооборота, тыс. руб.	885.7	932.6	980.1	1028.7	1088.4

2. Показатели динамики социально-экономических явлений.

Для количественной оценки динамики социально-экономических явлений применяются: абсолютные приросты, темпы роста и прироста, темпы наращивания и др.

Для расчета показателей рядов динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели динамики называются цепными.

ь Абсолютный прирост - определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Базисный абсолютный прирост Ду_б исчисляется как разность между сравниваемым уровнем у_i и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения y_o:

Ду_бi = y_i - у_о

Цепной абсолютный прирост Ду_ц - разность между сравниваемым уровнем у_i и уровнем, который ему предшествует, у_i-1:

Ду_цi=y_i - y_i-1

Между базисными и цепными абсолютными приростами существует связь: сумма базисных абсолютных приростов ? Ду_цi равна базисному абсолютному приросту последнего периода ряда динамики .

ь Темп роста - характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах:

Базисные темпы роста Тр_б исчисляются делением сравниваемого уровня у_i на уровень, принятый за постоянную базу сравнения, :

Цепные темпы роста Тр_ц исчисляются делением сравниваемого уровня у_i на предыдущий уровень у_i-1:



Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.

ь Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Базисный темп прироста Тп_б вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста Ду_бi на уровень, принятый за постоянную базу сравнения у_oi:

Цепной темп прироста Тп_ц - это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста Ду_цi к предыдущему уровню у_i-1:

Между показателями темпа роста и прироста имеется взаимосвязь:

(при выражении темпа роста в процентах).

(при выражении темпа роста в коэффициентах).

3. Средние показатели в рядах динамики

Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и др.

ь Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

В интервальных рядах динамики средний уровень определяется делением суммы уровней на их число n:

В моментном ряду динамики с равностоящими датами времени средний уровень определяется по формуле средней хронологической:

В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется по формуле:

, где

у_i - уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени t_i.

ь Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста сумма цепных абсолютных приростов ?Ду_цi делится на их число: (где n - число уровней ряда)

.

Основываясь на взаимосвязи цепных и базисных абсолютных приростов, средний абсолютный прирост можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики:

.

ь Средний темп роста - обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Для определения среднего темпа роста Тр применяется формула средней геометрической:

где Тр_ц1, Тр_ц2, …, Тр_цn-1 - индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах),

m - число индивидуальных темпов роста (m=n-1, где n - число уровней ряда).

Основываясь на взаимосвязи между цепных и базисных темпов роста средний темп роста можно определить по формуле и по абсолютным уровням ряда динамики

где n - число уровней ряда

ь Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпах прироста используется зависимость:

= -1 (при выражении темпа роста в коэффициентах)

4. Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда). Изучение периодических колебаний.

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Основная тенденция (тренд) - изменение, определяющее общее направление развития, это систематическая составляющая долговременного действия.

Задача - выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. Методы выявления тренда:

1) Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития, в то время как слишком малые интервалы между наблюдениями приводят к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

2) Метод скользящей средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средней уровень из определенного числа (обычно нечетного) первых по счету уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы “скользит” по ряду динамики, передвигаясь на один срок. Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

3) Аналитическое выравнивание ряда динамики используется для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени. Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

y_t=f(t), где

y_t- уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней y_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики. Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

y_t=a₀+a₁t - линейная функция

y_t=a₀ a₁^t - показательная функция

y_t=a₀+a₁t+a₂t²- степенная функция-кривая второго порядка(парабола)

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

(y_t-y_i)²min

где y_t- выравненные (расчетные) уровни, y_i-фактические уровни.

Параметры a_i, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Т.о., выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями y_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Периодические колебания являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также многочисленных и разнообразных факторов, которые часто являются регулируемыми. В широком понимании к сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии четко выраженную закономерность внутригодовых изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней. Динамический ряд в этом случае называют сезонным рядом динамики.

Метод изучения и измерения сезонности заключается в построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригрупповых уровней к теоретическим уровням, выступающим в качестве базы сравнения. Для расчета индекса сезонности исходные данные берут за несколько лет и:

1. для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня

2. затем вычисляют среднемесячный уровень для всего ряда за несколько лет

3. определяют показатель сезонной волны - индекс сезонности i_s как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %:

I_s=(y_i /y)*100,

где средний уровень для каждого месяца, -среднемесячный уровень для всего ряда

Для наглядного изображения сезонной волны индексы сезонности изображают в виде графика.

4. Примеры решения задач

Пример 1. По данным о величине уставного капитала банка рассчитать показатели динамики. Показать взаимосвязь показателей.

Год	Уставной капитал, млн. руб.
1998	5,08
1999	5,5
2000	5,9
2001	6,15

Решение.

1) Базисные абсолютные приросты Ду_бi = y_i - у_о :

1999 г.5,5-5,08=0,42 млн.р.

2000 г. 5,9-5,08=0,82 млн.р.

2001 г. 6,15-5,08=1,07 млн.р.

2) Цепные абсолютные приросты Ду_цi=y_i - y_i-1

1999 г.5,5-5,08=0,42 млн.р.

2000 г. 5,9-5,5 =0,4 млн.р.

2001 г. 6,15-5,9=0,25 млн.р.

3) Взаимосвязь базисных и цепных абсолютных приростов = ? Ду_цi

1,07=0,42+0,4+0,25 (млн.р.)

4) Базисные темпы роста

1999 г.5,5/5,08=1,083 = 108,3%

2000 г. 5,9/5,08=1,161 = 116,1%

2001 г. 6,15/5,08=1,211=121,1%

5) Цепные темпы роста

1999 г.5,5/5,08=1,083 = 108,3%

2000 г. 5,9/5,5 =1,073 = 107,3%

2001 г. 6,15/5,9=1,042 = 104,2%

6) Взаимосвязь базисных и цепных темпов роста

1,211=1,083*1,073*1,042

7) Базисные темпы прироста

1999 г.0,42/5,08= 0,083 = 8,3 %

2000 г. 0,82/5,08= 0,163 = 16,1%

2001 г. 1,07/5,08= 0,211 = 21,1%

8) Цепные темпы прироста

1999 г.0,42/5,08 = 0,083 = 8,3%

2000 г. 0,4/5,5 = 0,073 = 7,3%

2001 г. 0,25/5,9 = 0,042 = 4,2%

9) Взаимосвязь базисных темпов роста и прироста или

1999 г.	8,3%=108,3%-100%	0,083=1,083-1
2000 г.	16,1%=116,1%-100%	0,161=1,161-1
2001 г.	21,1%=121,1%-100%	0,211=1,211-1

10) Взаимосвязь цепных темпов роста и прироста или

1999 г.	8,3%=108,3%-100%	0,083=1,083-1
2000 г.	7,3%=107,3%-100%	0,073=1,073-1
2001 г.	4,2%=104,2%-100%	0,042=1,042-1

11) Средний уровень ряда вычисляется по формуле

,

т.к. исходные данные - это моментный ряд с равноотстоящими датами

= 5,67 млн.р.

12) Средний абсолютный прирост

, млн.р.,

или = 0,36 млн.р.

13) Средний темп роста

=106,6%

или =106,6%

14) Средний темп прироста= -1, или = -100%

=1,066-1=0,066,

или = 106,6%-100%=6,6%

5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. По данным о величине уставного капитала банка рассчитать показатели динамики, средние показатели ряда динамики. Показать взаимосвязь показателей.

Годы	1991	1992	1993	1994	1995
Производство тракторов (тыс. шт.)	45,0	47,8	50,4	55,3	58,2

Задача 2. По данным, характеризующим численность работающих в организации на первое число каждого месяца определить показатели динамики, средние показатели ряда динамики. Показать взаимосвязь показателей.

Дата	01.01	01.02	01.03	01.04	01.05	01.06	01.07
Численность работающих	224	229	232	236	229	230	234

8. ИНДЕКСЫ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

1. Понятие, виды, свойства и основные задачи применения

индексов в экономико-статистических исследованиях

Статистический индекс - это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой по отдельности не подлежат суммированию.

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина, под которой понимается значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения. Так, при изучении изменения цен индексируемой величиной является цена единицы товара р; при изучении изменения физического объема товарной массы - данные о количестве товаров в натуральных измерителях q.

Способы построения индексов зависят от содержания изучаемых показателей, методологии расчета исходных статистических показателей, имеющихся в распоряжении исследователя статистических данных и целей исследования.

По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и сводные (общие) индексы. Индивидуальные индексы (обозначаются буквой i) характеризуют изменение только одного элемента совокупности. Сводный (общий) индекс (обозначается I) отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления.

В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей (например, индекс физического объема продукции) и индексы качественных показателей (например, индексы цен, себестоимости).

В зависимости от методологии расчета различают агрегатные индексы и средние из индивидуальных индексов (или преобразованную форму индексов). Последние в свою очередь делятся на средние арифметические и средние гармонические.

Если сравнивают друг с другом не два момента (периода) времени, а более, то выделяют цепную и базисную систему индексов.

Индексы обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целое разнородные единиц статистической совокупности. Аналитические свойства состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя. Таким образом, с помощью индексных показателей решаются следующие основные задачи:

1) характеристика общего изменения сложного экономического показателя или формирующих его отдельных показателей-факторов;

2) выделение в изменении сложного показателя влияния одного из факторов путем элиминирования влияния других факторов.

Формулы для расчета индексов приведены далее на примере индексируемых цен (p), физического объема продукции (q), товарооборота (pq), изменяющихся во времени.

2. Индивидуальные индексы и общие индексы в агрегатной форме

Динамика одноименных явлений изучается с помощью индивидуальных индексов

- индивидуальный индекс физического объема продукции

- индивидуальный индекс цен

- индивидуальный индекс товарооборота

где подстрочное обозначение «0» соответствует уровню базисного периода (с которым сравнивают) или момента времени, «1» - уровню отчетного (сравниваемого) периода или момента времени.

Изменения совокупностей, состоящих из элементов, непосредственной несопоставимых (например, различных видов продукции), изучают с помощью сводных (общих) индексов. По методам расчета их подразделяют на агрегатные индексы и средние из индивидуальных.

Основной формой сводных (общих) индексов являются агрегатные индексы. В числителе и знаменателе общих индексов в агрегатной форме содержатся соединенные наборы (агрегаты) элементов изучаемой совокупности.

1) - агрегатный индекс товарооборота

где pq - индексируемое сложное явление.

Разница между числителем и знаменателем индекса составляет абсолютное изменение товарооборота:

Это изменение товарооборота является результатом действия двух факторов: изменения физического объема продукции и изменения уровня цен.

Влияние изменения количества выпущенной продукции на изменение общего товарооборота отражается агрегатным индексом физического объема I_q.. Влияние изменения цен выражается агрегатным индексом цен I_p.

2) - агрегатный индекс физического объема продукции

где q - индексируемая величина,

р₀ - соизмеритель, или вес, который фиксируется на уровне одного и того же периода. В практике статистики индексы количественных показателей исчисляются с базисными весами, а индексы качественных показателей - с отчетными весами. В данном случае вес фиксируется на уровне базисного периода

Разница между числителем и знаменателем индекса означает абсолютное изменение товарооборота (прирост или снижение) за счет изменения физического объема продукции:

3) - агрегатный индекс цен

где p - индексируемая величина,

q₁ - соизмеритель, или вес, который фиксируется на уровне одного и того же периода (в данном случае - на уровне отчетного периода).

Разница между числителем и знаменателем индекса означает абсолютное изменение товарооборота (прирост или снижение) за счет изменения цен, или экономию (перерасход) потребителя за счет изменения цен.

Между рассмотренными сводными индексами в агрегатной форме существует взаимосвязь:

,

кроме того,

3. Общие индексы в преобразованной форме (в форме средних из индивидуальных индексов).

Если неизвестна индексируемая величина за отчетный период или базисный период, но известна величина соответствующего индивидуального индекса, то используется преобразованная форма индекса. Сводный индекс тогда рассматривается как средняя величина соответствующих индивидуальных индексов, и рассчитать его можно как среднюю арифметическую или среднюю гармоническую.

Средняя арифметическая применяется, если есть данные для знаменателя, а числитель нужно получить путем преобразований. Средняя гармоническая применяется, если есть данные для числителя, а знаменатель надо получить путем преобразований.

Суть этого преобразования заключается в том, что на основе формул индивидуальных индексов в формулу сводного индекса вместо, например, р₀ подставляется , или вместо р₁ подставляется i_р *р₀.

Индексы в форме средней арифметической:

- сводный индекс товарооборота

- сводный индекс физического объема продукции

- сводный индекс цен

Индексы в форме средней гармонической:

- сводный индекс товарооборота

- сводный индекс физического объема продукции

- сводный индекс цен

Значимость преобразованной формы индексов состоит в том, что количественный учет в современных условиях осуществляется не везде. Реализация товаров учитывается, как правило, в стоимостном выражении. В то же время для определения общих индексов цен в агрегатной форме необходимы данные о количестве отдельных товаров в натуральных измерителях. Индексы же в преобразованной форме используют в качестве весов осредняемых индивидуальных индексов реальные экономические категории, такие как:

q₁p₁ и q₀p₀ - фактический товарооборот текущего и базисного периодов;

z₁q₁ и z₀q₀ - фактические затраты на производство продукции в текущем и базисном периодах (здесь z - себестоимость единицы продукции)

и т.д.

В связи с этим в практике статистических расчетов широкое распространение получили расчет сводного индекса физического объема в форме средней арифметической и расчет сводного индекса цен (а также других качественных показателей: себестоимости, фондоотдачи, производительности труда и др.) в форме средней гармонической.

4. Индексы переменного и постоянного состава и структурных сдвигов.

Индексный метод широко применяется для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава I_пер представляет собой отношение двух взвешенных средних величин, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя.

I_пер =

Величина этого индекса характеризует изменение средней взвешенной за счет влияния двух факторов: осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности и структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава I_фикс представляет собой отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (т.е. при постоянной структуре).

I_фикс =

Индекс постоянного состава учитывает изменение только индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя у единиц совокупности.

Индекс структурных сдвигов I_стр характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индексируемого показателя.

I_стр =

Под структурными изменениями понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности к общей их численности.

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средних величин имеет вид:

I_пер= I_фикс * I_стр

Список рекомендуемой литературы

1. Общая теория статистики: статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник / Под ред. А.А.Спирина, О.Э.Башиной. М.: Финансы и статистика, 2000.

2. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. М.Р.Ефимовой. М.: ИНФРА-М, 2001.

3. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А.Шмойловой. М.: Финансы и статистика, 1998.

4. Статистика: курс лекций / Под ред. В.Г. Ионина. - Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, М.: ИНФРА-М, 1998.

5. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю Н. Иванова. - М.: Финансы и статистика, 1998.