Расчет тарифных ставок в страховании

При уплате страхователем страховой премии выполняет свои финансовые обязательства, и обязывает страховщика отвечать по договору страхования. То есть страховщик, по сути, становится кредитором страхователя. И если наступает страховой случай, то страховщик обязуется уплатить страхователю страховую сумму. Чтобы суметь произвести обещанные выплаты, страховщику необходимо создать резервы.

В личном страховании существуют резервы двух типов:

резервы по страховым случаям, подлежащим урегулированию (резервы по уже произошедшим, но не оплаченным страховым событиям)

резервы по текущим (действующим) договорам.

Страховой резерв отражает долг страховщика перед страхователем. Обязательства страховщика носят вероятностный характер, так как страховой случай может не произойти, и все средства страхователя останутся у страховщика, долг исчезнет. Кроме того выплаты страховых премий и страховой суммы не совпадают во времени, а, следовательно, имеет место эффект накопления. Поэтому при расчете математических резервов необходимо использовать современную вероятную стоимость обязательств.

Таблица 6. - Схема баланса компании по страхованию жизни.

Из данной схемы видно, что математические резервы - это разница между обязательствами компании и обязательствами перед компанией. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно изменить данное определение, а, именно, страховой резерв - разница между современной вероятной стоимостью будущих обязательств страховщика и современной вероятной стоимостью будущих обязательств страхователя. Так как страховые резервы накапливаются у страховщика, то они достигают со временем огромных размеров, которые можно эффективно инветировать. Однако, при использовании этих средств, необходимо помнить, что они принадлежат страхователям, и являются активами, направленными на выполнение обязательств перед страхователями.

Резерв можно определить на любой момент действия страхового контракта. Для понимания сущности страхового резерва рассмотрим несколько вариантов его определения:

Определение математического резерва в момент заключения договора до первой выплаты премии. При этом, предусматриваются пожизненные взносы в начале года Р_х. Тогда, по определению: , где A_x - современная стоимость неких обязательств страховщика, ₀V_x - размер страхового резерва в возрасте х лет, в момент заключения договора. Так как, страхователь еще не заплатил ни одной страховой премии, то страховщик также ему ничего не должен, поэтому ₀V_x=0. С математической точки зрения, страховой резерв - разница между некоторым постоянным числом и ожидаемой суммой поступлений от страхователя. Размер резерва зависит от страховой суммы, размера страховой премии, доходности от инвестиций и периода сделки.

Если страховые премии уже выплачиваются страхователем в течении времени t, тогда величина страхового резерва определяется по формуле:

Страхование на дожитие. В данном случае страховые премии уплачиваются одним платежем в момент заключения договора, а после истечения срока t (в момент x+t) выплаты уже не ожидаются, поэтому величина резерва определяется современной величиной обязательств страховщика, зависящих от уплаченной нетто-премии: _tV_x=A_x+t. Современная вероятная стоимость обязательств будет определяться в зависимости от страховой суммы R, вероятности дожития от возраста x+t до возраста x+n, а также ставкой доходности, сроком страхования и моментом заключения сделки:

Если в страховании на дожитие страховые премии уплачиваются в рассрочку, на протяжении всего срока страхования, до наступления страхового случая (период t), исходя из определения страховго резерва, его величина определяется по формуле:

, где р - страховой тариф

Накопленные в страховой компании средства инвестируются в различные виды деятельности, следовательно, на них начисляется процент. В данном случае, возникает путаница между страховым резервом и накопленной суммой, так как кажется, что страховщик, чтобы обеспечить возврат средств страхователю, при наступлении страхового случая, накапливает их по обычной схеме наращения (как в банке). Пусть нетто-премия увеличивается на коммерческом счете по ставке i% в до момента x+t, тогда наращенная сумма определется по формуле:

А в этот же момент времени страховой резерв определяется выражением:

То есть страховой резерв больше чем наращенная нетто-премия, если вероятность дожития до момента t не равна единицы. Это очевидно, так как если бы вероятность наступления страхового события не влияла на величину страховой суммы, или обязательств страховщика, то клиенту, было бы выгоднее положить деньги в банк, а не застраховаться. Величина страхового резерва - есть величина наращенной нетто-премии, который изменяется, обратно пропорционально вероятности дожития от х лет до возраста x+t лет. Чем больше вероятность умереть в этом интервале, тем меньше страховой резерв. Страховой резерв и страховые суммы больше, чем банковский процент, так как в страхователи несут солидарную ответственность перед друг другом, в зависимости от вероятности наступления страхового случая. То есть, если страховое событие не наступит, то часть средств не полученных страхователем получит кто-нибудь другой.

Страхование жизни. По определению имеем: . При уплате нетто-премии единовременным платежем, после момента времени x+t взносы страхователь не уплачивает, следовательно, правая часть равенства определяется лишь обязательствами страховщика А_x+t. Тогда, . Аналогично данным преобразованиям выводятся формулы для расчета страхового резерва при платежах в рассрочку. Все данные приводятся к моменту времени x+t.

Страхование пенсии. Рассмотрим вариант, когда страховая премия уплачивается единовременно в возрасте x лет, а пенсия выдается с возраста L лет (L>x) пожизнено. Тогда весь период от возаста x до предельного возраста можно разделить на два временных интервала. В первом происходит накопление средств - период до выплаты пенсии (L-x), а во втором периоде, с продолжительностью (w-L) - выплата пенсий (расходование средств). Схематично это можно увидеть на представленном выше графике, показывающем накопление страховых премий и их расходование. На начало взноса резерв равен страховой премии, или современной стоимости страховых выплат. Пусть размер годовой пенсии равен R, а ее выплата происходит в начале года, тогда . Далее, в интервале от х лет до L лет, резерв увеличивается пропорционально норме доходности: . Здесь имеется ввиду, что от момента х лет проходит срок t<(L-x), и страховой резерв определяется как нетто премия в момент времени t+x. Чем больше проходит времени, тем меньше знаменатель, а, следовательно, тем больше величина страхового резерва. Затем, в интервале от возраста L лет до предельного возраста w лет, происходит выплата пенсий, а следовательно обязательства страховщика сокращаются. Коме того, часть страхователей пенсию не получают, так как они умирают и договоры страхования перестают действовать, что также является фактором сокращения обязательств страховщика. Страховой резерв в этот период времени определяется по формуле: . Здесь страховой тариф определяется страховым аннуитетом пренумерандо, в момент времени x+t. Данная формула соответствует формуле по вычислению нетто-премии в момент x+t, при пенсионном страховании. Следовательно, страховой резерв здесь равен нетто-премии, уплачиваемой страховщику для обеспечения страхователя немедленной пенсией в размере R. Действительно, внося взнос, страхователь начинает получать пенсию сразу же, поэтому накопления сразу начинают расходоваться. Они остаются постоянными лишь в том случае, когда наращение процентов, и смертность других клиентов так влияют на изменение страховой суммы, что ее увеличение больше ее уменьшения. Это может быть, когда процентная ставка слишком велика, и(или) смертность клиентов страховщика слишком высока, и(или) маленький размер выплат. Описанное выше можно отобразить графически. В данном случае, страховой резерв представляет собой нетто-премию по пенсионному страхованию, в различные моменты времени.

Если взносы производятся в рассрочку, то по сути ничего не меняется. Пусть предусматривается пожизненная выплата пенсий и рассрочка выплат в течении k лет. В данном случае общих срок страхования можно разбить на три анализируемых периода, где страховой резерв изменяется с различной скоростью. Первый период - от возраста x до возраста x+k лет. Здесь сумма резерва увеличивается как за счет премий, так и за счет процентов. Во втором периоде ( от x+k лет до L лет) резерв увеличивается только за счет процентов. И в третьем периоде (от L до w лет) резерв увеличивается за счет процентов, и сокращается за счет выплаты пенсий. В возрасте x резерв равен первому взносу, а в возрасте w лет резер равен 0. Пусть пенсия уплачивается 1 раз в году, пренумерандо. Величина резерва в момент x+t определяется по формуле: , где A_x+t- современная стоимость пенсионных выплат (обязательства страховщика), производимых после возраста x+t лет; P_x- годовой размер премии, установленный в возрасте x лет; a_x+n - стоимость немедленного, ограниченного страхового аннуитета пренумерандо в возрасте x+t лет. Данная формула представляет собой чисты обязательства страховщика перед клиентом, в возрасте x+t лет. Для первого периода страховой резерв определяется по формуле: . Здесь страховой резерв равен определяется в момент времени t (x<t<L), он равен разнице между стоимостью пенсий в момент времени t и накопленными страховыми выплатами, к этому же моменту. Применяя принцип финансовой эквивалентности можно предположить, что

Для второго периода (k<t<n): . И для третъего периода (t>n): . Как видно для последних двух периодов, величины страховых резервов остаются такие же, как и в случае с единовременной нетто-премей. Это объясняется тем, что процесс накопления в этих двух вариантах, становятся одинаковыми с момента x+k.

Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования

В каждой страховой компании со временем накапливается опыт вместе с которым формируется тарификационная система. Другими словами, каждый страховщик составляет схемы рисков, наподобие таблиц смертности, откуда можно определить вероятность наступления страхового случая, по тем видам страхования, которыми занимается страховая компания.

Тарификационная система представляет собой некую взаимосвязь данных по рисковым видам страхования. Она выглядит следующим образом. Все страхуемые объекты делятся на несколько крупных категорий, для каждой из которых рассчитывается базовая тарифная ставка. Кроме того, страховщик описывает факторы риска, которые он учитывает при составлении договора страхования. Каждый фактор риска входит в расчет тарифной ставки в виде поправочного коэффициента.

При заключении договора страхования, прежде всего, определяется принадлежность страхуемого объекта к тарификационной группе, на основании чего определяется базовая тарифная ставка. Потом анализируются факторы риска, присущие данному договору страхования, и определяются поправочные коэффициенты.

Создание тарифных ставок по каждой категории страхуемых объектов, т.е. процесс тарификации, обеспечивает создание страхового фонда, необходимого для выполнения обязательств страховщика, с минимальной долей отклонения от требуемого размера фонда. Например, если использовать одну среднюю тарифную ставку, для формирования страхового фонда, то его размер может сильно отличаться от истинных значений величин ущербов.

Пусть страховые события первой группы наступают с вероятностью q1, страховые события второй группы - с вероятностью q2, а страховые события группы N - с вероятностью qn. Тогда средняя вероятность по данному виду страхования , где ki - число застрахованных по каждой группе. Чем неоднороднее страховые события в группах, чем больше число групп страховых событий, тем сильнее qср отличается от qi.

Пусть страховой фонд B1, созданный на основании нетто-премий, которые, в свою очередь, рассчитываются с применением qср, а B2 - с применением qi. Тогда В1 будет тем сильнее отличаться от истинного В2, чем больше разница между qср и qi. Хорошо если после применения нетто-ставок В1>B2, тогда страховщик сможет ответить по обязательствам страхователей, а, если наоборот, то страховая компания понесет убытки.

Если рассматривать тарификационную систему с коммерческой точки зрения, то необходимо проанализировать поведение страхователя при выборе страховой услуги, предлагаемой определенным количеством компаний. Пусть эти компании разработали одинаковые страховые продукты. При этом первая половина компаний использует тарифы рассчитанные на основе qi, другая - на основе qср. Существует N групп страховых событий, страхование каждого из них пользуется определенным спросом, который зависит от цен на данный вид страхования (от нетто-премии). Чем больше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Если нетто-премия первой группы страховщиков больше чем у второй группы по i-тому виду страхования, то в конкурентной борьбе выигрывает компания, со страховыми тарифами рассчитанными на основании qср, и наоборот. Все равно, лучше индивидуально рассматривать каждое страховое событие и применять вероятности qi - отдельные для каждого события. Это хотя и затрудняет расчеты, однако позволяет быть уверенным страховщику в своей платежеспособности.

Факторы риска - это различные составляющие, влияющие на наступление страхового события. Например, если страховой случай - авария, то факторы риска - водительский стаж, стоимость автомобиля, физическое состояние водителя, время года и т.д.

Теоретические основы расчета тарифных ставок

Расчет тарифных ставок необходим для расчета страхового фонда, такого, чтобы ответить по всем договорам страхования, то есть выплатить все причитающиеся страховые суммы. Размер страхового фонда определяется размером страхового тарифа, который нужно определить.

Для нахождения нетто-премии необходимо сначала определить размер страхового фонда. Основное и очевидное условие платежеспособности страховщика - размер фонда должен превышать размер страховых выплат. Зная это, страховая компания заранее задает для себя вероятность того, что величина страхового фонда (В) превысит размер страховых выплат(S), то есть: P(S<B)>=y. Где y - заданная гарантия безопасности. Если число договоров N, а Vi - выплата по каждому договору страхования, то - сумма убытков страховщика.

Страховой компании заранее неизвестно наступит ли событие Vi, так же ему не известен размер наступившего ущерба Vi, который может колебаться в интервале от Vmin до Vmax. Отсюда следует, что Vi - величина случайная, определяемая двумя вероятностями. Как известно из теории вероятностей, сумма случайных величин есть величина случайная. Поэтому S - случайная величина, которая может быть задана законом распределения с помощью функции распределения F(x).

Если x - действительное число, Х - случайная величина, а F(x) - вероятность того, что X<x, тогда F(x)=P(X<x). Пусть S=x, а В - страховой фонд (сумма нетто премий), тогда F(B)=P(S<B)>=y, или F(B)>=y. То есть, функция распределения случайной величины должна принимать значения большие или равные y. В свою очередь плотность распределения определяется следующим образом: f(x)=F'(x) => f(B)=F'(B).

Для того, чтобы определить размер фонда, который бы с вероятностью y обеспечивал финансовую устойчивость страховщика, необходимо найти такую величину В, при которой функция распределения F(B) случайной величины S будет больше или равна y. Для этого необходимо:

Найти закон распределения случайной величины S.

Решить приведенное выше неравенство, относительно В.

Вычислить отдельную нетто-премию (страховой тариф.

Допустим:

Что наступление одного события не зависит от наступления другого, тогда все события ведущие к страховым выплатам (убыткам) - события независимые.

Что в массовых рисковых видах страхования ущербы по рискам не сильно отличаются друг от друга, поэтому можно предположить, что рассеяние выплат по ущербам не будет велико, а, следовательно, наиболее вероятные размеры выплат не будут сильно отличаться друг от друга. Тогда, числовые характеристики ущербов (Vi) будут одинаковы:

Математическое ожидание выплат: mv = mv1=mv2=…=mvN.

Среднее квадратическое отклонение выплат:

Случайная величина S представляет собой сумму очень большого числа других случайных величин (Vi), влияние каждой из которой не оказывает сильного влияния на S. Тогда согласно центральной предельной теореме (Ляпунова) величина S распределена по нормальному закону:

Математическое ожидание случайной величины S:

Cреднее квадратическое отклонение случайной величины S:

По определению, нормальное распределение описывается плотностью:

Так как дифференцирование - действие обратное интегрированию, то функция распределения задается формулой:

Для того, чтобы можно было решить приведенное выше неравенство, необходимо привести функцию распределения S к другому виду, что позволит пользоваться табличными значениями. Для этого введем новую переменную z.

Тогда,

Табличная функция Лапласа:

В итоге получим:

Можно предположить, что

По определению функция распределения является неубывающей, поэтому: , значение g определяется из таблицы значений Ф(g). Однако, предварительно необходимо найти Ф(-M/), задать y, и определить M b .

Убыток страховщика по i-тому договору представляет собой случайную величину Vi, которая распределена следующим образом:

Если страховой случай не наступил (вероятность такого события равна 1-q), тогда выплата по договору i равна 0.

Если страховой случай наступил (вероятность такого события равна q), то выплата по данному договору может принять любое значение из интервала (0,Vi), в зависимости от тяжести ущерба. Для массовых рисковых видов страхования наступление мелких ущербов чаще, чем наступление крупных, то есть величина ущерба Vi описывается плотностью вероятности f(Vi)=k*e^-kVi (показательное распределение), где k- постоянная положительная величина, задающая определенный уровень ущербов. Если величина ущербов распределена по данному закону, математические характеристики ущербов определяются так:

- математическое ожидание величины ущерба.

- дисперсия и среднее квадратическое отклонение, соответственно.

Ущерб Vi характеризуется двумя вероятностями, следовательно, он задается двумя законами распределения. Каждая величина ущерба имеет свое математическое ожидание (наиболее вероятное значение) и среднее квадратическое отклонение, которые у всех ущербов одинаковые, так как застрахованные объекты достаточно однородны. Кроме этого наступление страхового случая - величина также случайная. Поэтому математическое ожидание того, что случай ущерба Vi не наступит определяется так: mv=q*hi, где hi-математическое ожидание величины ущерба Vi. А среднее квадратическое отклонение:

Для общей суммы ущерба математические характеристики вычисляются по формулам:

Размер страхового фонда определяется неравенством - . Подставим сюда известные значения:

Зная минимальный размер страхового фонда можно определить минимальную нетто-премию или страховой тариф. Логика данного заявления следующая;

Страховой фонд состоит из страховых премий по всем N договорам =>

Страховая премия определяется как произведение страхового тарифа на страховую сумму по данному договору:

Страховой тариф одинаков по всем договорам, поэтому:

Вместо отдельных страховых сумм по каждому договору удобнее использовать среднее ее значение, что позволяет однородность рисковых событий, тогда:

Откуда: , где , а

Условно можно предположить, что U1 -основная часть нетто-ставки, а U2 - рисковая надбавка.

Практический подход к расчету тарифных ставок

Расчет тарифных ставок производится по группам страхуемых объектов в соответствии с разработанной тарифной системой. В результате данного расчета страховщик должен получить для каждой группы базовую тарифную ставку (брутто). Выше была выведена формула расчета брутто-ставки: , где Т - нетто-ставка, f - доля нагрузки в брутто ставке. Доля нагрузки принимается одинаковой для всех тарификационных групп в рамках одного страхового продукта.

Для определения нетто-ставки страховщик должен определить гарантию безопасности (y), вероятность наступления страхового случая (q), математическое ожидание величины страховой суммы (М), математическое ожидание величины выплаты по одному страховому случаю hi. Указанные величины являются параметрами теоретического распределения убытков. Они определяются из статистических данных.

Пусть необходимо определить размер тарифной ставки по данным страховой компании, накопленным за год, по массовому виду страхования. Для этого выбирается некоторая совокупность договоров страхования. При этом все застрахованные объекты должны быть однородны, число договоров как можно больше, все договоры заключены на один и тот же срок и к моменту расчета полностью истек срок их действия.

Итак, имеется N договоров, а S1,…,Si,…,SN - причитающиеся страховые выплаты по ним.

V1,…,Vi,…,VW - W наступивших страховых событий, а, следовательно реально уплаченные страхователям суммы из числа SN.

Тогда вероятность наступления страхового случая определяется частотой его наступления: Это требование выполняется тогда, когда по договору страхования предусмотрена выплата не больше 1 страховой суммы, то есть частота должна быть меньше единицы.

Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание приближеноо равно среденй величине, поэтому:

Математическое ожидание одной выплаты:

Математическое ожидание суммы выплат:

Страховщик определяет для себя гарантию безопасности y.

Определяется переменная g: где , а

Итоговая формула для определения страхового тарифа будет выглядеть следующим образом:

Расчет тарифных ставок во втором виде страхования предполагает множество допущений, а, следовательно, неточностей. Данный метод расчета требует соблюдения от страховщика множества условий, что подчас ему не под силу. Этот расчет можно считать как типовой, однако, его применение в других видах страхования, даже с небольшими отклонениями от рассмотренного, требует его корректировки. Кроме этого практический расчет и теоретическая его подоплека являются хорошим пособие при разработке методов-аналогов.

В страховании жизни и подобных, расчет тарифных ставок осуществляется на основании таблиц смертности - хорошо отработанных и проверенных статистических данных. Страхование жизни распространенный и давно практикуемый вид страхования в отличии от других видов, здесь объектом страхования является предмет, который есть у каждого - жизнь, здоровье, трудоспособность, что позволило создать точные данные для расчета. Поэтому методы, рассмотренные в данной работе, являются точным и пока единственным способом расчета страховых тарифов.

Основанием для расчета тарифных ставок служит вероятность наступления страхового события, которая является задающей величиной для расчета. На основании ее рассчитываются математические характеристики страхового события, законы его распределения, страховые аннуитеты и прочие данные.

Список использованной литературы

В.Г. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика»

Т.А. Федорова «Основы страховой деятельности».

Четыркин А.П «Финансовая математика».

В.В. Ковалев «Курс финансовых вычислений»

Елисеева П.Р. «Общая теория статистики»

К. РэдхЭд «Управление финансовыми рсками.»