ПИД-контроллеры фирмы Honeywell
Моделирование, имитирование и анализ ПИД-регуляторов с использованием пакета AutotunerPID Toolkit системы Matlab. Идентификация моделей динамических систем. Регулятор с весовыми коэффициентами при установке. Погрешность дифференцирования и шум.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.05.2016 |
| Размер файла | 1,7 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
где - среднеквадратическое напряжение помехи, - момент времени для -того измеренного отсчета. Аналогичные погрешности для реакции на импульс и двойной импульс (рисунок 3.16, кривые 2 и 3) гораздо меньше.
С ростом порядка объекта различимость откликов моделей смежных порядков ухудшается. Это приводит не только к снижению отношения сигнал/шум, но и к ухудшению обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, которую приходится решать при параметрической идентификации моделей высоких порядков методом наименьших квадратов.
Прямоугольный импульс
Прямоугольный импульс (рисунке 3.12-б,-в и рисунке 3.17 имеет большую спектральную плотность в области высоких частот, чем скачок (рисунке 3.13, штриховая и пунктирная линии). При ограничении на энергию тестового сигнала это позволяет более точно выполнить идентификацию в наиболее важной высокочастотной области.
Вторым достоинством прямоугольного тестового импульса является большое различие в реакции объектов первого и более высоких порядков (рисунке 3.16, кривые 2 и рисунке 3.17), что позволяет улучшить идентифицируемость параметров моделей второго и более высоких порядков по сравнению с применением единичного скачка. После воздействия прямоугольного импульса система возвращается в первоначальное состояние, что уменьшает общее время эксперимента по сравнению с единичным скачком.
Рисунок 3.6 Реакция на прямоугольный импульс объектов первого (1), второго (2) и третьего (3) порядка с передаточной функцией вида
Прямоугольный импульс является приближенным аналогом единичного импульса (дельта-функции Дирака), которая имеет равномерную по частоте спектральную плотность. Поскольку единичный импульс физически нереализуем, используют его приближенный аналог - прямоугольный импульс максимально большой высоты и минимальной длительности. Высота импульса на практике всегда ограничена. Для тепловых процессов этой границей обычно является мощность нагревателя. При ограниченной высоте импульса его длительность будет определять отношение сигнал/шум на выходе объекта. Поэтому длительность импульса (рисунке 3.12-б выбирают по возможности большей, однако она должна быть меньше, чем , чтобы наиболее интересная часть передаточной функции объекта была возбуждена равномерной частью спектра тестового сигнала (рисунке 3.13, штриховая линия).
Необходимость выбора большой высоты прямоугольного тестового импульса является его недостатком, который оказывается существенным при сильных помехах или резких технологических ограничениях на амплитуду входного воздействия.
Вторым недостатком прямоугольного импульса является невозможность точной оценки статического коэффициента передачи системы.
Разновидностью прямоугольного импульса является двойной прямоугольный импульс (рисунке 3.12-в, который по сравнению с одиночным импульсом имеет двойной размах и максимум спектральной функции в области частоты , что позволяет несколько повысить точность идентификации при тех же ограничениях на амплитуду импульса.
Оба описанных тестовых сигнала позволяют выполнить аналитический расчет параметров модели объекта 1-го или 2-го порядка без применения численных методов оптимизации.
Отметим, что, несмотря на то, что импульсную характеристику системы (реакцию на единичный импульс) теоретически можно получить дифференцированием переходной характеристики (реакции на единичный скачок), дифференцирование экспериментально полученной кривой резко ухудшает отношение сигнала к шуму, поскольку оператор дифференцирования эквивалентен фильтру, выделяющему шумы из входных данных.
3.2 Частотная идентификация в режиме релейного регулирования
Идентификация с помощью широкополосных сигналов, к которым относятся единичный скачок и прямоугольный импульс, не позволяет получить достаточно достоверные результаты в условиях сильных шумов и жестких ограничений на энергию сигнала. Гораздо более высокую точность при малой амплитуде позволяет получить воздействие узкополосным сигналом, в качестве которого используют отрезок синусоидального сигнала (рисунке 3.12-г). С ростом числа периодов сужается ширина спектра и растет спектральная плотность такого сигнала на частоте колебаний. Благодаря этому появляется возможность использовать узкополосный фильтр для выделения сигнала на фоне помех, что резко повышает достоверность идентификации. Однако при использовании фильтра перед измерением необходимо дождаться окончания переходного процесса, который тем длиннее, чем выше добротность фильтра. Это существенно увеличивает общее время на проведение экспериментов, тем более, что измерения выполняют для нескольких разных частот. Для ускорения процесса можно использовать тестовое воздействие в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, которые затем выделяют несколькими узкополосными фильтрами. Существенным недостатком этого метода является большое время идентификации. Поэтому его чаще используют только для измерения коэффициента передачи и фазового сдвига на частоте , а для идентификации других параметров объекта используют широкополосные тестовые сигналы.
Метод частотной идентификации в замкнутом контуре с релейным регулятором является самым распространенным в коммерческих ПИД-регуляторах с автонастройкой. Этот метод очень давно известен в микроэлектронике как метод кольцевого генератора. Он использует свойство замкнутой динамической системы с отрицательной обратной связью генерировать незатухающие колебания на частоте фазового сдвига -180? при петлевом усилении .
Основная идея метода
Рассмотрим систему с отрицательной обратной связью, состоящую из релейного регулятора и объекта управления (рисунке 3.18). Здесь регулятор имеет два значения выходной величины :
Рисунок 3.7 Система с релейным регулятором в контуре регулирования для оценки параметров и
Гармонический сигнал, проходя через объект управления, изменяет свою амплитуду и фазу. Поскольку на входе объекта присутствует шум, в его спектре всегда найдутся такие гармонические составляющие с частотой , которые, пройдя через объект управления, появятся на его выходе с той же частотой , но с отставанием по фазе на 180? от соответствующей входной составляющей. Если этот сигнал с выхода объекта опять подать на его вход с помощью отрицательной обратной связи, то общий фазовый сдвиг в петле с обратной связью составит уже 360?, т. е. на частоте обратная связь в системе из отрицательной превращается в положительную. Это приводит к нарастанию циркулирующего по петле сигнала при петлевом усилении или его затуханию при . Нарастание сигнала в некоторый момент начинает ограничиваться, например, нелинейностью типа насыщения, и тогда в системе устанавливаются стационарные колебания. При этом эффективный коэффициент усиления, найденный по первой гармонике колебаний на частоте , становится равным единице: (т. к. после установления стационарных колебаний сигнал больше не усиливается).
Таким образом, в рассмотренной системе возникают незатухающие колебания, когда усиление по контуру с обратной связью (петлевое усиление) равно единице на частоте фазового сдвига в объекте 180?. В нелинейной системе петлевое усиление на малом сигнале может быть больше единицы до момента, когда колебания установятся. В контуре регулирования с идеальным релейным регулятором (рисунке 3.18) усиление до начала колебаний равно бесконечности. Поэтому колебания возникают всегда, если фазо-частотная характеристика включает в себя точку со сдвигом фазы 180?.
Большинство объектов управления, не имеющих транспортной задержки, относятся к минимально-фазовым объектам, у которых существует однозначная связь между амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристикой. Объект управления является минимально-фазовым, если его операторная передаточная функция не имеет нулей в правой полуплоскости комплексного переменного. В частности, минимально-фазовыми являются модели, если у них транспортная задержка равна нулю.
Рисунок 3.8 Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика объекта первого порядка, ,
Рисунок 3.9 Фазо-частотная характеристика объекта первого порядка без транспортной задержки (штриховая линия) и с ней (сплошная линия)
Обычно АЧХ строят в логарифмическом масштабе по обеим координатным осям и называют диаграммами Боде. При этом наклон линейных участков АЧХ измеряют в децибелах на декаду (дБ/дек). Например, объект первого порядка (3.5) имеет наклон АЧХ -20 дБ/дек (рисунке 3.19) и при этому наклону взаимно однозначно соответствует максимальный фазовый сдвиг -90? при (рисунке 3.20, пунктирная линия). Объект второго порядка (3.9) имеет наклон АЧХ -40 дБ/дек и ему соответствует максимальный фазовый сдвиг -180? при (рисунке 3.13). Для объекта третьего порядка наклон АЧХ равен -60 дБ/дек и фазовый сдвиг -270?.
Из изложенного следует, что система регулирования с объектом первого порядка без транспортной задержки всегда устойчива, даже в контуре с релейным регулятором. Система с объектом второго порядка может быть неустойчивой при . Система с объектом третьего порядка и система любого порядка с транспортной задержкой в контуре с релейным регулятором всегда находится в режиме автоколебаний.
Поэтому проектирование объекта управления нужно выполнять совместно с проектированием регулятора для него. Например, некоторые системы термостатирования используют нагревательный элемент в виде тонкой проволочки, через которую продувается воздух. Такая система имеет первый порядок передаточной функции и даже релейный регулятор для нее дает хорошее качество регулирования.
Система с объектом первого порядка перестает быть устойчивой, если в передаточную функцию добавляется транспортная задержка. При этом объект перестает быть минимально-фазовым и, несмотря на то, что наклон АЧХ остается равным -20 дБ/дек (рисунке 3.19), в системе возникают колебания, поскольку фазовый сдвиг транспортной задержки растет неограниченно с ростом частоты и на частоте достигает -180? (рисунке 3.20, сплошная линия).
Рисунок 3.10 Сигнал на входе (прямоугольные импульсы) объекта с передаточной функцией, показанной на рисунке 3.13, рисунке 3.14, и на его выходе (сплошная линия)
Рисунок 3.11 Задающее воздействие (скачок) и форма сигнала на выходе замкнутой системы первого порядка в линейном режиме (сплошная линия) и с релейным регулятором (штриховая линия)
Поскольку в реальном объекте вследствие его пространственной протяженности всегда появляется (небольшая) транспортная задержка, в любой системе с релейным регулятором возникают колебания, однако их амплитуда на выходе объекта может быть пренебрежимо малой вследствие резкого снижения коэффициента передачи объекта с ростом частоты.
Таким образом, замкнутый контур с объектом управления и релейным регулятором позволяет найти частоту для объекта любого порядка, поскольку она равна частоте автоколебаний в такой системе. Найдем теперь коэффициент передачи объекта на этой частоте. К сожалению, его можно найти только приближенно, поскольку на вход объекта в системе с релейным регулятором воздействует последовательность прямоугольных импульсов, которая получается после прохождения сигнала обратной связи через релейный регулятор. Приближенный метод расчета основан на разложении входной последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье с отбрасыванием всех гармоник, кроме первой. Возможность замены последовательности прямоугольных импульсов их первой гармоникой основана на том, что объекты с передаточными функциями вида (3.4) - (3.9) являются фильтрами, ослабляющими высшие гармоники. Поэтому серия прямоугольных импульсов, пройдя через такой объект, становится очень близкой к синусоидальному сигналу (рисунке 3.21). Это позволяет считать, что после разложения входного сигнала в ряд Фурье через объект проходит только первая гармоника, а остальные подавляются.
Если размах прямоугольных импульсов на входе объекта равен , то амплитуда первой гармоники этих импульсов, как известно из курса радиотехники, равна . Если обозначить амплитуду первой гармоники сигнала на выходе объекта через , то искомый коэффициент передачи системы на частоте будет равен отношению амплитуды на выходе к амплитуде на входе:
Пример. Рассмотрим АЧХ (рисунке 3.13) и ФЧХ (рисунок 3.14) объекта второго порядка вида (3.16). Из графика на рисунке 3.14 можно найти частоту , а по рисунку 3.13 - коэффициент передачи объекта на этой частоте . Т. е. при включении такого объекта в контур с релейным регулятором получим колебания с частотой при усилении .
Рисунок 3.12 Форма колебаний при асимметричной релейной функции: , ,
Рисунок 3.13 Сравнение различий между переходными характеристиками и колебаниями в двух системах второго порядка с параметрами , , (кривые 1) и , , (кривые 2)
Примерно эти же значения можно получить из эксперимента с релейным регулятором, по формуле (3.20), если из графиков на рисунке 3.21 найти значения амплитуды на выходе и входе , а затем по формуле (3.20) рассчитать значение . Значение частоты можно найти непосредственно по графику на рисунке 3.21. Т.о., приближенная формула в данном случае дает достаточно низкую погрешность (около 4%).
Для объекта первого порядка с транспортной задержкой и постоянной времени () из рисунке 3.20 можно найти , из рисунке 3.19 - . Форма колебаний в системе с релейным регулятором показана на рисунке 3.22, штриховая линия. Особенностью объекта первого порядка является существенное отличие формы колебаний от синусоидальной, что делает слишком грубым ее аппроксимацию первой гармоникой ряда Фурье, которая была использована при получении формулы (3.20). Для устранения этой проблемы вместо релейного регулятора можно использовать линейный усилитель, чтобы не искажать форму сигнала в системе. Тогда форма колебаний становится близкой к синусоидальной (рисунке 3.22), сплошная линия. Такая колебательная система дает довольно точные значения и . Однако для обеспечения режима, близкого к линейному, петлевое усиление должно быть равно 1, т.е. усилитель должен обеспечит усиление в раз, где параметр априори неизвестен. Это является основным недостатком метода колебаний в линейном режиме.
Важным условием, которое нужно соблюдать при использовании идентификации в режиме релейного регулирования, является симметричность уровней и относительно уровня сигнала , при котором , т.е. должно выполняться условие . В противном случае скорости нарастания сигнала выше уставки и спада ниже нее будут сильно различаться, а форма колебаний в системе будет существенно отличаться от синусоидальной (рисунке 3.23), что приведет к высокой погрешности данного метода.
Аналогичный эффект искажения формы колебаний возникает и в системах более высокого порядка, если транспортная задержка превышает наибольшую постоянную времени. С ростом задержки колебания становятся сначала треугольными, затем приближаются к трапецеидальным и прямоугольным. Это объясняется тем, что с ростом транспортной задержки реакция объекта на каждый из фронтов сигнала на выходе реле приближается к форме реакции на функцию единичного скачка (рисунке 3.17). В частотной области указанный эффект объясняется тем, что с ростом задержки точка на рисунке 3.19 и рисунке 3.20) смещается влево, т.е. фильтрующие свойства объекта ухудшаются и он транслирует прямоугольный входной сигнал на свой выход с меньшими искажениями.
Рисунок 3.14 Ложные переключения реле вследствие шума
Для иллюстрации высокой разрешающей способности описанного метода на рисунке 3.24 приведены процессы в двух моделях, у которых переходные характеристики различаются слабо, однако частоты колебаний в контуре с релейным регулятором отличаются в 4 раза. Благодаря узкой полосе сигнала он может быть эффективно выделен на фоне шумов, например, методом наименьших квадратов.
Описанный метод частотной идентификации позволяют получить только одну точку передаточной функции объекта, т.е. два параметра, которых недостаточно для нахождения трех параметров ПИД-регулятора. Поэтому используют дополнительное соотношение , которое позволяет найти третий параметр.
Чтобы получить и другие точки АЧХ, используют реле с гистерезисом или фильтры, сдвигающие точку в сторону более низких частот.
Рассмотрим эти методы подробнее.
Изменение частоты колебаний с помощью интегратора
Для того чтобы в системе с релейным регулятором возникли колебания на частоте, существенно отличающейся от , в нее можно ввести интегратор, который имеет передаточную функцию , где - произвольный нормировочный множитель. На рисунке 3.26 после интегратора показан линейный ограничитель, отражающий наличие ограничений на входной сигнал объекта. Желательно выбирать , тогда размах колебаний треугольной формы на выходе интегратора будет точно равен размаху прямоугольных импульсов на выходе реле. Однако, поскольку частота априори неизвестна, а выбор влияет только на амплитуду колебаний в системе, величину можно выбирать примерно в несколько (3...10) раз ниже ранее найденной частоты . Чем больше транспортная задержка , тем меньше будет расстояние между точками и .
Рисунок 3.15 Система с релейным регулятором и интегратором для оценки параметров и
Модуль передаточной функции интегратора имеет наклон - 20 дБ на декаду, а фазовый сдвиг не зависит от частоты и равен -90?. Поэтому колебания в системе возникают на частоте , когда сдвиг фаз в объекте управления составит -90? (поскольку суммарный сдвиг в интеграторе и объекте составит -180?). Получив из эксперимента частоту , можно найти модуль передаточной функции на этой частоте по той же формуле (3.20), что и для . Однако точность расчета можно повысить, если воспользоваться тем, что на выходе интегратора получаются треугольные импульсы, для которых легко найти амплитуду первой гармоники ряда Фурье , где - половина размаха треугольных импульсов. Интегрируя сигнал, поступающий на входе интегратора, можно получить, что , где - половина размаха прямоугольных импульсов на выходе реле, . Поэтому амплитуда первой гармоники сигнала на входе объекта будет равна , откуда коэффициент передачи объекта на частоте можно найти в виде
где и имеют тот же смысл, что и в (3.19).
Формула (3.22) дает довольно точные результаты. Для системы 2-порядка (3.16) расчет по формуле (3.22) на основании данных, полученных при моделировании системы, дает значения , , а точный расчет дает , . Для системы 1-го порядка расчет по формуле (3.22) дает , при точных значениях и , а расчет по более грубой формуле (3.20) дает .
Изменение частоты колебаний с помощью генератора
Для исключения погрешности формулы (3.20), связанной с усечением ряда Фурье, в работе предлагается вместо интегратора на рисунке 3.26 использовать генератор синусоидальных колебаний с амплитудой, равной амплитуде первой гармоники прямоугольных импульсов на входе реле:
где - половина размаха колебаний на выходе реле, - частота колебаний в системе. Поскольку частота априори неизвестна, ее определяют итерационным путем. Сначала убирают из системы генератор (2.23) и находят частоту колебаний в нулевом приближении. Для этого используют 2...3 периода колебаний в системе. Затем полученное значение частоты подставляют в формулу (2.23) и находят колебания в системе с генератором. Полученное значение частоты опять подставляют в формулу (3.23). Несколько таких итераций позволяют получить точное значение частоты.
Изменение частоты колебаний с помощью гистерезиса
Если в системе на рисунке 3.26 использовать реле с гистерезисом, то частоту колебаний можно понизить. Объясняется это тем, что при подаче сигнала на вход реле с симметричным относительно нуля гистерезисом шириной на выходе реле появляется сигнал с задержкой , обусловленной тем, что для срабатывания реле синусоидальный сигнал на входе должен достичь уровня или . Непосредственно из функции , где - частота колебаний в системе с гистерезисом, можно найти задержку, связанную с гистерезисом: . Понизив с помощью гистерезиса частоту колебаний и измерив ее, можно найти коэффициент передачи объекта на этой частоте по той же формуле (2.20).
Более подробное рассмотрение процессов в системе с гистерезисом можно найти в работе.
Недостатком двух последних методов, позволяющих получить точки между и . является невозможность задать заранее требуемую частоту.
Определение порядка объекта
Методы, описанные выше, дают достаточно информации, чтобы оценить в некоторых случаях порядок объекта управления. Пусть объект описывается передаточной функцией
Предположим, что в (3.24) все постоянные времени дают частоты, которые много меньше частоты , т.е.
Тогда в окрестности частоты можно пренебречь единицей по сравнению с , и, беря логарифмы от модуля левой и правой части (2.24), получим: .
Если с помощью описанных выше методов удалось получить две точки АЧХ () и (), то записывая последнее равенство для этих двух точек, получим систему уравнений, из которой можно найти порядок знаменателя передаточной функции объекта управления :
Частота должна быть как можно ближе к , поскольку наклон нужно искать в окрестности частоты , однако достаточно далеко, чтобы разность частот была много больше погрешности их измерения.
Недостатком данного метода является то, что в случае, когда передаточная функция объекта имеет нули, описанный метод дает разность порядков знаменателя и числителя, но не порядок знаменателя.
3.3 Идентификация в замкнутом и разомкнутом контуре
Идентификацию можно выполнять в замкнутом контуре с обратной связью, или в разомкнутом. Идентификация в замкнутом контуре может быть прямой и косвенной. При косвенной идентификации измеряется тестовый сигнал и отклик на него системы с обратной связью, затем путем вычислений по уравнениям системы находится передаточная функция объекта управления. При прямой идентификации передаточная функция объекта находится по измерениям сигналов непосредственно на его входе и выходе.
Если в качестве идентифицирующих воздействий выбирают искусственно созданные возмущения, то такая идентификация называется активной. Если используют сигналы, которые всегда существуют в системе в нормальном режиме ее функционирования, такая идентификация называется пассивной.
Для дальнейшего изложения нам потребуются уравнения замкнутой системы с ПИД-регулятором. Базовая структура системы показана на рисунке 3.27. Здесь - задающее воздействие (уставка); - сигнал ошибки (рассогласование); - ПИД-регулятор; -управляющее воздействие на объект управления ; - внешние возмущения; ; - истинная управляемая величина (может быть измерена только как разность ); - управляемая величина; - шум и погрешность измерений.
В системе на рисунке 3.27 три входа (три источника сигналов): и два выхода (две зависимые переменные ). Связь между перечисленными величинами можно установить непосредственно по рисунку 3.27 в следующем виде:
Заметим, что в (2.27) и далее все переменные являются изображениями по Лапласу соответствующих временных функций, и - передаточные функции объекта регулирования и регулятора. Случайные внешние воздействия и заданы как изображения реализаций случайных процессов.
Идентификация в разомкнутом контуре
Для идентификации в разомкнутом контуре на объект (рисунок 3.28) подают входное воздействие (например, напряжение на нагреватель термошкафа) и измеряют реакцию объекта на это воздействие (например, температуру в рабочей зоне). Во время эксперимента на объект воздействуют внешние возмущения (например, нестабильность напряжения питания и вариации температуры окружающей среды ), а результат измерений суммируется с шумами в канале передачи измерительной информации и с погрешностью средств измерений , (рисунок 3.28).
Рисунок 3.16 Отображение источников внешних возмущений и помех в структуре системы с ПИД-регулятором
Рисунок 3.17 Пример объекта управления: термокамера с электрическим нагревом
Процесс идентификации состоит в том, что на вход объекта подают тестовые воздействия и снимают реакцию объекта , затем по аналитическим формулам или численными методами оптимизации находят параметры моделей, при которых реакция модели максимально соответствует реакции объекта.
Идентификация в разомкнутом контуре является наиболее предпочтительной, поскольку в этом случае отсутствует возможность случайного вывода системы за границы устойчивости. Кроме того, идентификация в разомкнутом контуре позволяет выбрать оптимальные тестовые воздействия, чего нельзя сделать в замкнутом контуре, где спектральная функция входного воздействия на объект управления формируется динамикой контура, независимо от требований экспериментатора. Идентификация в разомкнутом контуре наиболее широко представлена в коммерческих ПИД-регуляторах.
Прямая пассивная идентификация в замкнутом контуре
Задача прямой идентификации в замкнутом контуре состоит в нахождении параметров объекта управления на основании информации, полученной путем измерения реакции системы с обратной связью на воздействия . Пассивная идентификация обладает весьма заманчивым свойством - она не вносит возмущений в нормальный ход технологического процесса, следовательно, совершенно безопасна и не ухудшает качество технологического процесса.
Принципиальная возможность пассивной идентификации является предметом споров. В частности, в работе приводятся убедительные аргументы о невозможности пассивной идентификации, однако число патентов на ПИД регуляторы с пассивной идентификацией непрерывно растет нарастающими темпами.
Не вызывает сомнений только то, что достоверность пассивной идентификации существенно ниже, чем активной. Рассмотрим причины этого.
Первая причина состоит в том, что функция спектральной плотности мощности внешних возмущений в реальных объектах быстро спадает с ростом частоты (аналогично шуму в электронных приборах). Поэтому в наиболее важном участке спектра, включающем частоту , мощность внешних возмущений оказывается слишком малой, т.е. с точки зрения изложенных в разделе "Выбор тестовых сигналов" требований к тестовым воздействиям внешние возмущения являются наиболее плохим воздействием, их мощности недостаточно для получения отклика, различимого на фоне шумов в окрестности частоты .
Вторая причина касается выбора измеряемых сигналов. Предположим, что и на систему действует внешнее возмущение , а , т.е. измерения выполняются точно. Тогда в силу линейности системы результат идентификации не изменится, если . Подставив в (3.27) и , получим:
, (3.12)
Поскольку целью идентификации является нахождение передаточной функции объекта , то, подставив сюда полученные выше значения и , получим:
, (3.13)
Таким образом, передаточную функцию объекта невозможно получить, измеряя и при внешних воздействиях . Причина состоит в том, что мы не можем измерить воздействие на объект , а измеряемая в эксперименте величина получается после прохождения сигнала через регулятор . Поэтому описанным экспериментом можно идентифицировать только регулятор, но не объект.
Однако пассивная идентификация становится возможной, если в качестве тестового сигнала использовать сигнал уставки в период его изменения по алгоритму функционирования системы управления. Например, для электрического паяльника такой сигнал появляется в момент изменения уставки температуры жала паяльника. В конвекционной печи для монтажа радиоэлементов такой сигнал появляется при алгоритмическом переключении температурного режима печи. В обоих случаях для идентификации используются уже имеющиеся в системе сигналы, при этом нормальный ход технологического процесса не нарушается. Поэтому такая идентификация является пассивной.
Итак, выберем в качестве тестового (идентифицирующего) воздействия. Тогда, предполагая, что измерения выполняются точно (), а уровень тестового воздействия высок по сравнению с внешними возмущениями (), из (3.27) получим
т.е. прямая пассивная идентификация объекта по сигналам на его входе и выходе позволяет найти передаточную функцию объекта, если в качестве тестового воздействия используется изменение сигнала уставки .
Косвенная идентификация в замкнутом контуре
Для косвенной идентификации тестовое воздействие подают на вход системы и измеряют реакцию на него . Передаточную функцию объекта можно найти из первого уравнения в (3.27):
Шумы измерений и внешние возмущения в уравнении (3.15) часто полагают равными нулю, или учитывают как погрешность идентификации. Полученная передаточная функция используется далее для идентификации параметров выбранной модели.
Как видим, для косвенной идентификации необходимо знать передаточную функцию регулятора . Поэтому косвенная идентификация не осуществима на этапе, когда регулятор еще не синтезирован.
Косвенная идентификация обычно мало эффективна и она требует выполнения условий идентифицируемости в замкнутом контуре, которые выполняются не всегда.
Прямая активная идентификация в замкнутом контуре
Прямая активная идентификация выполняется точно так, как прямая пассивная с сигналом , однако сигнал задается искусственно. Его величина и длительность выбираются из значений, допустимых для нормального хода технологического процесса.
4. Модификация ПИД-регуляторов
Постоянно растущие требования рынка к снижению времени регулирования, к качеству переходного процесса, к степени ослаблению влияния внешних возмущений и шумов, к упрощению процедуры настройки и необходимость управления объектами с большой транспортной задержкой инициировали появление множества модификаций ПИД-регуляторов.
4.1 Регулятор с весовыми коэффициентами при уставке
В классическом ПИД-регуляторе сигнал ошибки равен разности между задающим воздействием и выходной переменной объекта : . Однако качество регулирования можно улучшить, если ошибку вычислять отдельно для пропорциональной, дифференциальной и интегральной составляющей (рисунок 4.1):
, , ,
где - ошибка для пропорциональной, дифференциальной и интегральной составляющей; - настроечные весовые коэффициенты.
Рисунок 4.1 ПИД-регулятор с весовыми коэффициентами b и c при уставке. Уравнение такого регулятора аналогично
Отметим, что весовой коэффициент при интегральной составляющей отсутствует, что необходимо для обеспечения нулевой ошибки в установившемся режиме.
Пользуясь выражениями (4.1), (4.2), а также рисунок 4.1 и переходя к изображениям по Лапласу, уравнение регулятора можно записать в виде
=
Можно заметить, что второе слагаемое здесь содержит передаточную функцию классического ПИД-регулятора (4.39). Поэтому регулятор, представленный на рисунок 4.1, можно заменить эквивалентным ему регулятором, показанным на рисунке 4.2, если блок останется классическим регулятором (4.40), а блок будет иметь передаточную функцию вида
Рисунок 4.2 Выделение блока в структуре ПИД-регулятора
Рисунок 4.3 Реакция замкнутой системы (рисунок 4.2) с регулятором на скачок при , , для объекта вида (4.5) при ,
Структура полученного регулятора имеет замечательное свойство: блок не входит в контур регулирования. Это означает, что робастность, качество регулирования, реакция на шумы и внешние возмущения по-прежнему будут определяться только параметрами , т.е. параметры блоков ( и ) настраиваются независимо от параметров .
Параметры и определяют вид АЧХ блока и позволяют улучшить качество реакции регулятора на изменение уставки . На рисунке 4.3 показана реакция замкнутой системы с описанным регулятором при разных значениях весовых коэффициентов и . Как видно из рисунка, изменение параметров и не влияет на отклик системы на шумы и внешние возмущения .
Коэффициент часто выбирают равным нулю, чтобы избежать дифференцирования случайных резких выбросов в управляющем сигнале , если они возможны.
Описанный регулятор при и иногда называют И-ПД регуля-тором, а при и - ПИ-Д регулятором.
4.2 Принцип разомкнутого управления
Регулятор можно построить и без использования обратной связи. Если известны действующие на систему возмущения и желаемая реакция на изменение управляющего воздействия, то в некоторых случаях можно найти такую передаточную функцию регулятора, при которой получается желаемая реакция системы. Достоинством такого подхода является высокая скорость реагирования системы на внешние возмущения, поскольку для выработки управляющего воздействия не нужно ждать, пока управляющий сигнал пройдет через объект и возвратится в регулятор по цепи обратной связи. Кроме того, система с разомкнутым управлением в принципе не может быть неустойчивой, поскольку в ней отсутствует обратная связь.
Недостатком является принципиальная невозможность получения высокой точности при неизвестных возмущениях и низкой точности модели объекта, невозможность полной компенсации возмущений для объектов с транспортной задержкой и проблема физической реализуемости обратных операторов.
В зарубежной литературе системы с разомкнутым управлением называют системами с "прямой связью". Термин "прямая связь" выбран для того, чтобы подчеркнуть отличие этого метода от метода обратной связи. Ниже оба термина будут использованы как синонимы.
Достоинства разомкнутого и замкнутого управления можно объединить в одном регуляторе. Наилучшие характеристики системы получаются, если ее проектировать по принципу разомкнутого управления, а обратную связь использовать только для дальнейшей минимизации погрешности.
В предыдущем параграфе был рассмотрен частный случай прямой связи, которая реализована с помощью блока (рисунок 4.2). Основной принцип применения разомкнутого управления в ПИД-регуляторах состоит в следующем. Задача проектирования делится на две части. Первая часть - обеспечение робастности и ослабления влияния шумов и внешних возмущений - решается с помощью параметров . Вторая часть - обеспечение заданной реакции на управляющее воздействие - решается с помощью параметров регулятора с прямой связью. Регуляторы, обеспечивающие возможность независимого решения этих двух задач называют "регуляторами с двумя степенями свободы" и на их условном изображении присутствуют два входа (рисунок 4.4).
Структура ПИД-регулятора, использующего принцип разомкнутого управления, показана на рисунке 4.5. Здесь регулятор спроектирован как в системе с классическим ПИД-регулятором, а передаточные функции блоков и выбираются так, чтобы улучшить реакцию системы на входное воздействие .
Рисунок 4.4 Регулятор, комбинирующий принцип разомкнутого управления и принцип обратной связи
Рисунок 4.5 Регулятор с двумя степенями свободы - обобщение классического ПИД-регулятора
Принцип действия системы состоит в следующем. Изменение сигнала поступает на вход объекта управления через блок , минуя цепь обратной связи. Передаточная функция блока выбирается таким образом, чтобы выходной сигнал системы в точности соответствовал входному сигналу, , т.е. чтобы сигнал ошибки был равен нулю. Поскольку в реальной системе при воздействии внешних возмущений или изменении уставки , то вступает в действие обычный ПИД-регулятор , который с помощью обратной связи пытается свести появившуюся ошибку к нулю.
Непосредственно по рисунку 4.5 можно записать передаточную функцию системы от входа к ее выходу (для начала положим ):
, (4.5)
=.
Отсюда передаточную функцию замкнутой системы можно записать в виде
Здесь первый член выбирают, как следует из описанного выше принципа действия системы, так, чтобы в идеальных условиях и , т.е. желаемой передаточной функцией системы является . Поэтому второй член в (4.9) необходимо сделать равным нулю. Этого можно достичь двумя способами. Первый из них состоит в том, чтобы сделать бесконечно большим петлевое усиление . Чаще используют второй путь, который состоит в выборе такой передаточной функции , чтобы выполнялось соотношение , т.е.
Таким образом, в отличие от регулятора с обратной связью, у которого точность обеспечивается благодаря делению сигнала ошибки на большое число (усиление интегратора), в регуляторах с прямой связью точность обеспечивается путем компенсации ошибки, т.е. с помощью операции вычитания.
Поскольку в системе, показанной на рисунке 4.5, ошибка на низких частотах и в установившемся режиме равна нулю благодаря интегральному члену в ПИД-регуляторе , высокую точность компенсации ошибки с помощью прямой связи достаточно обеспечить только на высоких частотах. Это облегчает задачу синтеза передаточной функции .
Нахождение обратной динамики объекта
Как следует из (4.11), для нахождения передаточной функции необходимо найти обратный оператор . Благодаря алгебраической форме изображений операторов по Лапласу, формально сделать это достаточно просто. Например, для объекта с передаточной функцией (4.5) обратный оператор будет равен
Однако такие операции наталкиваются на проблему физической реализуемости. Выражение (4.12) содержит член , который является обратным по отношению к идеальной задержке, т.е. является изображением операции идеального предсказания. Кроме того, для реализации (4.12) необходима операция идеального дифференцирования, реализация которой также достаточно проблематична.
Рассмотрим другой пример. Пусть передаточная функция объекта описывается выражением . Обратный оператор имеет вид . Однако полюс передаточной функции лежит в правой полуплоскости, что свидетельствует о неустойчивости системы, описываемой обратным оператором.
Следующей проблемой является компенсация полюсов передаточной функции нулями, появившимися после обращения оператора в (4.11). Как будет показано ниже, такая компенсация может привести к резкому различию времени реакции системы на изменение уставки и на внешние возмущения.
Для решения перечисленных проблем нужно наложить ограничения на вид передаточной функции . При этом соотношения и уже не будут выполняться точно, однако появляется возможность физической реализации обратного оператора .
Во-первых, необходимо потребовать, чтобы транспортная задержка блока была не менее транспортной задержки объекта . Это исключает необходимость предсказания.
Во-вторых, если имеет полюса в правой полуплоскости, то они должны совпадать с полюсами . Это обеспечивает устойчивость обратного оператора.
В-третьих, чтобы исключить необходимость дифференцирования, порядок знаменателя должен быть не ниже порядка знаменателя .
Таким образом, задача синтеза регулятора с прямой связью является задачей аппроксимации нереализуемой передаточной функцией искусственно выбранной реализуемой функцией по критерию минимума погрешности.
Синтез обратного оператора удобно начинать с очевидного требования, что в установившемся режиме должно выполняться соотношение
где символом , мы обозначили оператор, который приближенно соответствует оператору .
Желательно, чтобы передаточная функция обратного оператора была малой на тех частотах, на которых она имеет максимальную чувствительность к изменению параметров.
Используя перечисленные требования, обратный оператор (4.6) можно аппроксимировать выражением
Эта передаточная функция удовлетворяет изложенным выше требованиям. Параметр здесь определяет степень ослабления шумов дифференцирования на частотах выше .
Регулятор с передаточной функцией объекта
В очень простом частном случае, для систем с монотонным откликом на ступенчатое воздействие, вид передаточной функции можно выбрать совпадающим с нормированной передаточной функцией объекта:
где . Тогда, в соответствии с (4.15)
Недостатком такого подхода является медленная реакция замкнутой системы на изменение задающего воздействия. Достоинством является отсутствие каких-либо расчетов и настроек для гарантированного получения отклика без перерегулирования (рисунок). Следует, однако, помнить, что отклик замкнутой системы на задающее воздействие никак не связан с откликом на внешние возмущения и шум, поэтому настройка регулятора должна быть выполнена обычными методами.
Рисунок 4.6 Реакция замкнутой системы с ПИД-регулятором с прямой связью (4.14), (4.15) на скачок при , K=6, для объекта вида (4.3) при , ; обозначения соответствуют рисунку 4.5
Рисунок 4.7 Реакция замкнутой системы с ПИД-регулятором с прямоугольным импульсом перед сигналом уставки при , , для объекта вида (4.3) при ,
Импульсное управление без обратной связи
Еще одна модификация принципа разомкнутого управления состоит в том, что перед тем, как подать сигнал уставки, подают прямоугольный импульс большой амплитуды (рисунок 4.8). Поскольку скорость нарастания реакции на прямоугольный импульс пропорциональна его амплитуде, длительность переходного процесса можно существенно уменьшить по сравнению со случаем, когда сигнал уставки подается в форме одиночного скачка (рисунок 4.8).
Реакция на прямоугольный импульс состоит из фазы нарастания сигнала и фазы спада. Амплитуду импульса выбирают максимально возможной. Обычно она ограничивается мощностью исполнительных устройств системы. Длительность импульса выбирают такой, чтобы максимум реакции на импульс был равен значению уставки (единице при уставке в форме единичного скачка). Задержку подачи сигнала уставки выбирают так, чтобы она совпала с моментом появления максимума отклика на прямоугольный импульс.
В данном методе время выхода системы на режим может быть сделано как угодно малым, если использовать импульс достаточно большой амплитуды. В общем случае перед подачей сигнала уставки можно подавать несколько импульсов разной амплитуды и длительности. Параметры импульсов и задержку выбирают, решая численными методами задачу оптимизации, минимизируя погрешность отклонения отклика системы от требуемой формы. Для линейных систем полученные при оптимизации параметры остаются без изменений для любых значений уставки, если амплитуду прямоугольного импульса изменять пропорционально значению уставки.
Компенсация внешних возмущений с помощью прямой связи
Если внешние возмущения, воздействующие на объект управления, можно измерять до того, как они пройдут на выход системы , то их влияние можно существенно ослабить с помощью прямой связи. Прямая связь, в отличие от обратной, позволяет скомпенсировать погрешность быстрее, чем обратная связь обнаружит ошибку как разность между управляемой величиной и управляющим воздействием.
Рисунок 4.8 Принцип компенсации возмущающих воздействий с помощью прямой связи
Ранее мы предполагали, что внешние возмущения приложены к входу системы. Такое допущение было справедливо при качественном анализе степени подавления возмущений с помощью обратной связи. Однако для компенсации возмущений необходимо идентифицировать передаточную функцию от точки приложения возмущений к выходу системы . При этом объект управления приобретает второй вход - вход возмущений и описывается функцией с двумя аргументами, и :.
Одним из вариантов компенсации члена является использование принципа прямой связи (разомкнутого управления), как показано на рисунке 4.9. Здесь - передаточная функция регулятора с прямой связью.
Уравнение полученной системы можно записать непосредственно по рисунку 4.9 с учетом (4.16):
Отсюда следует, что уменьшить влияние внешних возмущений можно двумя способами: увеличивая петлевое усиление контура с обратной связью или выбрав , т.е.
Обращение динамического оператора здесь сопряжено с проблемами, описанными в разделе "Нахождение обратной динамики объекта". В ряде практических случаев бывает достаточно считать, что оператор статический, что существенно упрощает его нахождение. Статические операторы используют, в частности, при компенсации влияния скорости ветра или температуры наружного воздуха для стабилизации температуры в промышленных теплицах.
В частном случае, когда точка приложения возмущения совпадает с входом объекта, (4.16) упрощается до и из (4.19) получим
Метод прямой связи позволяет скомпенсировать возмущение до того, как оно пройдет через объект. Это существенно увеличивает общее быстродействие системы и исключает ее потенциальную неустойчивость.
Примером применения описанного метода является компенсации влияния погодных условий на промышленную теплицу. Для компенсации влияния температуры наружного воздуха, скорости ветра, осадков необходимо установить снаружи теплицы соответствующие датчики и выполнить идентификацию передаточной функции от каждого датчика до точки измерения температуры внутри теплицы, затем найти обратный оператор (4.19) и включить его в структуру регулятора.
Правильно настроенный контроллер с прямой и обратной связью позволяет ослабить влияние нагрузки на управляемую переменную до 10 раз.
Недостатком метода является невозможность достаточно точной идентификации возмущения и точки его приложения к объекту, поскольку они распределены в пространстве, а также проблемы, связанные с нахождением обратного оператора.
5. Особенности реальных регуляторов
Описанный выше ПИД-регулятор и его модификации являются теоретическими идеализациями реальных регуляторов, поэтому для их практического воплощения необходимо учесть особенности, порождаемые реальными условиями применения и технической реализации. К таким особенностям относятся:
- конечный динамический диапазон изменений физических переменных в системе (например, ограниченная мощность нагревателя, ограниченная пропускная способность клапана);
- отсутствие (как правило) в системе поддержания температуры холодильника (управляющее воздействие соответствует включению холодильника, а не выключению нагревателя);
- ограниченная точность измерений, что требует специальных мер для выполнения операций дифференцирования с приемлемой погрешностью;
- наличие практически во всех системах типовых нелинейностей: насыщение (ограничение динамического диапазона изменения переменных), ограничение скорости нарастания, гистерезис и люфт;
- технологический разброс и случайные вариации параметров регулятора и объекта;
- дискретная реализация регулятора;
- необходимость плавного (безударного) переключение режимов регулирования.
Ниже описываются методы решения перечисленных проблем.
5.1 Погрешность дифференцирования и шум
Проблема численного дифференцирования является достаточно старой и общей как в цифровых, так и в аналоговых регуляторах. Суть ее заключается в том, что производная вычисляется обычно как разность двух близких по величине значений функции, поэтому относительная погрешность производной всегда оказывается больше, чем относительная погрешность численного представления дифференцируемой функции.
регулятор имитирование пакет модель
Рисунок 5.1 Структурная реализация дифференциального члена ПИД-регулятора
В частности, если на вход дифференциатора поступает синусоидальный сигнал , то на выходе получим , т.е. с ростом частоты увеличивается амплитуда сигнала на выходе дифференциатора. Иначе говоря, дифференциатор усиливает высокочастотные помехи, короткие выбросы и шум.
Если помехи, усиленные дифференциатором, лежат за границей рабочих частот ПИД-регулятора, то их можно ослабить с помощью фильтра верхних частот. Структурная реализация дифференциатора с фильтром показана на рисунке 5.17. Здесь
,
т.е. передаточная функция полученного дифференциатора может быть представлена в виде произведения передаточной функции идеального дифференциатора на передаточную функцию фильтра первого порядка: , где коэффициент задает граничную частоту фильтра и обычно выбирается равным 2...20.
Большее ослабление высокочастотных шумов можно получить с помощью отдельного фильтра, который включается последовательно с ПИД-регулятором. Обычно используют фильтр второго порядка с передаточной функцией .
Постоянную времени фильтра обычно выбирают равной , где =2...20. Граничную частоту фильтра желательно не выбирать ниже частоты , т.к. это усложняет расчет параметров регулятора и запаса устойчивости.
Кроме шумов дифференцирования на характеристики ПИД-регулятора влияют шумы измерений. Через цепь обратной связи эти шумы поступают на вход системы и затем проявляются как дисперсия управляющей переменной . Высокочастотные шумы вредны тем, что вызывают ускоренный износ трубопроводной арматуры и электродвигателей.
Поскольку объект управления обычно является низкочастотным фильтром, шумы измерений редко проникают по контуру регулирования на выход системы. Однако они увеличивают погрешность измерений и снижают точность регулирования.
В ПИД регуляторах различают шум с низкочастотным спектром, вызванный внешними воздействиями на объект управления, и высокочастотный шум, связанный с электромагнитными наводками, помехами по шинам питания и земли, с дискретизацией измеряемого сигнала и другими причинами. Низкочастотный шум моделируют как внешние возмущения (), высокочастотный - как шумы измерений ().
5.2 Интегральное насыщение
Рисунок 5.2 Реакция выходной переменной на скачок входного воздействия для ПИ-регулятора при условии ограничения мощности на входе объекта и без ограничения. Объект - второго порядка, , , . Параметры регулятора: , ,
Подобные документы
Исследование полных динамических характеристик систем Simulink. Параметрическая идентификация в классе APCC-моделей. Идентификация характеристик пьезокерамических датчиков с использованием обратного эффекта. Синтез систем автоматического управления.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 14.06.2019Исследование линейных динамических моделей в программном пакете Matlab и ознакомление с временными и частотными характеристиками систем автоматического управления. Поиск полюса и нуля передаточной функции с использованием команд pole, zero в Matlab.
лабораторная работа [53,1 K], добавлен 11.03.2012Сравнительный анализ Matlab и Mathcad при моделировании динамических систем. Подсистема Simulink пакета MATLAB. Расчёт базовой модели и проведения исследований. Описание математической модели. Векторные и матричные операторы. Нижние и верхние индексы.
курсовая работа [338,5 K], добавлен 06.02.2014Характеристика системы управления двигателем постоянного тока. Моделирование системы управления в среде Matlab 6.1. Подбор параметров регуляторов структурной схемы в соответствии с предъявляемыми требованиями. Исследование электрической схемы системы.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 29.11.2010Определение граничных значений параметров, принципов организации из математического пакета программ MatLab. Реализация принципов управляемости и наблюдаемости. Основные методы параметрического оценивания. Реализация принципов идентификации и адекватности.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 24.06.2013Анализ возможностей пакета MATLAB и его расширений. Язык программирования системы. Исследование выпрямительного устройства. Моделирование трёхфазного трансформатора. Схема принципиальная регулируемого конвертора. Возможности гибкой цифровой модели.
презентация [5,1 M], добавлен 22.10.2013Проектирование экспертной системы выбора нейронной сети. Сущность семантических сетей и фреймов. MatLab и системы Фаззи-регулирования. Реализация программы с использованием пакета fuzzy logic toolbox системы MatLab 7. Составление продукционных правил.
курсовая работа [904,4 K], добавлен 17.03.2016Проведение аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем с распределенными параметрами. Синтез распределенного регулятора для системы управления температурным полем многослойной пластинки. Анализ работы замкнутой системы управления.
курсовая работа [461,2 K], добавлен 20.12.2014Математическое моделирование. Изучение приёмов численного и символьного интегрирования на базе математического пакета прикладных программ, а также реализация математической модели, основанной на методе интегрирования. Интегрирование функций MATLAB.
курсовая работа [889,3 K], добавлен 27.09.2008Моделирование линейной системы, соответствующей элементам матричной весовой и переходной функций средствами пакета Matlab, их сравнение с аналитически полученными зависимостями. Расчет весовых и переходных функций. Анализ частотных характеристик.
лабораторная работа [390,0 K], добавлен 06.07.2009
