Алгоритм построения развертки поверхностей

Развертка поверхности методом триангуляции. Определение натуральных величин треугольников. Обозначение направляющего единичного вектора следа и его координаты. Расчет угла, который составляет вектор нормали плоскости, совмещение плоскости треугольника.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 30.05.2017
Размер файла 1,0 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм построения развертки поверхностей

А.В. Замятин, Е.А. Замятина

Многие поверхности, применяемые при проектировании современных зданий и сооружений, изготавливаются из плоских материалов (металл, пластик, фанера и т.д.). Для изготовления таких поверхностей необходимо выполнить их развертку. В статье приведен алгоритм построения условной развертки поверхностей методом триангуляции [1, 2]. Алгоритм реализован в среде ObjectARX для AutoCAD [3] на языке С++[4].

Рассмотрим построение условной развертки нелинейчатой поверхности методом триангуляции. Пусть задана нелинейчатая поверхность сетью, представляющей собой два пересекающихся набора линий li и mj (рис. 1).

Рис. 1 Развертка поверхности методом триангуляции

Возьмем отсек поверхности, ограниченны криволинейным четырехугольником ABCD. Заменим отрезки кривых, ограничивающих заданный отсек, на отрезки прямых. Так как отрезки линий имеют небольшую длину, погрешность будет не велика. Построим диагональ AC четырехугольника. Найдем натуральную величину треугольника ABC - треугольник A'B'C' (на рис. 1 эта натуральная величина обозначена н.в. ДABC). К общей стороне A'B' достроим натуральную величину треугольника ADC - треугольник A'D'C' (на рис. 1 - н.в. ДADC). Построенный таким образом плоский четырехугольник A'B'C'D', является условной разверткой отсека поверхности ABCD. Выполняя данную операцию для всего отсека заданной поверхности, получи его условную развертку.

Рассмотрим вопрос определения натуральных величин треугольников. Для этого необходимо привести плоскость треугольника в положение плоскости уровня, т.е. сделать ее параллельной одной из плоскостей проекций. Алгоритм решения данной задачи, основанный на двух поворотах вокруг осей координат, приведен в [5]. В рассматриваемом алгоритме плоскости треугольников совмещались с координатной плоскостью xOy поворотом вокруг горизонтального следа плоскости. Данный метод в начертательной геометрии называется методом совмещения [2]. Пусть в пространстве задан треугольник ABC (рис. 2). Координаты вершин треугольника обозначим A (xA yA zA), B (xB yB zB), C (xC yC zC).

Рис. 2 Совмещение плоскости треугольника с плоскостью xOy

Для удобства, выполним параллельный перенос треугольника таким образом, чтобы точка A, в новом положении, находилась в начале системы координат. После проведенного преобразования координаты точки , координаты точек B' и C' найдем по соотношению

(x' y' z')=(x y z)- (xA yA zA). (1)

угол треугольник координата вектор

Уравнение плоскости треугольника имеет вид [6]

(2)

Запишем уравнение (2) в виде

Ax + Bx + Cx = 0, (3)

где

Уравнение горизонтального следа плоскости h0 определяется следующей системой уравнений

(4)

Координаты направляющего вектора горизонтального следа плоскости, с учетом (4), равны . Обозначим направляющий единичный вектор следа и его координаты через . k, l, m - направляющие косинусы h0, равные

(5)

Определим угол, который составляет вектор нормали плоскости (3) с осью Oz

(6)

Повернем заданный треугольник вокруг горизонтального следа плоскости h0 на угол ц. Плоскость треугольника ABC совместится с координатной плоскостью xOy. Точка A'', останется в начале координат, координаты точек B'' и C'' найдем по формуле [7]

, (7)

где

Пусть в пространстве заданы два треугольника ABC и DEF, имеющие общие стороны DF. Описанным выше способом, преобразуем их таким образом, чтобы они находились в координатной плоскости xOy (рис. 3).

Рис. 3 Совмещение треугольников

Совместим эти треугольники вдоль общих сторон A''C'' и D''F'', причем,, чтобы вершины B'' и E'' располагались по разные стороны относительно совпадающих сторон. Определим угол между векторами и

.

Повернем треугольник D''E''F'', вокруг оси Oz. Новые координаты точек этого треугольника, получим по соотношению

.

Проверим, находятся ли вершины треугольников по разные стороны, относительно общих сторон. Запишем уравнение прямой A''C'' на плоскости xOy, учитывая, что точка A'' находится в начале координат

,

где , . Если

,

то вершины находятся по одну сторону относительно общих сторон, поэтому повернем треугольник D''E''F'' вокруг совпадающих сторон на угол равный р. При данном преобразовании изменятся только координаты точки D'', найдем их по формуле

,

где k1, l1, m1 - направляющие косинусы совпавших сторон, вычисляемые по соотношениям, аналогичным (5).

Выполняя приведенные операции для всего заданного отсека поверхности, построим его условную развертку.

Пример работы алгоритма, приведен на рис. 4 и 5. На рис. 4 представлена заданная поверхность. Поверхность строилась по алгоритму, описанному [8]. На рис. 5 - построенная развертка данной поверхности.

Рис. 4 Заданная поверхность

Рис. 5 Развертка поверхности

Описанный алгоритм интегрирован в систему AutoCAD, что позволяет использовать его для построения разверток поверхностей, созданных в данной системе. Алгоритм также может быть использован в качестве модуля автоматизированных систем проектирования.

Литература

1. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия [Текст] / А.В. Бубенников, М.Я. Громов. - М.: Высшая школа, 1973. - 436 с.

2. Фролов, С.А. Начертательная геометрия [Текст] / С.А. Фролов. - М.: Машиностроение, 1983. - 240 с.

3. Полищук, Н.Н. AutoCAD: разработка приложений, настройка и адаптация [Текст] / Н.Н. Полищук. - СПб.: БХВ - Петербург, 2006. - 992 с.

4. Секунов, Н.Ю. Visual C++ Визуальная среда программирования [Текст] / Н.Ю.Секунов. - СПб.: БХВ - Петербург, 1999. - 960 c.

5. Замятин, А.В. Алгоритм построения точек пересечения нелинейчатых поверхностей [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010, №3. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/issue/95/ (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

6. Александров, П.С. Лекции по аналитическая геометрии [Текст] / П.С. Александров. - М.: Наука, 1968. - 912 с.

7. Фокс А. Пратт М. Вычислительная геометрия [Текст] / А. Фокс, М. Пратт. -М.: Мир, 1982. - 304 с.

8. Замятин А.В., Сухомлинова В.В. Алгоритмы визуализации нелинейчатых поверхностей // Известия вузов. Северокавказский регион. Технические науки, 2010. - №6. - С. 30-39.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Поверхности и ориентация. Теория внутренней поверхности. Выбор ориентации поверхности при помощи выбора базиса касательных векторов. Выбор вектора единичной нормали. Внутренняя геометрия поверхности, определение развертки и теорема Александрова.

    реферат [144,0 K], добавлен 07.12.2012

  • Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.

    учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

    презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013

  • Понятие плоскости и определение ее положения в пространстве. Задание плоскости ее следами на комплексном чертеже. Плоскости и проекции уровня. Свойство проецирующих плоскостей собирать одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.

    реферат [69,0 K], добавлен 17.10.2010

  • Построение разверток поверхностей. Параллелепипед и его развертка. Чертеж развертки поверхности правильной пирамиды, прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, правильной призмы, прямого эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения.

    контрольная работа [1,8 M], добавлен 11.11.2014

  • Плоскость как простейший вид поверхности, ее задание тремя точками. Основные геометрические фигуры на плоскости. Определение геометрического места точек, примеры для угла и окружности. Сущность использования метода геометрических мест при решении задач.

    курсовая работа [115,2 K], добавлен 10.01.2010

  • Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.

    контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016

  • Диаграмма рассеивания как точки на плоскости, координаты которых соответствуют значениям случайных величин X и Y, порядок ее построения и назначение. Нахождение коэффициентов и построение графика линейного приближения, графика квадратичного приближения.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 03.05.2011

  • Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.

    контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012

  • Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.

    презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.