Следовательно, множество M удовлетворяет всем свойствам определения группы, поэтому оно является группой. Эта группа не является абелевой или коммутативной. Очевидно, нам достаточно указать, что существуют отображения и , что .

Пусть , а . Посчитаем произведение. Очевидно .

Аналогично .

Как видно, правые части двух последних равенств различны (тождественно не совпадают), поэтому выполняется неравенство , то есть группа M не является абелевой.

Лекция № 14. Круговое свойство дробно-линейной функции

Теорема.

Всякая дробно-линейная (6) с определителем отображает любую прямую или окружность плоскости (Z) на прямую или окружность Г плоскости (W). При этом образ Г прямой может быть как прямой, так и окружностью. И аналогично образ Г окружности может быть также как прямой, так и окружность (это круговое свойство).

Доказательство.

Рассмотрим два случая:

1) ;

2) .

1) В случае (1) обязательно и , так как определитель . Поэтому в этом случае отображение (6) принимает вид:

(7),

, . Очевидно, если число , то отображение (7), которое принимает вид (8) является сдвигом плоскости на вектор плоскости. Такое отображение переводит прямую в прямую, а окружность в окружность.

Пусть , тогда отображение (7) представляет собой произведение двух отображений: растяжения плоскости и поворот. Как известно, каждое из этих отображений переводит прямую в прямую, а окружность в окружность, поэтому и в этом случае отображение (7) обладает круговым свойством (как произведение).

2) Перейдем теперь к рассмотрению случая (2). Предварительно изучим отображения

(9).

Покажем, что отображение (9) обладает круговым свойством. Как известно, общие уравнения прямой и окружности плоскости xy имеют вид

(10).

Это будет уравнение прямой, если A = 0, а . Запишем уравнение (10) в комплексной форме. С этой целью введем обозначения , , , . Тогда будет , , . Подставляя эти выражения в равенство (10), мы

(11)

(здесь А и Е вещественные числа, а Е и - сопряженные комплексные числа). В случае прямой, как мы знаем, А = 0 и по крайней мере одно из чисел B и C, что равносильно тому, что . В случае окружности , а , последнее неравенство можно записать так: . Оказывается, что, если в уравнении (11) вещественное A = 0, а комплексное , то (11) представляет собой уравнение прямой.

Аналогично, если и , то (11) будет уравнением окружности. В этом легко убедиться, если перейти от z, к x и y, а от E и к B и С. Произведем теперь отображение (9) , то есть заменим z на , тогда уравнение (11) преобразуется так,

(12).

Легко видеть, что уравнение (12) имеет тот же вид, что и уравнение (11), в котором D и A поменялись своими ролями, и Е и поменялись своими ролями. Очевидно, (12) будет уравнением образа прямой или окружности (11) при отображении . Покажем, что это уравнение является уравнением прямой или окружности.

Возможны два случая и .

1. Пусть . Покажем, что (12) является уравнением прямой. В самом деле, если A = 0, то и, следовательно, (12) будет уравнением прямой, если же и , то будет и, значит . Следовательно, (12) снова является уравнением прямой (так как , а ).

2. Пусть теперь . Покажем, что (12) в этом случае является уравнением окружности. Очевидно, нам достаточно доказать, что .

Пусть A = 0, тогда и, значит . Пусть теперь и , тогда очевидно (12) есть уравнение окружности.

И так отображение является уравнением окружности.

Очевидно, . Введем в рассмотрение отображения , , . Очевидно коэффициент , (так как , ). Легко видеть, что отображение . Так как, по доказанному, каждое из отображений обладает круговым свойством, то и их произведение и значит L обладают круговым свойством.

Отметим, что если , то в точке значение . Следовательно, любая прямая или окружность , приходящая через точку обязательно отображается в прямую. Любая же прямая или окружность , не проходящая через точку , отображается в окружность, так как образ Г линии не будет содержать бесконечно удаленной точки.

Лекция № 15. Образы областей, ограниченных прямой или окружность при дробно-линейном отображении

Теорема.

Пусть в плоскости (Z) даны некоторая прямая или окружность и дробно-линейное отображение

(1) с.

Пусть Г - это образ линии при отображении (1), , и , - это соответственно области комплексной плоскости, ограниченные линиями и Г, тогда дробно-линейная функция (1) отображает любую из областей , на одну из областей или . Причем различные области и отображаются на различные области и .

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство.

Возьмем две произвольные точки и , так как отображение (1) взаимно однозначно и отображает на Г, то образы точек не будут лежать на Г. Покажем, что одна из этих точек принадлежит области , а вторая - .

Пусть для определенности . Мы покажем, что . Предположим противное: пусть точка также принадлежит . Тогда эти две точки мы можем соединить отрезком прямой или дугой окружности, не пересекающим линии Г.

В силу кругового свойства дробно-линейной функции прообразом этого отрезка в плоскости (Z) является отрезок прямой или окружности, соединяющий точки и . Причем этот отрезок не пересекается с линией . Но такой отрезок не существует, так как и лежат в различных областях, ограниченных линией . Мы получили противоречие, следовательно, .

Зафиксируем теперь точку , а будем считать переменной точкой. Тогда ясно, что все точки отображаются в точки множества . Аналогично, фиксируя и рассматривая как переменную точку, мы устанавливаем, что область отображается в область .

Нам остается доказать, что отображается на всю область , а - на всю . Возьмем произвольную точку , обозначим ее прообраз через . Так как , то прообразы и обязательно должны принадлежать различным областям и (так как отображается в , а - в , так как в противном случае и принадлежали бы одной области). Но точка , значит , отсюда и следует, что отображается на .

Аналогичным образом показывается, что отображается на .

Неподвижные точки дробно-линейного отображения

Очевидно, у тождественного отображения все точки являются неподвижными. Будем рассматривать дробно-линейное отображение с , .

Рассмотрим случай, когда . Тогда отображение W имеет вид , где , . Очевидно . Поэтому является неподвижной точкой отображения L.

Если , то есть еще одна неподвижная точка (). В этом случае L имеет две неподвижные точки и . В случае, когда , других неподвижных точек, отличных от нет. Однако если мы будем считать и стремящиеся к единице (), то точка . Следовательно, в случае , бесконечность мы можем рассматривать как пару слившихся неподвижных точек.

Пусть теперь . Тогда в точке , , а . Следовательно, в этом случае точки и не являются неподвижными. Будем считать, что ,. Найдем неподвижные точки отображения L, то есть такие, что ; . Найдем корни этого уравнения. Очевидно . Если , то получается кратный корень. Если же отличен от нуля, то получается два различных корня. Таким образом, и в этом случае дробно-линейная функция имеет две неподвижные точки, которые могут сливаться в одну.

Итак, всякая дробно-линейная функция с имеет только две неподвижные точки, которые могут сливаться в одну точку. Следовательно, если некоторое дробно-линейное отображение имеет три неподвижные точки, то оно тождественное. Отсюда следует, что если некоторые два отображения L и имеют в трех различных точках одинаковые значения, то они совпадают ().

В самом деле, пусть (к=1, 2, 3.). Тогда обратное отображение будет обладать свойством (к=1, 2, 3.). Следовательно, отображение будет иметь своими неподвижными точками три точки : . Следовательно, будет одна неподвижная точка. Применяя к обеим частям равенства отображение , получаем (умножим обе части на , получим) . Равенство установлено.

Построение дробно-линейной функции, заданной в трех точках

Найдем вначале дробно-линейную функцию , которая в различных точках принимает соответствующие значения , , . Очевидно - общий вид этой функции. Так как равно нулю (), то обязательно . Поэтому .

Аналогично, так как , то и поэтому , значит .

Наконец, в силу получаем : . Аналогично получаем : .

Найдем теперь отображение , которое переводит три различные конечные точки соответственно в три различные конечные точки : . Легко видеть, что отображение , переводящее точки соответственно в имеет вид . Ясно, что отображение будет переводить точки в . Поэтому , применяя к обеим частям равенства отображение , получим .

Обычно для отображения пользуются не последней формулой, предыдущей. При этом обозначают через W. В результате получают равенство =: (2). Отсюда и находят .

Отметим, что если одна из точек или одна из точек обращаются в , то разности, в которых участвуют эти точки в равенстве (2) замещаются на (1).

Пример.

, тогда вместо , .

Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

Рассмотрим четыре различные точки a, b, c, d, тогда двойное отношение называется двойным или ангарническим отношением.

В случае, когда одно из этих чисел a, b, c, d обращается в , разности отношения, в котором участвует эта заменяется на 1. Двойное отношение обозначают символом (a, b, c, d).

Рассмотрим четыре произвольных числа a, b, c, d и какое-нибудь дробно-линейное отображение , переводящее их соответственно в числа A, B, C, D. Так как a, b, d L переводит в A, B, D, то оно имеет вид:

.

Так как W = h (z) переводит c в C, то будет выполняться равенство:

,

т.е. (A,B,C,D) = (a,b,c,d).

Итак, всякая дробно-линейная функция составляет инвариантное двойное отношение комплексных чисел.

Отображение областей ограниченных прямыми или окружностями.

Теорема.

Если каждая из линий г иГ является прямой или окружностью, а тройки z₁, z₂, z₃, и тройки W₁, W₂, W₃ состоящие из попарно различных точек принадлежит соответственно линиям г иГ, то существует дробно-линейная функция W = h (z), отображающая г на Г и, такая что, выполняется равенство h (z_k) = W_k (k = 1,2,3).

Доказательство.

Как мы знаем, существует единая дробно-линейная функция W = h (z), которая отображает точки z₁, z₂, z₃, соответственно в точки W₁, W₂, W₃. Эта функция определяется из отношения:

(1)

(разрешим отношение W и получим необходимую функцию). Эта дробно-линейная функция отобразит прямую или окружность г на прямую или окружность .

Т.к. точки z₁, z₂, z₃ г, то точки W₁, W₂, W₃ будут принадлежать. Но по построению отображения W = h (z) точки W₁, W₂, W₃ принадлежат еще Г.

Т.к. через закон различные точки W₁, W₂, W₃ можно провести через прямую или окружность, то= Г.

Теорема.

Пусть области g и G ограничены соответственно линиями г и Г, каждая из которых является прямолинейной окружностью.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

И тройки z₁, z₂, z₃; W₁, W₂, W₃ принадлежащие соответственно линиям г и Г обладают свойством: при движении наблюдателя вдоль линии г из z₁ в z₃ через z₂, которая остается слева от наблюдателя, и аналогично при движении наблюдателя вдоль линии Г из W₁ в W₃ через W₂. Область G также остается слева от наблюдателя, тогда дробно-линейная функция W=h (z), обладающая свойством: h (z_k) = W_k (k = 1, 2,3), отображает область g на область G.

Доказательство.

Построим дробно-линейную функцию (1). Она обладает свойством (2) h (z_k) =W_k и отображает линию г наГ. Покажем, что эта дробно-линейная функция отображает область g на область G.

Мы знаем, что дробно-линейная функция осуществляет конформные отображения 1^го рода. Поэтому, если отрезок д, являющийся нормалью к линии г, проведенной через точку z₂ внутрь области g, т.е. влево от наблюдателя, стоящего в точке z₂ и стоящего вдоль линии г в выбранном направлении, то его образ Д определен (также являющимся отрезком прямой или другой окружности) будет также направлен в левую сторону от наблюдателя, стоящего в точке W₂ и стоящего вдоль линии Г в выбранном направлении. Следовательно, этот образ G, следовательно, h (g) = G.

Отобразить взаимнооднозначно и конформно верхнюю полуплоскость > 0 на внутренности единичной окружности.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть z₁ = - 1, z₂ = 0, z₃ = 1, W₁ = 1, W₂ = i, W₃ = - 1.

Тогда, по предыдущей теореме дробно-линейная функция, определяемая уравнением , будет отображать верхнюю полуплоскость g на внутренность G единичного круга. Можно показать, что эта функции равна .

Лекция № 16. Показательная функция

W = e^Z (1)

Показательная функция W = e^Z определяется формулой e^Z = e^x (cosy+i•siny) (2), где Z = x+i•y. Вместо e^Z пользуются обозначением exp Z (экспонент Z).

Свойства показательной функции:

1. Из формулы (2) непосредственно следует, что для Z (Z - конечно), (). Arge^x = y+2kр, k. Отсюда следует, что функция W = e^Z не обращается в нуль ни в одной точке.

2. Очевидно, если Z = i•y (x = 0), то e^i•y = cosy+i•siny. Это равенство позволяет записывать комплексные числа в тригонометрической форме. Действительно, если Z = Z (cosц+i•sinц), где Z = |Z|, ц = argZ, то очевидно будет Z = Z·e^{i•ц (}3). Это и есть показательная форма записи комплексного числа.

3. Очевидно Z = x (т.е. y = 0), то e^Z = e^x, т.е. эта функция совпадает с вещественной показательной функции.

4. Справедливо равенство [e^Z] ' = e^Z (для Z).

Доказательство

Очевидно у функции W = e^Z вещественная часть u=e^x·cosy, а мнимая часть v=e^x·siny. Эта функция имеет конечно непрерывные частные производные первого порядка и следовательно являются дифференцируемыми в любой точке. Причем справедливы равенства:

Следовательно, по известной теореме о существовании производной комплексной функции в точке функции W = e^Z имеет конечную производную в любой точке Z, и эта производная будет равна:

Теорема сложения.

Для любых двух комплексных чисел Z₁ = x₁+i•y₁ и Z₂=x₂+i•y₂ справедливо равенство .

Доказательство

Очевидно, Z₁+Z₂= (x₁+x₂) +i· (y₁+y₂). Поэтому по определению показательной функции будет:

(4)

и

(5)

Так как правые части равенства (4) и (5) одинаковы, то и их левый части тоже равны, т.е. выполняется равенство .

Пример.

Записать в показательной форме комплексное число.

Следовательно,

Множество комплексных чисел обозначаются буквой C.

Показательная функция W = e^Z является периодической функцией периода T=2р•i, причем этот период является основным, т.е. любой другой период W кратен этому периоду T: W = kT (k\).

Доказательство.

Покажем вначале, что число T = 2р•i является периодом функции e^Z, т.е. что для Z выполняется равенство e^Z+2рi = e^Z. В силу теоремы сложения имеем:

Следовательно, число T = 2рi период функции e^Z.

Покажем теперь, что это основной ее период. Возьмем произвольный период W = функции e^Z. Будем иметь в виду, что для Z выполняется равенство: e^Z+w = e^Z. В частности, при Z = 0 получаем e^w = 1, т.е.

Следовательно, модули левой и правой части будут равны и следовательно . Получаем, что cosв+isinв = 1, т.е. cosв = 1, sinв = 0. Это возможно лишь в случае, когда , окончательно получаем, что . Значит, 2рi - основной период функции.

Замечания.

1. Выражение exp (?) лишено смысла, т.к. не существует.

2. expZ не совпадает ни с одним многочленом, так как всякий многочлен не равный постоянной, стремится к бесконечности при Z > ?

P_n = a₀+a₁Z+…+a_nZⁿ

Целые функции отличные от многочленов называются трансцендентными, следовательно, экспонента Z (expZ) есть трансцендентная целая функция.

Возьмем плоскость (Z) и систему координат

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

По первому свойству показательной функции, показательная функция нигде в нуль не обращается, т.е. W = 0 не принимает этой функции не при каком Z. Следовательно, образом плоскости Z при отображении W = e^Z является плоскость (W). Покажем, что всякая другая точка плоскости (W) является образом. Дано отображение: W = expZ, где Z = x+i·y.

По 1. , т.е. y = ArgW

Итак, прообразом точки W будет точка Z:

Покажем, что любая k из найденных Z является прообразом W. Итак,

Итак, мы получим, что expZ = W, следовательно, каждая из найденных Z есть прообраз точек W.

Множество всех корней уравнения W = e^Z (W ? 0) представляется формулой:

(1)

Так как ArgW имеет бесконечное множество значений, различающихся попарно на целые ограниченные 2р, то точек Z бесконечно много. Следовательно, отображение W = expZ не взаимно однозначно, т.к. k-тая точка W ? 0 имеет бесконечное множество прообразов.

Так как производная показательной функции всюду отлична от нуля, то отображение W = e^Z конформное, то во всех точках плоскости (Z). Заставим Z описывать некоторую прямую, на пример, параллельную. Что является образом прямой параллельной мнимой оси при отображении W = e^Z?

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнение этой прямой Z = c+i·t, тогда

W = e^Z = e^c+it = e^c· (cost+isint),

таким образом, этой прямой будет окружность радиуса e^c c центром вначале координат. При этом, когда точка Z описывает прямую так что ордината этой точки равна t непрерывно растет от - ? до +?, то W описывает соответствующую окружность бесконечно много раз в одном и том же направлении (положение против часовой стрелки).

Пусть теперь точка Z описывает прямую, параллельную действительной оси. Что является образом прямой параллельной действительной оси при отображении W = e^Z? Заменим уравнение этой прямой Z = t+i·c', тогда W=e^Z=e^t+i·c'=e^t· (cos c' +I sin c').

Итак, образом прямой, параллельной действительной, оси будет являться луч, выходящий из начала координат и образующий с положительной частью действительной оси и угол c'. При этом, когда Z описывает прямую так, что абсцисса этой точки равная t, непрерывно растет от - ? до +?, то и W описывает соответствующий луч так, что расположение этой точки от начала координат непрерывно растет от 0 до ? (0 исключается).

Теорема.

При отображении W = e^Z плоскости (Z) семейство прямых параллельных мнимой оси преобразуется в семейство окружностей с центром в начале координат, а семейство прямых параллельных действительной оси в - семейство прямолинейных лучей, выходящих из начала координат.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим область g, представляющую собой внутренность прямолинейной полосы, параллельной действительной оси, шириной h ().

Что является образом этой полосы при отображении W = e^Z? Образом прямой y=ц₀ будет луч.

Итак, образом области g, входящей в (Z), будет область d, представляющая угол раствора h с вершиной в начале координат, ограниченной прямолинейными лучами.

При этом соответствии между точками областей g и d, устанавливаемым функцией W = e^Z, отображение будет взаимно однозначным. Действительно, прообразом некоторой точки W d, могут быть только точки

,

различающиеся друг от друга значениями мнимой части. Две такие точки лежат на прямой параллельной мнимой оси на расстоянии кратном 2р, но наша полоса g имеет ширину не более 2р, поэтому она может содержать внутри лишь один прообраз точки W.

Итак, показательная функция W = e^Z, взаимно однозначно отображает полосу ширины , параллельную действительной оси на угол раствора h с вершиной в начале координат.

Лекция № 17. Тригонометрические функции cosZ, sinZ

формулы Эйлера.

Правые части этих формул определены для комплексного и является аналитическими функциями, поэтому естественно cosZ определяется по формуле:

(2)

Рассмотрим свойства тригонометрических функций:

1. cosZ - четная функция,

sinZ - нечетная функция

Действительно,

2. Косинус Z и синус Z (cosZ, sinZ), периодические функции с периодом 2р , т.е. при замене Z на 2р аргументы показательной функции в правых частях изменяются на ±2р, т.е. есть периоды показательной функции.

Покажем, что 2р есть основной период функции cosZ и sinZ. Пусть w есть период cosZ, тогда cos (Z+w) =cosZ (по определению периода) при получим:

,

Тогда

это можно записать:

По формуле (1)

(Z=i (gw+)) , т.к. cosw = cos0 = 1

Следовательно, k принимает четные значения, т.е. период w = 2р, поэтому 2р - основной период.

3. Теорема сложения.

Справедливы формулы:

cos (Z₁+Z₂) =cosZ₁•cosZ₂-sinZ₁•sinZ₂

sin (Z₁+Z₂) =sinZ₁•cosZ₂+cosZ₁•sinZ₂

Доказательство.

Чтобы доказать справедливость этих формул, сначала этого выделим формулу Эйлера. Для этого умножим обе части второй формулы равенства (2) на i:

.

Складываем первую формулу с полученной:

cosZ+i•sinZ=exp (iZ) (формула Эйлера), Z заменим на Z₁+Z₂.

(4)

Вместо Z₁ и Z₂ мы поставим (-Z₁) и (-Z₂).

(5)

Складывая и вычитая (4) и (5), получим

(6)

Пусть теперь Z₁ = Z и Z₂ = - Z, подставим и получим

1 = cos²Z+sin²Z

(cos (Z-Z) =cosZ•cosZ+sinZ•sinZ).

С тригонометрическими функциями cosZ и sinZ тесно связаны гиперболические функции: chZ - гиперболический косинус Z и shZ - гиперболический синус Z.

(7)

chZ = cos (iZ); shZ = - i•sin (iZ)

Определим действительные и мнимые части функций cosZ и sinZ.

Пусть Z = x+i•y

действительная часть

Она ввела функции cosZ и sinZ, используя формулы:

;

Поясним откуда взялись эти формулы:

(1)

y заменим на - y

(2)

Сложим и разделим на два: , если из (1) вычели (2) и разделим на 2i, то получим: (ну а y можно заменить на x).

Вывели равенства:

(*), Т.к.

Подставим вместо Z точку iZ:

(умножим числитель и знаменатель на i).

ch²Z - sh²Z = 1 (возведем (*) в квадрат).

Отделим действительную и мнимую части:

Найдем модули функций cosZ и sinZ. Очевидно,

(8)

(9)

Из формул (8) и (9) непосредственно вытекает, что:

(заменим в (8) sin²x на 1, отбросим в (9) sin²x)

(10)

(отбросим в (8) sin²x, заменим в (9) sin²x на 1)

(11)

( )

Лекция № 18. Гиперболические функции вещественного переменного

Вещественные гиперболические функции shx и chx определяются функциями:

,

Эти функции заданы на всей числовой оси.

Очевидно, shx нечетна (sh (-x) = - sh (x)), функция chx четная (ch (-x) = chx) (из выше записанных функций).

Следовательно, график функции shx симметричен относительно начала координат, а chx симметричен относительно оси y.

При возрастании x от - ? до +? функция shx возрастает от - ? до +?, обращаясь в нуле в 0.

sh0 = 0

Функция chx при возрастании х от - ? до +? убывает от +? до 1. При дальнейшем же возрастании х от 0 до +?, функция chx возрастает от 1 до +?.

Из формул для shx и chx непосредственно следует, что разность

chx - shx = e^-x > 0

сh²x - sin²x = 1.

Следовательно, графики этих функций имеют вид, указанный на чертеже.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из функции (10) и (11) следует, что модули функции |cosZ| и |sinZ| стремятся в бесконечность, когда |y| > ?.

Из тех же функций следует, что cosZ и sinZ смогут обратиться в нуль лишь на действительной оси, т.е. когда y = 0. По вещественной оси cosZ=cosx; sinZ=sinx. Следовательно, функции cosZ и sinZ обращаются в нуль соответственно только в точках (cosZ) и (sinZ)

Вычислим производную от cosZ и sinZ. Очевидно:

Следовательно, функции W = cosZ и W = sinZ являются аналитическими функциями и они осуществляют конформные отображения во всех точках, за исключением соответствующих точек и (т.к. в них производная обращается в нуль).

Пример (конформного отображения c плоскостью показательной функции).

Отобразить конформную полосу ограниченную прямыми y = 0 и y = на верхнюю полость.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Произведем отображение W₁ = e^Z. Оно приведет прямую y = 0 в луч (1), а прямую y = в луч (2) .

Теперь произведем отображение W = W₁³, это отображение переведет лучи (1) и (2) в лучи , .

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следовательно, функция W = e^3Z и будет искомым отображением.

Формулы приведения.

Из равенств

непосредственно вытекают формулы приведения, аналогичные функциям приведения для вещественных функций sinx и cosx.

Докажем, например, что справедливы равенства:

В самом деле, полагая, что Z₁ = Z, а Z₂ = мы получаем:

Аналогично выводятся остальные формулы приведения.

Лекция № 19. Однозначные ветви многозначных функций

Пусть функция W = f (Z) отображает множество , на множество , тогда функция Z = ц (W), отображающая множество D на множество E, которая ставит в соответствие точке ее полный прообраз при отображении W = f (Z), т.е. все такие , в которых f (Z) = W, называется обратной функцией.

Обратные функции комплексного переменного для однозначных функций W=f (Z), как правило, являются многозначными.

Например, для функции W = Zⁿ обратная функция является n-значной, а для функции W = e^Z обратная функция Z = lnW будет бесконечно-значной.

С целью изучения многозначной функции при помощи разработанного аппарата для однозначных функций выделяют однозначные ветви. Это осуществляется по следующей схеме:

Пусть в области g (W) нам задана однозначная обобщенно непрерывная функция Z = f (W). Как известно, образ G (Z) области g будет также областью.

Пусть область g каким-то образом удалось разбить на конечное или счетное число попарно не пересекающихся областей g_k, обладающих свойствами:

1. точки (W) либо принадлежащей только какой-то одной области g_k, либо являющейся граничной точкой нескольких областей g_k.

2. Функция Z = f (W) переводит две различные точки (W₁) и (W₂) g_k в различные точки, т.е. отображение является взаимно однозначным.

Легко видеть, что образами областей g_k (W) при отображении Z = f (W) будут и области G_k (Z), причем граничные точки областей g_k, которые принадлежат g, будут отображаться в граничные точки областей G_k.

Легко видеть, что отображение Z = f (W) области g_k будет взаимнооднозначным. Поэтому существует однозначная обратная функция W=F_k (Z), отображающая уже G_k на g_k. При различных k мы получаем различные обратные функции.

Эти однозначные обратные функции и называются ветвями обратной функции W = F (Z), отображающей множество G на множество g.

Эти ветви получаются следующим образом из обратной функции W = F (Z). Значения функции W = F (Z) на G_k ограничиваются тем, что принадлежат области g_k.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Z=f (W) задана на g (W), обратная функция W=F (Z) задана на множестве G=f (g) плоскости (Z) (это многозначная функция).

Область g разбили на части g₁, g₂, …,g_n, образы их будут областью G_k для g.

Существует функция W=F_k (Z), однозначная ветвь обратной функции W=F (Z), значение функции W=F (Z) ограничиваются тем…

Как видно, характер областей G_k (Z) и, следовательно, характер однозначных ветвей W = F_k (Z) существенно зависит от способа разбиения области g (W) на области g_k.

Отметим, что в прошедших случаях удается разбить область g плоскости (W) на части g_k таким образом, что все их образы G_k будут совпадать между собой. Обозначим их через . Тогда на одном и том же множестве определятся однозначные ветви W = F_k (Z).

Приведенный способ выделения однозначных ветвей из многозначной функции, вообще говоря, не применим к произвольным обобщенно непрерывным функциям Z = f (W), но он всегда применим к аналогичным функциям Z = f (W) в области g (W), за исключением изолированных точек, в которых функция обращается в бесконечность.

Аналитическая функция Z = f (W) называется однолистной в области g (W), если она принимает различные значения в различных точках множества g, т.е. является инъективной.

Если же функция Z = f (W) принимает одно и тоже значения в некоторых точках области g (W), то она называется многолистной.

Выше мы разбиваем область g (W) на области одномерности g_k, в которой она была однолистной. Таким образом, выделение однозначных ветвей многозначной функции сводится к разбиению многолистной области g (W) функции Z = f (W) на области однолистности g₁, g₂, …

Пример.

Функция W = (1) (Это то же W = F (Z)). Эта функция является n-значной в точке Z 0 и ? она принимает n значений

(2),

которые располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в нуле.

Очевидно, функция (1) является обратной для аналитической функции

Z=Wⁿ (3).

Функция (3) принимает равные значения во всех точках (2), следовательно, эта функция является n-мерной.

Т.к. функция (3) принимает равные значения в вершинах правильного n-угольника плоскости (W) с центром в нуле (0), то область однолистности не должна содержать ни одной пары таких точек. Наиболее простой областью одномерности функции (3) является внутренность угла раствора с вершиной в нуле.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следовательно, n-листная плоскость (W) допускает разбиение на n-однолистных областей g_k, являющиеся углами, которые образуют между собой лучи, выходящие из нуля, под углами кратными друг к другу.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть эти лучи составляют с действительной осью и углы

Очевидно, функция (3) отобразит эти лучи в один луч, который составляет с осью x-ов угол:

А область g_k отобразится на область , ограниченную этим лучом.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Будем рассматривать функцию (1) на области ограничивая тем, что ее значение принадлежат некоторой области g_k. Тогда мы получим n однозначных ветвей, которые будем обозначать соответственно.

Лекция № 20. Логарифмы

Логарифмом комплексного числа Z ? 0, называется множество чисел

(1).

Комплексный логарифм обозначается символом lnZ.

Итак, lnZ=ln|Z|+iArgZ (2).

Как видно, логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений, все они располагаются на вертикальной прямой, на расстоянии кратных 2р друг от друга.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как мы знаем, ArgZ = argZ+2kр, поэтому комплексный логарифм Z равен

ln (Z) = ln|Z|+i· (argZ+2kр) = (ln|Z|+i•argZ) +i•2рk.

Среди значений комплексного логарифма выделяют одно ln|Z|+i·argZ, которое называется главным значением логарифма и обозначается символом

lnZ = ln|Z|+i·argZ

Т.е. lnZ = lnZ+2kр, (kZ).

Нетрудно видеть, что множество значений lnZ совпадает с множеством всех решений уравнения e^w=Z, относительно неизвестной W. Т.к. e^w не обращается в 0 ни в одной точке, то число Z = 0 не имеет комплексных логарифмов.

Легко видеть, что если Z = x > 0, то главный логарифм lnZ = lnx (равен вещественному логарифму) (lnx = ln|x|+i·argx = lnx). Все остальные значения комплексного логарифма будут мнимые.

Легко показывается, что для любого комплексного Z, не лежащего на положительной оси x, все значения комплексного логарифма (lnx) мнимые.

Комплексный логарифм обладает свойствами:

1. Для Z₁, Z₂ ? 0 справедливо равенство: ln (Z₁·Z₂) =lnZ₁+lnZ₂

Доказательство

в самом деле,

ln (Z₁·Z₂) = ln|Z₁·Z₂|+i·Arg (Z₁·Z₂) = ln|Z₁|+ln|Z₂|+i· (ArgZ₁+ArgZ₂) =

= (ln|Z₁|+i•ArgZ₁) + (ln|Z₂|+i•ArgZ₂) =lnZ₁+lnZ₂

Замечание.

Отметим, что для имеет место равенство

2. Для Z₁, Z₂ ? 0 справедливо равенство:

Очевидно,

Пример.

вычислим ln1.

ln1=ln|1|+i•Arg1=i• (o+2k) =2ki, (kZ)

ln (-e) =ln|-e|+i•Arg (-e) =1+i• (+2k), (kZ)

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Логарифмическая функция

Поставим в соответствие Z ? 0, множество чисел lnZ получим логарифмическую функцию W = lnZ.

Эта комплексная логарифмическая функция является бесконечной, она определена во всей плоскости (Z), за исключением нуля.

Нетрудно видеть, что эта функция является обратной для показательной функции Z = e^w.

Эта аналитическая функция является однозначной. Она принимает равные значения во всех точках W = lnZ. Следовательно, эта функция является бесконечно-листной.

Т.к. точки, в которых функция Z = e^w принимает равные значения, располагаются на вертикальных прямых на расстоянии кратных 2р друг от друга. То область однолистности этой функции не должна содержать ни одной пары таких точек.

Наиболее простой такой областью однолистности является внутренность горизонтальной полосы ширины 2р.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Т.е. плоскость (W) можно разбить на полосы однолистности, ограниченные горизонтальными прямыми:

Т.е. эти полосы будут определяться неравенством:

(3)

Где - произвольное вещественное число.

Функция Z = e^w отобразит каждую прямую y = в луч, который составит с осью x-ов угол , а каждую из рассматриваемых полос на область , ограниченную этим лучом.

Ограничивая обратную функцию W = lnZ на тем, что ее значения принадлежат полосе g_k, заданной неравенством (3), мы получим однозначную ветвь W = lnZ.

Очевидно ln_kZ = ln|Z|+i•Arg_kZ, где Arg_kZ - будет удовлетворять неравенству

(4)

Лекция № 21. Степень с произвольным показателем

Рассмотрим произвольные комплексные числа a ? 0 и б. Под комплексностью степени будем понимать совокупность e^lna. Очевидно, если б это рациональное число, то мы получаем

Следовательно, новое определение степени с рациональным показателем совпадает с данным ранее. Легко видеть, что

Пусть: , тогда (4)

Из формулы (4) вытекает, что если б иррациональное, то имеет бесконечно много значений (при различных k различные значения).

В самом деле, если бы при некоторых значения (4) были бы равны, то было бы , отсюда следовало бы, что - рационально, что невозможно.

Из равенства (4) непосредственно следует, что если б вещественно, то модули всех значений равны между собой:

, ()

Если же б является чисто мнимым числом , то все числа совокупности будут иметь различные модули (в зависимости от k). В случае когда б имеет вид , где , все значения будут иметь различные модули, а если в иррационально, то аргументы будут различны (модули различны за счет г).

Пример.

Найти совокупность iⁱ.

iⁱ = e^ilni ()

т.к. lni = ln|i|+i•Argi = 0+i· (), то iⁱ = = ^.

Общая степенная и показательная функция

Для произвольного комплексного б степенная функция (это, вообще говоря, бесконечно-значная функция).