Адаптивное визуальное решение и его анализ в экономических задачах

Решение. Составим математическую модель задачи. Из условия задачи примем за x1 - количество листов для раскроя по первому способу, а x2 - количество листов по второму способу раскроя. Система ограничений и целевая функция из условия задачи выглядит следующим образом

При построении ОДР получаем неограниченную область. В связи с этим вводим дополнительные ограничения по x1 и x2

В соответствии с изложенной вычислительной схемой переходим к новой системе однородных линейных неравенств

и строим таблицу

Первый столбец примем за основной. Уравновешенными при этом окажутся пары строк (1,3), (2,3). С учётом этого таблица имеет вид

Последний столбец содержит отрицательные элементы. Его удаляем (заменяем нулями).

В таблице основной столбец - второй, уравновешенные строки (2,4) и (3,4). Тогда таблица имеет вид:

В полученной таблице третий столбец будет основным, а уравновешенными окажутся строки (1,3).

В таблице за основной столбец примем 4-й столбец, уравновешенными при этом окажутся пары строк (2,4) и (4,5). В таблицу прежде всего переносятся первые три и последняя строки таблицы , так как они пересекают основной столбец по неположительным элементам. Две другие строки таблицы получаются линейной комбинацией строк - (2,4) и (4,5) таблицы .

Таблицей рассматриваемый процесс заканчивается. Лишнее неравенство найдено.

Ввод масштабного коэффициента для данной задачи не требуется.

Графическое решение для системы, состоящей только из 4-х ограничений:

имеет вид, представленный на рис.8.11.

Рис. 8.11

Оптимальное решение находится в точке (2.3; 3.2).

Оптимальное решение получилось нецелочисленным: x1 = 2.3, x2 = 3.2, ближайшими целочисленными решениями (рис.8.11) будут x1=2, x2=4 критерий равен: F=12*2+16*4=84 и x1=4, x2=4 критерий равен: F=4*12+4*16=112. Для обеспечения минимума критерия выбираем целочисленное решение x1 = 2, x2 = 4.

Вариант 12. На звероферме могут выращиваться черно - бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий из выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Решение. Из условия задачи примем за x1 - черно-бурые лисицы, а x2 - песцы. Система ограничений и целевая функция из условия задачи выглядит следующим образом

Далее необходимо провести проверку на наличие лишних неравенств. Для этого переходим к новой системе однородных линейных неравенств

Таблица имеет вид

Первый столбец правой части таблицы можно принять за основной. Уравновешенными при этом окажутся пары строк (1,3) и (2,3). Вторая строка таблицы получается суммированием первой строки, умноженной на 90 и третьей строки, третья строка - суммированием третьей строки и второй, умноженной на 60.

За основной столбец можно принять второй столбец. Получаем уравновешенные пары строк (1,2) и (2,3) и новую таблицу

За основной примем третий столбец. Получаем уравновешенные пары строк (2,4) и (3,4) и новую таблицу :

Таким образом, лишних неравенств не будет. Графическое решение имеет вид:

Рис. 8.12

Вывод: на звероферме нужно выращивать 57 лисиц и 12 песцов, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Вариант 13. При подкормке посева нужно внести на 1 га почвы не менее 8 единиц химического состава А, 21 - вещества В, 16 - вещества С. Совхоз закупает комбинированные удобрения двух видов I и II. В таблице указанны содержание химических веществ и цена на единицу веса каждого вида удобрений. Минимизировать расходы по закупке необходимого совхозу количества удобрений.

Решение. Введем обозначение: x1 - количество удобрений вида I, а x2 - количество удобрений вида II.

Из данных, представленных в таблице составим систему ограничений

и целевую функцию .

Перейдём к новой системе однородных линейных неравенств

и построим таблицу :

Здесь основной столбец - первый, уравновешенные строки (1,3) и (2,3).

За основной можно принять второй столбец, уравновешенными окажутся пары строк (2,4) и (3,4). Таблица имеет вид

Принимая за основной последний столбец, найдём его уравновешенные пары строк. Ими окажутся пары строк (3,5) и (4,5). Таблица :

Лишних неравенств не будет.

Для построения ОДР в lp_grafn.exe необходимы дополнительные ограничения ( и ). Графическое решение для системы ограничений

имеет вид

Рис. 8.13

Оптимальное решение находится в точке (1, 3).

Вариант 14. Из Минска в Гродно необходимо перевезти оборудование трех типов: 84 единицы 1 типа, 80 единиц 2 типа и 150 единиц 3 типа. Для перевозки оборудования завод может заказать два вида транспорта А и Б. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, а также сменные затраты, связанные с эксплуатацией единицы транспорта (в рублях), приведены в таблице. Необходимо минимизировать затраты, связанные с эксплуатацией.

Решение. Введем обозначение: x1 - количество транспорта вида А, а x2 - количество транспорта вида Б.

Из данных, представленных в таблице составим систему ограничений

и целевую функцию .

Для проверки на наличие лишних неравенств переходим к новой системе однородных линейных неравенств

Строим таблицу :

Первый столбец правой части таблицы можно принять за основной. Уравновешенными при этом окажутся пары строк (1,3) и (2,3).

Считая второй столбец таблицы основным, найдём её уравновешенные пары строк. Это будут строки - (2,4), (3,4). При этом таблица имеет вид:

За основной примем последний столбец. Уравновешенными парами строк окажутся пары - (1,3) и (3,5) и таблица будет иметь вид:

Таблицей рассматриваемый процесс заканчивается. Лишних неравенств не будет.

Для построения ОДР производится подбор параметров, и вводятся дополнительные ограничения и . С учётом этого получаем графическое решение (рис. 8.14):

Рис. 8.14

Чтобы затраты, связанные с эксплуатацией единицы транспорта были минимальными, для перевозки оборудования завод должен заказать 24 ед. транспорта А и 6 ед. транспорта Б.

Вариант 15. На приобретении оборудования для нового производственного участка выделено 20 тыс. р. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 72 м2. Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные типа А стоимостью 5 тыс. р., требующие производственной площади 6 м2 (с учетом проходов) и дающие 8 тыс. единиц продукции за смену, и менее мощные машины типа Б стоимостью 2 тыс. р., занимающие площадь 12 м2 и дающие за смену 3 тыс. единиц продукции.

Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности нового участка.

Решение. Пусть оборудование типа А - x1, а оборудование типа Б - x2. Система ограничений и целевая функция из условия задачи выглядит следующим образом

Система ограничений после преобразований будет иметь вид

Строим матрицу :

Первый столбец правой части можно принять за основной. Уравновешенными при этом оказываются пары строк (1,3) и (2,3). Тогда таблица преобразуется в новую таблицу

Считая основным второй столбец таблицы , найдём её уравновешенные пары строк. Это будет две пары строк (1,2), (2,3). При этом таблица имеет вид

Таблицей рассматриваемый процесс заканчивается. Лишних неравенств нет.

Для визуализации решения введём масштабный коэффициент, равный 103. Тогда , . В новых обозначениях будем иметь:

Рис. 8.15

Оптимальный вариант приобретения оборудования состоит в заказе оборудования типа А в количестве 4 штуки.

9. Контрольные вопросы

допустимый решение линейный программирование

1. Какие темы изучаются в данном пособии?

2. Приведите в общем виде формулировку задачи линейного программирования.

3. Какие задачи линейного программирования могут решаться графически?

4. Приведите последовательность действий для построения ОДР.

5. Что такое лишнее неравенство?

6. Приведите последовательность действий для исключения лишнего неравенства.

7. Какой из столбцов таблицы можно принять за основной?

8. Какие строки являются допустимыми?

9. Какая пара строк является уравновешенной?

10. Цель масштабирования коэффициентов неравенств?

11. Как определить графическое решение задачи?

Приложение № 1

ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ < 4070

Приведем пример использования таблицы простых чисел для нахождения целочисленных коэффициентов. Данные возьмём из таблицы (п. 7, с. 17). Для формирования строки равновесия имеем числа в таблице 3 и -150. Раскладываем эти числа в виде произведения простых чисел: 3=3; 150=2*3*5*5. Производим сокращение на общие простые числа (в данном случае на 3), оставшиеся числа и будут целочисленными сомножителями, т.е. 1 и 2*5*5=50. Использование целочисленных коэффициентов позволяет повысить точность расчета оптимальных параметров.

Библиографический список

1. Х.А. Таха. Введение в исследование операций, 6-е издание.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. - 912 с.

2. Графическое решение и анализ экономических задач: Методические указания к практическим занятиям / Сост. М.П. Булаев. Рязань: РГМУ, 2001. - 32 с.

3. Кабанов А.Н. Математические методы повышения устойчивости алгоритмов АСУ: Учебное пособие. - Рязань: РРТИ, 1985. - 80 с.

4. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. - СПб.: BHV - Санкт-Петербург, 1997. - 384 с.

5. Методы оптимизации в теории управления: Учебное пособие / И.Г. Черноруцкий. - СПб.: Питер, 2004. - 256 с.

6. Основы теории чисел. Виноградов И.М. Гл. ред. физ-мат. лит. 1972. - 168 с.

Размещено на Allbest.ru