Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

«Основная задача обучения математике в школе - прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования»,- говорится в объяснительной записке программы по математике. В последнее время много говорится о недостаточной эффективности процесса обучения в школе, поскольку традиционная организация не отвечает требованиям времени, не создаёт условий для улучшения качества обучения и развития учащихся.

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей ее роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов решения этих задач.

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать интерес ученика к изучаемому материалу и его активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Математика, и в первую очередь - геометрия развивает логическое мышление, которое является одним из важнейших элементов воспитания личности, а также нравственное воспитание, независимость суждений и поведения. геометрия треугольник теорема прямоугольный

Геометрия, элементы которой возникли в глубокой древности из практических запросов людей, является в тоже время продуктом естественной потребности человека в познании, постоянном стремлении его к совершенству и красоте. Но вместе с тем, её относят к одному из самых трудных и, возможно из-за этого нелюбимых предметов.

Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: “Всё вокруг геометрия!”. Сегодня уже в начале XXI столетия мы можем повторить это восклицание с ещё большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия!

В окружающей обстановке нам часто встречаются предметы одинаковые по форме, но разные по величине. Например, карта России, висящая на стене, и такая же карта, помещённая в учебнике, имеют одну и ту же геометрическую форму, но разную величину. Фигур, имеющие одинаковую форму приводят нас к понятию подобия фигур.

Вопросы подобия занимали ещё учёных древности.

Во время одного из посещений Египта Фалес Милетский - отец греческой математики, решил неразрешимую задачу: измерил высоту одной из пирамид. Полагают, что он использовал свойства подобных треугольников, когда солнечные лучи падали на пирамиду под углом 45.Именно его принято считать родоначальником теории подобия фигур.

В наше время данная тема достаточно хорошо разработана и освещена. Но в связи с динамичными преобразованиями, происходящими не только в повседневной жизни людей, но и в сфере школьного образования, которое всё больше и больше приобретает профильную ориентацию, от учителя требуется дифференциальный подход к каждому классу. Учитель вынужден внедрять новые методы обучения, разрабатывать эффективную методику обучения.

Всё выше сказанное, говорит об актуальности выбранной темы, кроме того, этот материал вызывает некоторые трудности при его изучении в школьном курсе геометрии.

Итак, проблема исследования состоит в разработке методических рекомендаций к теме «Подобные треугольники».

Объектом исследования служит процесс обучения геометрии в восьмом классе.

Предмет исследования - методика изучения темы «Подобные треугольники» в восьмом классе.

Целью данной работы является разработка методических рекомендаций, поурочного планирования, планов - конспектов уроков и факультативных занятий по теме «Подобные треугольники» в курсе геометрии основной школы.

Для достижения данной цели планируется реализовать следующие задачи:

1. Изучение и анализ основных теоретических положений по теме «Подобные треугольники».

2. Определить методические особенности изучаемой темы.

3. Подобрать дидактический материал.

4. Разработать уроки, методические рекомендации к ним, а также факультативные занятия.

Решение этих задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1. Анализ научной, учебно-методической, и психолого-педагогической литературы по теме исследования.

2. Ознакомление с современными публикациями в периодической печати и современным опытом преподавателей.

3. Систематизация и обобщение теоретического и практического материала по теме «Подобные треугольники».

1.Психолого-педагогический аспект

Знание психологии своих учеников помогает учителю в его работе, так как учителя нередко задают вопрос: “Как относиться к ученикам?” Вопрос этот не случайный. Его решение связано с пониманием кардинальных проблем возраста, специфики и ведущих тенденций, определяющих особенности учебно-воспитательного процесса, стратегию обучения и воспитания.

«Как относиться» - это, значит, решить для себя, какие принципы положить в основу планирования содержания и методов обучения, какие требования предъявлять учащимся, как строить общение с ними, как оценить их знания, возможности, способности, т. е. как определить основные направления и пути реализации характера обучения. Найти ответы на эти вопросы поможет анализ возрастных особенностей учащихся. Коротко остановимся на возрастной динамике каждого школьного возраста.

Итак, младший школьный возраст, наиболее общей задачей деятельности в младшем школьном возрасте является формирование теоретического мышления как основного новообразования. Начальные этапы обучения и общения ориентированы на первичное усвоение и принятие учащимися задач, которые ставит учитель - воспитатель. Он планирует и развертывает системы задач, вводящих учащихся в определенную предметную действительность.

В среднем школьном возрасте учащиеся начинают овладевать самостоятельной постановкой проблем и задач. В системы подключаются задачи осознания собственной деятельности, ее элементов и операций. Рефлексия - является важным психическим новообразованием учащихся. Формированию рефлексии способствует введение в обучение составления графических записей.

Действие оценки, как показывают психологические исследования, на начальных этапах обучения формируются у учащихся в виде точной копии оценок учителя, как их буквальное воспроизведение. Однако уже в этом возрасте важно формировать самостоятельность и активность учащихся в оценке своей деятельности. Подростки интенсивно овладевают всеми формами самоконтроля как необходимой основой перехода к сложным формам регуляции. Выделение общения как ведущей деятельности подростка способствует формированию действия оценки с ориентацией на работу товарищей в процессе совместных форм учебной деятельности, с подключением взаимоконтроля и взаимооценки.

В работе со старшеклассниками, с одной стороны, встают задачи формирования новых действий - задачи совершенствования всех звеньев учебной жизнедеятельности и коррекции некоторых ее элементов, по тем или иным причинам оказавшихся у отдельных учащихся недостаточно сформированными. Особое внимание в старшем школьном возрасте должно быть уделено формированию учебных действий, необходимых исследовательского поиска самопознания, осуществляемого по типу эксперимента. Этот возраст характеризуется интенсивным формированием контрольно-оценочного аппарата, возможностью ввертывать в процессе работы отдельные звенья контроля. Это способствует ускорению темпа работы. Старшеклассники уже могут вполне осознанно и гибко применять все формы самоконтроля. Качественной особенностью деятельности старшеклассников, как уже отмечалось, является возросший уровень произвольности и саморегуляции. Учащиеся могут не только самостоятельно выделять цели и задачи своей деятельности, но и вполне сознательно подчинять им способы своей работы. Действия оценки становятся сформированным действием самого учащегося как субъекта учебной деятельности. Оно является внутренней основой для принятия и самостоятельной постановки учебной задачи. При сформированной деятельности учащийся планирует, способы решения учебных и жизненных задач в соответствии со своими возможностями, может определить степень отработки отдельных элементов деятельности, прогнозирует возможные затруднения в работе и способы их преодоления.

Сформированность действия оценки проявляется в том, что учащийся может объективно оценить, выделить, ее индивидуальные особенности, осознать сильные и слабые стороны. Именно это действие является основой рефлексии своих возможностей решения задач, выходящих за пределы учебной деятельности.

Очертив общую характеристику возрастных особенностей учащихся, попытаемся наметить особенности совершенствования психических процессов в подростковом возрасте.

Учащиеся восьмых классов - это преимущественно подростки 12-13 лет. Именно в этом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребёнок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Среди школьных предметов для развития логической памяти как нельзя лучше подходит геометрия. Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причём как в практическом плане, так и в теоретическом. Ещё одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании всё принимать на веру. Эта возрастная особенность учащихся может помочь сделать уроки геометрии по теме «Подобие треугольников» очень интересными для самих учащихся, если их проводить в форме неких практических работ. Например, по определению размеров какой-либо пирамиды с использованием её макета. Ведь в этот период подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением всё самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки стремятся решать наиболее сложные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. В тоже время мышление этого возраста характеризуется стремлением к широким обобщениям.

Главная новая черта, появляющаяся в психологии подростка по сравнению с ребенком младшего школьного возраста, - это более высокий уровень самосознания. Вместе с ним возникает отчетливо выраженная потребность правильно оценивать и использовать имеющиеся возможности, формировать и развивать способности, доводя их до уровня, на котором они находятся у взрослых людей.

В средних классах школы вместо одного учителя появляется несколько новых педагогов, у которых обычно различны стиль поведения и манера общения, а также приемы ведения занятий. Разные учителя предъявляют различные требования к подросткам, что заставляет их индивидуально приспосабливаться к каждому новому учителю. В подростковом возрасте появляется дифференцированное отношение к разным учителям: одних любят, других нет, к третьим относятся безразлично. Подростки более ценят знающих учителей, строгих, но справедливых, которые по-доброму относятся к детям, умеют интересно и понятно объяснять материал, ставят справедливые оценки, не делят класс на любимчиков и нелюбимых. Особенно высоко ценится подростком эрудиция учителя, а также его умение правильно строить взаимоотношения с учащимися. Дети в данном возрасте уже достаточно заметно отличаются друг от друга по интересу к учению, по уровню интеллектуального развития и по кругозору, по объему и прочности знаний, по уровню личностного развития. Этими различиями определяется их дифференцированное отношение к учебе. Указанное обстоятельство определяет избирательный характер отношения к школьным предметам. Одни из них становятся более нужными и потому более любимыми подростками, интерес к другим снижается. Нередко отношение подростка к тому или иному учебному предмету определяется отношением к учителю, преподающему данный предмет. Подросткам обычно нравятся те предметы, которые преподают их любимые учителя. Успеваемость многих детей в средних классах школы временно падает из-за того, что за пределами школы у них появляются сильные, конкурирующие с учением интересы.

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно. Это умение поможет сделать уроки по изучению признаков подобия треугольников более интересными. В свою очередь данные занятия будут способствовать развитию этих умений. Учащиеся будут с большим интересом выдвигать и пытаться доказывать свои гипотезы о том какие треугольники или фигуры будут подобны, какие данные о треугольниках или фигурах необходимо знать, чтобы говорить о их подобии. Интерес у учащихся восьмых классов вызывают исследование и сравнение альтернативных решений одной и той же задачи, а также различные способы доказательств какой-либо теоремы (можно при наличии времени на уроке или на факультативном занятии привести доказательство какого-либо из признаков, используя сведения из учебных пособий других авторов, с которыми учащиеся самостоятельно не сталкиваются).

Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремление к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. С учетом данной возрастной особенности полезно будет уроки по темам: «Практическое приложение подобия треугольников» и «О подобии произвольных фигур» провести в виде уроков - практикумов. Используя знания учащихся с уроков географии по определению высоты предметов, провести работу на местности, например, по определению высоты здания школы, здесь же показать наглядно преимущество «метода подобия». Позволить учащимся в качестве домашнего задания самим определить высоту или расстояние до какого-либо из зданий, найти подобные предметы (фигуры) в окружающей на данный момент их обстановке.

Геометрия способствует полноценному эмоциональному развитию ребёнка, что является очень важным в подростковом возрасте. Как показывают исследования психологов, эмоциональное развитие является основой общеинтеллектуального развития. Его составной частью является эстетическое воспитание. Именно геометрия предоставляет огромные возможности для эстетического развития, эстетического воспитания. В математике достаточно чётко можно отличить красивое решение от простого решения. Но особенно часто понятие «красивое решение» связано с геометрическими задачами.

Для нормального развития подростку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого подростки могут сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия - витамин для мозга.

Но геометрия это продукт, который должен быть приготовлен очень умелым кулинаром. Иначе она может не только утратить свои питательные качества, но и принести вред организму.

2.Методические рекомендации

Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики её преподавания, от того, насколько умело будет построена учебная работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлеченно, и использовать это как оправданную точку для возникновения и развития любознательности, глубоко познавательного интереса. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда ещё формируются, а иногда только определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики.

По-прежнему актуальный вопрос, как развить у учеников стремление к знаниям? И конкретный ответ - им должно быть интересно. В младших классах для воспитания интереса к знаниям на уроках широко используются различные игровые формы. В среднем звене и старших классах все заметно сложнее, хотя и здесь успех во многом зависит от построения и организации урока.

У каждого учителя свое мнение о современном уроке, но можно придерживаться такой формулировки:

1. Урок должен быть продуман во всех деталях, чтобы один этап урока вливался в другой, а ученики понимали, что и зачем они делают на уроке.

2. Учащихся необходимо готовить к восприятию нового материала, осознанию темы урока,

3. Полезно придерживаться принципа “Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать”. Все, что говорит учитель, желательно воплощать в наглядность, но не просто в иллюстративную, а такую, которая поможет в ходе рассуждений, найти связи между понятиями.

4. На уроке должно быть интересно. Учитель должен заразить своей эмоциональностью, передать свой положительный заряд, который поможет вдохновить ум ребят для деятельности.

5. Задача каждого учителя - не только научить, а развить мышление ребенка средствами своего предмета (т. е. развивать быстроту реакции, виды памяти, воображение и т. д.).

6. По возможности стараться на уроке обратиться к каждому ученику по несколько раз (осуществлять постоянную “обратную связь”, которая позволяет корректировать непонятое или неправильно понятое).

7. Стараться ставить оценку не за отдельный ответ, а за несколько (на разных этапах урока).

В тоже время усвоение материала учащимися зависит от следующих факторов:

1. Насколько доступно, наглядно, интересно и красочно он будет предложен.

2. Связь изучаемого материала с историческими справками, с применением на практике даёт учителю возможность увлечь учащихся предметом, показать его значимость. Например, перед изучением признаков подобия треугольников можно сделать следующую инсценировку:

“Усталый путник пришел в страну Великого Хапи и, подойдя к великолепному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

· Кто ты? - спросил верховный жрец.

· Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

-Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее?

Жрецы согнулись от хохота.

· Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибешься не более чем на 100 локтей.

· Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более, чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта !

· Хорошо, - сказал фараон, - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство”.

Инсценировка этого сюжета так заинтригует детей, что они с нетерпением будут ждать того урока, когда смогут убедиться в правоте Фалеса, разгадав тайну самостоятельно.

Или можно использовать рассказ Артура Конан Дойля “Обряд дома Месгрейвов”, в котором Шерлок Холмс помогает найти местонахождение клада, поиски которого были затруднены из - за спиленного дерева.

3. Использование материалов с печатной основой экономит время, повышает эффективность урока.

4. Создание проблемной ситуации помогает не только качественнее усвоить, но и испытать радость открытия, почувствовать красоту, логику рассуждений и свою сопричастность, что очень важно в плане мотивации обучения и воспитания.

Необходимо помнить, что в организации учебно-воспитательного процесса важную роль играют задачи. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения и математического развития учащихся (глава «Подобные треугольники» содержит более 90 задач различного уровня сложности). При планировании уроков следует иметь в виду, что теоретический материал осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач. Организуя решение задач, целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся, основанный на достижении обязательного уровня подготовки. Это способствует нормализации нагрузки школьников, обеспечивает их посильной работой и формирует у них положительное отношение к учебе.

Следует всемерно способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие учащиеся должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу.

Важным условием правильной организации учебно-воспитательного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения, ее оптимизация с учетом возраста учащихся, уровня их математической подготовки. Критерием успешной работы учителя должно служить качество математической подготовки учащихся.

Целью изучения курс геометрии в 7 - 9 классах является систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии в старших классах.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, расширяются внутренние логические связи курса, повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приёмами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Системное изложение курса позволяет начать работу по формированию представлений учащихся о строение математической теории, обеспечивает развитие логического мышления школьников. Изложение материала характеризуется постоянным обращением к наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.

На уроках геометрии почти каждое высказывание и каждый ответ на поставленный вопрос должны сопровождаться демонстрацией чертежей. Чертеж и данные задачи должны находиться перед глазами учащихся на протяжении всего решения задачи. Учащиеся легче решают задачи, когда видят условие. Вот почему упражнения по готовым чертежам оказывают неоценимую услугу в усвоении и закреплении новых понятий и теорем. Они отвечают всем вышеизложенным требованиям, кроме того, позволяют в течение малого времени усвоить и повторить большой объем материала, т. е. увеличивается темп работы на уроках. Основные назначения упражнений на готовых чертежах заключаются в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учащихся. Обучать их умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Понятие подобия, наряду с понятием движения, является одним из важнейших понятий геометрии. Оно имеет большое образовательное и практическое значение. Учащиеся знакомы с реальными предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах (географические карты, фотографии, модели автомобилей, кораблей, самолётов и т.д.). Подобие используется при определении расстояний до недоступных объектов, в устройствах различных измерительных инструментов и приборов. Подобие треугольников даёт возможность ввести тригонометрические функции острого угла, т.е. новый вид функциональной зависимости, и значительно расширить класс предлагаемых учащимся задач.

В данной главе рассматриваются такие вопросы как определение подобных треугольников, отношение площадей подобных треугольников, применение подобия к доказательству теорем и решению задач, вводится понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника и доказываются основные тригонометрические тождества.

Основная цель - сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников в процессе доказательства теорем и решения задач, сформировать умение решения прямоугольных треугольников.

Изучение темы начинается с формирования понятий отношения отрезков и подобия треугольников. Пропорциональность отрезков имеет арифметический характер: пропорциональность отрезков сводится к пропорциональности чисел, выражающих значение их длин.

Определение подобных треугольников в учебнике «Геометрия 7 - 9» авт. Атанасян Л.С. и др. даётся не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональность сходственных сторон. При изучении признаков подобия достаточно доказать два признак, так как первый из них доказывается с опорой на теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, а доказательства двух других аналогичны. Один из них можно лишь сформулировать и применять затем при решении задач. Признаки подобия треугольников широко используются в курсе геометрии.

«Подобные треугольники» - это одна из тем, с помощью, которой мы фундаментально учим учащихся работать с теоремами. Эта тема пройдёт сквозной линией через геометрию и стереометрию.

Особое внимание необходимо уделить признакам. Перед их изучением следует:

1. Поработать над понятиями теорема, аксиома, т.е учащиеся должны усвоить отличия теорем от аксиом.

2. Поставить проблему: сколько нужно элементов взять, чтобы делать вывод о подобии.

3. Поработать над осознанием сути признак, свойство, разъяснить термин признак.

4. Помнить, что признаки легко и свободно усваиваются учащимися при правильном их преподавании.

Эффективным является то, что перед изучением каждого признака, можно проводить практическую работу, т.е. прорешивать задачи или рассматривать жизненные случаи, где элементы будут браться в соответствии с формулировкой признака. При организации подготовки учащихся к восприятию этой темы важно, чтобы учитель раскрывал связь науки и практики.

Рекомендуется проводить аналогию между доказательствами признаков подобия треугольников.

При использовании признаков подобия треугольников необходимо:

1. Указать пару треугольников, относительно которых выводится гипотеза о подобии.

2. В рассматриваемых треугольниках выделять пары главных элементов.

3. На основании признаков делать вывод о подобии рассматриваемых треугольников.

4. Можно перенести вывод о подобии на какие-то другие соответственные элементы.

Применение подобия треугольников к доказательствам теорем учащиеся изучают на примере теоремы о средней линии треугольника, но желательно познакомить учащихся и с другими примерами. Решение задач на построение методом подобия лучше рассматривать с учащимися, интересующимися математикой.

На тему «Подобие произвольных фигур» отводится один урок. Прежде чем дать этому понятию логически строгое определение, полезно подготовить его восприятие и усвоение, опираясь на конкретные наглядные представления учащихся, выработанные у них в результате предшествующего обучения и жизненного опыта. Поэтому изучение этой темы полезно начать с беседы примерно такого содержания.

В жизни мы часто наблюдаем и используем предметы, имеющие одинаковую форму. Футбольный или теннисный мяч, глобус, Луна и Земля и т.п. имеют одинаковую форму - форму шара. Одинакова форма любых кубов, из какого материала они не были изготовлены. Одинаковую форму имеют две карты одной и той же местности, выполненные в различных масштабах, или две одинаковые по времени съемки, но различные по размерам фотографии одного и того же человека, картина и ее фотокопия и т.д.

Не выясняя пока точный смысл понятия подобия фигур, мы назовем фигуры, имеющие одинаковую форму, подобными. Таким образом, все шары подобны, подобны также все кубы, все равносторонние треугольники. Понятно, что любые равные фигуры также имеют одинаковую форму и поэтому тоже являются подобными.

Приведите теперь сами примеры подобных фигур. Будут ли подобны все квадраты? Круги? Будут ли подобными круг и квадрат? Эти вопросы не вызывают затруднений. Вопрос же о том, будут ли всегда подобными прямоугольники или цилиндры, уже не столь прост.

При обсуждении этого вопроса выясняется, что, например, круглый карандаш и копеечная монета имеют одну и ту же форму - форму цилиндра. Однако если два одинаковых карандаша являются моделями двух подобных цилиндров, то круглый карандаш и копеечную монету вряд ли можно назвать подобными.

Таким образом, учащиеся убеждаются в необходимости выяснить точный смысл понятия подобия фигур. Далее можно ввести понятие подобия фигур в явном виде согласно тексту учебника «Геометрия 7 - 9» авт. Атанасян Л.С. и др. ( в сильном классе можно прийти к этому определению вместе с учащимися, используя их знания о системе координат, о задании точек в системе координат и о нахождении расстояний между парами точек).

Важную роль в изучении, как математики, так и смежных дисциплин играют понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, с которыми учащиеся знакомятся при изучении данной темы. Основное внимание уделяется выработке простых навыков в решении прямоугольных треугольников, в частности, с помощью микрокалькулятора.

Материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика).

Остаётся желательным решение задач по готовым чертежам, на которых необходимо научить учащихся видеть и отмечать равные и подобные элементы. Желательно предлагать альтернативные задачи.

По-прежнему внимание учителя должно быть направлено на возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, формирование у них навыков умственного труда - планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов.

3.Сравнительная характеристика учебных пособий по геометрии

Существует много различных учебных пособий по геометрии для учащихся в школах. В перечне учебных изданий для общеобразовательных учреждений на 2003/04 учебный год Министерством образования Российской Федерации были утверждены следующие учебные пособия по геометрии для учащихся основной школы: Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7 - 9» - Просвещение, 2001 - 2002, Александров А.Д. и др. «Геометрия 7 - 9» - Просвещение, 2002, Шарыгин И.Ф. «Геометрия 7 - 9» - Дрофа, 1998 - 2002, Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия 7 - 9» - Просвещение, 2001 - 2002, Вернер А.Л. и др. «Геометрия 8» - Просвещение, 1999 - 2002.

Каждый из учебников имеет свои плюсы и минусы, они отличаются как содержанием, так и стилем изложения учебного материала.

Теоретический материал учебника «Геометрия 7 - 9» авт. Атанасяна Л.С. и др. изложен доступно и интересно, с учётом психологических особенностей школьников. Книга разбита на тринадцать глав, имеет три приложения и снабжена более чем тысячью разнообразных задач разного уровня сложности. В учебнике много оригинальных приёмов изложения, которые используются авторами не ради желания блеснуть своим особым подходом, а ради стремления сделать учебник доступным учащимся и одновременно строгим. Система задач позволяет развить учащихся к математике с учётом их математической подготовки. Большое внимание уделяется тщательной формулировке задач, нередко приводится несколько решений одной и той же задачи.

По учебнику Атанасяна Л.С. и др. на параграф «Подобные треугольники» выделяется 19 часов. В данном параграфе рассматриваются следующие пункты: пропорциональные отрезки, подобные треугольники, признаки подобия треугольников, применение подобия к доказательствам теорем и решению задач, соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника.

Основная цель изучения этого параграфа - сформулировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников.

Авторы учебника «Геометрия 7 - 9» Смирнов В.А. и Смирнова И.М. следуют традициям преподавания геометрии в школе, заложенными ещё Киселёвым А.П., но в тоже время учебник соответствует учебной программе. Авторы придерживаются аксиоматического подхода к построению курса геометрии. Аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Приведённая в учебнике система аксиом несколько избыточна. Такая избыточность позволяет упростить некоторые доказательства. Помимо классических разделов планиметрии в учебник включён научно-популярный материал: графы, теорема Эйлера, золотое сечение, задачи оптимизации и др. Большое внимание уделяется изучению кривых. В конце учебника прилагаются «Начала стереометрии». Основная особенность учебника в том, что сначала излагается абсолютная геометрия, т.е. не использующая аксиому параллельности, а затем вводится сама аксиома параллельности.

По этому учебнику на тему «Подобие» по первому варианту (2 часа геометрии в неделю) выделяется 9 часов, а по второму варианту (I полугодие 2 часа в неделю, а II полугодие 3 часа в неделю) предполагается 11 часов.

В первом варианте изучаются темы: «Подобные треугольники», «Признаки подобия треугольников», «Подобие фигур». Основная цель - сформулировать представление учащихся о понятии подобия, изучить признаки подобия треугольников и научиться применять их при решении задач.

Во втором варианте добавляются три часа на изучение дополнительного материала: золотое сечение, золотой треугольник, золотой прямоугольник. Здесь основная цель - познакомить учащихся с золотым сечением, показать его использование в живописи, архитектуре и т.п., научить находить золотое сечение в геометрических фигурах.

Золотое сечение, хотя и относится к дополнительному материалу, тем не менее, является одним из удивительно красивых геометрических объектов, интерес к которому проявляли учёные, скульпторы, художники и др. на протяжении многих веков. Поэтому изучение этой темы на уроках геометрии является весьма полезным.

«Геометрия 7 - 9» Шарыгина И.Ф. - это учебник, который привлекает учителей новизной идей, свежестью и оригинальностью задач, нестандартностью решения некоторых теоретических проблем. Учебник реализует новые концепции изучения геометрии.

Традиционно считается, что геометрия строго логическая наука, развивающая в первую очередь (и главным образом) логическое мышление. Автор учебника трактует назначение геометрии более широко. Он утверждает, что геометрическое мышление, которое формирует геометрия, имеет две составляющие - наглядно-образную и логическую, и что геометрия согласует обе эти составляющие. При этом, на начальном этапе изучения геометрии акцент делается на наглядно-образной составляющей и только по мере развития геометрического мышления возрастает значение его логической составляющей, поэтому необходима «добротная» пропедевтика в 5-6 классах. В качестве её выступает начальный курс в системе школьного геометрического образования - оригинальный курс «Наглядная геометрия». Здесь учащимся сообщается определённый объём геометрических знаний, они вооружаются геометрическим методом познания мира.

Задача развития интереса остаётся важнейшей в учебнике «Геометрия 7 - 9» Шарыгина И.Ф. Система задач в курсе удачно реализует идею уровневой дифференциации. Для этого введены обозначения «В» - важная, «Т» - трудная задача. Главной особенностью рассматриваемого курса является тот факт, что в учебнике не только выстраивается теория, но и изучаются методы решения геометрических задач, причём последнее является важнейшей целью обучения геометрии. На фоне содержательных задач показываются основные подходы, приёмы, идеи, которые могут быть использованы при решении геометрических задач.

В данном учебнике на раздел «Подобие» отводится 20 часов. В нём изучаются такие темы: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция (теорема Фалеса), средняя линия треугольника, средняя линия трапеции, пропорциональные отрезки, подобные треугольники и признаки подобия треугольников.

Основная цель этого раздела - дать систематизированные сведения о четырёхугольниках и их свойствах, сформировать умения доказывать подобие треугольников с опорой на признаки подобия треугольников.

В учебнике Вернера А.Л. и др. «Геометрия 8» параллельно излагается планиметрия и стереометрия. Знакомство со стереометрией ведётся описательно, с опорой на наглядные и ясные положения. Книга содержит обширный задачный материал, рассчитанный на учеников с любым уровнем подготовки, разными интересами и возможностями. В «Геометрии 8» изучается «вычислительная геометрия». Основные задачи, помещенные в учебник, связаны с вычислением важнейших величин - расстояний, мер, углов, площадей и объёмов. Курс состоит из глав: «Расстояние и параллельность», «Площади многоугольных фигур и объёмы многогранных тел», «Геометрия треугольника», в которой изучаются теорема синусов, теорема косинусов и подобие треугольников.

А вот в учебнике «Геометрия 7 - 9» авт. А.Д. Александрова и др. тема «Подобие и подобные треугольники» изучается в 9 классе в параграфе «Другие методы геометрии».

Основная цель этого параграфа - ознакомить учащихся с методами, отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: метод координат, векторный метод, метод преобразований, в который включён и метод подобия.

Подобные треугольники можно изучать как частные случаи подобных фигур, но автор допускает изучение и в теме «Метрические соотношения в треугольниках» (VIII класс), определив подобные треугольники как треугольники, имеющие соответственно пропорциональные стороны.

И всё-таки из перечисленных учебных пособий остановимся на «Геометрии 7 - 9» авт. Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б., Позняк Э.Г., Юдиной И.И. Исходя, из выше сказанного этот учебник является наиболее подходящим для изучения курса геометрии в 7-9 классах, так как в нём не только содержится удачно подобранный теоретический и практический материал, но и при его составлении авторы явно учитывали возрастные особенности учащихся. Для углубления знаний учащихся по некоторым темам можно использовать некоторые выкладки и задачный материал из учебников других авторов.

Так, например, изложение теории подобных треугольников, предложенное А.Д. Александровым, кратко и изящно: определение стало проще и естественнее, признаков стало меньше, и выводятся они совсем просто. В его подходе при введении тригонометрических функций и опирающейся на них теории подобия треугольников нет трудности. Надо знакомить учащихся с этими взглядами великого геометра.

Если изучение темы «Подобные треугольники» идёт по самому распространённому на сегодня в школах учебнику «Геометрия 7 - 9» Атанасяна Л.С. и др., то доказательства признаков подобия и некоторых свойств подобных треугольников по теории Александрова можно дать учащимся в 9 классе, после изучения теорем синусов и косинусов, т.к. А.Д. Александров в доказательстве опирается именно на эти теоремы. Данный материал также может быть предложен учащимся в качестве дополнительного для выработки умений и навыков по применению данных теорем в доказательствах, на факультативных, групповых или индивидуальных занятиях, при подготовке учащихся желающих сдавать устный экзамен по геометрии в 9 классе.

4.Поурочное планирование

Успех в решении задач по геометрии во многом зависит от профессионального уровня учителя и степени заинтересованности и подготовленности школьников. Обучение в VIII-IX классах является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем чтобы по окончании IX класса он мог сделать сознательный выбор в пользу либо дальнейшего углубленного, либо обычного изучения математики. Поэтому предполагаемое планирование учебного материала это не догма. Учитель может и должен менять их в зависимости от уровня класса, своих вкусов: упрощать или дополнять материал, переставлять темы, варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, проводить несколько больше или меньше проверочных работ.

Учителю предоставляется право свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, учитывающих возрастные возможности учащихся. Очень важно при этом, чтобы требования к знаниям и умениям учащихся не были чрезмерно завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведет, особенно на первом этапе к угасанию интереса к математике.

Планирование проведено в соответствии с учебным планом, согласно которому в VIII-IX классах отводится на изучение математики 5 часов в неделю из них 2 часа геометрии.

Предполагаемое планирование учебного материала для VIII классов ориентировано в основном на учебник Атанасяна Л.С. и др и опубликовано в сборнике МО РФ «Программ для общеобразовательных учреждений. Математика» (М.: Просвещение, 2000).

Учебник «Геометрия 7 - 9»: «Подобные треугольники» 19часов (всего 68 часов)

№ урока	Тема урока
1	Пропорциональные отрезки.
2	Определение подобных треугольников. Отношение площадей двух подобных треугольников.
3	Первый признак подобия треугольников.
4	Первый признак подобия треугольников.
5	Второй признак подобия треугольников.
6	Третий признак подобия треугольников.
7	Решение задач.
8	Решение задач.
9	Контрольная работа.
10	Средняя линия треугольника.
11	Средняя линия треугольника.
12	Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
13	Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
14	Практическое приложение подобия треугольников.
15	Практическое приложение подобия треугольников.
16	О подобии произвольных фигур.
17	Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
18	Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 300,450,600.
19	Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
20	Решение задач.
21	Контрольная работа.

5.Планы - конспекты уроков

Определение подобных треугольников

Назначение параграфа - ввести понятие пропорциональных отрезков и, опираясь на него, дать определение подобных треугольников.

Материал параграфа рекомендуется распределить по урокам следующим образом: пропорциональные отрезки, свойства биссектрисы треугольника (задача №535) и определение подобных треугольников -1 урок; теорема об отношении площадей подобных треугольников - 1 урок.

Урок №1

Определение подобных треугольников

Цели: образовательные - ввести определение пропорциональных отрезков и подобных треугольников; рассмотреть свойство биссектрисы треугольника и показать его применение в процесс решения задач;

развивающие - развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; в целях развития эмоций учащихся обеспечить в ходе урока ситуации эмоциональных переживаний; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, а также бережное отношение к школьным принадлежностям.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного (дежурный учащийся указывает дату, количество отсутствующих на уроке и домашнее задание предыдущего урока);

· сообщить тему урока и сформулировать образовательные цели.

2.Подготовка учащихся к восприятию нового материала. Провести в форме беседы:

Ш Что называют отношением двух чисел? Что показывает отношение?

Ш Отношение АВ к СD равно 2/7. О чем это говорит? Найдите отношение CD к АВ.

Ш В АВС АВ : ВС : АС = 2 : 4 : 3, Р_АВС = 45дм. Найдите стороны АВС.

Ш Что называют пропорцией? Верны ли пропорции 1,5 : 1,8 = 25 : 30; 18 : 3 = 5 : 30?

Ш В пропорции a : b = c : d укажите крайние и средние члены. Сформулируйте основное свойство пропорции.

Ш Переставив средние или крайние члены пропорции, составьте три верные пропорции: 12 : 0,2 = 30 : 0,5.

Ш Найдите неизвестный член пропорции:

а) 7х : 4,2 = 12,3 : 6; б) х : АВ = MN : КР.

3.Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие отношения отрезков.

2. Ввести понятие пропорциональных отрезков.

Например:

АВ = 5см, CD = 7см, А₁В₁= 7,5см, С₁D₁=10,5см, АВ : CD = А₁В₁ : С₁D₁, т.е. отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и C₁D₁.

Отрезки АВ, CD, MN пропорциональны отрезкам А₁В₁, C₁D₁ и M₁N₁. Найдите C₁D₁ и MN, если АВ = 5см, А₁В₁= 20см, CD = 6см, M₁N₁= 8см.

3. Ввести понятие подобных фигур (два круга, два квадрата, два мяча разных размеров, изображения на кинопленке и на экране, на фотопленке и на фотографии и т.д.)

Используя готовый плакат, объяснить, какие фигуры называются подобными, если его нет, то начертить на доске два квадрата или два круга разной величины.

4. Ввести понятие подобных треугольников.

Воспроизвести на доске треугольники, как на рисунке 188 учебника (с.134), по данному чертежу записать в тетради соответственные углы и сходственные стороны треугольников.

Определение подобных треугольников записать знаками: АВС~АВС, если А = А, В = В, С = С,

.

Записать, как находится коэффициент подобия:

k = .

4.Закрепление нового материала.

После введения понятия пропорциональных отрезков можно решить задачи 533 (устно), 534 (а, б), а затем рекомендуется разобрать в классе задачу 535 и показать применение рассмотренного свойства биссектрисы треугольника на примере задач 536 (а), 538, 540, а также решить задачу 541.

5.Итоги урока.

Предложить учащимся ответить на вопросы:

· Что называется отношением двух отрезков?

· В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам AB и CD?

· Для какого числа отрезков вводится понятие пропорциональности?

· На какие отрезки биссектриса треугольника делит противоположную сторону?

· Какие стороны в треугольниках называются сходственными?

· Какие треугольники называются подобными?

· Чему равен коэффициент подобия?

Прокомментировать работу учащихся в течение урока и оценить самых активных.

6.Домашнее задание: п.56, 57, вопросы 1, 2 и 3 (с.153); №534(в), 536(б), 537, 542.

Урок№2

Отношение площадей двух подобных треугольников

Цели: образовательные -закрепить понятия пропорциональных отрезков и подобных треугольников; совершенствовать навыки решения задач на применение свойства биссектрисы треугольника и определения подобных треугольников; рассмотреть теорему об отношении площадей подобных треугольников и показать ее применение в процессе решения задач;

развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, трудолюбие, целеустремлённость, а также бережное отношение к школьным принадлежностям.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного;

· сообщить тему урока, сформулировать образовательные цели.

2.Актуализация знаний учащихся.

Один ученик у доски готовит доказательство свойства биссектрисы треугольника. Ответ заслушивается , после фронтального опроса.

Ответить устно на вопросы:

1. Что называется отношением двух отрезков?

2. В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам AB и CD?

3. Какие два треугольника подобны?

3.Решение задач по готовым чертежам с целью подготовки к восприятию нового материала.

1. Повторить теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Записать её для данного рис.1, на котором AD - биссектриса АВС.

рис.1

2. На рис.2 AN = BN, СМ = 5см, МВ = 2см. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BMN равна 7см.

рис.2

3. На рис.3 S_АВС : S_MNK = 3 : 7. Найдите MN.

рис.3

4.Изучение нового материала.

a) Распределить учащихся по творческим группам и предложить обсудить в группах задачу: «Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Найти отношение их площадей».

b) Заслушать варианты решений, выбрать из предложенных наиболее удачный, и решение записать в тетрадях учащихся и на доске.

Вывод: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

5.Закрепление нового материала.

1. Рекомендуется решить в тетради задачи № 542, 544, 545.

2. Работа в группах по решению задач №547, 548 (обсудить принцип решения задач, варианты решений заслушать всем классом).

При наличии времени можно провести самостоятельную работу обучающего характера:

Вариант I

В подобных треугольниках АВС и KMN равны углы В и М, С и N, АС = 3см, KN = 6см, MN = 4см, А = 30. Найдите: а) ВС, К; б) отношение площадей треугольников АВС и КMN.

Вариант II

В подобных треугольниках АВС и PQR равны углы В и Q, С и R, PQ = 3см, PR = 4см, AB = 6см, А = 40. Найдите: а) AС, P; б) отношение площадей треугольников АВС и PQR.

6.Итоги урока.

Предложить учащимся ответить на вопрос: какое отношение равно квадрату коэффициента подобия?

Прокомментировать работу учащихся в течение урока и отметить более активных учащихся.

6.Домашнее задание: п.56 - 58, вопросы 1 - 4 (с.153); 543, 546, 549.

В качестве творческого задания можно предложить учащимся вырезать из цветной бумаги или картона, какие - нибудь подобные фигуры (например, это могут быть как подобные круги, квадраты, треугольники с заданным коэффициентом подобия, так и какие - либо зайчики, чебурашки, цифры и более сложные фигуры также с изначально, заданным учителем, коэффициентом подобия).