Решение логических задач на уроках математики в 5-6 классах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме: “Решение логических задач на уроках математики в 5-6 классах”

Содержание

Глава 1. Психолого-педагогические основы формирования умений решать задачи

1.1 Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

1.2 Особенности мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах

1.2.1. Мышление

1.2.2 Виды мышления

1.2.3 Логическое мышление

1.2.4 Особенности мышления

1.3 Методы обучения

1.4 Роль и функции задач в обучении математике

Глава 2. Методика обучения решению логических задач

2.1 Логическая задача. Способы решения логической задачи

2.1.1 Понятие «логическая задача»

2.1.2 Типология логических задач

2.1.2.1 Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»

2.1.2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

2.1.2.3 Задачи, решаемые построением графов

2.2 Этапы решения логических задач

2.2.1 Анализ условия задачи

2.2.2 Поиск пути решения задачи, составление плана решения задачи

2.2.3 Осуществление плана решения задачи

2.2.4 Проверка решения логической задачи

2.3 Анализ учебников по математике

2.4 Логические задачи на уроках математики в 5-6 классах

2.4.1 Элементы логики на уроках математики

2.4.2 Элементы логики на факультативных занятиях

2.4.3 Система логических задач

Заключение

Библиография

Введение

В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Именно поэтому развитие мышления является важной задачей школьного курса обучения. Перед учителем математики стоит задача - не просто давать знания, предусмотренные программой, а способствовать формированию высокого уровня логической культуры учащихся. При этом математика имеет огромные возможности для реализации этой цели.

Но сейчас математика необходима не только как вспомогательное орудие. Ломоносов говорил: «Математику уже, затем учить следует, что она ум в порядок приводит, она - школа мышления».

Изучение курса математической логики способствует воспитанию культуры логического мышления. Основа логики - это осознание структуры математической науки, ее фундаментальных понятий: аксиомы, доказательства, теории. При построении теории нужно всякий раз отчетливо осознавать, какие утверждения приняты за аксиомы в рассматирваемом случае, каковы условия и заключения той или иной доказываемой теоремы. За осознанием структуры математической теоремы должно прийти понимание методов ее доказательства. Специальное рассмотрение и уточнение всех этих понятий с привлечением логической символики и примеров способствует ясности мысли, повышению требовательности к себе, обоснованности аргументации в доказательствах. Ясность мысли приводит к ясности изложения.

Основное приложение логики состоит в использовании ее методов для проведения и проверки рассуждений. Умение правильно рассуждать необходимо в любой человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, планировании народного хозяйства и военном деле.

Вторым возможным применением логики является использование ее средств для уточнения языка в электронно-вычислительной технике.

Третий аспект приложений логики условно можно назвать «техническим». Аппарат математической логики используется для анализа и синтеза переключательных схем, имеющих разнообразное применение в технике.

Школьная математика - основа всей математики. Чтобы изучение шло успешно, необходимо усвоить азы. Для этого необходимо, прежде всего, научить решать задачи, особенно логические. Задачи, которые кажутся на первый взгляд простыми, могут потребовать остроумия, смекалки при ее решении. Такие задачи встречаются уже в арифметике целых чисел, которую изучают ученики 5-6 классов.

Цель уроков по логике не заучивание правил, а развитие способностей умения рассуждать и делать правильные выводы. Мудрецы в Древнем Китае говорили: «Дай человеку рыбу - он будет сыт один день. Научи человека ловить рыбу - он будет сыт всю жизнь.».

Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач ученикам предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это вызывает и сохраняет интерес к математике. Обдумывание идеи задачи и попытка рассуждать, сконструировать его логически обоснованное решение - лучший способ раскрытия творческих способностей учеников.

Очень важно уже с раннего возраста учить ребят мыслить логически, то есть мыслить последовательно, связно. Прежде всего, это важно для их дальнейшего успешного обучения.

Включение элементов логики в обучение математике способствует естественному распространению математических идей, методов и языка на новые логические объекты, и это расширение способствует лучшему усвоению этих идей, методов и языка.

Глава 1. Психолого-педагогический анализ учащихся

1.1 Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

Подростковый возраст - это возраст от 10-11 до 15 лет, что соответствует возрасту учащихся 5-8 классов. Этот возраст связан с перестройкой всего организма ребенка - половым созреванием. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие - позже (в 13 лет). Начинаясь с кризиса, весь период протекает трудно и для ребенка, и для взрослых.

Подростковый возраст называют переходным возрастом. В этом смысле подросток-полуребенок и полувзрослый: детство уже ушло, но зрелость еще не наступила. Переход к взрослости пронизывает все стороны развития подростка: и его анатомо-физиологическое, и интеллектуальное, и нравственное развитие - и все виды его деятельности.

Существенные изменения происходят в эмоциональной сфере подростка. Эмоции подростка отличаются большой силой и трудностью в их управлении. Подростки отличаются большой вспыльчивостью, слабостью самоконтроля, резкостью в поведении. С этим связано неумение сдерживать себя.

Подросткам свойственно бурное проявление своих чувств. Если они чувствуют малейшую несправедливость к себе, они способны взорваться, хотя потом могут сожалеть об этом.

Эмоциональные переживания подростков приобретают большую устойчивость. Нередко чувства подростка бывают противоречивы. Очень важно, чтобы эти противоречия разрешались в пользу положительных, общественно значимых чувств.

Особенно заметным в этом возрасте становится рост сознания и самосознания детей. Последнее находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда.

Учение для подростка является главным видом деятельности. И от того, как учится подросток, во многом зависит его психическое развитие. В подростковом возрасте происходят существенные сдвиги в развитии мыслительной деятельности учащихся.

Подростков очень привлекает возможность расширить, обогатить свои знания, проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить причинно-следственные связи. Подростки испытывают большое эмоциональное удовлетворение от исследовательской деятельности. Им нравится мыслить, делать самостоятельные открытия. Наряду с познавательными интересами существенное значение при положительном отношении подростков к учению имеет понимание значимости знаний. Для подростка очень важно осознать, осмыслить жизненное значение знаний и прежде всего их значение, для развития личности. Это связано с усиленным ростом самосознания современного подростка.

Многие учебные предметы нравятся подросткам потому, что они отвечают его потребностям не только много знать, но и уметь, быть всесторонне развитым человеком.

Если же подросток не видит жизненного значения знаний, то у него могут сформироваться негативные убеждения и отрицательное отношение к существующим учебным предметам. Эмоциональное благополучие во многом зависит также от оценки его учебной деятельности взрослыми.

В подростковом возрасте появляются новые мотивы учения, связанные с расширением знаний, с формированием нужных умений и навыков, позволяющих заниматься интересной работой, самостоятельным творческим трудом. Учителю необходимо знать эти мотивы, условия их формирования, так как отношение подростков к учению обусловлено, прежде всего, качеством работы учителя и его отношением к учащимся.

Пятиклассник, шестиклассник, ученик которому 10-13 лет, находится в подростковом возрасте, когда происходит своеобразный переход к взрослому состоянию, от незрелости к зрелости.

В подростковом возрасте серьёзно изменяются условия жизни и деятельности школьника, что приводит к перестройке психики, ломке старых сложившихся форм взаимодействия с людьми.

В 5 классе ученики переходят к систематическому изучению наук. А это требует от психической деятельности более высокого уровня: глубоких обобщений и доказательств, понимания более сложных абстрактных отношений между объектами, формирование отвлеченных понятий.

В подростковом возрасте, в частности 5-6 классах, существенно перестраивается характер учебной деятельности. Причем не только усложняется сама учебная деятельность, увеличивается количество учебных предметов, вместо одного учителя с классом работает уже несколько учителей, у которых различные требования, стиль ведения урока, отношение к учащимся.

Главное, постепенно нарастающая взрослость подростка делает неприемлемым для него привычные младшему школьнику, старые формы и методы обучения.

Расширение связей с окружающим миром, широкое общение со сверстниками, личные интересы и увлечения также часто снижают непосредственный интерес подростков к учению. Сознательно-положительное отношение ребят к учению возникает тогда, когда учение удовлетворяет их познавательные потребности , благодаря чему знания приобретают для них определенный смысл как необходимое и важное условие подготовки к будущей самостоятельной жизни. Однако здесь иногда наблюдается расхождение: стремление к приобретению знаний может сочетаться с безразличным или даже отрицательным отношением к школьному учению. Это может быть своеобразной реакцией на те или иные неудачи в учении, на конфликт с учителем. Подросток обычно остро переживает учебные неудачи и из-за самолюбия иногда маскирует подлинное отношение к этим неудачам: делает вид, что к успехам в учении он совершенно безразличен и равнодушен.

Наиболее существенную роль в формировании положительного отношения подростка к учению, в том числе и к математике, играют научная содержательность учебного материала, его связь с жизнью и практикой, проблемный и эмоциональный характер изложения, организация поисковой, познавательной деятельности, которая дает учащимся возможность переживать радость самостоятельных открытий, знакомство подростков с рациональными приемами учебной работы, навыками самовоспитания, являющимися непременной предпосылкой для достижения успеха.

1.2 Особенности мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах

1.2.1 Мышление

Важнейшей задачей обучения математике является развитие мышления учащихся.

Мышление является высшим познавательным процессом. Мышление человека -- это творческое преобразование имеющихся в памяти представлений и образов. Мышление всегда направлено на решение какой-либо задачи.

Мышление -- сложная форма психической деятельности. В процессе мыслительной деятельности человек познает окружающий мир с помощью особых умственных операций. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления. Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение [3].

Анализ -- это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений. В элементарной форме анализ выражается в практическом разложении предметов на составные части. Анализ бывает практическим (когда мыслительный процесс непосредственно включен в речевую деятельность) и умственным (теоретическим). Если анализ оторван от других операций, он становится порочным, механистичным. Элементы такого анализа наблюдаются у ребенка на первых этапах развития мышления, когда ребенок разбирает, ломает игрушки на отдельные части, никак не используя их дальше.

Синтез - это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Операция синтеза противоположна анализу. В его процессе устанавливается отношение отдельных предметов или явлений как элементов или частей к их сложному целому, предмету или явлению. Синтез не является механическим соединением частей и поэтому не сводится к их сумме. И синтез, и анализ занимают важное место в учебном процессе. Так, при обучении чтению звуков и букв составляются слоги, из слогов - слова, из слов - предложения.

Сравнение - это установление сходства или различия между предметами и явлениями или их отдельными признаками. Практически сравнение наблюдается при прикладывании одного предмета к другому; например, одного карандаша к другому, линейки к парте и т.п. Так происходит процесс сравнения, когда мы измеряем пространство или взвешиваем тяжести. Сравнение бывает односторонним (неполным, по одному признаку) и многосторонним (полным, по всем признакам); поверхностным и глубоким; неопосредствованным и опосредованным. Основное требование к операции сравнения, чтобы оно проводилось в одном отношении. Для более глубокого и точного познания деятельности особенно большое значение такое качество мышления как способность находить различия в наиболее сходных предметах и сходство - в различных.

Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных. Так мы можем говорить о зеленом цвете как о благотворно действующем на зрение человека, не указывая конкретно предметов, имеющих зеленый цвет. В этом процессе признак, отделяемый от объекта, мыслится независимо от других признаков предмета, становится самостоятельным предметом мышления. Абстрагирование обычно осуществляется в результате анализа. Именно путем абстрагирования были созданы отвлеченные, абстрактные понятия длины, ширины, количества, равенства, стоимости и т.д. Абстракция - сложный процесс, зависящий от своеобразия изучаемого объекта и целей, стоящих перед исследователем. Благодаря абстракции человек может отвлечься от единичного, конкретного. В то же время абстракция не существует без чувственной опоры, иначе она становится бессодержательной, формальной. Среди видов абстракций можно выделить практическую, непосредственную включенную в процесс деятельности; чувственную или внешнюю; высшую, опосредованную, выраженную в понятиях.

Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть содержание. К конкретизации обращаются в том случаи, когда высказанная мысль оказывается непонятной другим или когда необходимо показать проявление общего в единичном. Когда нас просят привести пример, то, по сути дела, просьба заключается в конкретизации предшествующих высказываний.

Обобщение -- мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам. Мыслительная деятельность всегда направлена на получение результата. Человек анализирует предметы с тем, чтобы выявить в них общие закономерности и предсказать их свойства. Повторяемость определенной совокупности свойств в ряде предметов указывает на более или менее существенные связи между ними. При этом обобщение вовсе не предполагает отбрасывания специфических особенных свойств предметов, а заключается в раскрытии их существенных связей. Простейшие обобщения заключаются в объединении объектов на основе отдельных, случайных признаков. Более сложным является комплексное обобщение, при котором объекты объединены по разным основаниям. Наиболее сложно обобщение, в котором четко выделяются видовые и родовые признаки, и объект включается в систему понятий.

Все указанные операции не могут проявляться изолированно вне связи друг с другом. На их основе возникают более сложные операции, такие как классификация, систематизация и прочие. Каждая из мыслительных операций может быть рассмотрена как соответствующее умственное действие. При этом подчеркивается активность, действенный характер человеческого мышления, возможность творческого преобразования действительности. Мышление человека не только включает в себя различные операции, но и протекает на различных уровнях, в различных формах, что в совокупности позволяет говорить о существовании разных видов мышления. В психологии сложилось несколько подходов к проблеме классификации видов мышления.

Задача мышления заключается в том, чтобы выявить существенные, необходимые связи, основанные на реальных зависимостях, отделив их от случайных совпадений. Всякое мышление совершается в обобщениях. Мышление - это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведет от отдельного к общему и от общего к отдельному. Поэтому мышление опосредствованно, основано на раскрытии связей, отношений, и направлено на обобщенное познание объективной реальности.

1.2.2 Виды мышления

В психологии принята и распространена следующая несколько условная классификация видов мышления по таким различным основаниям как:

1) генезису развития;

2) характеру решаемых задач;

3) степени развернутости;

4) степени новизны и оригинальности;

5) средствам мышления;

6) функциям мышления и т.д.

1. По генезису развития различают мышление:

наглядно-действенное;

наглядно-образное;

словесно-логическое;

абстрактно-логическое.

Наглядно-действенное мышление - вид мышления, опирающийся на непосредственное восприятие предметов в процессе действий с ними. Это мышление есть наиболее элементарный вид мышления, возникающий в практической деятельности и являющийся основой для формирования более сложных видов мышления.

Наглядно-образное мышление - вид мышления, характеризующийся опорой на представления и образы. При наглядно-образном мышлении ситуация преобретает вид образа или представления.

Словесно-логическое мышление - вид мышления, осуществляемый при помощи логических операций с понятиями. При словесно-логическом мышлении, оперируя логическими понятиями, субъект может познавать существенные закономерности и ненаблюдаемые взаимосвязи исследуемой реальности.

Абстрактно-логическое (отвлеченное) мышление - вид мышления, основанный на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении от других, несущественных свойств.

2. По характеру решаемых задач различают мышление:

теоретическое;

практическое.

Теоретическое мышление - мышление на основе теоретических рассуждений и умозаключений. Практическое мышление - мышление на основе суждений и умозаключений, основанных на решении практических задач.

Теоретическое мышление - это познание законов и правил.

Основная задача практического мышления - разработка средств практического преобразования действительности: постановка цели, создание плана, проекта, схемы.

3. По степени развернутости различают мышление:

дискурсивное;

интуитивное.

Дискурсивное (аналитическое) мышление - мышление, опосредованное логикой рассуждений, а не восприятия. Аналитическое мышление развернуто во времени, имеет четко выраженные этапы, представлено в сознании самого мыслящего человека. Интуитивное мышление - мышление на основе непосредственных чувственных восприятий и непосредственного отражения воздействий предметов и явлений объективного мира. Интуитивное мышление характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, является минимально осознанным,

4. По степени новизны и оригинальности различают мышление: репродуктивное и продуктивное (творческое).

Репродуктивное мышление - мышление на основе образов и представлений, почерпнутых из каких-то определенных источников. Продуктивное мышление - мышление на основе творческого воображения.

5. По средствам мышления различают мышление вербальное и наглядное. Наглядное мышление - мышление на основе образов и представлений предметов. Вербальное мышление - мышление, оперирующее отвлеченными знаковыми структурами.

Установлено, что для полноценной мыслительной работы одним людям необходимо видеть или представлять предметы, другие предпочитают оперировать отвлеченными знаковыми структурами.

6. По функциям различают мышление критическое и творческое.

Критическое мышление направлено на выявление недостатков в суждениях других людей. Творческое мышление связано с открытием принципиально нового знания, с генерацией собственных оригинальных идей, а не с оцениванием чужих мыслей.

1.2.3 Логическое мышление

Одной из наиболее распространенных в психологии является классификация видов мышления в зависимости от содержания решаемой задачи. Выделяют предметно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое мышление. Следует отметить, что все виды мышления тесно взаимосвязаны между собой. Приступая к какому-либо практическому действию, мы уже имеем в сознании тот образ, который предстоит еще достигнуть, Отдельные виды мышления постоянно взаимно переходят друг в друга. Так, практически невозможно разделить наглядно-образное и словесно-логическое мышление, когда содержанием задачи являются схемы и графики. Поэтому, пытаясь определить вид мышления, следует помнить, что этот процесс всегда относительный и условный. Обычно у человека задействованы все возможные компоненты и следует говорить об относительном преобладании того или иного вида мышления. Только развитие всех видов мышления в их единстве может обеспечить правильное и достаточно полное отражение действительности человеком.

Подробнее рассмотрим словесно-логическое мышление. Этот вид мышления функционирует на базе языковых средств и представляет собой наиболее поздний этап исторического и онтогенетического развития мышления. Для словесно-логического мышления характерно использование понятий, логических конструкций, которые иногда не имеют прямого образного выражения (например, стоимость, честность, гордость и т.д.). Благодаря словесно-логическому мышлению человек может устанавливать наиболее общие закономерности, предвидеть развитие процессов в природе и обществе, обобщать различный, наглядный материал.

В то же время даже самое отвлеченное мышление никогда полностью не отрывается от наглядно-чувственного опыта. И любое абстрактное понятие имеет у каждого человека свою конкретную чувственную опору, которая, конечно, не может отразить всей глубины понятия, но в то же время позволяет не отрываться от реального мира. При этом чрезмерное количество ярких запоминающихся деталей в объекте может отвлекать внимание от основных, существенных свойств познаваемого объекта и тем самым затруднять его анализ.

Наряду с задачей развития логического мышления в 5-6-ом классе уже должна решаться и более общая задача - воспитание логической грамотности, которая, в свою очередь, является необходимым условием полноценного формирования интеллектуальной культуры человека и ее базовым компонентом.

Под логической грамотностью понимаются логические знания и умения, которые дают возможность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности в повседневной жизни. Эти знания и умения - также необходимое условие развития логического мышления.

Ответственность за формирование логической грамотности учащихся лежит на преподавателях всех предметов. Но отвечают за нее учителя математики, поскольку в математике логические формы и отношения проявляются в наиболее чистом виде. Более того, логика - это основной инструмент математики, с помощью которого упорядочиваются, приводится в систему имеющиеся математические знания и получаются новые.

Поиску путей развития логического мышления учащихся в процессе обучения математике посвящены методические исследования И.Л. Никольской, А.А. Столяра и др. [17], [22] Ими были разработаны общие программы, содержание и методика логической подготовки школьников в процессе обучения математике.

Во всех общих программах четко прослеживаются в качестве основных одни и те же блоки, которые условно могут быть обозначены как "классификация", "определения", "умозаключения". Эти основные логические действия не могут быть полноценно сформированы без предварительной работы с признаками предметов: дети должны научиться мысленно, выделять в предметах их признаки (форма, размер, цвет и пр.) и оперировать ими как абстрактными объектами.

Учитывая целесообразность непрерывного формирования логических умений на протяжении всего периода обучения в школе, необходимость преемственности между различными ступенями обучения и возрастные особенности познавательной деятельности школьников, выделим те знания и умения, формирование которых следует начинать уже в начальной школе.

Приведем перечень, в котором указаны основные группы умений и действия, их составляющие.

I. Выделение признаков предметов и оперирование ими:

1. Выделение признаков предметов (конкретных и абстрактных).

2. Сравнение двух и более предметов: а) выявление общих признаков двух, трех и более предметов; б) выявление отличительных признаков двух, трех и более предметов.

3. Выявление общего свойства группы предметов: а) подбор общего названия (собирательного имени) для группы предметов; б) выявление "лишнего" предмета в данной группе; в) нахождение недостающего предмета в данной группе; г) сравнение групп предметов.

4. Выявление закономерностей расположения предметов в ряду.

5. Узнавание предметов по их признакам.

6. Описание предмета по его признакам.

II. Классификация:

1. Словесная характеристика классов в готовой классификации.

2. Деление на классы по заданному основанию. Отнесение объекта к классу.

3. Выделение основания для самостоятельно проводимой классификации.

4. Проверка результатов проведенной классификации

III. Понимание и правильное употребление логических слов ("и", "или", "все", "некоторые" и др.).

IV. Определения:

1. Выделение признаков объекта.

2. Выделение характеристических совокупностей признаков объекта.

3. Описание объектов по их признакам.

4. Выделение родовидовых отношений.

5. Построение определений через род и видовое отличие.

V. Простейшие умозаключения и доказательства:

1. Умозаключения по индукции.

2. Умозаключения по аналогии.

3. Дедуктивные умозаключения: а) на основе свойств отношений эквивалентности и порядка; б) по правилам заключения, отрицания и силлогизма.

4. Доказательство или опровержение утверждений с помощью примера или контрпримера.

Исследования показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и умениями: 1) умение определить известное понятие; 2) знание правил классификации;

3) понимание смысла логических связок «и», «или», «не», «если... то», «следует», «эквивалентно» (логически);

4) умение выделить логическую форму математического предложения;

5) понимание смысла терминов «необходимо» и «достаточно» (и их отрицания), а также их сочетаний;

6) умение проводить доказательства утверждений, знать наиболее употребительные приемы доказательства, обнаруживать грубые логические ошибки;

7) умение правильно организовывать и рационализировать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации;

8) умение мыслить критически, последовательно, четко и полно;

9) владение основными мыслительными приемами (анализ, синтез, обобщение, сравнение и т. п.) в простейших случаях.

Исходя из вышесказанного следует, что именно в подростковом возрасте закладывается фундамент формирования перечисленных логических знаний и умений.

Анализ исследований, проведенных зарубежными и отечественными специалистами [4], показал, что наиболее эффективно логическое мышление развивается в среднем и старшем школьном возрасте, когда развивается способность и дедукции. В результате анализа была выдвинута гипотеза о том, что снижения уровня логического мышления можно избежать за счет занятий с ребятами играми с головоломками. Поскольку логическое мышление в течение жизни развивается под воздействием внешних факторов, то в процессе дополнительного воздействия возможен дополнительный прирост уровня развития логического мышления. Данная гипотеза была в дальнейшем подтверждена в ходе педагогического эксперимента, во время которого ребята занимались с головоломками из набора «ЛОГО», специально созданного для этих целей.

Проведенная опытно-экспериментальная работа показала целесообразность использования головоломок и логических задач для развития логического мышления. При исследовании шестидесяти детей в возрасте 10-12 лет был выявлен прирост (30-32%) уровня логического мышления и это тогда, когда по статистике в этом возрасте наблюдается спад логического мышления.

Результаты экспериментальной работы оценивались по изменению уровня логического мышления детей, которые, в свою очередь оценивался при помощи апробированной методики «ШТУР» - Школьный Тест Умственного Развития. Тест был разработан учеными научно-исследовательского института общей и педагогической психологии АПИ СССР и учитывает такие критерии, как: адекватность, точность, своевременность, скорость, целесообразность, экономичность, инициативность и стабильность.

В результате работы было установлено, что логическое мышление развивается наиболее эффективно, когда в работу подключена мелкая моторика рук; занятия комплексны и регулярны; применяются игры с головоломками, сочетающие в себе способность развивать логическое мышление со способностью вызвать интерес ребенка к занятиям.

1.2.4 Особенности мышления

Обычно когда говорят о развитии мышления в процессе обучения математике, имеют в виду развитие математического мышления. Конечно, это верно: в процессе обучения математике следует в первую очередь беспокоиться не вообще о развитии мышления, а именно о развитии математического мышления. Весь вопрос только в том, что понимать под математическим мышлением, в чем его специфика.

К сожалению, рассматривая сущность математического мышлении, или, как еще говорят, математического стиля мышления, обычно указывают такое большое число отличительных его качеств, что всякая специфика этого вида мышления теряется. Так например, указывают такие качества математическою стиля мышления как гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность,

В процессе учения заметно совершенствуется логика математического мышления подростка. Содержание и логика изучаемых в школе предметов, изменение характера и форм учебной деятельности формируют и развивают у него способность активно, самостоятельно мыслить, рассуждать, сравнивать, делать, выводы и обобщения.

На уроках математики учитель предъявляет ученику уже более высокие требования. На занятиях школьник проявляет больше самостоятельности при решении различных заданий как при работе у доски, так и при работе в тетради. Содержание условий задач существенно отличается от того содержания, к которому ученик привык в начальной школе. Для понимания текста условия задачи теперь необходим более глубокий анализ. У ученика развивается умение логически мыслить, делать, определенные выводы.

Основная особенность мыслительной деятельности подростка - это нарастающая с каждым годом способность к абстрактному мышлению, изменение соотношения между конкретно-образным и абстрактным мышлением в пользу последнего. Конкретно-образные компоненты мышления не исчезают, а сохраняются и развиваются, продолжая играть существенную роль в общей структуре мышления, Поэтому однообразие, односторонность или ограниченность наглядного опыта тормозят развитие мышления. Например, младшие подростки иногда не узнают прямоугольный треугольник при положении прямого угла вверху, когда гипотенуза является основанием треугольника и т. п.

Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверять, лично удостовериться в истинности.

В процессе учении подросток приобретает способность к сложному аналитико-синтетическому восприятию предметов и явлений. Восприятие становится плановым, последовательным и всесторонним. Подросток воспринимает уже не только то, что лежит на поверхности явлений, хотя здесь многое зависит от его отношения к воспринимаемому объекту. Отсутствие интереса, равнодушие к материалу - и ученик поражает поверхностью своего восприятия. Подросток может добросовестно смотреть и слушать, но восприятие его будет случайным.

В подростковом возрасте продолжает развиваться теоретическое рефлексивное мышление. Приобретенные в младшем школьном возрасте операции становятся формально-логическими операциями. Подросток, абстрагируясь от конкретного, наглядного материала, рассуждает в чисто словесном плане. На основе общих посылок он строит гипотезы и проверяет их. При решении задач подросток не только дает правильное решение, но и логически обосновывает его.

Ученик умеет оперировать гипотезами, решая интеллектуальные задачи. Кроме того, он способен на системный поиск решений. Сталкиваясь с новой задачей, он старается отыскать разные возможные подходы к ее решению. Им находятся способы применения абстрактных правил для решения целого класса задач. Эти умения развиваются в процессе школьного обучения, при овладении знаковыми системами, принятыми в математике. Например, решая задачу: «Найти число, которое равняется удвоенному самому себе минус тридцать», подростки, используя сложную операцию - алгебраическое уравнение (х =2х-30), быстро находят ответ (х = 30). В то же время младшие школьники пытаются решить эту задачу подбором - умножают и вычитают разные числа, пока не придут к правильному результату.

Развиваются такие операции, как классификация, аналогия, обобщение и др. Устойчиво проявляется рефлексивный характер мышления: дети анализируют операции, которые они производят, способы решения задач.

Особенности теоретического рефлексивного мышления позволяют подросткам анализировать абстрактные идеи, искать ошибки и логические противоречия в суждениях. Подросток приобретает взрослую логику мышления.

В подростковом возрасте существенные изменения претерпевают также память и внимание. Нарастает умение организовывать и контролировать свое внимание, процессы памяти, управлять ими. Память и внимание постепенно приобретают характер организованных, регулируемых и управляемых процессов.

Отсюда следует, что для обучения учеников данного возраста необходим тщательный анализ форм и видов деятельности.

Итак, математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления, а задача учителя - полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Но определенной программы логических приемов мышления, которые должны быть сформированы при изучении данного предмета, нет. В результате, работа над развитием логического мышления идет без знания системы необходимых приемов, последовательности их формулирования.

Сначала математические знания усваиваются детьми в системе приближенной к их пониманию, в котором отдельные положения логически связаны и одно вытекает из другого. Ученики пользуются при этом основными операциями мышления: анализом, синтезом и др. Сознательное усвоение знаний развивает логическое мышление учащихся.

1.3 Методы обучения

Методам обучения, от которых зависит немалый успех работы учителя и школы в целом, посвящен не один десяток фундаментальных исследований как в теории педагогики, так и в частных методиках преподавания отдельных учебных предметов. И несмотря на это, проблема методов обучения как в теории обучения, так и в реальной педагогической практике остается весьма актуальной и время от времени порождает на страницах педагогической печати острые дискуссии. Они объясняются непрекращающимися попытками теоретиков-педагогов перейти от эмпирических описаний отдельных групп методов к обоснованию научной системы методов обучения и объяснения их сущности на основе раскрытия природы метода обучения и разработки основ их классификации.

Понятие и сущность метода обучения

Термин «метод» происходит от греческого слова «methodos», что означает путь, способ продвижения к истине, к ожидаемому результату. В педагогической практике под методом по традиции принято понимать упорядоченный способ деятельности по достижению учебно-воспитательных целей. При этом отмечают, что способы учебной деятельности учителя (преподавание) и способы учебной деятельности учащихся (учение) тесно связаны между собой и находятся во взаимодействии.

Метод обучения характеризуется тремя признаками. Он обозначает цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия субъектов обучения. Следовательно, понятие метода обучения отражает:

Способы обучающей работы учителя и способы учебной работы учащихся в их взаимосвязи;

Специфику их работы по достижению различных целей обучения.

Методы обучения -- это способы совместной деятельности учителя и учащихся, направленные на решение задач обучения, т.е. дидактических задач.

Приемы обучения

Методы реализуются в педагогической действительности в различных формах: в конкретных действиях, приемах, организационных формах и т.п. При этом методы и приемы жестко не привязаны друг к другу. Например, в таких приемах, как беседа или работа с книгой, могут найти воплощение разные методы обучения. Беседа может быть эвристической и проводить в жизнь частично-поисковый метод, а может носить репродуктивный характер, реализовать соответствующий метод и быть нацеленной на запоминание и закрепление. То же можно сказать и о работе с книгой, и об экскурсии, и т.д. Необходимо оговорить, что по логике, заложенной в разных классификациях методов (о них речь пойдет дальше), одни и те же виды деятельности могут быть отнесены к разным дидактическим категориям. Например, те же беседа или работа с книгой могут быть отнесены по одной классификации к приемам, по другой -- к методам. При этом число приемов обучения может бесконечно увеличиваться в зависимости от содержания учебного материала, новых целей и, конечно, от творчества учителя, его педагогического мастерства и тем самым придавать индивидуальность манере его педагогической деятельности. Многообразие сочетания приемов составляют методики преподавания.

В реальной педагогической действительности методы обучения, так же как и приемы, осуществляются различными средствами обучения, к которым относятся как материальные, так и идеальные объекты, помещаемые между учителем и учащимся и используемые для эффективной организации учебной деятельности школьников. Этими средствами являются различные виды деятельности (учебная, игровая, трудовая), предметы произведений материальной и духовной культуры, слово, речь и др.

Структура метода обучения

Каждый отдельно взятый метод обучения имеет определенную логическую структуру - индуктивную, дедуктивную или индуктивно-дедуктивную. Об этом свидетельствуют результаты фундаментальных исследований И.Я. Лернера в этой области. Логическая структура метода обучения зависит от построения содержания учебного материала и учебной деятельности учащихся.

Основные подходы к классификации методов обучения

Одной из острых проблем современной Дидактики является проблема классификации методов обучения. В настоящее время нет единой точки зрения по этому вопросу. В связи с тем, что разные авторы в основу подразделения методов обучения на группы и подгруппы кладут разные признаки, существует ряд классификаций.

Распространенной является классификация методов обучения по источнику получения знаний. В соответствии с таким подходом выделяют:

а) словесные методы (источником знания является устное или печатное слово);

б) наглядные методы (источником знаний являются наблюдаемые предметы, явления, наглядные пособия);

в) практические методы (учащиеся получают знания и вырабатывают умения, выполняя практические действия).

1.3.1 Словесные методы обучения

Более подробно остановимся на этой классификации. Словесные методы занимают ведущее место в системе методов обучения. Были периоды, когда они являлись почти единственным способом передачи знаний. Прогрессивные педагоги - Я.А. Коменский, К.Д. Ушинский и др. - выступали против абсолютизации их значения, доказывали необходимость дополнения их наглядными и практическими методами. В настоящее время нередко называют их устаревшими, «неактивными». К оценке этой группы методов надо подходить объективно. Словесные методы позволяют в кратчайший срок передать большую по объему информацию, поставить перед обучаемыми проблемы и указать пути их решения. С помощью слова учитель может вызвать в сознании детей яркие картины прошлого, настоящего и будущего человечества. Слово активизирует воображение, память, чувства учащихся.

Словесные методы подразделяются на следующие виды: рассказ, объяснение, беседа, дискуссия, лекция, работа с книгой.

Рассказ. Метод рассказа предполагает устное повествовательное изложение содержания учебного материала. Этот метод применяется на всех этапах школьного обучения. Меняется лишь характер рассказа, его объем, продолжительность.

К рассказу как методу изложения новых знаний обычно предъявляется ряд педагогических требований Рассказ должен:

содержать только достоверные факты;

включать достаточное количество ярких и убедительных примеров, фактов, доказывающих правильность выдвигаемых положений;

иметь четкую логику изложения;

быть эмоциональным;

излагаться простым и доступным языком;

отражать элементы личной оценки и отношения учителя к излагаемым фактам, событиям.

Объяснение. Под объяснением следует понимать истолкование закономерностей, существенных свойств изучаемого объекта, отдельных понятий, явлений.

Объяснение -- это монологическая форма изложения. К объяснению чаще всего прибегают при изучении теоретического материала различных наук, решении химических, физических, математических задач, теорем, при раскрытии коренных причин и следствий в явлениях природы и общественной жизни.

Использование метода объяснения требует:

точного и четкого формулирования задачи, сути проблемы, вопроса;

последовательного раскрытия причинно-следственных связей, аргументации и доказательств;

использования сравнения, сопоставления, аналогии;

привлечения ярких примеров;

безукоризненной логики изложения.

Объяснение как метод обучения широко используется в работе с детьми разных возрастных групп. Однако в среднем и старшем школьном возрасте, в связи с усложнением учебного материала и возрастающими интеллектуальными возможностями учащихся, использование этого метода становится более необходимым, чем в работе с младшими школьниками.

Беседа. Беседа -- диалогический метод обучения, при котором учитель путем постановки тщательно продуманной системы вопросов подводит учеников к пониманию нового материала или проверяет усвоение ими уже изученного.

В зависимости от конкретных задач, содержания учебного материала, уровня творческой познавательной деятельности учащихся, места беседы в дидактическом процессе выделяют различные виды бесед: вводные или вступительные, организующие беседы; беседы-сообщения или выявление и формирование новых знаний (сократические, эвристические); синтезирующие, систематизирующие или закрепляющие беседы.

Цель вводной беседы -- актуализировать ранее усвоенные знания, сконцентрировать внимание, интеллектуальные, потенциальные и реальные возможности учащихся для активного включения их в предстоящую учебно-познавательную деятельность по решению стоящих перед ними задач. В ходе такой беседы выясняется степень понимания и готовности учащихся к новым видам деятельности, к познанию нового.

Беседа-сообщение (эвристическая беседа) предполагает включение ученика в сам процесс активного участия в добывании новых знаний, в поиск способов их получения, формулирования собственных ответов на поставленные учителем вопросы. В ходе эвристической беседы учитель, опираясь на имеющиеся знания и практический опыт, подводит их к пониманию и усвоению новых знаний, формулированию правил и выводов. В результате такой совместной деятельности учащиеся приобретают новые знания, путем собственных усилий, размышлений.

Синтезирующая, или закрепляющая беседа нацелена на систематизацию уже имеющихся у учащихся теоретических знаний и способов их применения в нестандартных ситуациях, на перенос их в решении новых учебных и научных проблем на межпредметной основе.

В ходе беседы вопросы могут быть адресованы одному ученику (индивидуальная беседа) или учащимся всего класса (фронтальная беседа).

Одной из разновидностей беседы является собеседование. Оно может проводиться как с классом в целом, так и с отдельными группами учеников. Особенно полезно организовывать собеседование в старших классах, когда ученики проявляют больше самостоятельности в суждениях, могут ставить проблемные вопросы, высказывать свое мнение по тем или иным темам, поставленным учителем на обсуждение.

Успех проведения бесед во многом зависит от правильности постановки вопросов. Вопросы задаются учителем всему классу, чтобы все учащиеся готовились к ответу.

Вопросы должны быть краткими, четкими, содержательными, сформулированными так, чтобы будили мысль ученика. Не следует ставить двойных, подсказывающих вопросов или наталкивающих на угадывание ответа. Не следует формулировать альтернативных вопросов, требующих однозначных ответов типа «да» или «нет».

В целом метод беседы имеет следующее преимущество:

активизирует учебно-познавательную деятельность учащихся;

развивает их память и речь;

делает открытыми знания учащихся;

имеет большую воспитательную силу;

является хорошим диагностическим средством. Недостатки метода беседы:

требует много времени;

содержит элемент риска (школьник может дать неправильный ответ, который воспринимается другими учащимися и фиксируется в их памяти);

необходим запас знаний.

Учебная дискуссия. Значительное место среди словесных методов обучения отводится в современной школе учебной дискуссии. Главное ее назначение в процессе обучения -- стимулирование познавательного интереса, вовлечение учащихся в активное обсуждение разных научных точек зрения по той или иной проблеме, побуждение их к осмысливанию различных подходов к аргументации чужой и своей позиции. Но для этого необходима обстоятельная предварительная подготовка учащихся как в содержательном, так и в формальном плане и наличие по меньшей мере двух противоположных мнений по обсуждаемой проблеме. Без знаний дискуссия становится беспредметной, бессодержательной и неточной, а без умения выразить мысль, убедить оппонентов -- лишенной привлекательности, запутанной и противоречивой (Подласый И.П. Педагогика. М., 1996). Учебная дискуссия, с одной стороны, предполагает наличие у учащихся умения ясно и точно формулировать свои мысли, строить систему аргументированных доказательств, с другой -- учит их мыслить, спорить, доказывать свою правоту. В этой ситуации, естественно, учитель должен сам демонстрировать перед учениками образец такого стиля аргументации, учить учащихся точно излагать свои мысли и терпимо относиться к формулировкам школьников, уважительно вносить поправки в их аргументацию, ненавязчиво сохранять за собой право на последнее слово, не претендуя на истину в последней инстанции.

Учебная дискуссия частично может применяться в старших классах основной школы и в полную меру в классах полной средней школы.

Хорошо проведенная дискуссия имеет большую обучающую и воспитательную ценность: учит более глубокому пониманию проблемы, умению защищать свою позицию, считаться с мнениями других.

Лекция. Лекция - монологический способ изложения объемного материала -- используется, как правило, в старших классах и занимает весь или почти весь урок. Преимущество лекции заключается в возможности обеспечить законченность и целостность восприятия школьниками учебного материала в его логических опосредованиях и взаимосвязях по теме в целом. Актуальность использования лекции в современных условиях возрастает в связи с применением блочного изучения нового учебного материала по темам или крупным разделам.

Школьная лекция может применяться также при повторении пройденного материала. Такие лекции называются обзорными. Проводятся они по одной или нескольким темам для обобщения и систематизации изученного материала.

Применение лекции как метода обучения в условиях современной школы позволяет значительно активизировать познавательную деятельность учащихся, вовлекать их в самостоятельные поиски дополнительной научной информации для решения проблемных учебно-познавательных задач, выполнения тематических заданий, проведения самостоятельных опытов и экспериментов, граничащих с исследовательской деятельностью. Именно этим объясняется тот факт, что в старших классах удельный вес лекции в последнее время стал возрастать.

Работа с учебником и книгой. Это важнейший метод обучения. В начальных классах работа с книгой осуществляется главным образом на уроках под руководством учителя. В дальнейшем школьники все больше учатся работать с книгой самостоятельно. Существует ряд приемов самостоятельной работы с печатными источниками. Основные из них:

конспектирование;

составление плана текста;

тезирование;

аннотирование;

рецензирование;

составление справки;

составление формально-логической модели;

составление тематического тезауруса;

составление матрицы идей

1.3.2 Наглядные методы

Под наглядными методами обучения понимаются такие, при которых усвоение учебного материала находится в существенной зависимости от применяемых в процессе обучения наглядного пособия и технических средств. Наглядные методы используются во взаимосвязи со словесными и практическими методами обучения и предназначаются для наглядно-чувственного ознакомления учащихся с явлениями, процессами, объектами в их натуральном виде или в символьном изображении с помощью всевозможных рисунков, репродукций, схем и т.п. В современной школе широко используются с этой целью экранные технические средства.

Наглядные методы обучения условно можно подразделить на две большие группы: метод иллюстраций и метод демонстраций.

Метод иллюстраций предполагает показ ученикам иллюстративных пособий, плакатов, таблиц, картин, карт, зарисовок на доске, плоских моделей и пр.

Метод демонстраций обычно связан с демонстрацией приборов, опытов, технических установок, кинофильмов, диафильмов и др.

Такое подразделение средств наглядности на иллюстративные и демонстрационные является условным. Оно не исключает возможности отнесения отдельных средств наглядности как к группе иллюстративных, так и демонстрационных. (Например, показ иллюстраций через эпидиаскоп или кодоскоп.) Внедрение новых технических средств в учебный процесс (телевидения, видеомагнитофонов) расширяет возможности наглядных методов обучения.

В современных условиях особое внимание уделяется применению такого средства наглядности, каким является компьютер индивидуального пользования. В настоящее время решается задача создания в школах кабинетов электронно-вычислительной техники, внедрения в учебный процесс компьютеров. Они позволяют учащимся наглядно увидеть в динамике многие процессы, которые раньше усваивались из текста учебника. Компьютеры дают возможность моделировать определенные процессы и ситуации, выбирать из ряда возможных решений наиболее оптимальные по определенным критериям, т.е. значительно расширяют возможности наглядных методов в учебном процессе.