Архимед и геометрия Евклида

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ - ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АГРАРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Факультет заочного обучения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

(КУРСОВАЯ РАБОТА)

на тему: «Архимед и геометрия Евклида».

по предмету: Концепция современного естествознания

Выполнил:

студент Губин В.Н.

Группы № А 172, курса

Специальности 030501

Томск

2007

Архимед и его законы

Несомненно, Архимед (около 287--212 до н.э.) -- самый гениальный учёный Древней Греции. Он стоит в одном ряду с Ньютоном, Гауссом, Эйлером, Лобачевским и другими величайшими математиками всех времён. Его труды посвящены не только математике. Он сделал замечательные открытия в механике, хорошо знал астрономию, оптику, гидравлику и был поистине легендарной личностью.

Сын астронома Фидия, написавшего сочинение о диаметрах Солнца и Луны, Архимед родился и жил в греческом городе Сиракузы на Сицилии. Он был приближён ко двору царя Гиерона II и его сына-наследника.

Хорошо известен рассказ о жертвенном венце Гиерона. Архимеду поручили проверить честность ювелира и определить, сделан венец из чистого золота или с примесями других металлов и нет ли внутри него пустот. Однажды, размышляя об этом, Архимед погрузился в ванну, и заметил, что вытесненная его телом вода пролилась через край. Гениального учёного тут же осенила яркая идея, и с криком “Эврика, эврика!” он, как был нагой, бросился проводить эксперимент.

Идея Архимеда очень проста. Тело, погружённое в воду, вытесняет столько жидкости, каков объём самого тела. Поместив венец в цилиндрический сосуд с водой, можно определить, какое количество жидкости он вытеснит, т.е. узнать его объём. А, зная объём и взвесив венец, легко вычислить удельную массу. Это и даст возможность установить истину: ведь золото -- очень тяжёлый металл, а более лёгкие примеси, и тем более пустоты, уменьшают удельную массу изделия.

Но Архимед на этом не остановился. В труде “О плавающих телах” он сформулировал закон, который гласит: “Тело, погружённое в жидкость, теряет в своём весе столько, каков вес вытесненной жидкости”. Закон Архимеда является (наряду с другими, позже открытыми фактами) основой гидравлики -- науки, изучающей законы движения и равновесия жидкостей. Именно этот закон объясняет, почему стальной шар (без пустот) тонет в воде, тогда как деревянное тело всплывает. В первом случае вес вытесненной воды меньше веса самого шара, т.е. архимедова “выталкивающая” сила недостаточна для того, чтобы удержать его на поверхности. А тяжело гружёный корабль, корпус которого сделан из металла, не тонет, погружаясь только до так называемой ватерлинии. Поскольку внутри корпуса корабля много пространства, заполненного воздухом, средняя удельная масса судна меньше плотности воды и выталкивающая сила удерживает его на плаву. Закон Архимеда объясняет также, почему воздушный шар, заполненный тёплым воздухом или газом, который легче воздуха (водородом, гелием), улетает ввысь.

Знание гидравлики позволило Архимеду изобрести винтовой насос для выкачивания воды. Такой насос (кохля) до недавнего времени применялся на испанских и мексиканских серебряных рудниках.

Из курса физики всем знакомо Архимедово правило рычага. Согласно преданию, учёный произнёс крылатую фразу: “Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!”. Конечно, Архимед имел в виду применение рычага, но, он был несколько самоуверен: кроме точки опоры ему понадобился бы и совершенно фантастический рычаг -- невероятно длинный и при этом несгибаемый стержень.

Достоверные факты и многочисленные легенды говорят о том, что Архимед изобрёл немало интересных машин и приспособлений.

Геометрия Евклида

Евклид и его книга “Начала” (планиметрия и стереометрия), являвшаяся в течение многих веков содержанием школьного курса геометрии, и послужила поводом для создания новых теорий в области геометрии. Следует отметить, что геометры в течение двух тысяч лет, относясь к “Началам” Евклида с большим уважением, подвергали их критике, указывали на те или иные недостатки и рекомендовали способы “очищения Евклида от пятен”, именно в такой критике рождались новые идеи и наработки в области геометрии

Евклид (около 365- 300 до н.э) работал в Александрии при Птолемее I и возглавлял основанный в то время крупнейший научный центр древности - александрийский Музей. “Начала” Евклида представляют собой обработку ряда греческих сочинений IV в. до н. э. - “Начал”, приписываемых Гиппократу Хиосскому (I-IV и XI книги), арифметических сочинений пифагорейцев (VIII-IX книги), сочинений Евдокса о теории отношений и подобии, и о методе исчерпывания. Его книге “Началам” предпосланы 23 определения, многие из которых носят следы древних традиций. Приведя традиционные определения точки, линии и поверхности, а также прямой линии и плоскости, Евклид приводит определение плоской фигуры, угла, треугольника, круга и его частей и дает классификацию треугольников и четырехугольников. О традиционности этих определений свидетельствует то, что Евклид дает определение ромба и “ромбомоида” (параллелограмма, не являющегося ромбом), которым он нигде не пользуется, а в тексте Евклид применяет только термин “параллелограмм”. В последнем определении дается определение параллельных линий.

Далее следует пять постулатов (допущений). Первые три постулата Евклида - аксиомы геометрических построений с помощью идеальной линейки и идеального циркуля.

Книги Евклида состоят из “предложений” - теорем и задач на построение, изложение теорем. В 1-ой книге доказываются основные теоремы планиметрии до теоремы Пифагора и обратной ей. Евклид в своих доказательствах старается избегать движения и наложения. Наложением он пользуется только в теореме о равенстве треугольника, а далее ссылается на эти теоремы. Во 2-й книге изложена геометрическая алгебра и, в частности, решены задачи, равносильные решению квадратного уравнения, и задача о квадратуре прямоугольника. В 3-ей книге изложена геометрия окружности, в 4-ой - построение правильных многоугольников, в 5 -ой книге - теория отношений геометрических величин. Далее, в следующих книгах изложены также: теория подобия, основы стереометрии, теоремы об объемах пирамид и об отношении кругов и круглых тел, основанные “на методе исчерпывания”, который играл у древних греков роль нашей теории пределов, построение правильных многогранников.

Критика геометров относилась к пятому постулату, значительно более сложному, чем все остальные, который пытались доказать как теорему. Доказывая этот постулат от противного, математики нашли много следствий, которые имели бы место при отказе от этого постулата.

Только в XIX веке Н.И. Лобачевский и другие математики пришли к мысли, что эти следствия образуют непротиворечивую геометрию, которую мы в настоящее время называем геометрией Лобачевского, и 5-й постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида. Критика теории отношений Евклида, которая у него была оторвана от теории числовых отношений, состояла в предложении объединить эти две теории в единую теорию, для чего следовало рассматривать геометрические величины как числа нового типа, мы в настоящее время называем эти числа действительными, или вещественными (Евклид знал только натуральные числа). Также подвергалось критике стремление Евклида избегать движения и наложения, к которому призывал Аристотель, эта установка Евклида критиковалась многими последующими геометрами, которые в своих трудах пользовались движением. Но все же, Евклид кое-где применял движение, следуя за своими предшественниками.

Создание и разработка геометрии Лобачевского поставили вопрос об исследовании всей структуры системы аксиом, как евклидовой геометрии, так и других возникших к этому времени геометрий и выяснения независимости этих аксиом друг от друга.

Первым такую задачу поставил Мориц Паш. В его “Лекциях о новой геометрии” была выработана новая система аксиом трехмерного евклидова пространства.

Также можно отметить, что эти учения и наработки в области геометрии во многом послужили бурному развитию математики в первые века нашей эры (Евклидова геометрия). Что, в свою очередь, послужило дальнейшему развертыванию и развитию научно-технического прогресса. И привело к созданию целых направлений в области геометрии (XIX в), которые занимались и занимаются в наше время различными исследованиями в данной области.

В заключение хотелось бы сказать, что именно критика Евклидовой геометрии его теорий и предположений явила миру имена новых выдающихся математиков, также внесших большой вклад в мировую науку, и бесспорно вела к совершенствованию, как самой геометрии, так и других наук. И способствовала её формированию до образа той геометрии, которая изучается и используется сейчас, вобравшей в себя лучшие исследования и теории в этой области последних веков.

Список использованной литературы:

1. Евклид. Начала. Пре.и коммент. Д.Д. Мордухай - Болтовского. М. - Л., т. 1 -3, 1948 - 1950.

2. Гильберт Д. Основания геометрии. пер. И.С. Градштейна. М. - Л., 1948г.