Статистика, предмет и задачи

Средние абсолютные показатели динамики (средние уровни ряда или средние абсолютные приросты) рассчитывают по формуле средней арифметической.

Средние относительные показатели динамики (средние темпы или коэффициенты роста или прироста) рассчитываются по формуле средней геометрической.

Например,

3. Сглаживание (выравнивание) динамических рядов: механическое и аналитическое сглаживание

Сглаживание (выравнивание) ряда - это построение нового ряда данных, значения которого максимально приближены к значениям последнего ряда, но на графике изображаются более гладкой, ровной линией.

Эта процедура обычно выполняется для того, чтобы выявить основную тенденцию развития явления и продолжить ее на будущее, то есть сделать прогноз. Продолжение тенденции на будущее называется экстраполяцией. Направление, выявленное тенденцией, называется трендом.

Экстраполяция тренда - это простейший из статистических методов прогнозирования. Однако его можно использовать только при условии, что имеется достаточно длинный ряд накопленных статистических данных и если есть уверенность, в том что выявленная тенденция сохранится на будущее.

Методы сглаживания рядов

Обычно для сглаживания динамических рядов используется два основных метода:

1. Механическое сглаживание способом «скользящей средней»;

2. Аналитическое сглаживание путем построения так называемого уравнения тренда.

Первый способ заключается в том, что каждые несколько последовательных значений ряда (чаще всего три) поочередно заменяются их средней арифметической, т.е. строится новый ряд:

Второй способ - аналитическое сглаживание или построение уравнения тренда - заключается в том, что строится уравнение некоторой математической функции, которая приблизительно описывает выявленную тенденцию развития. Эта функция подбирается таким способом, чтобы ее график был максимально приближен к графику исходного ряда данных.

Преимущество такого способа сглаживания рядов заключается в том, что по уравнению тренда легко сделать прогноз: достаточно подставить в это уравнение значение t для будущего периода. Однако при построении уравнении тренда основной проблемой является выбор вида функции для сглаживания ряда.

Чаще всего для сглаживания динамических рядов используются следующие функции:

1. Линейная

2. Квадратичная парабола

3. Кубическая парабола

4. Показательная функция

5. Степенная функция

6. Полулогарифмическая

Также используются некоторые специфические функции: так называемые функции с пределом насыщения или S-образные кривые: например, логистическая функция

y = ;

логистическая кривая Перла-Рида

y = ;

кривая Гомперца

y =

и некоторые другие)¹¹ Более подробно эти виды функций и методы расчета их параметров обычно изучают в курсе эконометрики..

Подбор вида функций осуществляется либо графически, либо экспертным путем, а иногда способом автоматического перебора всех возможных функций, и выбора такой функции, график которой наиболее приближен к графику исходного ряда.

Степень близости оценивается по критерию, который называется ошибка аппроксимации¹.

где - исходные значения уровня ряда;

- расчетные значения уровня ряда;

f(t), где f(t) - уравнение соответствующей функции.

Кроме того, используются и другие специальные критерии, которые более подробно изучаются в дисциплине «эконометрика».

Для расчета параметров соответствующей функции (уравнения тренда) используют так называемый «метод наименьших квадратов» (сокращенно МНК). Суть этого метода подробнее рассматривается на следующей лекции.

ЛЕКЦИЯ № 10

ТЕМА «Построение уравнений тренда и уравнений регрессии с помощью метода наименьших квадратов»

Введение

На предыдущей лекции мы говорили о сглаживании динамических рядов и о том, что аналитическое сглаживание осуществляется на основе так называемых уравнений тренда. А перед этим, изучая методы анализа статистических взаимосвязей, мы говорили о построении так называемых уравнений регрессии. На самом деле между уравнениями тренда и уравнениями регрессии имеется немало общего и для расчета их параметров используется один и тот же метод наименьших квадратов (МНК).

Разница лишь в том, что уравнения тренда выражают зависимость некоторого показателя от времени, т.е. y=f(x), а уравнения регрессии - статистическую зависимость между двумя и более показателями, т.е. y=f(x) или y=f(x₁,x₂…x_m).

На данной лекции мы будем более подробно изучать построение этих уравнений с помощью разработанного в математической статистике метода наименьших квадратов. И прежде всего, кратко рассмотрим сущность этого метода.

1. Сущность метода наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов подробно изучается в математической статистике. Его сущность заключается в том, что параметры аналитической функции, используемой для сглаживания ряда, подбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений расчетных (теоретических) значений динамического ряда от фактических (исходных) значений. То есть находится:

,

где - фактические значения показателя (исходные статистические данные), а - расчетные значения (полученные на основе построенного уравнения тренда или регрессии). Например, для уравнения линейного тренда такая сумма квадратов имеет вид:

Так как значения и нам известны, то сумма квадратов в действительности является функцией многих переменных, в качестве которых выступают неизвестные значения параметров уравнений тренда (или регрессии).

= Q (a₀, a₁, a₂,… a_n)

Таким образом, задача поиска параметров функций, сглаживающих исходный ряд, преобразуется в задачу поиска min Q (a₀, a₁, a₂,… a_n).

Как известно из высшей математики, задача поиска экстремума (минимума или максимума) некоторой функции обычно решается путем ее дифференцирования и приравнивания производных к нулю.

Точно так же данная задача решается и в этом случае. Находятся частные производные функции Q (a₀, a₁, a₂,… a_n) по каждой из переменных a₀, a₁, a₂,… a_n и приравниваются к нулю. В результате получается система уравнений, где число неизвестных и уравнений совпадает с числом параметров, которые необходимо найти.

Эта система в статистике называется системой «нормальных уравнений» (от слова «нормаль», т.е. перпендикуляр), так как вектор, составленный из частных производных (градиент), будет перпендикулярен к поверхности графика функции нескольких переменных в m-мерном пространстве.

В зависимости от математической формы конкретного уравнения регрессии (или тренда) такие системы имеют разный вид.

Ниже мы рассмотрим, какой вид имеют такие системы для простейшего уравнения парной линейной регрессии (или так называемой «простой регрессии»), а также для уравнения квадратической регрессии и двухфакторной линейной регрессии.

2. Построение уравнений регрессии

Уравнение регрессии - это уравнение, выражающее статистическую зависимость между различными показателями.

В зависимости от того, сколько различных факторов (показателей) связаны этой зависимостью, разделяют уравнения парной и множественной регрессии.

Уравнение парной регрессии выражает связь между двумя признаками (или показателями), один из которых (независимый) называется факторным, а второй (зависимый) - результативным.

Уравнение множественной регрессии выражает зависимость между более чем двумя показателями, один из которых называется результативным (обозначается обычно через y, а остальные факторными: обозначаются x₁, x₂, x₃,…).

Уравнения парной регрессии могут иметь различный вид, в зависимости от того, какой функцией эта зависимость выражается (линейной, параболой и т.п.).

Чаще всего используются следующие функции:

линейнаяy_x = a₀ + a₁x;

полулогарифмическаяy_x = a₀ + a₁lgx;

показательнаяy_x = a₀ + a₁^x;

степеннаяy_x = a₀ x^a1;

гиперболическаяy_x = a₀ + a₁.

Для расчета параметров уравнений регрессии используется рассмотренный выше метод наименьших квадратов.

Параметры уравнения регрессии находятся путем решения так называемых систем «нормальных уравнений», которые имеют разную форму для уравнений регрессии различного вида (в зависимости от числа переменных и вида функциональной зависимости между показателями).

Остановимся вначале более детально на расчете параметров уравнения парной линейной регрессии, так как для расчета его параметров непосредственно выведены формулы, которые нетрудно использовать на практике.

Предположим, что имеется два ряда значений исходных показателей x и y (факторного и результативного признаков). Требуется построить уравнение парной линейной регрессии между признаками:

y = a₀ + a₁x.

Для определения его параметров составляется система нормальных уравнений:

na₀ + a₁Уx = Уy;

a₀Уx + a₁Уx² = Уxy. (10.1)

Для решения системы обычно используется метод определителей. В результате получаем следующие формулы для расчета параметров уравнения регрессии:

(10.2)

Чтобы воспользоваться приведенными выше формулами, обычно строится вспомогательная таблица (табл. 10.1), в последней строке которой находятся величины , , , , которые необходимо подставить в формулы (10.2).

Таблица 10.1

Расчет параметров парной линейной регрессии

Система нормальных уравнений для поиска параметров двухфакторной линейной регрессии (y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂) имеет более сложный вид, чем система (10.1):

Уy = na₀ + a₁ Уx₁ + a₂Уx₂;

Уyx₁= a₀ Уx₁ + a₁ Уx₁² + a₂ Уx₁ x₂; (10.3)

Уyx₂= a₀ Уx₂ + a₁ Уx₁ + a₂ Уx₂²;

Очень похожий вид имеет система нормальных уравнений для расчета параметров квадратической регрессии (y = a₀ + a₁x + a₂x²):

Уy = na₀ + a₁ Уx + a₂Уx²;

Уyx₁ = a₀ Уx + a₁ Уx² + a₂ Уx³; (10.4)

Уyx₂ = a₀ Уx² + a₁ Уx³ + a₂ Уx⁴;

Система (10.4) получается из системы (10.3) и наоборот путем простейшей замены переменных x₁ = x; x₂ = x².

Эти системы также решаются методом определителей.

Вначале находится определитель Д матрицы коэффициентов при неизвестных, затем столбцы этой матрицы поочередно заменяются столбцом свободных членов системы нормальных уравнений, и рассчитываются еще три соответствующих определителя: Д₀, Д₁, Д₂.

Параметры a₀ , a₁, a₂ рассчитываются по формулам:

a₀= Д₀/ Д; a₁ = Д₁/ Д; a₂ = Д₂/ Д

3. Построение уравнений тренда

Для расчета параметров уравнений тренда также используется метод наименьших квадратов (МНК), но при этом используется особый прием - введение условного обозначения времени. За счет введения условного обозначения времени существенно упрощаются формулы для расчетов параметров уравнений тренда. В теории статистики доказывается, что результат расчета параметров не зависит от изменения начала координат на оси отсчета периодов времени. Это связано с тем, что время изменяется равномерно и в одном направлении. Расчет параметров уравнений регрессии значительно сложнее именно из-за того, что ввести условное обозначение переменной x в данном случае не удается.

При расчете параметров уравнений тренда обычно строится вспомогательная таблица, в которой специально вводят условное обозначение времени.

Условное время вводят таким образом, чтобы Уt = 0. Если число реальных периодов (моментов) времени нечетное, в середине ставится 0, а затем отсчет ведется вправо и влево от нуля (как считают в истории «годы до нашей эры»). Если число периодов четное, то 0 пропускается; при этом отсчет вправо ведется от 1, отсчет влево - от -1.

Пример условного обозначения времени показан в табл. 10.1. Если заменить в ранее приведенных системах нормальных уравнений (10.1) и (10.4) переменную x на переменную t и заменить в полученных системах и на ноль, получим следующие, более простые системы:

na₀ = Уy;

a₁Уx² = Уxy. (10.5)

Уy = na₀ + a₂Уt²;

Уyt = a₁ Уt²; (10.6)

Уyt² = a₀ Уt² + a₂ Уt⁴;

Решая системы (10.5) и (10.6), получаем простейшие формулы для расчета параметров соответственно линейного (10.7) и квадратического тренда (10.8).

Таблица 10.2

Вспомогательная таблица для расчета параметровуравнений линейного и квадратического тренда

Формулы для расчета параметров тренда будут иметь следующий вид:

а) для линейного тренда (y = a₀ + a₁t):

(10.7)

б) для уравнения квадратического тренда, т.е. параболы

(y = a₀ + a₁t + a₂t²):

(10.8)

Необходимо обратить внимание, что параметр a₁ рассчитывается по такой же формуле, как и для линейного тренда.

Обычно при построении уравнений тренда или регрессии возникает проблема выбора такой математической формы зависимости, которая лучше сглаживает исходный ряд данных или, иначе говоря, более адекватно отражает имеющуюся тенденцию развития (т.е. статистическую зависимость результативного показателя y от времени t). Для этого, как уже отмечалось, рассчитывается ошибка аппроксимации и выбирается то из уравнений, для которого эта ошибка меньше.

Существуют и более сложные статистические критерии отбора наилучших уравнений, но более подробно они изучаются в дисциплине «эконометрика»

4. Расчет корреляционного отношения на основе уравнения регрессии

Одним из показателей тесноты связи, которая рассчитывается в тех случаях, если зависимость между двумя показателями не является линейной (и линейный коэффициент корреляции не показывает наличие связи), является корреляционное отношение.

Для расчета корреляционного отношения необходимо вначале построить уравнение парной регрессии, выражающее зависимость между показателями x и y .

Пусть y = f(х) - уравнение парной регрессии.

Если уже рассчитаны его параметры, необходимо рассчитать все теоретические (или расчетные) значения показателя y - так же, как это делается при расчете ошибки аппроксимации. Затем корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

где - дисперсия теоретических (или расчетных) значений y;

а - дисперсия фактических значений y.

Эти дисперсии рассчитываются по формулам:

- это расчетные значения y, то есть:

где f(х) - построенное уравнение регрессии.

Для расчета корреляционного отношения з обычно строится вспомогательная таблица следующего вида (табл.10.3):

Таблица 10.3

Вспомогательная таблица для расчета корреляционного отношения

Корреляционное отношение обладает свойством: 0 ? з ? 1, т.е. в отличие от коэффициента корреляции не может принимать отрицательные значения.

Чем ближе з к 1, тем связь более тесная. Для оценки степени тесноты связи с помощью корреляционного отношения используется специальная шкала, которую называют шкалой Чеддока (по имени автора, предложившего данную шкалу).

Шкала Чеддока

Рекомендуется рассчитывать корреляционное отношение в тех случаях, если линейный коэффициент корреляции не показывает наличия тесной связи между признаками, однако есть основание считать, что связь все же имеется, но не является линейной.

Таким образом, на данной лекции был изучен метод наименьших квадратов (МНК), с помощью которого рассчитываются параметры уравнений тренда и уравнений регрессии. Рассмотрено построение так называемых систем нормальных уравнений, позволяющих рассчитывать параметры различных типов уравнений регрессии и тренда. Необходимо обратить внимание на то, что этот метод и его применение будет в дальнейшем более глубоко изучаться в такой дисциплине как эконометрика. Поэтому необходимо очень хорошо усвоить сущность данного метода и особенности различных систем нормальных уравнений. Необходимо также разобраться в том, чем именно уравнения регрессии отличаются от уравнений тренда, и почему расчет параметров уравнений тренда можно упростить, вводя условное обозначение времени.

ЛЕКЦИЯ № 11

ТЕМА «Индексный метод в статистических исследованиях социально-экономических явлений и процессов»

Введение

На предыдущих лекциях мы изучали различные аналитические показатели: средние величины, показатели вариации, показатели корреляции, показатели динамики. На данной лекции мы изучим особый вид аналитических показателей - статистические индексы, о которых иногда говорят, что эти показатели предназначены для анализа изменений структуры сложных статистических совокупностей. Мы рассмотрим сущность понятия «статистический индекс» и роль индексного метода в статистике.

1. Понятие «статистический индекс

Статистические индексы - это особый вид аналитических показателей, которые используются для анализа динамики структуры сложных статистических совокупностей.

Сложная статистическая совокупность - эта такая совокупность статистических единиц, у которых отдельные признаки непосредственно не соизмеримы и не подлежат суммированию. Наиболее ярким примером сложных статистических совокупностей является ассортимент товаров, имеющихся в продаже. Цены этих товаров назначены за единицу количества (физического объема) товаров в натуральном выражении. Но сами эти единицы - разные для различных видов товаров, например, штуки, килограммы, литры, метры и т.д. Поэтому рост цен на все товары нельзя определить путем суммирования цен на отдельные товары. Необходимо учитывать степень потребности в этих товаров, например, объем ежесуточного или еженедельного потребления (приобретения) соответствующих товаров.

Обычные показатели динамики, т.е. коэффициенты роста или прироста используются для анализа развития некоторого процесса в целом без учета изменений в его структуре.

Индексы позволяют анализировать изменения в структуре явлений, т.е. изменение в соответствии отдельных частей.

Впервые статистические индексы были использованы при анализе динамики цен. Самый простой вид статистических индексов был предложен в XIX в. французским экономистом (шотландского происхождения) Дж. Лоу, который предложил рассчитывать среднюю цену продуктов, входящих в «потребительскую корзину».

Под «потребительской корзиной» Дж. Лоу понимал тот минимальный набор продуктов, который ежедневно закупает хозяйка. Он предложил отслеживать изменения среднего уровня цен на основе следующего показателя, который Дж. Лоу назвал индексом цен:

,

где - средняя цена продуктов, входящих в потребительскую корзину в базисном периоде;

- средняя цена продуктов, входящих в потребительскую корзину в отчетном периоде.

Однако в XX веке в связи с ускорением научно-технического прогресса и постоянным обновлением ассортимента товаров изменилось понятие «потребительской корзины» и измерять изменение цен с помощью индекса Лоу стало неудобно.

Другие экономисты предложили другие формулы для расчета индексов цен. Понятие индекса расширилось, а индексный метод стал использоваться не только в статистике цен, но и в других областях экономической статистике. Не только индекс потребительских цен, но и так называемые фондовые индексы (индексы рынка ценных бумаг) стали одним из важнейших экономических показателей конъюнктуры рынка и характеристикой деловой активности предпринимателей.

2. Различные виды статистических индексов и способы их расчета

В настоящее время статистические индексы делят на:

P индивидуальные;

P общие (агрегатные)

Формулы для расчета индивидуальных индексов похожи на формулы для расчета коэффициентов роста.

Как известно, коэффициенты роста, так же как индексы, делят на цепные и базисные:

Цепной коэффициент роста имеет вид:

Базисный коэффициент роста:

Формулы для расчета индивидуальных индексов имеют тот же смысл - отличаются только обозначения:

Базисный (индивидуальный) индекс цен:

,

где - цена товара в базисном периоде;

- цена товара в отчетном периоде.

Цепной (индивидуальный) индекс цен:

,

где - цена товара в предшествующем периоде;

- цена товара в отчетном периоде.

Индивидуальные индексы показывают изменение отдельных частей изучаемого явления во времени.

Общие (или агрегатные) индексы показывают изменение структуры (то есть соотношения частей) изучаемого явления.

Таким образом, индексный метод наиболее часто используются для изучения динамики сложных статистических совокупностей. Под сложной совокупностью понимают такую совокупность, отдельные единицы которой обладают признаками, измеряемыми в несопоставимых единицах измерения, поэтому значения признаков нельзя суммировать.

Наиболее распространенные виды агрегатных индексов - это агрегатные индексы цен. Они используются, в частности, для расчета индекса потребительских цен, который служит одним из важнейших показателей инфляции.

Различные виды агрегатных индексов и формулы для их расчетов приведены в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Различные виды агрегатных индексов