О влиянии единичных принуждений на изменяемость и структуру кинематических цепей

О влиянии единичных принуждений на изменяемость и структуру кинематических цепей

Д.П. Дрягин, канд. техн. наук, доц.

Сумский государственный университет

В статье доказана теорема о существовании тождественного равенства для консервативной кинематической цепи двух множеств: степеней подвижности и единичных принуждений управления движением. Теорема косвенно подтверждает всеобщность принципа возможных перемещений. Приведены примеры синтеза схем новых механизмов на основе доказанной теоремы.

С точки зрения логики физики [1] единичное принуждение есть ничто иное как наложение голономной точечной связи на одно из звеньев кинематической цепи.

В этом смысле единичное принуждение равносильно (эквивалентно) приложению единичной силы, используемой для анализа напряженно-деформированного состояния балок, ферм и рам. Следует отметить, что обычно приложение единичной силы [2] не увязывается с наложением дополнительной связи (принуждения), влияющей на степень связности механической системы в целом и на степень статической неопределимости в частности.

В предлагаемой читателю статье впервые определяется влияние множества единичных принуждений Z на степень изменяемости (подвижности) кинематической цепи, одно из звеньев Звенья - неизменяемые тела которой неподвижно, а кинематические пары в этой цепи могут быть как постоянными, так и переменными [3].

Кинематическая цепь консервативна, если в ней не существует ни одной пары со свободным элементом [4]. В противном случае цепь неконсервативна.

Введение в консервативную кинематическую цепь единичного принуждения превращает её в неконсервативную, а само единичное принуждение, реализуемое с помощью пары 5т [4], функционально является аналогом единичной силы, инициирующей движение в кинематической цепи, поэтому такое принуждение будем называть единичным принуждением управления движением.

Решение поставленной задачи выполним с применением множественно-топологического подхода [5]. Сформулируем теорему.

Теорема

Степень подвижности (изменяемости) консервативной кинематической цепи произвольного вида относительно неизменяемой основы-стойки тождественно равна множеству единичных принуждений управления движением.

Доказательство

Пусть П - совокупное множество консервативных и неконсервативных принуждений (голономных связей) кинематической цепи.

В этом случае рассматриваемое множество определится так:

П = С + Z , (1)

где С- консервативная связность кинематической цепи;

Z- множество единичных принуждений управления движением.

Пусть С- совокупное множество абсолютных свобод подвижных звеньев кинематической цепи:

С = 6n , (2)

где n - множество подвижных звеньев.

В соответствии с законом контурозвенности [5] множество n будет равно:

n = n_I + n_II , (3)

где n_I - множество моноконтуров;

n_II - множество диконтуров Напомним, что моноконтур ^_ это контур^_звено, содержащий одну кинематическую пару, а диконтур^_содержащий две кинематические пары..

Положительная разность П ^_ C определяет степень статической неопределимости или иначе степень избыточной связности рассматриваемой цепи.

С учетом (1),(2) и (3) выражение для определения избыточной связности кинематической цепи запишем так:

q = П ^_ С = C + Z ^_ 6(n_I + n_II). (4)

В работе [6] определено, что избыточная связность отдельно взятого диконтура равна

q = S_O, (5)

где S_O - общая связность замкнутого контура кинематической цепи, измеряемая целыми числами ряда S_O = 0,1,2,3,4,5.

Для однородной (односемейственной) цепи общая связность при известных q и n_II определится так:

, (6)

а подвижность цепи будет равна [6]

W = H - (6-S_O)n_II . (7)

В формуле (7) H - множество свобод кинематических пар консервативной цепи.

Известно [6], что любая кинематическая цепь может быть приведена к цепи с одноподвижными парами, но в этом случае

H = n_I + 2n_II , (8)

C = 5n_I + 10n_II. (9)

С учетом (4), (6), (8) и (9) формула (7) преобразуется к новому виду и после сокращений получается

W Z. (10)

Таким образом, для однородных цепей теорема доказана.

При анализе неоднородных цепей, т.е. неодносемейственных и содержащих автодиконтуры Автодиконтуры - внегрупповые, автономные диконтуры, по формуле (6) будет определяться не степень общей связности, а средняя избыточная связность, приходящаяся на один диконтур:

, (11)

но в этом случае в формуле (7) параметр S_O будет заменен на параметр q_IIср, который измеряется в общем случае действительным положительным числом. Пределы изменений q_IIcр следующие: 0 q_IIср .

После замены параметра So на параметр q_IIср и выполнения соответствующих подстановок в (7) вновь получается тождество (10).

Таким образом, полученное тождество (10) справедливо как для однородных, так и неоднородных кинематических цепей.

Итак, теорема доказана для условий существования кинематических цепей (механических систем) произвольного вида, т.е. этой теоремой косвенно подтверждается всеобщность принципа возможных перемещений.

Полученный результат позволяет заниматься синтезом однородных и неоднородных кинематических цепей механизмов при условии варьирования параметра Z в практически целесообразных пределах, при этом возможно получение новых схем механизмов.

Рассмотрим пример.

Рисунок 1 - Схема шарнирного четырехзвенника

На рис.1 изображен шарнирный четырехзвенник с тремя учитываемыми в расчетах звеньями 1,2,3 и четырьмя кинематическими парами 1в, оси которых перпендикулярны плоскости чертежа.

Моноконтурно-диконтурное деление определится так [5]:

n_I = 2n - p₁ = 2^. 3 - 4 = 2,

n_II = p₁ - n = 4 - 3 = 1.

Избыточная связность будет равна

q = C + Z - 6(n_I + n_II) = 5 ^. 4 + Z - 6( 2 + 1 ) = Z + 2.

Придадим единичным принуждениям Z следующие значения:

Z = 0 , 1 , 2 , 3 .

Соответствующие им значения избыточной и общей связностей таковы:

Четырем выбранным значениям Z будут соответствовать четыре различные структурные схемы.

Рассмотрим более подробно эти схемы.

А) Z=0, q=So=2;

W= H-(6-So) ^. n_II = 4-(6-2) ^. 1 = 0.

Совершенно очевидно, что получилась группа - триада [6].

Схема триады показана на рис. 2.

Рисунок 2- Триада

В этой схеме оси кинематических пар А(1в), В(1в) и С(1в) параллельны друг другу, а ось пары D(1в) перпендикулярна к указанным осям.

Б) Z = 1, q = So =3.

W = H-(6-So) ^. n_II = 4 -(6 - 3) ^. 1 = 1.

Получили одноподвижный одноконтурный плоский механизм шарнирного четырехзвенника с тремя общими условиями связей (ОУС) So = 3, (рис.3).

Рисунок 3 - Одноподвижный механизм плоского шарнирного четырехзвенника с тремя ОУС

В) Z = 2, q = So = 4.

W = H-(6-So) ^. n_II = 4 - (6 - 4) ^. 1 = 2.

Получили двухподвижный клиновой механизм с четырьмя ОУС (So = 4), рис.4.

Рисунок 4 - Двухподвижный клиновой механизм с четырьмя значениями ОУС

Г) Z = 3, q = So = 5.

W = H-(6-So) ^. n_II = 4 - (6 - 5) ^. 1 = 3.

Получили трехподвижный осевой механизм с пятью ОУС (So=5).

Возможные три схемы такого механизма изображены на рис. 5.

Рисунок 5 - Трехподвижный осевой механизм с пятью ОУС. Варианты а, б, в

Особенностью осевого механизма с тремя винтовыми кинематическими парами (рис.5в) является то, что возможен выбор трех различных значений шагов резьбы для этих пар, при этом условие W = Z = 3 сохраняется.

Выводы

Доказана теорема о существовании тождественного равенства множества степеней изменяемость (подвижности) консервативной кинематической цепи произвольной структуры множеству единичных принуждений управления движением с помощью точечных пар 5т, которые функционально эквивалентны единичным силам.

Доказанная торема косвенно подтверждает всеобщность принципа возможных перемещений.

Полученный теоретический результат позволяет заниматься синтезом новых схем механизмов, всегда подчиняющихся тождеству W Z.

Summary

The article deals with proving the theorem of identity equation for a two set conservative kinematic chain, namely degrees of mobility and displacement control single coercions. The theorem indirectly testifies to the universality of the principle of possible displacements. There are cited examples of new mechanisms circuit synthesis based on the proven theorem.

Список литературы

1. J. Hoene. Philosophie critique decouverte par Kant, fonde sur le dernier principe de savoir. - Marseille, 1803.

2. Писаренко Г.С., Яковлев П.А., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наукова думка, 1988.- 735 с.

3. Дрягин Д.П. Исследование структурных свойств механизма с переменной кинематической парой // Вісник Сумського державного університету. - 2003. - №3(49). - С. 183-187.

4. Дрягин Д.П. Принуждение и свобода кинематических цепей // Известия вузов. Машиностроение, 2001. - №6. - С. 49-53.

5. Дрягин Д.П. Обобщенный закон строения кинематических цепей // Вісник Сумського державного університету. - 2004. - №13. - С. 113-116.

6. Дрягин Д.П. Аналитические основы оптимизации структуры механизмов // Вісник Сумського державного університету. - 2000. - №19. - С. 89-93.