Системы автоматического управления

h(t) = k 1(t). h(p) = k/p.

АФЧХ интегратора: W(jw) = k/jw = -jk/w = k exp(-jp/2)/w.

Интегратор ослабляет высокие частоты пропорционально частоте и неограниченно усиливает («накапливает») низкие частоты. Годограф АФЧХ (рис. 3.5.7) расположен вдоль отрицательной мнимой оси. Фазово-частотная характеристика для положительных частот имеет постоянное значение -р/2, т.е. все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90^о. Радиус - вектор АЧХ при изменении частоты от 0 до ? монотонно убывает от значения ?, стремясь к 0. Коэффициент усиления бесконечно малых частот теоретически неограничен.

ЛАЧХ интегратора:

L(w) = 20 lg |W(jw| = 20 lg k - 20 lg w.

Логарифмическая характеристика представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, которая проходит через точку 0 дБ на частоте w = k.

При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор W(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: поршневой гидравлический демпфер, электрическая емкость и т.п.

Интегрирующее звено с замедлением (рис. 3.5.8) описывается дифференциальным уравнением: T d²y(t)/dt² + dy(t)/dt = k u(t).

Передаточная функция звена: W(p) = k/[p(Tp+1)].

Для нахождения временных характеристик звена удобно представить передаточную функцию в виде суммы:

W(p) = k/p - kT/(1+Tp).

Соответственно, решение уравнения будет складываться в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Переходная характеристика:

H(t) = k[t-T(1-exp(-t/T))] 1(t).

Весовая функция:

h(t) = k[1-exp(-t/T)] 1(t).

Частотные характеристики звена:

L(w) = 20 lg [k/(w)].

График асимптотической ЛАЧХ представляет собой две прямые

L1(w) = 20 lg(k) - 20 lg(w), w < 1/T,

L2(w) = 20 lg(k/T) - 40 lg(w), w > 1/T,

с отрицательными наклонами соответственно 20 и 40 дБ/дек.

Идеальное дифференцирующее звено. Выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины (производной от входной величины), а уравнение динамики имеет вид: y(t) = k du(t)/dt. Передаточная функция: W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p.

Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена, а должна быть бесконечно большой.

Близок к идеальному звену операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.5.9).

Переходная характеристика:

H(t) = k d1(t)/dt = k d(t),

где функция d(t) может имитироваться достаточно коротким (<<RC) импульсом с площадью, равной 1.

Импульсная характеристика:

h(t) = k dd(t)/dt.

Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw.

Дифференцирующее звено с замедлением. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Реальное дифференцирующее звено является последовательным соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего kp и инерционного 1/(Tp+1). В конечном диапазоне рабочих частот характеристики такого звена могут быть сколь угодно близки к идеальным.

Звено описывается уравнением: T dy(t)/dt + y(t) = k du(t)/dt.

Передаточная функция: W(p) = kp /(Tp+1).

При малых значениях Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее.

Переходная характеристика:

H(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

Импульсная характеристика:

h(t) = [kd(t)/T - (k/T²) exp(-t/T)] 1(t).

По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты (рис. 3.5.10), можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени Т. Примерами звеньев являются четырехполюсники из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности. Дифференцирующие звенья применяются для улучшения динамических свойств САУ.

Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw/(jwT+1).

Годограф звена (рис. 3.5.11) описывает полуокружность с радиусом, стремящимся к бесконечности, при Т0. При этом годограф прижимается к положительной мнимой полуоси и стремится к годографу идеального дифференцирующего звена. Частота w=1/T считается максимальной, до которой реальное звено может приниматься за близкое к идеальному.

Частотные характеристики звена приведены на рис. 3.5.12. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное. При w ? коэффициент передачи звена стремится к k/T. Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг стремится к нулю при w ?.

Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена:

T² d²y(t)/dt² + 2rT dy(t)/dt + y(t) = k u(t),

где r--- коэффициент (декремент) затухания (демпфирования). Передаточная функция:

W(p) = k/(T²p² + 2r Tp + 1).

Корни характеристического уравнения:

p_1,2 = (-r ±)/T.

Звено будет апериодическим второго порядка, если корни вещественные, или колебательным, если корни комплексные.

Если r ? 1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня и может быть разложен на два сомножителя:

T²p²+2rTp+1 = (T₁p+1)(T₂p+1), T_1,2 = T(r ±).

Переходная характеристика и весовая функция:

H(t) = k(1-(T₁/(T₁-T₂)) exp(-t/T₁) + (T₂/(T₁-T₂)) exp(-t/T₂)) 1(t).

h(t) = (k/(T₁-T₂)) (exp(-t/T₁) - exp(-t/T₂)) 1(t).

Такое звено эквивалентно двум последовательно включенным апериодическим звеньям первого порядка с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т₁ и Т₂. Амплитудная частотная характеристика:

A(w) = k/[].

Фазовая характеристика: j(w) = - argtg wT₁ - argtg wT₂.

Колебательное звено. При ?<1 корни полинома знаменателя W(p) апериодического звена второго порядка комплексно сопряженные. Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием r--(возможные значения от 0 до 1) и частотой w_{_}--= 1/T, т.е. переходный процесс представляет собой затухающие колебания относительно установившегося значения (рис. 3.5.14). Примерами колебательного звена могут служить пружина с успокоительным устройством, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.

При r = 0 колебания носят незатухающий характер.

Аналитическая формула переходной характеристики звена:

H(t) = k[1-exp(-gt) (cos lt+(g/l) sin lt)] 1(t), g=--(l/p) ln (A₁/A₂), l= w_{_}.

Импульсная функция:

h(t) = (kw₀²/l) exp(-gt) sin(lt) 1(t).

Зная характеристики реального устройства можно оценить его параметры как колебательного звена. Постоянная времени Т и коэффициент затухания:

T = T_k/, r = ln(A₁/A₃) /,

где T_k - период колебаний, А₁ и А₃ - амплитуды двух соседних полуколебаний одного знака относительно установившегося значения (см. рис. 3.5.14).

АФЧХ колебательного звена:

W(jw) = k/[-T²w² + 2r Tjw +1].

Годограф (рис. 3.5.15) описывает кривую, заходящую в третий квадрант. Фазовый сдвиг на частоте щ₀ равен -р/2, и стремится к -p при дальнейшем увеличении частоты.

ЛАЧХ колебательного звена (рис. 3.5.16):

L(w) = 20 lg k - 10 lg((1-T² w²)² + 4r²T²w²).

При r<0.707 амплитудная частотная характеристика звена имеет резонансный пик на частоте

w_m = w₀.

Высота пика тем больше, чем меньше параметр затухания, и определяется выражением:

A(w_m) = k/[2r].

Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена на низких частотах до сопрягающей частоты w_{_}--= 1/T параллельна оси абсцисс (T²w²<<1, L(w) 20 lg k), при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном - 40 дБ/дек, т.е. высокие частоты колебательное звено "заваливает" сильнее, чем апериодическое звено. автоматический управление частота временной

Реальная ЛАЧХ при w w₀ значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования r. В предельном случае r = 0 получаем звено, у которого при--w w₀ амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности.



ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к -p.

Наклон ЛАЧХ 40 дБ/дек и максимальный поворот фазы до -p характерны для всех звеньев второго порядка.

Построение моделей вход-выход

Модель вход-выход строится по известным уравнениям отдельных компонентов (блоков, звеньев). Процедура сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение отдельных блоков, к единому уравнению системы управления.

Простейшие соединения блоков. Возможны три способа соединения звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное или соединение с обратной связью (ОС).

Последовательное соединение блоков. Последовательным называют такое соединение звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной для последующего (рис. 3.6.1). При известных передаточных функциях звеньев, можно записать:

X₂(p) = W₂(p) X₃(p), X₁(p) = W₁(p) X₂(p) = W₁(p)W₂(p)X₃(p).

W(p) = W₁(p) W₂(p).

Таким образом, систему из неограниченного количества звеньев, включенных последовательно, можно заменить одним эквивалентным звеном с передаточной функцией W(p) равной произведению передаточных функций звеньев.

Рассмотрим последовательное соединение апериодического звена (с единичным коэффициентом передачи W₁(p) = 1/(Tp+1)) и идеального дифференцирующего звена (W₂(p) = kp). Передаточная функция

W(p) = kp/(Tp+1),

что полностью совпадает с передаточной функцией реального дифференцирующего звена.

Параллельное соединение блоков. При параллельном соединении звеньев на все входы подается одна и та же величина, а выходная величина равна сумме выходных величин отдельных звеньев (рис. 3.6.2).

X₂(p) = W₁(p) X₄(p), X₃(p) = W₂(p) X₄(p).

X₁(p) = X₂(p)+X₃(p) = (W₁(p)+W₂(p)) X₄ (p).

W(p) = W₁(p)+W₂(p).

Из последнего выражения следует, что параллельное соединение звеньев эквивалентно одному звену с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций, входящих в соединение звеньев. Переходная характеристика:

H(t) =H_i(t).

Построение переходной характеристики параллельного соединения заключается в построении переходных характеристик отдельных звеньев на одном графике и суммировании их ординат для одних и тех же значений времени.

Пример: ПИ-регулятор - параллельное соединение пропорционального (W₁(p)=k_п) и интегрирующего звеньев (k_и/p). Передаточная функция

W(p) = (k_пp + k_и)/p.

Система с отрицательной обратной связью. При встречно-параллельном соединении звеньев на вход звена кроме входной подается еще и выходная величина через специальное звено обратной связи. На рис. 3.6.3 звено W₁(p) составляет прямую цепь, которая охвачена ОС, звеном W₂(p). При этом если сигнал x₃ вычитается из входного сигнала x₄, то ОС называется отрицательной, а если суммируется, то ОС - положительная. Для отрицательной обратной связи можно записать:

X₁(p) = W₁(p) X₂(p), X₃(p) = W₂(p) X₁(p), X₂(p) = X₄(p) - X₃(p).

Решая эти три уравнения относительно X₁(p), находим:

X₁(p) = X₄(p) W₁(p) /(1+ W₁(p)W₂(p)).

Передаточная функция

W(p) = W₁(p) /(1+ W₁(p)W₂(p)). (3.6.1)

Полученная передаточная функция может интерпретироваться как передаточная функция последовательно соединенных звеньев с передаточной функцией W₁(p) и системы с передаточной функцией:

Ф(p) = 1/(1+W_рс),

где W_рс = W₁(p)W₂(p) - передаточная функция разомкнутой системы, например, в точке “а”.

При охвате любого звена единичной ОС (т.е. при W₂ (p) = 1) разомкнутая система преобразуется в замкнутую с передаточной функцией (из выражения (3.6.1)):

W(p) = W₁(p) /(1+ W₁(p)).

С другой стороны, если в выражении (3.6.1) обеспечить высокий коэффициент усиления в цепи прямой связи (W₁(p) > ?), то 1 в знаменателе можно пренебречь и свойства звена определяются только свойствами цепи ОС:

W(p) = 1/W₂(p).

Консервативное звено - двойной интегратор, имеющий передаточную функцию W₁(p) = 1/p², с отрицательной обратной связью, образованной пропорциональным звеном с W₂(p) = 1/w². Используя формулу (3.6.1), находим:

W(p) = 1/(p²+w²) = k/(T²p² +1),

где k = 1/w², T = 1/w.

Передаточные функции систем управления.

Система управления без обратной связи (разомкнутая система), состоящая из последовательно соединенных регулятора и объекта управления (рис. 3.6.5).

Пусть объект управления описывается операторным уравнением

Y(p) = W_o(p) U(p),

а регулятор представлен выражением

U(p) = K(p) y*(p),

где y(t) - Y(p) - выходная переменная, u(t) - U(p) - управляющее воздействие, y*(t) - y*(p) - задающее воздействие (вход системы), W_o(p) и К(р) - передаточные функции (произвольные интегро-дифференциальные операторы).

Используя правило построения модели последовательно соединенных блоков, находим уравнение

y(t) - Y(p) = W(p) y*(p),

связывающее выходную переменную y(t) и входную переменную через передаточную функцию разомкнутой системы W(p) = W_o(p)K(p).

Замкнутая система управления, т. е. система, представленная объектом управления и регулятором отклонения (рис. 3.6.6):

U(p) = K(p)e(p),

e(p) - e(t) = y*(t)-y(t),

где e(t) - рассогласование (отклонение). Используя правило (3.6.1), находим модель замкнутой системы в виде

Y(p) = W(p) y*(p),

W(p) = K(p)W_o(p) /(1+K(p)W_o(p)).

Замыкание системы приводит к изменению знаменателя ее передаточной функции - характеристического полинома системы, а, следовательно, и корней полинома (полюсов системы).

Литература

1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Питер, 2005. - 336 с.

7. Туманов М.П. Теория автоматического управления: Лекции. URL: http://elib.ispu.ru/library/lessons/Tihonov_2/index.htm.

8. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное пособие. - МГИЭМ. М., 2005, 82 с. URL: http://window.edu.ru/window_catalog/files/r24738/5.pdf.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975.

14. Желтиков О.М. Основы теории управления. Конспект лекций. - Самара, СГТУ, 2008. - URL: http://www.jelomak.ru/pager.htm.

Размещено на Allbest.ru