Анализ цепи во временной области различными методами

ЧАСТЬ 1 АНАЛИЗ ЦЕПИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Дано:

Для схемы:

U ₀ (t) = U ₀ = const

U ₀ = 5 В

i ₀ (t) = I _{0 d 1} (t)

I ₀ = 2 A

1 Составить уравнения состояния для цепи при t і 0.

Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С ₁ и С ₄ . Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа.

Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:

(2)

Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad.

1.2 Найти точные решения уравнений состояния

Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:

Общий вид точных решений уравнений состояния: Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:

Начальные условия (находятся из схемы). Для нахождения постоянных интегрирования A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации

При t = 0. Далее найдем значения производных переменных состояния при t = 0 из уравнений состояния:

Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:

При t = 0. Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:

Точные решения уравнений состояния:

1.2.1 Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:

Подставляя выражения производных из уравнений состояния:

h - шаг расчета = 2 * 10 ^-6 с. I = 1…100.

Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий

1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния (второй способ)

e ^(A)t = a ₀ + a ₁ (A) e ^(A)t =

(X) = [e ^(A)t -1][A] ^-1 [B][V]

1.3 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния

ЧАСТЬ 2 АНАЛИЗ ЦЕПИ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ ПРИ АПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Анализу подлежит следующая цепь:

Параметры импульса:

U _m = 10 В

t _u = 6 * 10 ^-5 c

Форма импульса:

2.1 Определить функцию передачи

Воспользуемся методом пропорциональных величин и определим

u(t) = 1(t),

его Лапласово изображение

U 0 (s) = 1/s

Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:

Решаем эту систему:

Таким образом:

Функция передачи:

2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты

Полюсы:

Нули:

Плоскость комплексной частоты:

2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения

Импульсная характеристика. Выделим постоянную часть в H _U (s):

Числитель получившейся дроби:

Упрощенное выражение H _U (s):

Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:

Коэффициенты разложения:

Оригинал импульсной характеристики:

Переходная характеристика. Этим же методом находим оригинал характеристики:

2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса

Изабражение по Лапласу фукции f(t):

Входной импульс представляет собой функцию. Поэтому изображение входного сигнала будет

2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя H _U (s)

Изображение выходного сигнала. Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя:

Для части выражения при ,используя теорему о разложении:

Для части выражения не имеющей множителя , используя теорему о разложении:

Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:

2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом - входной и выходной сигналы

Переходная h ₁ (t) и импульсная h(t) характеристики. Входной и выходной сигналы

ЧАСТЬ 3 АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ АПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи H _U (s)

Амплитудно-фазовая характеристика:

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

График АЧХ:

График ФЧХ:

3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707

Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи:

с ^-1

3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1

Амплитудный спектр входного сигнала:

Фазовый спектр входного сигнала:

График амплитудного и фазового спектра входного сигнала:

Ширина спектра с ^-1

3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи

Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*10 ⁴ с ^-1 , где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис

3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала

Получаются по формулам:

3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина

Вещественная характеристика:

Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции

График вещественной характеристики:

Тогда:

График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2

ЧАСТЬ 4 АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Дано: T=18*10 ^-5 c. U _m =10 В. t _u =6*10 ^-5 c. Форма сигнала u ₀ (t):

4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры

Коэффициенты ряда Фурье для u ₀ (t) найдём из следующего соотношения:

где w ₁ = 2 p /Т , k = 0, 1, 2, ... w _{1 =} 3.491*10 ⁴ с.

Значения A _k и a _k приведены в табл. ,на рис. , построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u ₀ (t).

Таким образом, в соответствии с шириной спектра

4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3

4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье

Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений k w ₁ , k = 0, 1, 2, ..., 8. Тогда

В итоге получим: