Решение логических задач на уроках математики в 5-6 классах

Условия эффективного применения наглядности

При использовании наглядных методов обучения необходимо соблюдать ряд условий:

а) применяемая наглядность должна соответствовать возрасту учащихся;

б) наглядность должна использоваться в меру и показывать ее следует постепенно и только в соответствующий момент урока;

в) наблюдение должно быть организовано таким образом, чтобы все учащиеся могли хорошо видеть демонстрируемый предмет;

г) необходимо четко выделять главное, существенное при показе иллюстраций;

д) детально продумывать пояснения, даваемые в ходе демонстрации явлений;

е) демонстрируемая наглядность должна быть точно согласована с содержанием материала;

ж) привлекать самих учеников к нахождению желаемой информации в наглядном пособии или демонстрационном устройстве.

решение логическая задача урок математика

1.3.3 Практические методы

Эти методы основаны на практической деятельности учащихся. К ним относятся упражнения, лабораторные и практические работы.

Упражнения. Под упражнениями понимают повторное (многократное) выполнение умственного или практического действия с целью овладения им или повышения его качества. Упражнения применяются при изучении всех предметов и на различных этапах учебного процесса. Характер и методика упражнений зависит от особенностей учебного предмета, конкретного материала, изучаемого вопроса и возраста учащихся.

Упражнения по своему характеру подразделяются на устные, письменные, графические и учебно-трудовые. При выполнении каждого из них учащиеся совершают умственную и практическую работу.

По степени самостоятельности учащихся при выполнении упражнений выделяют:

а) упражнения по воспроизведению известного с целью закрепления -- воспроизводящие упражнения;

б) упражнения по применению знаний в новых условиях -- тренировочные упражнения.

Если при выполнении действий ученик про себя или вслух проговаривает, комментирует предстоящие операции, такие упражнения называют комментированными. Комментирование действий помогает учителю обнаруживать типичные ошибки, вносить коррективы в действия учеников.

Рассмотрим особенности применения упражнений.

Устные упражнения способствуют развитию логического мышления, памяти, речи и внимания учащихся. Они отличаются динамичностью, не требуют затрат времени на ведение записей.

Письменные упражнения используются для закрепления знаний и выработки умений в их применении. Использование их способствует развитию логического мышления, культуры письменной речи, самостоятельности в работе. Письменные упражнения могут сочетаться с устными и графическими.

К графическим упражнениям относятся работы учащихся по составлению схем, чертежей, графиков, технологических карт, изготовление альбомов, плакатов, стендов, выполнение зарисовок при проведении лабораторно-практических работ, экскурсий и т.д.

Графические упражнения выполняются обычно одновременно с письменными и решают единые учебные задачи. Применение их помогает учащимся лучше воспринимать, осмысливать и запоминать учебный материал, способствует развитию пространственного воображения. Графические работы в зависимости от степени самостоятельности учащихся при их выполнении могут носить воспроизводящий, тренировочный или творческий характер.

К учебно-трудовым упражнениям относятся практические работы учащихся, имеющие производственно-трудовую направленность. Целью этих упражнений является применение теоретических знаний учащихся в трудовой деятельности. Такие упражнения способствуют трудовому воспитанию учащихся.

Упражнения являются эффективными только при соблюдении ряда требований к ним: сознательный подход учащихся к их выполнению; соблюдение дидактической последовательности в выполнении упражнений.

Сначала упражнения по заучиванию и запоминанию учебного материала, затем -- на воспроизведение -- применение ранее усвоенного -- на самостоятельный перенос изученного в нестандартные ситуации -- на творческое применение, с помощью которого обеспечивается включение нового материала в систему уже усвоенных знаний, умений и навыков. Крайне необходимы и проблемно-поисковые упражнения, которые формируют у учащихся способность к догадке, интуицию.

Лабораторные работы -- это проведение учащимися по заданию учителя опытов с использованием приборов, применением инструментов и других технических приспособлений, т.е. это изучение учащимися каких-либо явлений с помощью специального оборудования.

Проводятся лабораторные работы в иллюстративном или исследовательском плане.

Разновидностью исследовательских лабораторных работ могут быть длительные наблюдения учащихся за отдельными явлениями, как-то: над ростом растений и развитием животных, над погодой, ветром, облачностью, поведением рек и озер в зависимости от погоды и т.п. В некоторых школах практикуются в порядке лабораторной работы поручения школьникам сбора и пополнения экспонатами местных краеведческих музеев или школьных музеев, изучение фольклора своего края и др. В любом случае учитель составляет инструкцию, а ученики записывают результаты работы в виде отчетов, числовых показателей, графиков, схем, таблиц. Лабораторная работа может быть частью урока, занимать урок и более.

Практические работы проводятся после изучения крупных разделов, тем и носят обобщающий характер. Они могут проводиться не только в классе, но и за пределами школы (измерения на местности, работа на пришкольном участке).

Особый вид практических методов обучения составляют занятия с обучающими машинами, с машинами-тренажерами и репетиторами. [21]

1.4 Роль и функции задач в обучении математики

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся [12].

Образовательное значение математических задач.

Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

Практическое значение математических задач.

При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и др.

Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практическим, жизненным содержанием.

Значение математических задач в развитии мышления.

Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации. Решение задачи должно быть полностью аргументированным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмотрение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формальнологической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

Воспитательное значение математических задач многогранно. Прежде всего задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей.

1.4.1 О роли задач в обучении математике

Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели определяются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель, его дидактическими целями. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее обучающую роль.

Обучающая роль математических задач.

Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при условии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определениями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается прежде всего при решении задач и выполнении упражнений.

2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и, следовательно, математической символикой. Простейшая символика вводится еще в начальной школе и в IV-V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.

3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказательствам - одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка.

Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же математики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет вовсе. Начинать надо с достаточно простых задач.

4) Задачи для формирования математических умений и навыков.

5) Обучающую роль играют и задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие внимание учащихся на вновь изучаемых идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы.

Развитие мышления учащихся при решении математических задач.

1) Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявлть скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; отбирать полезную для решения задачи информацию, систематизировать ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации.

2) Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников

1.4.2 Функции математических задач

Примерно половина уроков математики в средней школе отводится решению математических задач и выполнению упражнений. Таким образом, обучение математике осуществляется и при решении задач. Уже рассмотрена обучающая роль учебных математических задач: при решении математических задач учащиеся усваивают математические понятия, овладевают математической символикой, обучаются проведению доказательств и т. д., т.е. обучаются математике. Но этим не ограничивается обучение математике через задачи. Осуществляя такой путь обучения математике, учитель ставит перед той или иной конкретной задачей дидактические цели, при достижении которых и осуществляется обучение через задачи.

Математические задачи могут иметь своей дидактической целью подготовку к изучению теоретических вопросов математики (новых понятий, методов, теорем). Такая же цель ставится перед решением задач, с помощью которых перед изучением новых теоретических вопросов в памяти и сознании учащихся восстанавливаются те сведения, знание которых необходимо для изучения новых математических фактов. Эти задачи не должны быть сложными и могут решаться устно.

Иллюстрация приложений изученного также может быть дидактической целью математических задач. Учащимся предлагаются практические задачи, иллюстрирующие приложения математики в технике, быту, смежных школьных предметах

Такое же назначение имеют задачи на применение тождественных преобразований к упрощению вычислений.

Задачи на приложения могут быть предложены после изучения теории, при формировании умений и навыков, а могут и предшествовать изучению теории с целью создания проблемной ситуации.

Дидактической целью задач и упражнений может быть формирование умений и навыков.

1) Цель формирования умений обычно ставится при решении первых задач, выполнении первых упражнений по овладению новым приемом, алгоритмом, методом решения некоторого класса задач, а также задач, рассказывающих практическую ценность изучаемого способа, приема, метода. Это должны быть задачи, при решении .которых учащиеся приучаются оперировать вновь изученным, применять общий способ, алгоритм, метод в конкретной ситуации. Такие задачи не должны быть сложными, в них. должно отчетливо проявляться вновь изучаемое, лишь постепенно в задачи могут вводиться усложнения, так чтобы вновь формируемое умение включалось в уже имеющуюся систему математических умений и навыков учащихся. Первые такие задачи следует решать с подробным объяснением со стороны учащихся всех новых деталей решения, с подробными записями на доске. Это помогает осмысленному формированию умений, осмысленные же умения формируются быстрей и дольше сохраняются.

2) Формирование математических навыков может быть дидактической целью не отдельной задачи, а системы задач и упражнений. Умение оперировать многими приемами, способами и методами решения математических задач должно быть автоматизировано, доведено до навыка, чтобы при решении задач техническая сторона не отвлекала решающего задачу, а помогала решению. Учащиеся должны владеть прочными и стойкими навыками вычислений, тождественных преобразований, решения уравнений, неравенств и их систем, геометрических построений и др.

Навыки формируются на основе осмысленных знаний и умений путем многократного повторения операций, действий, приемов, алгоритмов, составляющих предмет изучения. Поэтому для формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач. В такой системе должна быть правильно установлена последовательность упражнений с учетом индивидуальных особенностей и возможностей учащихся и принципа "от простого к сложному". Следует соблюдать разумное разнообразие упражнений и задач в системе. При этом знания учащихся по математике должны совершенствоваться с решением каждой новой задачи. Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки ученики получали при наименьших затратах времени.

Прочные, стойкие и гибкие навыки формируются тогда, когда они применяются совместно с ранее сформированными умениями и навыками в выполнении других действий. Именно таким образом вновь формируемые навыки включаются в систему знаний человека. К тому же решение задач, требующих применения и ранее полученных навыков, существенно помогает подкреплению очень важного умения применять полученные знания, в различных ситуациях.

Дидактической целью математических задач является и повторение ранее изученного. При решении большинства задач учащиеся применяют ранее полученные знания, умения, навыки. Такова особенность математики, заключающаяся в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности ее разделов. Таким образом, независимо от целей, поставленных учителем перед решением конкретной задачи, при ее решении происходит повторение изученного ранее. Но повторение изученного может быть и специальным назначением задач, предложенных учителем. Например, решение задач на завершающих уроках по той или иной теме имеет своей дидактической целью повторение, систематизацию и уточнение знаний, полученных при изучении этой темы, и закрепление сформированных умений и навыков, что также требует повторения. Таково же назначение задач, решаемых при повторении математики в конце учебных четвертей года.

Контроль за усвоением математических знаний - одна из дидактических целей математических задач и упражнений. Каждая задача практически имеет своим назначением текущий контроль или самоконтроль. Задачи, решаемые фронтально с воспроизведением решения учащимися на доске, предназначаются и для выяснения затруднений учащихся, пробелов в их знаниях, степени усвоения новых теоретических знаний, изучаемых методов решения задач, прочности, стойкости и гибкости ранее приобретенных знаний, умений и навыков. Такое же предназначение имеется и у самостоятельно решаемых задач.

В проверочных и контрольных работах главным назначением решаемых задач является итоговый контроль за тем, насколько верно учитель учил, а ученики обучались по тем или иным разделам математики.

1.4.3 Как учит решать задачи школа

Анализ и синтез при решении задач. Анализ и синтез находят широкое применение при решении математических задач. Напомним, что анализ - это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез - метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи.

Анализ и синтез находят применение практически при решении каждого вида задач, каждой задачи.

1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

2) Анализ и синтез при решении текстовых задач. Текстовыми задачами здесь названы математические задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи).

При решении текстовых задач с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом.

3) Анализ и синтез применяются и при решении задач на построение в геометрии, иначе, конструктивных задач геометрии. Как известно, решение этих задач выполняется по следующему плану: анализ, построение, доказательство, исследование. При анализе намечается план построения, которое выполняется синтетическим путем. При доказательстве возможно использование как анализа, так и синтеза, но чаще применяется последний. Исследование предполагает преимущественное применение метода анализа.

Другие общие методы решения задач

1) Метод исчерпывающих проб.

Основой этого метода является выявление всех логических возможностей и отбор из них таких, которые удовлетворяют условию задачи. Если логических возможностей - конечное число, то может оказаться возможным их полный перебор, позволяющий найти все возможности, удовлетворяющие условию задачи. С помощью этого приема решаются, в частности, некоторые элементарные задачи теоретико-числового содержания. Методом исчерпывающих проб с большим успехом можно пользоваться и для решения многих логических задач. Развитием указанного приема служат некоторые методы решения в целых или рациональных числах неопределенных уравнений, и в частности хорошо .известный метод рассеивания.

2) Метод сведения.

Суть его состоит в том, что .данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям. Концом получающейся таким образом цепочки преобразований может быть состояние, простое рассмотрение которого дает требуемый результат. Если, например, нужно решить уравнение, то обычно составляют такую конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Точно так же поступают при решении систем уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Решение задач на доказательство очень часто представляет собой цепочки тождественных преобразований, тянущиеся от левой части доказываемых тождеств к правой, или наоборот, или от левой и правой частей к одному и тому же выражению. Конечно, указанное сведение нужно понимать, как конечную последовательность, ведущую от искомых к данным. Этот метод наиболее часто применяется в тех случаях, в которых заданное отношение обладает свойством транзитивности. Таковы отношения эквивалентности (равенства, уравнения, тождества, логическая равносильность, параллельность) и порядка (строгие и нестрогие неравенства, включение множеств, логическое следование). Прием "сведения" лежит в основе решения геометрических задач на построение. В каждой задаче этого вида содержится требование: исходя из данных фигур (или данных их элементов), с помощью указанных конструктивных элементов построить фигуру, удовлетворяющую определенным условиям. Это означает, что требуемое построение должно быть сведено к так называемым элементарным построениям, выполняемым реальными инструментами.

Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых задач арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым задачам.

Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет также сведение: доказываемое утверждение сводится к ранее доказанным теоремам и ранее введенным аксиомам. Доказать - это значит свести новую теорему (задачу) в конечном счете к аксиомам.

Моделирование (математическое и предметное).

Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы и т. д.

Математическое моделирование находит применение при решении многих текстовых (сюжетных) задач. Уже уравнение, составленное по условию текстовой задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью. Чертеж фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней данными и искомыми тоже является геометрической моделью задачи. Но нередко решению задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная геометрическая фигура, модель с использованием или изображением предметов и объектов, заданных в задаче, и др.).

Большое практическое значение имеют методы нахождения приближенных значений искомых величин.

Все графические приемы решения задач на вычисление дают приближенные решения. Но приближенные решения могут получаться и с помощью численных методов (например, при решении квадратных уравнений по формулам их корней).

В геометрии используются приближенные методы построения. Примерами их служат спрямление окружности, построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление угла на равные части и т. д.

Глава 2. Методика обучения решению логических задач

2.1 Логическая задача. Способы решения логической задачи

2.1.1 Понятие «логическая задача»

Логическая задача -- это некоторая проблемная ситуация описанная каким либо возможным образом (на естественном, математическом или логическом языке, в виде схемы, рисунка или любым другим способом) для разрешения которой необходимы только правильные (логические) рассуждения.

В основе логически правильного мышления лежат логические законы. Рассуждать логично -- значит рассуждать в соответствии с законами логики.

Пример. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:

Россия -- "Проект не наш, проект не США";США -- "Проект не России, проект Китая";Китай -- "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз -- неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:

Россия -- "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2);США -- "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4);Китай -- "Проект не наш" (5), "Проект России" (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный -- министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее -- российский, скрытнее -- министр США.

2.1.2 Типология логических задач

2.1.2.1 Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Пример 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: один из них изучает китайский, другой - японский, третий - арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

Вадим изучает китайский;

Сергей не изучает китайский;

Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе -- ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил -- японский, Вадим -- арабский.

Пример 2. В поездке пятеро друзей -- Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: "Моя фамилия -- Молотов, а фамилия Бориса -- Хрущев". Антон сказал: "Молотов -- это моя фамилия, а фамилия Вадима -- Брежнев". Борис сказал: "Фамилия Вадима -- Тихонов, а моя фамилия -- Молотов". Вадим сказал: "Моя фамилия -- Брежнев, а фамилия Гриши -- Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона -- Тихонов".

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как АБ, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

ДМ и БХ;

АМ и ВБ;

ВТ и БМ;

ВБ и ГЧ;

ГЧ и АТ.

Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.

Значит остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: БХ истинно БМ ложно ВТ истинно АТ ложно ГЧ истинно ВБ ложно АМ истинно.

Ответ: Борис -- Хрущев, Вадим -- Тихонов, Гриша -- Чехов, Антон -- Молотов, Дима -- Брежнев.

2.1.2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

Смит самый высокий;

играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет в точности двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна -- альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:

	скрипка	флейта	альт	кларнет	гобой	труба
Браун	0	0	1	1	0	0
Смит			0	0		0
Вессон			0	0

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон.

Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон" можно заполнить нулями:

	скрипка	флейта	альт	кларнет	гобой	труба
Браун	0	0	1	1	0	0
Смит	0		0	0		0
Вессон	1	0	0	0	0	1

Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит.

	скрипка	флейта	альт	кларнет	гобой	труба
Браун	0	0	1	1	0	0
Смит	0	1	0	0	1	0
Вессон	1	0	0	0	0	1

Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит -- на флейте и гобое, Вессон -- на скрипке и трубе.

Пример 2. Три одноклассника -- Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего -- регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра -- единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя -- профессия -- увлечение).

Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.

Имя	Юра
Профессия		врач
Увлечение		туризм

Влад не может быть врачом, иначе получилось бы, что буква "а" в его имени встречается в названии его профессии, и регбистом оказался бы Юра или Тимур, т.е. буква "р" из их имен встречалась бы в названии увлечений одного из них, что противоречит условию задачи. Следовательно, врач -- Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно, двое из друзей, в названиях профессии и увлечения которых не встречается ни одна буква их имени -- Юра и Влад. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буква "р". Следовательно, окончательно имеем:

Имя	Юра	Тимур	Влад
Профессия	физик	врач	юрист
Увлечение	бег	туризм	регби

Ответ. Влад -- юрист и регбист, Тимур -- врач и турист, Юра -- физик и бегун.

2.1.2.3 Задачи, решаемые построением графов

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами; некоторые из них соединены друг с другом линиями называемыми ребрами графа [1].

Графом называется множество точек, изображенных на плоскости (листе бумаги, доске), некоторые пары из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, линии - ребрами. Степенью вершины называется число ребер, выходящих из вершины.

При взгляде на географическую карту сразу бросается в глаза сеть железных дорог. Это типичный граф: кружочки обозначают станции-вершины графа, а соединяющие их линии - пути-ребра.

Рисунок изображает схему дорог между селами М, А, Б, В и Г. Здесь каждые две вершины соединены между собой ребром. Числа на рисунке указывают расстояния между селами по этим дорогам. Пусть в селе М находится почта и почтальон должен развести письма в остальные четыре села. Существует много различных маршрутов поездки. Как из них выбрать наикратчайший? Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет новый граф, на котором легко увидеть возможные маршруты. Вершина М - начало маршрутов. Из нее можно начать путь четырьмя различными способами: в А, в Б, в В или в Г. После посещения одного из сел остается три возможности продолжения маршрута, потом две, потом дорога в последнее село и вновь в М. Всего 4321 24 способа.

Подобные задачи возникают часто при нахождении наилучших вариантов развозки товаров по магазинам, материалов по стройкам.

Рассмотрим одну из простейших задач: «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках указанных цветов по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»

Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем G1 (Рисунок ).

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф G2 , дающий решение задачи.

.При решении задач, которые в научно-популярной и методической литературе принято называть логическими, как правило, сколько-нибудь существенно не опираются на школьные знания и умения. В связи с этим они традиционно считаются мерилом смекалки, показателем уровня математических способностей, остроты мышления, умения пользоваться памятью и часто разбираются на занятиях школьных математических кружков.

Решение многих логических задач с помощью графов вполне доступно уже младшим школьникам. Для этого им достаточно иметь лишь интуитивные представления о графах и самых очевидных их свойствах.

Рассмотрим примеры использования графов при решении некоторых известных задач. При этом объекты будем изображать точками, а отношения между ними - отрезками (положения точек и длины отрезков произвольны).

Выяснение структур логических задач с точки зрения применяемых методов решения дает возможность вычленить некоторые классы таких задач.

Задача 1. Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас белокурый, другой брюнет, третий рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из друзей?

Приведем подробное решение. Построим граф отношения, заданного в условии задачи. Для этого, прежде всего, выделим множество фамилий М и множество цветов волос К, элементы которых будем обозначать точками. Точки множества М назовем буквами Б, Ч, Р (Белокуров, Чернов и Рыжов); точки второго множества - б, бр, р (белокурый, брюнет, рыжий). Если точке из одного множества соответствует точка из другого, мы их соединим сплошной линией, а если не соответствует - штриховой. Условие задачи указывает лишь на несоответствия, поэтому вначале должен возникнуть граф, изображенный на рисунке Рисунок 3.

Из условия задачи следует, что для каждой точки из множества М существует одна и только одна тонка из множеств К, которая соответствует первой и, наоборот, каждой точке из множества К соответствует одна и только одна точка из множества М. Задача сводится к тому, чтобы найти это единственно возможное соответствие между элементами множеств М и К, т. е. к нахождению трех сплошных линий, соединяющих соответствующие точки множеств.

Принцип решения задачи прост. Если какая-то точка множества М оказывается соединенной с двумя точками множества К штриховыми линиями, ее необходимо соединить сплошной линией с третьей точкой множества К. Поэтому граф на рисунке 3 дополняется сплошными линиями, соединяющими точки Б и р, Р и бр (рис.4)

Далее остается соединить сплошной линией точку Ч и точку б, так как точка Ч соединена с точкой бр штриховой линией, а точка р уже «занята» (рис. 5).

Таким образом, на графе этого рисунка автоматически прочитываем ответ: Белокуров -- рыжий, Чернов -- белокурый, Рыжов - брюнет. Таким же приемом решаются, например, нижеследующие задачи 2 и 3.

Задача 2. Для Вани, Коли и Миши испечены пироги: один с капустой, другой с рисом, третий - с яблоками. Миша не любит пирог с яблоками и не ест с капустой. Ваня не любит пирог с капустой. Кто какой пирог ест?

2.2 Этапы решения логических задач

2.2.1 Анализ условия задачи

Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т.е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем:

а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче;

б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. Выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения.

в) Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые.

г) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения.

д) Уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания задания, полезно попытаться ответить на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?" Не всегда сразу удается ответить на этот вопрос, но иногда это можно сделать.

Отвечая на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?", полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.

2.2.2 Поиск пути решения задачи, составление плана решения задачи

Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом.

а) Известна ли какая-либо родственная задача? Аналогичная задача? Если такая или родственная задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Но далеко не всегда известна задача, родственная решаемой.

б) Известна ли задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее.

в) Составляя план решения задачи, всегда следует отслеживать: все ли данные задачи использованы. Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.

2.2.3 Осуществление плана решения задачи

План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана рассматривают все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо.

а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага.

б) При реализации плана поможет замените термины и символы их определениями.

в) При решении некоторых задач помогает совет: "Воспользуйтесь свойствами данных в условии объектов".

2.2.4 Проверка решения логической задачи

Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер. Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи.

2.3 Анализ учебников по математике

Дорофеев, Г.В. Математика. 5 класс. В двух частях. Л.Г. Петерсон.

Учебник [5] состоит из двух частей, каждая из которых поделена на главы.

В первых двух параграфах первой главы автор предлагает изучить математические выражения и математические модели. Здесь ученики смогут научиться записывать, читать, составлять выражения и находить их значения, что несомненно поможет в изучении последующих тем, а именно в переводе условия задачи на математический язык, в работе с математическими моделями.

Классификации утверждений посвящен параграф - «Язык и логика».

Здесь автор предлагает изучить следующие темы:

1. Высказывания.

2. Общие утверждения.

3. «Хотя бы один».

4. О доказательстве общих утверждений.

5. Введение обозначений.

В этом параграфе рассматривается понятие высказывания и связанные с ним простейшие понятия. Определяются утверждения, которые истинные когда все элементы некоторого множества обладают некоторым свойством, то есть общие утверждения, и утверждения, которые истинны, когда в хотя бы один элемент в заданном множестве обладает определённым свойством, то есть утверждения о существовании. В четвертом пункте рассказываются доказательства общих утверждений методом перебора, который был уже изучен ранее. В следующем пункте вводятся обозначения логико-символического языка.

Материал рассмотренного параграфа применяется в темах, которые рассматриваются далее. Например, при изучении делимость натуральных чисел.

Во многих заданиях применяется нестандартная формулировка. Например, в №400 нужно проверить истинность высказывания:

В пункте «Делимость суммы и разности» в №497 ученикам предлагается привести контрпример, опровергающий утверждение:

Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма не делится на это число.

В первых четырех параграфах второй главы автор дает понятие делителя и кратного, знакомит с простыми и составными числами, рассматривает делимость произведения, суммы и разности, признаки делимости.

В последнем параграфе рассматривается равносильность предложений и определений. Автор не дает явного определения равносильным предложениям. Исходная идея состоит в том, что одну и ту же мысль можно выразить по-разному. Автор дает много примеров различного характера и пояснения. Используя при этом ранее изученное, а именно признаки делимости.

Учебнике знакомит со многими понятиями. Во втором пункте пятого параграфа автор отмечает, что одно определение можно выразить и записать в разных формах, но всегда определение объясняется через уже известные «старые» слова. Ребята учатся выражать на математическом языке уже известные им понятия.

2) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс. В трех частях. Л. Г. Петерсон.

Учебник [8] начинается с главы «Язык и логика». В этой главе автор рассматривает понятие отрицания. Явного определения здесь также не дается. Отрицание рассматривается на примере спора двух людей, которые отрицают друг друга. Приводятся несложные примеры отрицаний, которые оформлены в виде таблицы, что очень удобно для учеников. Автор отмечает, что необходимо культурно и грамотно формулировать отрицание.

Далее автор формулирует закон исключенного третьего.

В следующих двух параграфах рассматривается отрицание общих высказываний и высказываний о существовании. Рассмотренный материал используется уже в следующем параграфе при построении отрицаний утверждений с кванторами, а также в дальнейшем при построении доказательств утверждений и теорем.

Во втором параграфе рассматриваются понятие переменной, выражения с переменными, предложения с переменными, переменные и кванторы. Здесь явно дается понятие переменной, выражений с переменной. Здесь же автор знакомит учеников с понятием квантора. Это позволяет ребятам уже сейчас записывать высказывания в компактной, легко обозримой форме и оценить точность математического языка. Материал, изученный в рассмотренном параграфе, используется при изучении главы «Арифметика». Здесь во многих задачах необходимо найти значение переменной.

В третьей главе рассматривается понятие логического следования, которое поясняется на примерах из жизни и из математики. В следующих пунктах ученики знакомятся с понятием отрицания логического следования и понятием обратного утверждения.

На данном этапе ученики уже знакомы с понятием равносильности. В следующем пункте автор связывает понятие равносильности с понятием логического следования.

В последнем пункте автор также рассматривает следование. Рассмотрение данной темы упрощает изучение следующей главы «Геометрия», где при введении различных понятий и утверждений используется логическое следование. Рассматриваются обратные утверждения и отрицание утверждений, их истинность.

Хотелось бы отметить то, что учебник содержит много нестандартных задач с интересными формулировками, много задач на доказательство. Многие задачи даются в виде схем, алгоритмов, таблиц, что развивает зрительное восприятие учеников. Учебник содержит задания для самостоятельной работы, повторения, выделено домашнее задание и задания для работы на уроке. Материал изложен в доступной форме. В конце изученного материала ученики могут проверить свои знания с помощью тестов, «Блиц турниров», игр.

Ончукова, Л. В. Введение в логику. Логические операции.

Учебное пособие [19] предназначено для работы по программам открытого лицея и ориентировано на развитие творческих способностей и повышения культуры мышления школьников. Овладение основами логики поможет учащимся в изучении школьных предметов, в том числе на расширенном и углубленном уровне в профильных, гимназических и лицейских классах.

Материал дается в доступной форме, в виде рассказа. В ходе рассказа автор приводит исторические сведения, что вызывает еще больший интерес к теме. Даются все основные понятия, связанные с логикой и необходимые для успешного обучения школьников в 5 классе. После теоретических сведений даются задачи по новой теме для работы в классе, причем автор помогает разобраться в некоторых из них, а к некоторым дает пояснения. После практики автор предлагает написать тест, ответы к которому есть в конце книги. Также предлагается и домашнее задание.

В этом пособии рассматриваются следующие темы: отрицание высказываний, понятие отрицания, решение задач с помощью отрицания, свойства отрицания, отрицание отрицания, поиск противоречия, утверждения, одинаковые по смыслу, умозаключения. А так же такие темы как логические операции и признаки делимости, свойства импликации, конъюнкция высказываний, дизъюнкция высказываний, отрицание конъюнкции и дизъюнкции. Здесь много нестандартных задач, и на многие дается решение.

К каждой теме даны задачи, решения некоторых задач подробно рассмотрены, во многих задачах рассматривается не один способ решения. Почти в каждой теме присутствуют тесты, на каждый тест отводится определенное количество времени. В конце пособия даны ответы к задачам и тестам.

Знакомясь с логикой с помощью данного пособия, ребята научатся логически правильно мыслить, составлять таблицы истинности, а в конце ответив на вопросы теста, смогут оценить свои успехи.

Проведенный анализ учебников показывает, что количество задач содержащие элементы логики намного меньше ожидаемого и недостаточно для формирования логической культуры у учащихся. Обучение математике сводится к проработке отдельных частей курса элементарной математики, к решению типичных задач и обучению, основным приемам их решения.

Учитель вынужден идти по пути решения задач заданного типа с последующим формированием и развитием навыков подведения под тип. Такое преподавание является одной из причин того, что, за редким исключением, учащиеся не умеют решать задачи. Они с трудом выделяют из задачи данные и искомые величины, плохо анализируют их взаимосвязь, неудачно строят логические цепочки и делают выводы, то есть говоря более широко, у них отсутствуют навыки логического конструирования.

2.4 Логические задачи на уроках математики в 5-6 классах

2.4.1 Элементы логики на уроках математики

Равносильность предложений

Цель: сформировать понятие равносильности, научиться применять на практике полученные знания.

Эту тему дают обычно уже в конце 5 класса, когда ученики уже знакомы со знаком равносильности, который они использовали для краткой записи свойств делимости.

Следует отметить, что понятие равносильности предложений относится не столько к математике, сколько к естественному языку. Как в обычном, так и в математическом языке одну и ту же мысль можно выразить несколькими разными способами. Например:

32 < 64, 64 > 32.

Саша - брат Кати, Катя - сестра Саши.

5x + 10 = 15, x = 1.

Знак равносильности употребляется для краткой записи утверждения и обозначает, что два предложения означают одно и то же. Например:

3 < 5 5 > 3

Так же следует отметить, что равносильные высказывания одновременно истинны или ложны. Например, высказывания «Некоторые цветы бывают синими» и «Встречаются синие цветы» истинны. Но даже очень похожие по виду выказывания могут быть одно истинным, а другое ложным. Например, высказывания «Все кошки четвероногие» и «Все четвероногие - кошки», не являются равноситльными, так как первое высказывание истинное, а второе ложное.