Сумский государственный университет

Фазовая кинетика внутреннего трения ультратонкой пленки смазки

А.В. Хоменко, доц.,

Я.А. Ляшенко, асп.

В рамках дробной модели Лоренца исследуется плавление ультратонкой пленки смазки в процессе трения между атомарно плоскими поверхностями. Введены аддитивные шумы сдвиговых напряжений и деформации, а также температуры пленки, и построена фазовая диаграмма, где интенсивность шума этой температуры и температура поверхностей трения определяют области жидкостного, сухого и прерывистого трения. Показано, что величина интенсивности флуктуаций напряжений не влияет на вид фазовой диаграммы. Исследованы фазовые портреты, описывающие кинетику указанных режимов трения. Для представления фазового перехода первого рода, который отвечает плавлению кристаллической смазки, проведен учет деформационного дефекта модуля сдвига. В этом случае фазовая диаграмма качественно совпадает с полученной для непрерывного превращения, соответствующего плавлению аморфной смазки.

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1,2] на основе реологического описания вязкоупругой среды, обладающей теплопроводностью, была получена система кинетических уравнений, которые определяют взаимно согласованное поведение сдвиговых напряжений и деформации , а также температуры в ультратонкой пленке смазки в процессе трения между атомарно плоскими слюдяными поверхностями. Запишем эти уравнения, используя единицы измерения:

, , (1)

для переменных соответственно, где -- плотность масла; -- удельная теплоемкость; -- характерная температура;

-- характерное значение сдвиговой вязкости ;

время теплопроводности;

-- длина теплопроводности;

-- коэффициент теплопроводности;

-- время релаксации деформации,

:

, (2)

, (3)

. (4)

Здесь введены время релаксации напряжений , температура атомарно плоских слюдяных поверхностей трения и постоянная

,

где -- модуль сдвига смазки. Уравнение (2) сводится к соотношению типа Максвелла для описания вязкоупругой среды, которое широко используется в теории граничного трения [3], путем замены на . Выражение (3) имеет вид соответствующего уравнения Кельвина-Фойгта [1,4], где учтена зависимость сдвиговой вязкости от безразмерной температуры

Уравнение (4) представляет собой выражение для теплопроводности, которое описывает передачу тепла от поверхностей трения к пленке смазки, эффект диссипативного разогрева вязкой жидкости, текущей под действием напряжений, и обратимый механокалорический эффект в линейном приближении. Для описания самоподобного режима трения во всех уравнениях сдвиговое напряжение заменено выражением со степенью [2,5]. Кроме того, с целью учета флуктуаций, которые на расстояниях порядка длины теплопроводности проявляются всегда, в правые части (2) - (4) введены стохастические слагаемые в виде аддитивных шумов (здесь интенсивности , , измерены в единицах , , соответственно; -- -коррелированная стохастическая функция) [6,7].

Уравнения (2) - (4) формально совпадают с синергетической системой Лоренца [8,9], в которой сдвиговые напряжения играют роль параметра порядка, сопряженное поле сводится к сдвиговой деформации, а температура представляет управляющий параметр. Известно, что эта система используется для описания как фазовых термодинамических, так и кинетических превращений.

Исследование уравнений (2) - (4) показало [5], что влияние шума может привести к периодическим фазовым переходам между динамическими режимами трения. Построены фазовые диаграммы, определяющие эти режимы. Предлагаемая работа, являющаяся продолжением [5], проведена с целью исследования кинетики, описываемой фазовыми портретами системы (2) - (4).

1. Непрерывное превращение

1.1 Динамическая фазовая диаграмма

Условие адиабатичности приводит систему (2) - (4) к уравнению Ланжевена вида [10]:

, (5)

в котором выделена интенсивность случайного источника , поэтому его моменты определяются какЗдесь множитель 2 выбран для того, чтобы величина играла в соответствующем уравнении Фоккера-Планка (УФП) роль коэффициента диффузии.

. (6)

Тогда УФП записывается в форме Ито:

, (7)

где обобщенная сила и интенсивность шума , представляющие коэффициенты дрейфа и диффузии соответственно, определяются равенствами:

,

. (8)

Решение (7) в стационарном случае дает распределение сдвиговых напряжений

, (9)

задаваемое эффективным потенциалом

(10)

и статистической суммой

. (11)

Согласно рис.1 распределение (9) обладает хорошо выраженными максимумами, положение которых определяется набором параметров , , , и .

Рисунок 1. Функция распределения сдвиговых напряжений (9) при , , и . Кривые 1, 2, 3 отвечают температурам и интенсивностям соответственно

Интенсивность флуктуаций напряжений влияет только на форму распределения, не приводя к изменению расположения максимумов. Исследование показывает, что возможно существование трех режимов трения. Если реализуется единственный максимум в точке (кривая 1), то устанавливается режим сухого трения (DF). Далее с ростом температуры (либо интенсивности ) появляются два максимума в точках и (кривая 2), первый из них отвечает сухому трению, второй -- жидкостному (SF). Здесь реализуется прерывистое трение (stick-slip - SS), характеризуемое переходами между указанными стационарными режимами [11]. При дальнейшем увеличении , в случае , нулевой максимум исчезает, и остается только максимум при , т.е. смазка становится жидкоподобной. Если же (кривая 3), то для реализации области жидкостного трения увеличения температуры может быть недостаточно и, как будет показано ниже, необходимо определить соотношение остальных параметров.

Точки экстремума распределения (9) определяются уравнением

, (12)

согласно которому граница области жидкостного трения

(13)

отвечает условию . В предельном случае выражения (12), (13) принимают такой вид:

, (14)

. (15)

Из сравнения (13) и (15) видно, что в случае и произвольной интенсивности флуктуаций деформации жидкостное трение реализуется, если температура превышает критическое значение . При величине , превышающей

, (16)

область SF существует даже при нулевой температуре поверхностей трения в отсутствие теплового шума. Если система характеризуется дробным показателем и выполняется условие , то смазка также жидкоподобна при любых температурах . На рис. 2 показана фазовая диаграмма, которая получена в результате численного анализа уравнений (12) - (15).

Рисунок 2. Фазовая диаграмма системы, соответствующая параметрам рис. 1 с режимами сухого (DF), жидкостного (SF) и прерывистого (SS) трения. Кривые 3, 4, 5, 6 отвечают значениям . Прямые 1 и 2 являются решением уравнений (13) и (15). Точки 1, 2, 3 отвечают кривым 1, 2, 3 рисунка 1

Подобная диаграмма приведена в работе [5] для и обобщена здесь на случай . Прямые 1 и 2 отвечают границе области жидкостного трения при и соответственно. Из диаграммы видно, что увеличение параметра приводит к уменьшению области сухого трения, при этом двухфазная область SS увеличивается. Однако при малых область сухого трения отодвигается к большим значениям , а поскольку в действительности, как правило, шумы малы, то уменьшения трения следует ожидать в системах с малым показателем . Также следует отметить, что изменение в интервале не влияет на область жидкостного трения (SF). Представляется возможным подобрать такие флуктуационные параметры, при которых область сухого трения (DF) исчезает полностью [6].

1.2 Фазовая кинетика

Для выяснения динамики изменения режимов трения достаточно представить распределение положением его максимума . Это достигается использованием формализма интегралов по траекториям [12,13], в рамках которого экстремальные значения исходной функции распределения (9) эволюционируют в согласии с эффективным распределением

. (17)

Здесь функция Онзагера-Махлупа , играющая роль лагранжиана эвклидовой теории поля, подлежит определению.

Для нахождения зависимости используем дифференциальное соотношение Ланжевена

, (18)

отвечающее уравнению Фоккера-Планка (7) [12] и получающееся из уравнения Ланжевена (5) при измерении времени в единицах . Здесь стохастический дифференциал представляет винеровский процесс, определенный как

(19)

и обладающий свойствами белого шума:

, . (20)

Особенность стохастических уравнений состоит в том, что дифференциал не может быть определён простым делением равенства (18) на . С этой целью следует перейти от случайного процесса к белому шуму , связанному с исходным якобианом . Тогда подстановка равенства (18) в стохастический дифференциал Ито

(21)

приводит с учётом (20) к выражению

.(22)

Здесь опущены слагаемые, порядок которых превышает . После обратного перехода от белого шума к исходному процессу получаем равенство

,(23)

где штрих означает дифференцирование по . Подставляя это выражение в гауссиан

,

после сравнения с (17) приходим к лагранжиану

(24)

с потенциальной энергией в виде

(25)

Видно, что потенциальная энергия не совпадает с эффективным потенциалом (10), и для дальнейшего рассмотрения необходимо произвести замену выражения (25) на (10). В таком случае лагранжиан (24) будет описывать поведение системы согласно полученному ранее распределению (9).

Кинетика системы определяется уравнением Эйлера-Лагранжа

.(26)

В представлении белого шума диссипативная функция имеет простейшую форму , а с переходом к переменной принимает вид

(27)

Подставляя в (26) равенства (24), (10), (27), приходим к дифференциальному уравнению

(28)

Его исследование, основанное на методе фазовой плоскости , изложено ниже.

Рассмотрим сначала стационарные состояния. Полагая в (28) , приходим к уравнению

. (29)

Оно совпадает с условием экстремума распределения (9). Причем максимуму распределения отвечает минимум эффективного потенциала, а минимуму распределения -- его максимум. После подстановки , в (29) получаем (12).

Рассмотрим кинетику поведения системы согласно фазовым портретам, определенным уравнением (28). На рис. 3 приведены фазовые портреты, соответствующие кривым (рис. 1).

Область сухого трения (DF) (рис. 3а) характеризуется наличием особой точки , которая отвечает максимуму вероятности при . Эта точка представляет устойчивый фокус, вокруг которого существуют колебания вплоть до установления стационарного значения напряжений . Колебания выходят в отрицательную область напряжений , которая не рассматривалась ранее [5,6]. Она может быть интерпретирована как изменение направления действия напряжений, либо ею можно пренебречь и считать, что вместо отрицательных напряжений реализуются нулевые. Особая точка является седлом и отвечает минимуму распределения в отрицательной области .

Исследуем поведение системы при произвольных начальных условиях. Если изначально скорость роста напряжений положительна , то со временем приходим к режиму сухого трения. При начальном значении согласно фазовому портрету может реализоваться ситуация, когда с течением времени будет неограниченно убывать . Таким образом, отрицательные значения напряжений не имеют физического смысла. В связи с этим будем считать, что при достижении нулевого значения напряжений они перестают убывать: либо начинают возрастать, либо скорость их изменения становится нулевой. В первом случае знак скорости изменится на противоположный, что переведет систему в положительную область фазовой плоскости. Далее согласно фазовому портрету в результате затухающих колебаний установится режим сухого трения. Во втором случае в системе мгновенно возникает сухое трение, так как она сразу перейдет в состояние, определяемое началом координат.

Рисунок 3. Фазовые портреты системы, соответствующие параметрам рис. 1:

а -- DF режим соответствует кривой 1 рис. 1;

б -- SS -- кривой 2 рис. 1; в -- SF -- кривой 3 рис. 1

Фазовый портрет, характеризующий область прерывистого трения (SS), приведен на рис. 3б. Здесь появляются четыре особые точки: устойчивые узел и фокус , седла и . Точка , как и ранее, реализуется в начале координат и соответствует режиму сухого трения. Седло аналогично описанному ранее. Точка отвечает минимуму и поэтому описывает неустойчивое стационарное состояние. Следует отметить, что при начальном значении сдвиговых напряжений правее точки и нулевой скорости их изменения в системе с течением времени установится жидкостный режим трения. Если же начальное значение напряжений находится левее седла , то в аналогичном случае установится сухое трение. Таким образом, точка разграничивает два максимума функции распределения . Узел отвечает ненулевому максимуму распределения напряжений, т.е. описывает жидкоподобное состояние смазки. Вокруг этой точки колебания слабо выражены.

На рис. 3в приведен фазовый портрет для области жидкостного трения (SF), которая характеризуется единственным ненулевым максимумом функции распределения . Здесь реализуются две особые точки -- седло , отвечающее нулевому минимуму , и устойчивый узел , соответствующий жидкостному трению (ненулевому максимуму распределения).

2. Учет деформационного дефекта модуля

В действительности, модуль сдвига, входящий посредством времени релаксации в уравнение (2), зависит от величины напряжений. Это приводит к переходу режима упругой деформации в пластический при характерном значении сдвигового напряжения , величина которого не превышает (в противном случае пластический режим не проявляется). Для учета деформационного дефекта модуля вместо воспользуемся зависимостью , предложенной в [1]. В результате уравнение (2) принимает вид:

, (30)

где введены время релаксации для пластического режима ( -- эффективная вязкость, -- коэффициент упрочнения), параметр , определяющий отношение углов наклона кривой деформации на пластическом и гуковском участках, постоянные и . Тогда в рамках адиабатического приближения уравнения (3) и (4) приводят к зависимостям

; (31)

,

. (32)

Комбинирование равенств (30), (31) и (32) приводит к уравнению Ланжевена в виде (5), где заменено на , сила задается соотношением

, (33)

а эффективная интенсивность шума совпадает с выражением (8) при замене на . Следует отметить, что синергетический потенциал определяется равенством

(34)

Как и ранее, получим распределение вероятности (9), характеризующееся эффективным потенциалом (10) и нормировочной постоянной (11). Точки экстремума распределения определяются выражением (29), которое после подстановки соответствующих и принимает вид

(35)

и отличается от ранее полученного уравнения (12) только последним членом в левой части. Согласно (35) граница области существования жидкостного трения дается (13). Исследование уравнения (35) показывает, что соответствующая фазовая диаграмма качественно совпадает с описанной в подразд. 1.

3. Обсуждение действия внешней периодической силы

Ранее полученное уравнение Ланжевена (5) является уравнением движения и имеет вид второго закона Ньютона, где представляет ускорение, сводится к массе системы, а правая часть (5) содержит действующую силу, которая имеет эффективную составляющую и компоненту , вызванную наличием шума. Эффективная сила является внутренней силой, определяемой состоянием смазки, и не учитывает внешних воздействий. Согласно этому система со временем приходит в состояние, когда и сдвиговые напряжения сохраняются. При этом устанавливаются стационарные состояния смазки, описываемые построенной фазовой диаграммой.

В реальных механизмах всегда действует внешняя сила, которая приводит поверхности трения в движение. Для ее учета введем в правую часть (5) периодическую силу , изменяющуюся во времени с начальной фазой и циклической частотой . Тогда это уравнение примет такой вид:

, (36)

.

Сила не зависит от величины напряжений. Уравнению Ланжевена (36) соответствует УФП в форме (7):

(37)

Для этого уравнения уже нельзя говорить о существовании стационарного решения, поскольку коэффициент дрейфа зависит от времени. Это означает, что и вероятность всегда зависит от времени, соответственно в системе может не установиться определенный режим трения, а происходят переходы между различными динамическими состояниями смазки. Исследование влияния внешней периодической силы требует дополнительного анализа, который выходит за рамки данного рассмотрения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное рассмотрение показывает, что увеличение температуры трущихся поверхностей может сопровождаться самоорганизацей системы, приводящей к режиму жидкостного трения. С учетом аддитивных шумов , , построена фазовая диаграмма системы, которая определяет три режима трения -- сухое (соответствует твердоподобному состоянию смазки), жидкостное (смазка жидкоподобна) и прерывистый режим трения (осуществляются переходы между указанными режимами). В случае положение границы области жидкостного трения не зависит от температуры, а определяется только величиной интенсивности шума деформации, которая прямо пропорциональна интенсивности флуктуаций температуры. При установлении режима жидкостного трения напряжения в системе быстро релаксируют к стационарному значению, задаваемому распределением вероятности. Твердоподобное состояние смазки описывается фокусом в начале координат, вокруг которого могут существовать продолжительные колебания вплоть до установления равновесия. Для описания перехода первого рода проведен учет дефекта модуля сдвига. Выяснено, что в этом случае реализуется аналогичный характер поведения системы.

SUMMARY

Within the framework of fractional Lorentz model the ultrathin lubricant film melting is studied during the process of friction between atomic flat surfaces. The additive noises of shear stress and strain, as well as temperature of lubricant are introduced, and phase diagram is calculated, where noise intensity of this temperature and temperature of friction surfaces determine the regions of sliding, dry, and stick-slip friction. It is shown that the value of stress fluctuations intensity does not influence on phase diagram. Phase portraits describing kinetics of the indicated modes of friction are investigated. For presentation of the first-order phase transition, which corresponds to the melting of crystalline lubricant, the deformational defect of the shear modulus is taken into account. In this case the phase diagram coincides qualitatively with obtained one for continuous transformation corresponding to the melting of amorphous lubricant.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Khomenko A.V., Yushchenko O.V. Solid-liquid transition of ultrathin lubricant film //Phys. Rev. E. - 2003. - Vol.68. - P.036110-6.

2. А.В. Хоменко, Я.А. Ляшенко. Влияние корреляций температуры на самоподобное поведение ультратонкой пленки смазки // Вісник Сумського державного університету. - 2005. - №4(76). - С.70-87.

3. Persson B.N.J. Sliding friction. Physical principles and applications. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. - 462 p.

4. Реология / Под ред. Ф. Эйриха. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. - 824 с.

5. А.В. Хоменко, Я.А. Ляшенко. Стохастическая теория прерывистого режима плавления ультратонкой пленки смазки // Журнал технической физики. - 2005. - Т.75, Вып. 11. - С. 17-25.

6. Khomenko A.V. Noise influence on solid-liquid transition of ultrathin lubricant film // Physics Letters A. - 2004. - Vol.329, Iss. 1-2. - P.140-147.

7. Risken H. The Fokker-Planck equation. - Berlin: Springer, 1989. - 474 p.

8. Олемской А.И., Хоменко А.В. Трехпараметрическая кинетика фазового перехода // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1996. - Т.110, Вып.6(12). - С.2144-2167.

9. Олемской А.И. Теория стохастических систем с сингулярным мультипликативным шумом // УФН. - 1998. - T.168; N 1. - C. 287-321.

10. Yoshizawa H., Chen Y.-L., Israelachvili J. Fundamental Mechanisms of Interfacial Friction. 1. Relation between Adhesion and Friction - California: J. Phys. Chem., - 1993. - Vol.97. - P.4128-4140; Yoshizawa H., Israelachvili J. Fundamental Mechanisms of Interfacial Friction. 2. Stick-Slip Friction of Spherical and Chain Molecules. - California: J. Phys. Chem., - 1993. - Vol.97. - P.11300-11313.

11. J. Zinn-Justin. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. -- Oxford: Clarendon Press, 1993.

12. A.V. Khomenko, D.O. Kharchenko, O.V. Yushchenko. Jamming Transition with Fluctuations of Characteristic Acceleration/braking Time // Вісник Львівського університету. - 2004. - Вип.37. - С.44-56.