Последовательно получим:

n =1,

n =2,

где n = 1, 2, 3, … (3. 2. 6)

Из формулы (3. 2. 6) можем получить оценку любого приближения. Напомним, что если существует, то в качестве постоянной Липшица берем. Из формулы (3. 2. 6) следует, что при n, n(х)0.

Заметим, что в качестве начального приближения может быть выбрана любая функция, сколь угодно близкая к искомому решению. В частности, в качестве начального приближения можно выбрать отрезок ряда Тейлора разложения искомого решения.

Преимущество метода Пикара в том, что если на каком - то шаге мы сделали ошибку, то метод ее далее поправит. К недостаткам можно отнести тот факт, что нам постоянно требуется вычислять интеграл от предыдущего приближения, а это не всегда возможно, т. к. возможен случай, когда интеграл не вычисляется в классе элементарных функций.

Рассмотрим на примерах применение этого метода.

Пример 1. Методом последовательных приближений решить задачу Коши, предварительно выяснив вопрос о существовании решения. Ограничиться третьим приближением.

Пример 2. Методом последовательных приближений решить задачу Коши, предварительно выяснив вопрос о существовании решения. На каком приближении нужно остановиться, чтобы найти приближенное решение с точностью до 0,01.

3.3 Численные методы решения задачи Коши

3.3.1 Метод Эйлера

Данный метод является одним из наиболее простых приближенных методов решения задачи Коши, но наряду со своей простотой он имеет ряд недостатков: малая точность, систематическое накопление ошибок, которые отрицательно сказываются на результатах вычислений.

Пусть для значений х из отрезка [ xo, xo+h] требуется найти решение у(х) уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Суть метода Эйлера в построении ломаной, представляющей приближение к искомой интегральной кривой данного уравнения, проходящей через заданную точку Мо(хо, уо).

Разобьем отрезок [ xo, xo+h] на n частей точками хо, х1, х2, …, хк, …,

хn=хо+nh,

где n =0, 1, 2, …

и через точки деления проведем прямые, параллельные оси ОУ.

На оси ОХ влево от начала координат на расстоянии, равном 1, отметим точку Р (-1,0) - полюс.

Вычислим значение функции f (x, y) в точке Мо(хо, уо) и на оси ОУ, как на числовой оси, отметим точку Ао, соответствующую числу f (xо, yо). Точку Ао соединим отрезком прямой с полюсом Р. Из точки Мо(хо, уо) проведем прямую параллельно отрезку РАо до встречи с прямой х = х1 в точке М1. Так как, то отрезок МоМ1 есть отрезок касательной к искомой интегральной кривой в точке Мо(хо, уо). Этот отрезок мы и примем за приближение к искомой интегральной кривой на участке [хо, х1]. Так будет построено первое звено ломаной Эйлера.

Уравнение прямой МоМ1 есть, поэтому ордината точки М1 равна

Затем вычислим значение функции f (x, y) в точке М1(х1, у1) и на оси ОУ, отметим точку А1, соответствующую числу f (x1, y1). Точку А1 соединим отрезком прямой с полюсом Р. Из точки М1(х1, у1) проведем прямую параллельно отрезку РА1 до встречи с прямой х = х2 в точке М2. Отрезок М1М2 примем за приближение к искомой интегральной кривой на участке [х1, х2] и таким образом будет построено второе звено ломаной Эйлера.

Таким же путем построим отрезки М2М3, …, Мn-1Мn, которые примем за приближения к искомой интегральной кривой на участках [х2, х3], …, [хn-1, хn], а ломаную М0М1М2 …Мk …Мn - за приближение к искомой интегральной кривой на отрезке [ xo, xo+h].

Величины у1, у2, …, ук, …, уn являются приближенными значениями решения данного уравнения в точках х1, х2, …, хк, …, хn.

В точке х из отрезка [ xo, xo+h] отклонение построенной ломаной Эйлера от истинной интегральной кривой данного уравнения, проходящей через данную точку Мо(хо, уо), становится, вообще говоря, тем большим, чем будет дальше рассматриваемая точка х от хо, так как только точка Мо ломаной находится на искомой интегральной кривой, а точки М1,М2,…, Мn в общем случае не принадлежат этой интегральной кривой.

При использовании приближенных методов основным является вопрос о сходимости. Понятие сходимости приближенного метода можно сформулировать по - разному. Применительно к разностным методам, к которым относится и метод Эйлера, наибольшее распространение получило понятие сходимости при h0 (шаг). Оно означает следующее. Фиксируем точку х и построим последовательность сеток h(Равномерной сеткой введенной по переменному х с шагом h>0 называется множество точек h={ xn=nh, n = 0, 1, 2, …}). таких, что h0 и хn=nh=x (тогда необходимо n). Говорят, что метод Эйлера сходится в точке х,

Метод сходится на отрезке (0,Х], если он сходится в каждой точке х(0,Х].

Функция называется невязкой или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (3. 3. 1) на решении исходного уравнения

Видно, что невязка представляет собой результат подстановки точного решения у =у(х) в левую часть разностного уравнения (3. 3. 1). Если бы приближенное решение уn совпадало с точным у(хn), то невязка равнялась бы 0. Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, если при h0.

Разностный метод имеет р - й порядок аппроксимации, если. Функция обращается в нуль, если правая часть f не зависит от решения у. В общем случае пропорциональна погрешности, так как по формуле конечных приращений имеем

Порядок аппроксимации метода Эйлера можно найти используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку, то в силу уравнения у=f (x, y):, т. е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. При выводе предполагаем ограниченность у(х).

Проиллюстрируем применение метода Эйлера на примерах.

Пример 1. Применяя метод Эйлера, найти на отрезке [0, 1] приближенное решение уравнения у=2х-у, удовлетворяющее начальному условию у(0)=-1. Отрезок разделить на 10 равных частей и сравнить приближенные значения решения в точках деления со значениями точного решения в этих точках. Предварительно выяснить вопрос о существовании решения.

Все вычисления сведем в таблицу, в последнем столбце которой приведены значения точного решения в точках деления отрезка [0, 1].

Видим, что метод Эйлера дает не высокую, но в некоторых случаях удовлетворительную точность. Например, при х =0,5 абсолютная погрешность приближенного значения решения равна, а относительная погрешность Пример 2. Методом Эйлера решить задачу Коши, предварительно выяснив вопрос о существовании решения.

3.3.2 Метод Милна

Как уже отмечалось в предыдущем пункте метод Эйлера имеет низкий порядок сходимости. Существуют другие численные методы, которые хотя и имеют более сложную вычислительную схему, зато их порядок сходимости высок. К таким методам можно отнести, например, метод Рунге - Кутта, метод Милна. Целью данного пункта является рассмотрение вычислительной схемы метода Милна.

Дана задача Коши

Выбрав шаг h, положим

хi=xo+ih, уi=y(xi), yi=f (xi, yi), где i = 0, 1, 2, …

Первые четыре значения искомого решения yо, y1, y2, y3 (начальный отрезок) находим используя начальное условие (3. 3. 4) и применяя какой - либо метод, например, метод Рунге - Кутта (Различные модификации метода Рунге - Кутта мы не излагаем. Вычислительные схемы достаточно подробно изложены в [ ]). Тем самым будут известны

yi(i =0, 1, 2, 3)

Дальнейшие значения

yi =у(хi)(i = 4, 5, …)

последовательно определяются по следующей схеме, предполагая, что yi-1, yi-2, yi-3, yi-4 известны:

1). Вычислим первое приближение для для ближайшего следующего значения yi по формуле (3. 3. 5)

2). Значение подставляем в уравнение (3. 3. 3) и определяем соответствующее значение

Милн показал, что абсолютная погрешность значения приближенно равна (3. 3. 7) Поэтому, если i< , где - заданная предельная погрешность решения, то можно положить. В частности, это имеет место, если и совпадают в интересующих нас десятичных знаках.

Далее переходим к вычислению ближайшего следующего значения уi+1, повторяя указанный выше процесс. В противном случае, если точность не обеспечена, следует уменьшить шаг h (начиная с известного места). При этом мы встретимся с неприятной необходимостью пересчета начального отрезка.

Т. о., видим, что метод Милна выгодно отличается от других методов, например, метода Эйлера и метода Рунге - Кутта, тем, что в нем производится корректирование каждого вновь полученного частного значения интеграла уравнения без пересчета с измененным шагом.

Выведем формулы Милна (3. 3. 5) - (3. 3. 7). Для этого воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, написанной для производной у, в подходяще выбранной точке хк, причем ограничимся разностями третьего порядка, что равносильно тому, что интеграл у =у(х) дифференциального уравнения (3. 3. 3) аппроксимируется полиномом четвертой степени. Имеем

Полагая к = i - 4 в формуле (3. 3. 8) и почленно интегрируя полученную формулу по х в пределах от xi-4 до xi

Ддя вывода второй формулы Милна положим

k = i - 2

и проинтегрируем обе части выражения по х в пределах от xi-2 до xi. Отсюда, выполняя квадратуры, получим

Заметим, что для дифференциального уравнения

у=f (x) и у(хо)=уо,

правая часть которого не зависит от искомой функции у, формула (3. 3. 6) идентична с формулой Симпсона для интеграла

Для вывода контрольной формулы (3. 3. 7) для погрешности i второго приближения оценим главные члены погрешностей i и i первой и второй формул Милна. Учитывая отброшенные в интерполяционной формуле Ньютона (3. 3. 8) разности четвертого порядка, с точностью до разностей пятого порядка будем иметь

Пусть а х b - интересующий нас отрезок, на котором строится решение дифференциального уравнения (3. 3. 3), и тогда из формул (3. 3. 12) следует, что предельная абсолютная погрешность на [ a, b ] приближенного решения yi=y(xi) выражается следующим образом:

Т. о., суммарная ошибка метода Милна есть величина порядка h4.

Пример 1. Используя метод Милна решить задачу Коши, предварительно выяснив вопрос о существовании решения. Вычислить у(0,5) с точностью до 0,001.

Задаемся h=0,1, т. к. погрешность результата получается порядка h4=0,0001, то заданная точность практически достигается. Вычисления ведем с одним запасным знаком.

Значения уо и уо нам известны из начального условия и уравнения

у=х+у, уо=1; уо=1.

Остальные первые три значения

уi=y(xi) (i=1, 2, 3)

находим каким - либо другим способом численного интегрирования дифференциального уравнения. Из нашего уравнения получаем соответствующее значение

уi=y(xi) (i=1, 2, 3).

В таблице приведены эти значения, найденные методом Рунге - Кутта

Вычислим значения у4 и у5 по формулам Милна, получим у4(1) = 1,5836, отсюда, подставив в наше уравнение будем иметь у4 (1) = 1,9836, и далее у4(2) = 1,5835.

Т. о., найденные значения у4(1) и у4(2) совпадают в сохраненных нами трех десятичных знаках, поэтому считаем у4= у4(2) =1,5835. Отсюда у4=у4(2) =1,9835.

Вычислим теперь у5, получим у5(1) =1,7973, и соответственно у5(1) =2,2973, и далее у5(2) =1,7973.

Т. к. у5(1) и у5(2) совпадают, то можно положить у5=1,7973. Следовательно, у(0,5)=1,797.

Необходимо отметить, что благодаря малости шага h здесь нет необходимости оценивать погрешность приближенных значений искомого решения.

Задаемся h=0,1, т. к. погрешность результата получается порядка h4=0,0001, то заданная точность практически достигается. Вычисления ведем с одним запасным знаком.

Значения уо и уо нам известны из начального условия и уравнения у=1+ху2, уо=1; уо=1. Остальные первые три значения уi=y(xi) (i=1, 2, 3) находим каким - либо другим способом численного интегрирования дифференциального уравнения. Из нашего уравнения получаем соответствующее значение уi=y(xi) (i=1, 2, 3).

В таблице приведены эти значения, найденные методом Рунге - Кутта

Вычислим значения у4 и у5 по формулам Милна, получим у4(1) =0,4065, отсюда, подставив в наше уравнение будем иметь у4 (1) = 1,0661, и далее

у4(2) = 0,4065.

Т. о., найденные значения у4(1) и у4(2) совпадают в, поэтому считаем у4= у4(2) =0,4065. Отсюда у4=у4(2) =1,0661.

Вычислим теперь у5, получим у5(1) =0,5161, и соответственно у5(1) =1,1332, и далее у5(2) =0,5163.

Т. к. у5(1) и у5(2) совпадают в трех сохраненных десятичных знаках, то можно положить у5=0,5163. Следовательно, у(0,5)=0,516.

Необходимо отметить, что благодаря малости шага h здесь нет необходимости оценивать погрешность приближенных значений искомого решения.

Вычисления по методу Милна будем вести по следующим схемам

Заключение

В данной дипломной работе мы большое внимание уделили рассмотрению качественной теории дифференциальных уравнений 1 - го порядка, которая позволила получить достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши. Используя эти условия достаточно просто выяснить имеет ли задача Коши решение и указать (достаточно малый) промежуток его существования. Особенно важно иметь такую информацию, если задача Коши решается приближенно.

Из рассмотренных в работе приближенных методов решения задачи Коши, видимо, наиболее практическую ценность имеют численные методы. Это следует из того, что метод последовательных приближений применим лишь тогда, когда берутся квадратуры в расчетной формуле, а метод изоклин позволяет получить лишь вид искомой кривой, причем достаточно приближенно.

Т. к. много прикладных задач сводится к типовым дифференциальным уравнениям (решаемым точно в квадратурах), в работе дан набор задач, которые могут стать основой при проведении, например, факультативного курса для студентов математического факультета по исследуемой теме.

Цели и задачи, поставленные перед нами, выполнены.

Литература

1. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: ”Наука”, 1987.

2. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. - М.: Физматгиз, 1960.

3. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. - М.: ”Просвещение”,1972. - Т.2.

4. Демидович Б. П. и др. Основы вычислительной математики. - М.:”Наука”, 1966.

5. Запорожец Н. М. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: ”Высшая школа”, 1966.

6. Киселев А. И., Краснов М.Л., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: ”Высшая школа”, 1967.

7. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов пед. ин - тов по физ. - мат. спец. -М.: ”Просвещение”, 1988.

8. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:”Наука”, 1964.

9. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. Пособие. - 2 - е изд., перераб. - М.: ”Высшая школа”, 1989. - 383 с.: ил.

10. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Гос. изд. - во физ. - мат. литературы, 1959.

Приложение 1

Задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество С. Установить зависимость количества вещества С от времени, если в момент вступления в реакцию количества веществ А и В были равны соответственно а и в. Скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс.

Решение. Пусть х = х (t) - количество вещества С через время t после начала реакции; - скорость образования вещества С(скорость реакции). По условию где н - коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные, имеем

Интегрируя, получим. Из условия х(0) = 0 находим

С = ;

значит,. Решив это уравнение относительно х, найдем требуемую зависимость:

Предположим, что в > а; тогда х(t) > а при t> ?. Если же в < а, то, записав зависимость х = х (t) в виде заключаем, что х(t) > в при t> ?.

Если количества веществ А и В равны, т. е. а = в, то уравнение реакции имеет вид. Разделяя переменные и интегрируя, получим. Из условия х(0) = 0 найдем, что

С = .

Поэтому процесс реакции описывается зависимостью

Таким образом, х(t) > а при t> ?.

Задача 2. Скорость увеличения площади молодого листа виктории, имеющего форму круга, пропорциональна радиусу листа и количеству солнечного света, падающего на него. Количество солнечного света пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью к листу. Найти зависимость между площадью S листа и временем t, если в 6 часов утра эта площадь составляла 1600 см2, а в 18 часов того же дня 2500 см2. Принять, что угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 часов утра и в 18 часов равен 900, а в полдень- 00.

Решение. Пусть S= S(t) - площадь в момент времени t. Если за начало отсчета времени взять 6 часов утра, то S(0) = 1600 см2, а S(12) = 2500 см2(площадь листа в 18 часов). Скорость роста листа, где н - коэффициент пропорциональности, г- радиус листа; Q- количество солнечного света. По условию, Q= гScosб, где г- коэффициент пропорциональности; б- угол между направлением солнечного луча и вертикалью к листу. Угол б = б(t) является линейной возрастающей функцией времени:

Из указанных условий находим

а= , в= -, т. е. б =(t-6). Т. о.,

. Поскольку радиус листа r =, имеем дифференциальное уравнение

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

Из условий S(0) = 1600, S(12) = 2500 находим

Подставляя эти значения в последнее равенство

Задача 3. Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий при достаточном запасе пищи пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным их количеством?

Решение. Если х(t) - количество бактерий в момент времени t, х(0)=х0, то изменение их со временем описывается уравнением из которого находим

Время Т, за которое количество бактерий увеличится в m раз, находим из уравнения

Задача 4.Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость 0=20 м/с. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения.

Решение. Обозначим через s=s(t) расстояние точки от начала отсчета в момент t. Тогда s(0)=5. Согласно условию, изменение величины s от времени описывается дифференциальным уравнением, где н - коэффициент пропорциональности.

Разделив переменные в этом уравнении и проинтегрировав его, получим. Из условия s(0)=5 определим постоянную интегрирования С:, поэтому

Дифференцируя по t, найдем скорость движения точки в момент t:

Из условия (0)= 0=20 м/с определяем коэффициент пропорциональности н:

Через 10 с после начала движения имеем:

Итак, через 10 с после начала движения скорость точки составляла 20/9 м/с. За это время точка прошла расстояние Задача 5. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 2 м/с, а ее скорость через 4 с равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0.25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки? Решение. Пусть = (t) - скорость лодки в момент t. Тогда (0)=2. Согласно второму закону Ньютона,

Итак, через 10 с после начала движения скорость точки составляла 20/9 м/с. За это время точка прошла расстояние Задача 5. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 2 м/с, а ее скорость через 4 с равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0.25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки? Решение. Пусть

= (t)

скорость лодки в момент t. Тогда (0)=2. Согласно второму закону Ньютона, где F(t) - сила, действующая на лодку; m - масса лодки. По условию F(t)=- н(t), где н>0 - коэффициент пропорциональности, а знак минус означает, что сила направлена против движения (на уменьшение скорости). Поэтому дифференциальное уравнение движения лодки есть. Его решения. Согласно условию, (0)=2, поэтому С=2

Поскольку (4)=1, можно определить величину : Скорость лодки. Время Т, через которое скорость лодки будет равна 0,25 м/с, находим из уравнения

Отсюда видно, что лодка может пройти путь, не больший 11,5 м.

Задача 6. Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна 0, прямо пропорциональна силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m. Сила тяги локомотива F(t)=b-(t), где (t) - скорость локомотива в момент t, а b и - постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t.

Решение. Ускорение локомотива есть производная от его скорости:

Поэтому, согласно условию,. Интегрируя это уравнение, получим. Начальная скорость локомотива (0)=0, поэтому и зависимость силы тяги локомотива от времени определяется равенством

Задача 7. У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?

Полагая в этом уравнении У=0, найдем абсциссу Х0 точки пересечения касательной с осью ОХ. Согласно условию задачи, Х0 + х = 0, т. е.. Проинтегрируем, разделив переменные:

Следовательно искомая кривая есть парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси ОХ.

Задача 8. Материальная точка массы m движется вдоль координатной прямой ОХ. Работа силы, действующей на точку, пропорциональна времени t от начала движения (коэффициент пропорциональности равен н). Найти закон движения точки, если в начальный момент (при t=0) точка находилась в покое на расстоянии s0 от начала отсчета.

Решение. В случае прямолинейного перемещения точки, когда направления силы и скорости совпадают, работа действующей на точку силы F(s) выражается формулой. По условию,

А=t

Сравнивая оба выражения для А, получим уравнение. Дифференцируя обе части этого соотношения по t, имеем, а т. к. (скорость движения), то

На основании второго закона Ньютона поэтому имеем дифференциальное уравнение. Интегрируя его, находим

Из начального условия (0)=0(в начальный момент точка находилась в покое) находим, что С=0 и потому. Заменяя через и интегрируя, получим. Т. к., по условию, s(0)=s0, то C1= s0 и закон движения точки окончательно примет вид

Задача 9. Парашютист спускается на парашюте, имеющем форму полусферы радиуса R = 4 м. Его масса вместе с массой парашюта равна 82 кг. Найти скорость парашютиста через 2 с после начала спуска и путь, пройденный за время t. Считать, что сила сопротивления воздуха F1= 0,00081s2, где s - площадь наибольшего сечения, перпендикулярного направлению движения; - скорость движения.

Решение. В дифференциальном уравнении движения парашюта сила F является равнодействующей двух противоположно направленных сил: веса, равного mg, и силы сопротивления воздуха, равной 0,00081s2. Поэтому дифференциальное уравнение движения есть

Запишем это уравнение в виде, где. Разделяя переменные и интегрируя, получаем. Разложив дробь на простые дроби: вычислим интеграл

Т. о.,. Если t=0, то =0; следовательно, С=0 и окончательно получим

Интегрируя его, получаем. Отсюда при начальном условии t=0,s=0 постоянная С=0

Второе слагаемое числителя уже при небольших значениях t становится очень малым, поэтому при всех t, больших некоторого определенного значения, можно без практической ошибки принять, что

Получили линейную зависимость, физический смысл которой состоит в следующем. Спустя некоторое время движения парашютиста практически равномерно. Скорость равномерного движения равна , т. е. предельной скорости движения.

Задача 10. Кривая у = (х) проходит через точку (1,2). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Найти кривую у = (х).

Решение. Пусть (х,у) - произвольная точка на данной кривой. Уравнение касательной, проведенной к этой кривой в точке (х,у), имеет вид Х, У - текущие координаты точек касательной. Из того условия, что касательная пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой 2х, получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая:

Разделив переменные и проинтегрировав это уравнение, находим. Искомая кривая проходит через точку (1,2), поэтому С=1; следовательно,

Задача 11. Кривая у = (х) проходит через точку (0,1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую у = (х). Решение. Пусть (х,у) - произвольная точка на данной кривой. Тангенс угла наклона касательной к кривой в точке (х, у) равен производной искомой функции в точке (х, у), т. е.. По условию,. Отсюда

Так как у(0)=1, то С=1

Задача 12. Кривая проходит через начало координат и лежит в полуплоскости у0. Каждый прямоугольник, ограниченный осями координат и перпендикулярами к ним, проведенными из точки кривой, кривая делит на две части, причем площадь части прямоугольника, находящаяся под кривой, в 2 раза меньше площади части прямоугольника, находящейся над кривой. Найти уравнение кривой.

Решение. Опустим из произвольной точки М(х, у) искомой кривой

у = у(х)

перпендикуляры МА иМВ на координатные оси. Площадь прямоугольника ОАМВ выражается формулой

S=xy(или S=-xy, если кривая лежит в области х0).

Площадь части прямоугольника, лежащей под кривой(заштрихована), вычислим по формуле

По условию,

S-Q=2Q

Получили интегральное уравнение(искомая функция входит под знак интеграла); от перейдем к дифференциальному уравнению, продифференцировав обе части уравнения по х. Имеем. Интегрируя это уравнение, находим. По условию искомая кривая лежит в полуплоскости у0, поэтому любая парабола удовлетворяет условию задачи.

Задача 13. Сосуд, площадь S=S(h) поперечного сечения которого есть известная функция высоты h, наполнен жидкостью до уровня H. В дне сосуда имеется отверстие площади , через которое жидкость вытекает. Определить время t, за которое уровень жидкости понизится от начального положения H до произвольного 0 h H, и время Т полного опорожнения сосуда.

Решение. Пусть высота жидкости в сосуде в некоторый момент t равна h. Количество жидкости V, вытекающее из сосуда за промежуток времени t от момента t+t, можно подсчитать как объем цилиндра с площадью основания и высотой V(h):

V=V(h) t.

Этот же объем жидкости может быть вычислен другим способом. Вследствие утечки жидкости ее уровень h в сосуде понизится на величину -h; следовательно,. Приравнивая оба выражения для V, имеем. Разделив обе части последнего равенства на t и переходя к пределу при t, получим дифференциальное уравнение, описывающее зависимость уровня воды в сосуде от времени:

. Подставляя вместо V(h) его значение согласно закону Торричелли и разделяя в этом уравнении переменные, получим

Отсюда

При полном опорожнении сосуда h=0, поэтому время Т определяется по формуле

Задача 14. Круглый цилиндрический бак с вертикальной осью, диаметром 2R и высотой H наполнен водой. Из бака вода вытекает через круглое отверстие диаметром 2а в дне бака. Определить время опорожнения бака.

Решение. Площадь поперечного сечения

S = S(h)

в данном случае постоянна и равна R2, а площадь отверстия

=а2

Согласно второй из формул, полученных при решении предыдущей задачи, время опорожнения сосуда

В частности, при R=1 м, H=2,25 м, а=0,05 м и = 0,62(для воды)

Задача 15. Пустой железный шар находится в стационарном тепловом состоянии (т. е. в состоянии, при котором температура в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке с течением времени не изменяется). Внутренний радиус шара 6 см, внешний - 10 см, температура внутренней поверхности 2000С, внешней - 200С. Найти температуру в точках, находящихся на расстоянии 9 см от центра шара.

Решение. Экспериментально установлено, что количество теплоты q, проходящее через площадку S, перпендикулярную направлению теплового потока, пропорционально площади S и скорости изменения температуры с изменением х, т. е., где - коэффициент теплопроводности(для железа = 0,14).

В данном случае, согласно симметрии, теплота распространяется радиально, а поэтому температура в каждой точке есть функция расстояния ее от центра шара. Площадь площадки, через которую проходит теплота, есть площадь поверхности шара радиуса r, т. е. S=4R2;поэтому

Но количество теплоты, проходящее через две произвольные концентрические сферические поверхности, одно и то же, поэтому

Разделяя переменные и интегрируя, получим. Из условий Т(6)=200, Т(10)=20 определим q и С:

Задача 16. Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении через катушку электрического тока выделяется теплота. Вывести формулу для температуры Т=Т(t) установившегося режима как функции времени t.

Решение. Пусть Т0 - температура среды, в которой находится катушка; Т(0)=Т0 ; с - удельная теплоемкость меди; - ее плотность; V - объем; S - площадь поверхности катушки; q - количество теплоты, выделяемое на протяжении единицы времени; - коэффициент теплопроводности.

Количество теплоты, выделяемое за время t, равно qt. Эта величина состоит из двух частей: теплоты, которая идет на повышение температуры Т, и теплоты, уходящей в среду, окружающую катушку. Первая часть равна сVТ, а вторая S(Т-Т0) t (количество этой теплоты пропорционально температуры Т и Т0 катушки и среды, а также величинам S и t); отсюда

Разделив обе части последнего равенства на t и переходя к пределу при t0, получим дифференциальное уравнение

Отсюда

Окончательно

Задача 17. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 1 м поглощается первоначального светового потока. Какая часть светового потока дойдет до глубины h?

Решение. Пусть

Q=Q(h)

световой поток, падающий на поверхность на глубине h. При прохождении через слой воды толщиной dh поглощенный световой поток dQ равен, где - коэффициент пропорциональности. Отсюда

Пусть первоначальный световой поток равен Q0. Тогда из начального условия

Q(0)=Q0 С=Q0,

и поэтому. По условию,, поэтому, откуда

До глубины h=4 дойдет световой поток

Т. о., до глубины 4 м дойдет менее первоначального светового потока.

Задача 18. Найти кривую, для которой тангенс угла наклона ее касательной в любой ее точке в n раз больше тангенса угла наклона прямой, проходящей через ту же точку и начало координат.

Решение. Тангенс угла наклона касательной в любой точке (х, у) равен tg, а тангенс угла наклона прямой, проходящей через точку (х, у) и точку (0, 0) найдем из уравнения прямой с угловым коэффициентом:

Следовательно или. Из условия следует, что

Решения этого дифференциального уравнения

Задача 19. Доказать, что кривая тангенс угла наклона касательной которой к оси абсцисс в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.

Решение. Составим по условию задачи дифференциальное уравнение

Его решения, т. е. данная кривая является параболой.

Задача 20. Кривая у = ц(х) проходит через точку (1, 1) и обладает тем свойством, что тангенс угла наклона каждой ее касательной пропорционален квадрату ординаты точки касания. Найти уравнение этой кривой.

Решение. Из условия следует, что, т. е. получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Его решения. Используя начальное условие, найдем

С =1+к.

Тогда искомое уравнение кривой имеет вид: или

Задача 21. Кривая у = ц(х) проходит через точку (0, -2) и обладает тем свойством, что тангенс угла наклона касательной в любой ее точке ординате этой точки, увеличенной на три единицы. Найти уравнение этой кривой.

Решение. Из условия следует, что, т. е. получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Его решения. Используя начальное условие находим С =-2. Искомое уравнение имеет вид:

Задача 22. В резервуар в котором имеется 100 л 10 % - ного раствора соли, каждую минуту вливается 30 л воды и из него вытекает 20 л смеси. Какое количество соли останется в резервуаре через 10 минут (считать, что смесь непрерывно перемешивается)?

Решение. Обозначим через m(t) количество соли в сосуде через t минут после начала процесса. Вычислим насколько изменится количество соли в сосуде за промежуток времени [ t; t + ?t].

За время ?t в сосуд поступит 30 л воды. За это же время из сосуда вытечет 20?t л раствора. В момент t в сосуде было m(t) кг соли, следовательно, в 20?t л вытекающего раствора содержалось бы кг соли, если бы за время ?t количество соли в сосуде не изменялось. Так как за это время данное количество соли изменится на некоторую величину б (отметим, что б>0 при ?t>0), то из сосуда за время ?t вытечет кг соли, где 0<в<б.

Т. о., в сосуд за промежуток [ t; t + ?t] втекает 30 л воды(соли нет), а в вытекающем за это же время кг соли. Приращение количества соли за это время равно разности найденных величин, т. е.. Разделим обе части этого равенства на ?t и перейдем к пределу при ?t>0. Учитывая, что в>0, когда ?t>0, имеем. Получили дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция m(t). Решения этого уравнения имеют вид

Так как в момент t = 0 в сосуде было 10 кг соли, т. е. m(0) = 10, то С= -4. (Т. к. в задаче не указан вид соленого раствора, то предполагаем, что плотность соли равна 1). Итак, количество соли в сосуде со временем изменяется по закону. В момент t = 10 в сосуде будет m (10) = ? кг соли.

Размещено на Allbest.ru