(х₁, y_o) 0, (х₂, y_o) 0,

стратегия х₁ употребляется с вероятностью , стратегия х₂ с вероятностью (1 ), где находится из уравнения

(х₁, y_o) + (1 )(х₂, y_o) = 0.

Пример. Пусть функция выигрышей в бесконечной антагонистической игре задана на единичном квадрате и равна

М (х, y) = (х y)² = х² 2хy + y².

Эта функция непрерывна по х и y, и поэтому эта игра имеет решение. Кроме того

= 2 > 0.

Следовательно, М (х, y) выпукла по y, и поэтому согласно теореме 4 цена игры определяется по формуле (1), игрок 2 имеет чистую оптимальную стратегию y_o, определяемую из уравнения (2). Таким образом, имеем

V = (x y)²;

Для определения (x² 2xy + y²) последовательно найдём

= 2x 2y:= 0 x = y

= 2 > 0 при x = y функция M имеет минимум для любого y.

максимум достигается в одной из крайних точек x = 0 и (или) x = 1

M (0; y) = y²

M (1; y) = 1 2y + y² = (y 1)²

V= max {y²; (1 y)²}

Данный max {…} достигается в том случае, если y² = (1 y)², т.е. y = .

Следовательно V = при y_o = . Определим теперь оптимальные стратегии для игрока 1. Поскольку y_o = , то 0 < y_o < 1. Согласно теореме 5 рассмотрим третий случай.

Определим х из уравнения

М (х, y_o) = V,

то есть

(х )² = .

Решая последнее уравнение, получим х₁ = 0, х₂ = 1. Теперь необходимо определить величину   вероятность применения чистой стратегии х₁ = 0. С этой целью используем уравнение (*).

(0,) + (1 )(1,) = 0.

Нетрудно найти

Тогда уравнение для примет вид:

 (1 ) = 0,

откуда =. Следовательно, стратегия игрока 1

F(х) = J_o(х) + J₁(х),

а игрока 2

Q(y) = (y).

Здесь через (x) обозначена ступенчатая функция

(x) = .

3. Бескоалиционные игры

Антагонистические игры, которые мы изучали ранее, описывают конфликты весьма частного вида. Более того, для большинства имеющих место в реальной жизни конфликтов антагонистические игры либо вовсе не могут считаться приемлемыми, адекватными описаниями, либо, в лучшем случае, могут рассматриваться как первые грубые приближения. Во-первых, антагонистические игры никак не затрагивают своими описаниями конфликты с числом строк, большим чем два. В месте с тем, такие многосторонние конфликты не только встречаются в действительности, но являются принципиально более сложными, чем конфликты с двумя участниками, и даже не поддаются сведению к последним. Во-вторых, даже в конфликтах с двумя участниками интересы сторон вовсе не обязаны быть противоположными; во многих конфликтах такого рода случается так, что одна из ситуаций оказывается предпочтительнее другой для обоих участников. В-третьих, даже если любые две ситуации сравниваются игроками по их предпочтительности противоположным образом, различие разностей в оценках этой предпочтительности оставляет место для соглашений, компромисов и коопераций. Наконец, в-четвёртых, содержательная острота конфликта не обязательно соответствует его формальной антагонистичности. Например, при встрече двух боевых единиц воюющих сторон (скажем, танков) обоюдное их стремление уничтожить друг друга не выражает антогонистичности конфликта: в антогонистическом конфликте цели сторон оказываются строго противоположными, и стремлению одной стороны уничтожить другую противоположным будет стремление избежать уничтожения. В качестве примера БАИ рассмотрим:

Игры двух лиц с произвольной суммой.

Бескоалиционные игры.

В конечной бескоалиционной игре двух игроков (КБИДИ) каждый из них делает один ход выбирает одну стратегию из имеющегося у него конечного числа стратегий, и после этого он получает свой выигрыш согласно определённым для каждого из них матрицами выигрышей. Другими словами КБИДИ полностью определяется двумя матрицами выигрышей для двух игроков. Поэтому такие игры называются биматричными. Пусть у игрока 1 имеется m стратегий, i =, у игрока 2 имеется n стратегий, j =. Выигрыши игроков 1 и 2 соответственно задаются матрицами

А = , В =

Будем по-прежнему считать полный набор вероятностей x = (x₁,…, x_m) применения 1 игроком своих чистых стратегий смешанной стратегией игрока 1, и у = (y₁,…, y_n) смешанной стратегией игрока 2. тогда средние выигрыши игроков 1 и 2 соответственно равны

Ситуация равновесия для биматричной игры составляет пару (x, y) таких смешанных стратегий игроков 1 и 2, которые удовлетворяют неравенствам:

или

Для определения ситуаций равновесия необходимо решить систему неравенств (1) и (2) ( и ) относительно неизвестных x = (x₁,…, x_m) и у = (y₁,…, y_n) при условиях

, , x_i 0 (i =), y_j 0 (j =).

Теорема (Нэша). Каждая биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия.

В качестве примера рассмотрим случай, когда каждый игрок имеет две чистые стратегии. В этом случае матрицы A и B равны:

A = , B = .

Смешанные стратегии для игроков 1 и 2 имеют вид:

(x, 1 - x), (y, 1 - y) 0 x 1; 0 y 1,

а средние выигрыши равны:

E₁(A, x, y) = xA = (x; 1 x)=

= (a₁₁ a₁₂ a₂₁ + a₂₂) xy + (a₁₂ a₂₂) x + (a₂₁ a₂₂) y + a₂₂.

E₂(B, x, y) = xB = (x; 1 x)=

= (b₁₁ b₁₂ b₂₁ + b₂₂) xy + (b₁₂ b₂₂) x + (b₂₁ b₂₂) y + b₂₂.

Условия и будут выглядеть

E₁(A, x, y),

(x; 1 x) E₂(B, x, y),

или

Преобразовав (3) и (4), получим

(1 x) y + (1 x) 0

(a₁₁ a₁₂ a₂₁ + a₂₂) xy + (a₁₂ a₂₂) x 0

или

Т. о., множество всех приемлемых стратегий для игрока 1 удовлетворяет условиям (5) и (6), 0 x 1; 0 y 1. Чтобы найти x рассмотрим 3 случая:

1. Если x = 0, то (6) справедливо y, а (5) имеет вид:

a₁y a₂ 0.

2. Если x = 1, то (5) справедливо y, а (6) имеет вид:

a₁y a₂ 0.

3. Если 0 < x < 1, то (5) разделим на (1 x), а (6) на x и получим

Итак, множество К решений системы (5) (6) состоит из

всех ситуаций вида (0; y), если a₁y a₂ 0; 0 y 1;

всех ситуаций вида (x; y), если a₁y a₂ = 0; 0 < x < 1;

всех ситуаций вида (1; y), если a₁y a₂ 0; 0 y 1.

Если a₁ = a₂ = 0, то решением является x[0; 1], y[0; 1], т. к. все неравенства (7) (8) выполняются при всех x и y, т.е. множество приемлемых для игрока 1 ситуаций покрывает весь единичный квадрат. Если a₁ = 0, a₂ 0, то выполняется либо (7), либо (8), и поэтому решением является либо x = 0, либо x=1 при 0 y 1 (приемлемой стратегии в игре не существует).

Если a₁ > 0, то из (7) получаем решение

x = 0; y := ,

Из (8) следует ещё решение x = 1, y , из (9) следует ещё решение

0 < x < 1, y = .

Если a₁ < 0, то решение следующее:

x = 0, y ; x = 1, y ; 0 < x < 1, y = .

При этом необходимо учитывать, что дополнительно должно быть

0 y 1.

Геометрически это выглядит следующим образом:

y y y

1 1 1

a₁>0 a₁>0 a₁>0

<0 =0 1< <1

(x, )

0 1 x 0 1 x 0 1 x

y y y

1 a₁>0 1 a₁>0 1 a₁< 0

(x, 1) =1 >1 (x, ) 0< <1

(0, )

x x x

0 1 0 1 0 1

Для игрока 2 исследования аналогичны. Если ввести обозначения

b₁:= b₁₁ b₁₂ b₂₁ + b₂₂

b₂:= b₂₂

то множество L приемлемых для него ситуаций состоит из:

всех ситуаций вида (x, 0), если b₁x b₂ < 0; 0 x 1,

всех ситуаций вида (x, y), если b₁x b₂ = 0; 0 x 1; 0 < y < 1,

всех ситуаций вида (x, 1), если b₁x b₂ > 0; 0 x 1.

Результаты следующие:

если b₁ = b₂ = 0, то решение 0 x 1; 0 y 1; если b₁ = 0; b₂ 0, то решение либо y = 0, либо y = 1 при 0 x 1 (приемлемой стратегии в игре не существует);

если b₁ > 0, то решения следующие:

y = 0, x < = ; y = 1, x > ; 0 < y < 1; x = ;

если b₁ < 0, то решения следующие:

y = 0, x > ; y = 1, x < ; 0 < y < 1; x =

При этом необходимо учитывать, что 0 x 1.

y y

1 1

(, y) (, y)

x x

0 1 0 1

b₁ > 0 b₁ < 0

0 < < 1 0 < < 1

Решением игры является пересечение множеств K и L, т.е. те значения x и y, которые являются общими для множеств K и L.

y y

1 1

x x

0 1 0 1

а) б)

При этом зигзаги K и L могут быть не только одинаковой, но и противоположной направленности. В первом случае зигзаги имеют одну точку пересечения, а во-втором три. Средние выигрыши при этом определяются по формулам (*), если в них подставить полученное решение x и y (рис. а)). Очевидно входит в смешанную стратегию игрока 2, хотя зависит только от выигрышей 1 игрока; входит в смешанную стратегию игрока 1, хотя зависит только от выигрышей игрока 2. Сравнение этих результатов с результатами решения матричных игр с нулевой суммой показывает, что совпадает с оптимальной стратегией игрока 1 в матричной игре с матрицей A, а с оптимальной стратегией игрока 2 в матричной игре с матрицей B. Отсюда можно сделать вывод, что равновесная ситуация направляет поведение игроков не только на максимизацию своего выигрыша, сколько на минимизацию выигрыша противника. С другой стороны, естественно также рассматривать подходящим поведение игроков в конечных бескоалиционных играх, направленное на максимизацию своего выигрыша с учётом максимального противодействия игрока, т.е. подходящей стратегией игрока 1 считать оптимальную смешанную стратегию игрока 1 в матричной игре с матрицей A, а подходящей стратегией игрока 2 считать оптимальную смешанную стратегию игрока 2 в матричной игре с матрицей B, если в ней рассматривать решение с позиций максимизации выигрыша игрока 2, т.е. решать её, как для игрока 1, с матрицей . Пример1. Министерство желает построить один из двух объектов на территории города. Городские власти могут принять предложения министерства или отказать. Министерство игрок 1 имеет две стратегии: строить объект 1, строить объект 2. Город игрок 2 имеет две стратегии: принять предложение министерства или отказать. Свои действия (стратегии) они применяют независимо друг от друга, и результаты определяются прибылью (выигрышем) согласно следующим матрицам:

A = , B =

(например: если игроки применяют свои первые стратегии, министерство решает строить 1 объект, а городские власти разрешают его постройку, тогда город получает выигрыш 5 млн, а министерство теряет 10 млн, и т.д.)

Решение. Для этой игры имеем:

a₁ = a₁₁ a₁₂ a₂₁ + a₂₂ = 10 2 1 1 = 14 < 0,

a₂ = a₂₂ a₁₂ = 1 2 = 3,

.

Так как a₁ < 0, то множество решений K имеет следующий вид:

(0, y) при ;

(x, ) при 0 x 1;

(1, y) при 0 y .

Для 2 игрока имеем:

b₁ = b₁₁ b₁₂ b₂₁ + b₂₂ = 5 + 2 + 1 + 1 = 9 > 0,

b₂ = b₂₂ b₂₁ = 1 + 1 = 2,

.

(x; 0), при 0 x ;

(; y), при 0 y 1; 0 1 x

(x; 1), при x 1.

Точка пересечения множеств L и K есть точка C с координатами x = ; y = и является соответственно приемлемыми стратегиями министерства и города.

При этом выигрыш соответственно равен

E₁(A, x, y) = (x, 1x)=

= =

E₂(A, x, y) = (x, 1x)=

Замечание. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей A оптимальные смешанные для 1 игрока и цена игры получаются из решения уравнений

откуда вероятность применения игроком 1 первой стратегии равна , цена игры , что совпадает с E₁, вероятность применения игроком 2 первой стратегии ; для игры с матрицей B оптимальные смешанные стратегии и цена игры для игрока 2 определяются из системы:

Следовательно, вероятность применения игроком 2 своей стратегии , а игроком 1, цена игры , что совпадает с E₂.

Таким образом, если каждый из игроков будет применять свои стратегии в этой игре, исходя только из матриц своих выигрышей, то их оптимальные средние выигрыши совпадают с их выигрышами при ситуации равновесия.

4. Кооперативные игры

Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N ={1, 2,…, n}, а через K любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из n по r, то есть , а число всевозможных коалиций равно

= 2ⁿ 1.

Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования этих игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом n. Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из n игроков. Функция , ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш (K), называется характеристической функцией игры. Так, например, для бескоалиционной игры n игроков (K) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных N\K игроков, образующих другую коалицию (второй игрок). Характеристическая функция называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1. Если характеристическая функция простая, то коалиции K, для которых (K)=1, называются выигрывающими, а коалиции K, для которых (K) = 0, проигрывающими. Если в простой характеристической функции выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R, то характеристическая функция , обозначаемая в этом случае через _R, называется простейшей. Содержательно простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство). Более сложным является пример оценки результатов голосования в Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они. Простейшая характеристическая функция появляется, когда в голосующем коллективе имеется некоторое «ядро», голосующее с соблюдением правила «вето», а голоса остальных участников оказываются несущественными. Обозначим через _G характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами:

персональность

_G() = 0,

т.е. коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;

супераддитивность

_G(KL) _G(K) + _G(L), если K, L N, KL ,

т.е. общий выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;

дополнительность

_G(K) + (N\K) = (N)

т.е. для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков. Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через x_i выигрыш i-го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности

x_i (i), для i N

т.е. любой игрок должен получить выигрыш в коалиции не меньше, чем он получил бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых, должно удовлетворяться условие коллективной рациональности

= (N)

т.е. сумма выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем (N), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем (N), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть).

Таким образом, вектор x = (x₁,…, x_n), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции .

Система {N, }, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3) в условиях характеристической функции, называется классической кооперативной игрой.

Из этих определений непосредственно вытекает следующая

Теорема. Чтобы вектор x = (x₁,…, x_n) был дележём в классической кооперативной игре {N, }, необходимо и достаточно, чтобы

x_i = (i) + _i, (iN)

причём

_i 0 (iN)

= (N)

В бескоалиционных играх исход формируется в результате действий тех самых игроков, которые в этой ситуации получают свои выигрыши. Исходом в кооперативной игре является делёж, возникающий не как следствие действия игроков, а как результат их соглашений. Поэтому в кооперативных играх сравниваются не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи, и сравнение это носит более сложный характер. Кооперативные игры считаются существенными, если для любых коалиций K и L выполняется неравенство

(K) + (L) < (KL),

т.е. в условии супераддитивности выполняется строгое неравенство. Если же в условии супераддитивности выполняется равенство

(K) + (L) = (KL),

т.е. выполняется свойство аддитивности, то такие игры называются несущественными.

Справедливы следующие свойства:

1) для того чтобы характеристическая функция была аддитивной (кооперативная игра несущественной), необходимо и достаточно выполнение следующего равенства:

= (N)

2) в несущественной игре имеется только один делёж

{(1), (2),…, (n)};

3) в существенной игре с более чем одним игроком множество дележей бесконечно

((1) + ₁, (2) + ₂,…, (n) +_n)

где

_i 0 (i N), (N) - 0

Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией называется стратегически эквивалентной игрой с тем же множеством игроков и характеристической функцией ¹, если найдутся такие к 0 и произвольные вещественные C_i (iN), что для любой коалиции К N имеет место равенство:

¹(K) = k (K) +

Смысл определения стратегической эквивалентности кооперативных игр (с.э.к.и.) состоит в том что характеристические функции с.э.к.и. отличаются только масштабом измерения выигрышей k и начальным капиталом C_i. Стратегическая эквивалентность кооперативных игр с характеристическими функциями и ¹ обозначается так ¹. Часто вместо стратегической эквивалентности кооперативных игр говорят о стратегической эквивалентности их характеристических функций. Справедливы следующие свойства для стратегических эквивалентных игр:

1. Рефлексивность, т.е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе .

2. Симметрия, т.е. если ¹, то ¹.

3. Транзитивность, т.е. если ¹ и ¹², то ².

Из свойств рефлексивности, симметрии и транзитивности вытекает, что множество всех характеристических функций единственным образом распадается на попарно непересекающиеся классы, которые называются классами стратегической эквивалентности. Отношение стратегической эквивалентности игр и их характеристических функций переносится на отдельные дележи: пусть ¹, т.е. выполняется (5), и x = (x₁,…, x_n) дележи в условиях характерис - тической функции ; рассмотрим вектор x¹ = (,…, ), где = k x_i+C_i; для него выполняется

= k x_i + C_i k (i) + С_i = ¹(i);

т.е. выполняется условие индивидуальной рациональности, и

== k+= k (N) += ¹(N)

т.е. выполняется условие коллективной рациональности. Поэтому вектор является дележом в условиях ¹. Говорят, что делёж x¹ соответствует дележу x при стратегической эквивалентности ¹. Кооперативная игра называется нулевой, если все значения её характеристической функции равны нулю. Содержательное значение нулевой игры состоит в том, что в ней игроки не имеют никакой заинтересованности. Всякая несущественная игра стратегически эквивалентна нулевой. Определение. Кооперативная игра с характеристической функцией имеет (0,1) - редуцированную форму, если выполняются соотношения:

(i) = 0 (i N),

(N) = 1.

Теорема. Каждая существенная кооперативная игра стратегически эквивалентна одной и только одной игре в (0,1) - редуцированной форме. Сформулированная теорема показывает, что мы можем выбрать игру в (0,1) - редуцированной форме для представления любого класса эквивалентности игр. Удобство этого выбора состоит в том, что в такой форме значение (K) непосредственно демонстрирует нам силу коалиции S (т.е. ту дополнительную прибыль, которую получают члены коалиции, образовав её), а все дележи являются вероятностными векторами.

В игре в (0,1) - редуцированной форме дележём является любой вектор x = (x₁,…, x_n), для которого

x_i 0 (i N)

5. Теория полезности и принятия решений. Принятие решений в условиях риска

5.1 Критерий ожидаемого значения

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х - случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x₁, x₂,…, x_n значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений имеет дисперсию . Таким образом, когда n

0 и MX.

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз. Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок. Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент «риска». Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени. Пусть р_t вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а n_t случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С₁ затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С₂ затраты на профилактический ремонт одной машины. Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ = ,

где M(n_t) математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как n_t имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t. Таким образом

ОЗ =

Необходимые условия оптимальности T^* имеют вид:

ОЗ (T^*-1) ОЗ (T^*),

ОЗ (T^*+1) ОЗ (T^*).

Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С₁ = 100; С₂ = 10; n = 50. Значения p_t имеют вид:

T	рt		ОЗ(Т)
1	0.05	0
2	0.07	0.05	375
3	0.10	0.12	366.7
4	0.13	0.22	400
5	0.18	0.35	450

T^* 3, ОЗ(Т^*) 366.7

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T^*=3 интервала времени.

5.2 Критерий «ожидаемое значение дисперсия»

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций. Если х с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое имеет дисперсию , где n число слогаемых в . Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии. Пример 2. Применим критерий «ожидаемое значение дисперсия» для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з_Т =

Т.к. n_t, t = с.в., то з_Т также с.в. С.в. n_t имеет биномиальное распределение с M(n_t) = np_t и D(n_t) = np_t(1-p_t). Следовательно,

D(з_Т) = D = D() =

= = = n ,

где С₂n = const.

Из примера 1 следует, что

М(з_Т) = М (з(Т)).

Следовательно искомым критерием будет минимум выражения М (з(Т)) + к D(з_Т). Замечание. Константу «к» можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т. к. «к» определяет «степень возможности» дисперсии Д(з_Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М (з(Т)), то он может выбрать «к» много больше 1. Это придаёт больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к =1 получаем задачу

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу



Т	pt	pt2			М (з(Т))+D (з(Т))
1	0.05	0.0025	0	0	500.00
2	0.07	0.0049	0.05	0.0025	6312.50
3	0.10	0.0100	0.12	0.0074	6622.22
4	0.13	0.0169	0.22	0.0174	6731.25
5	0.18	0.0324	0.35	0.0343	6764.00

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т^*=1.

5.3 Критерий предельного уровня

Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий. Пример 3. Предположим, что величина спроса x в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задаётся непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях возможны потери. Т.к. определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А₁ единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала А₂ единиц. Иными словами, пусть I искомый уровень запасов. Тогда

ожидаемый дефицит = ,

ожидаемые излишки =.

При произвольном выборе А₁ и А₂ указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость. Пусть, например,

Тогда

= = 20 (ln + 1)

= = 20 (ln + 1)

Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам

ln I ln 20 1 = 1.996

ln I ln 10 1 = 1.302

Предельные значения А₁ и А₂ должны быть выбраны так, что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I. Например, если А₁ = 2 и А₂ = 4, неравенства принимают вид

ln I 1.896

ln I 1.102

Значение I должно находиться между 10 и 20, т. к. именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условия выполняются для I, из интервала (13,17)

I	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
ln I	1.8	1.84	1.88	1.91	1.94	1.96	1.97	1.98	1.99	1.99	1.99
ln I	1.3	1.29	1.28	1.26	1.24	1.21	1.17	1.13	1.09	1.04	0.99

Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи.

Принятие решений в условиях неопределённости.

Будем предполагать, что лицу, принимающему решение не противостоит разумный противник. Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы возможным состояниям системы. Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решения таковы:

Е₁ выбор размеров из соображений максимальной долговечности;

Е_m - выбор размеров из соображений минимальной долговечности;

E_i промежуточные решения.

Условия требующие рассмотрения таковы:

F₁ условия, обеспечивающие максимальной долговечность;

F_n условия, обеспечивающие min долговечность;

F_i промежуточные условия.

Под результатом решения e_ij = е(E_i; F_j) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту E_i и условиям F_j и характеризующие прибыль, полезность или надёжность. Обычно мы будем называть такой результат полезностью решения. Тогда семейство (матрица) решений имеет вид:

	F1	F2	…	Fn
E1	e11	e12	…	e1n
E2	e21	e22	…	e2n
…	…………….
Em	em1	em2	…	emn

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений сводится к одному столбцу. Каждому варианту E_i приписывается, т.о., некоторый результат e_ir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения.

Заключение

В заключение данной работы я бы хотел подчеркнуть особую важность темы Теория игр, как в современной экономической модели капиталистических развитых стран так и для ряда развивающихся стран, включая Казахстан. Использование Теории игр в условиях современного рынка несет возможность реального получения роста прибыли, путем грамотного ее применения. Я выражу свое мнение, если скажу что Казахстану, чтобы стать одной из крупнейших экономически развитых держав следует использовать опыт своих зарубежных соседей, таких как: США, Великобритания, Франция и т.д. (например в ряде государств существуют целые центры связанные с использованием теории игр на уровни государств: В Петербурге, например, есть единственный в России Центр теории игр, который занимается подобными исследованиями) и более грамотно использовать свои финансы, именно поэтому в Казахстане должны начать проводится работы по более глубокому изучению и внедрению в нашу экономику теории игр, метода вычисления более правильного, с точки зрения экономики, варианта. Матричная игра это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям). В зависимости от количества игроков различают игры двух и игроков. Бесконечные антагонистические игры - это игры в которых хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий. Бескоалиционные игры - это игры в которых игроки не могут вести координированные действия и договариваться. Кооперативные игры - это игры в которых игрокам разрешается образовывать определённые коалиции. Теория принятия решений - область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и психологии; изучает закономерности выбора людьми путей решения разного рода задач, а также исследует способы поиска наиболее выгодных из возможных решений. В данной работе были проиллюстрированы практическое применение различных основных стратегий теории игр и сделаны соответствующие выводы.

Список литературы

1. Губко М.В., НовиковД.А. - Теория игр в управлении организационными системами. (2-е издание) 1970 г. Москва. Теория игр с примерами из математической экономики.  Мулен Э.  Издательство: Москва, Мир, 1985 г.

2. Теория игр.  Оуэн Г.  Издательство: Москва, Мир, 1971.

3. Теория игр. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Издательство: Москва, Высшая школа, 1998 г.

4. Теория игр и экономическое поведение. Нейман фон Дж., Моргенштерн О.  Издательство: Москва, Наука, 1970 г.

5. Теория игр для экономистов-кибернетиков. Воробьев Н.Н.  Издательство: Москва, Наука, 1985 г.

6. Крушевский А.В. - Теория игр. 1977 г.

7. Аксимов Ю.Д., Хватов Ю.А. Примерная учебная программа дисциплины «Математика» и научно-методические основы ее разработки. / Под ред. В.Н. Козлова. - СПб.: Изд. СПбГПУ, 2003.

8. Максимов Ю.Д., Куклин Б.А., Хватов Ю.А. Математика. Выпуск 6. Теория вероятностей. Контрольные задания с образцами решений. Тесты. Конспект - справочник. - СПб.: Изд. СПбГТУ, 2000, 2002.

9. Аксимов Ю.Д. Математика. Выпуск 7. Теория вероятностей. Опорный конспект. - СПб.: Изд. СПбГТУ, 2000, 2002.

10. Максимов Ю.Д. Математика. Выпуск 8. Математическая статистика. Опорный конспект. - СПб.: Изд. СПбГТУ, 2002, 97 с.

11. Максимов Ю.Д. Математика. Выпуск 9. Теория вероятностей. Детализированный конспект. Справочник по одномерным непрерывным распределениям. - СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.

12. Подсыпанин Е.В. Математика. Учебное пособие для поступающих в вузы./ Под ред. В.В. Глухова. - СПб.6 Изд. Северная звезда, 2003.

13. Тихомиров С.Р., Подсыпанин Е.В., Преображенский С.П., Хватов Ю.А. Математика для поступающих в вузы. /Под ред. Тихомирова С Р и Подсыпанина Е.В. - СПб.: Изд. Нестор, 2000-2004.

14. Багманов А.Т., Толстых И.В. Математика. Избранные задачи. Абитуриенту 2002 для самостоятельной работы. - СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.

15. Электронный учебник по высшей математике для дистанционного образования. Технические направления. Авторы: Хватов Ю.А., Максимов Ю.Д., Лобкова Н.И., Романов М.Ф., Рыжаков И.Ю.и др. - СПб.: СПбГТУ, 2000.

Размещено на Allbest.ru