Леонардо Фибоначчи: вклад в науку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Леонардо Пизанский (лат. Leonardo Pisano, около 1170, Пиза -- около 1250, там же) -- первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи (Fibonacci); о происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи («Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой, Fibonacci происходит от фразы Figlio Buono Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.

В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному.

1. Вклад в науку

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 г.). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII--X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XI главе рассмотрены задачи на смешение. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов -- арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи. В XIII главе излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг.

«Книга абака» резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII--XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения. По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Другая книга Фибоначчии, «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220), содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные -- например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

В трактате «Цветок» (Flos, 1225) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение , предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что его корень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичных иррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное 1;22,07,42,33,04,40, не указывая, однако, способа своего решения.

«Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225), содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений. В одной из задач, также предложенной Иоанном Палермским, требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа.

В честь учёного назван числовой ряд, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта числовая последовательность носит название чисел Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, … (

Этот ряд был известен ещё в Древней Индии задолго до Фибоначчи. Своё нынешнее название числа Фибоначчи получили благодаря исследованию свойств этих чисел, проведённому учёным в его труде «Книга абака» (1202).

2. Задачи Фибоначчи

Задача 1. Найти число, 19/20 которого равны квадрату самого числа.

Ответ: 19/20.

Комментарий. Ответ очевиден каждому, кто знаком с понятием квадрата числа. Решая задачу с помощью квадратного уравнения 19/20 x = x² мы получим еще одно удовлетворяющее условию задачи число - 0.

Автор же, очевидно, имел в виду число, отличное от нуля. Что вообще-то неудивительно. Во времена Леонардо Пизанского нуль не признавался за корень уравнения, т.е. за число. Впрочем, это не мешало некоторым математикам и до, и после Фибоначчи выполнять простейшие операции с нулем, который воспринимался ими как символ, обозначавший «ничто».

Задача 2. Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца. Сколько пар кроликов будет через год?

Ответ: 377 пар.

Комментарий. Даже одной этой задачи хватило бы Фибоначчи, чтобы оставить след в истории науки. Именно в связи с ней сегодня чаще всего и упоминается имя ученого. Решая задачу о размножении кроликов, Леонардо описал бесконечную числовую последовательность (a_n), любой член которой, начиная с третьего, выражается через предыдущие члены:

a₁ = 1, a₂ = 1, a_n+2 = a_n+1 + a_n, где n ? 1.

математика средневековый знание фибоначчи

Для математиков она является прежде всего классическим примером рекуррентной последовательности, элементы которой, числа Фибоначчи, обладают многими весьма интересными и нашедшими неожиданные применения свойствами. Из них широко известно следующее: предел отношения a_n+1 к a_n при неограниченном возрастании n устремляется к знаменитому числу Ф ? 1,618, выражающему божественную пропорцию.

Что же касается ответа в задаче о кроликах, то (в соответствии с указанными в тексте условиями) он совпадает с 13-м членом построенной Леонардо последовательности 1, 2, 3, 5, 8, ... - числом 377. Здесь каждое число, начиная со второго, показывают, сколько всего пар кроликов будет насчитываться к началу очередного месяца.

Заметим, что Фибоначчи рассматривал свою задачу для взрослой пары кроликов (на это указывают слова «рождаются кролики со второго месяца»). Если же решать ее для новорожденной пары, получится последовательность (1); в таком случае ровно через год количество животных увеличится до 233 пар особей*.

* Спустя полтора столетия индийский математик Нарайана рассматривал похожую задачу: найти число коров и телок, происходящих от одной коровы в течение 20 лет, при условии, что корова в начале каждого года приносит телку, а телка, достигнув трех лет, дает такое же потомство в начале года. Если решать задачу, составляя рекуррентное соотношение, придем к последовательности 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ... .

Задача 3. Семь старух отправляются в Рим. У каждой по семь мулов, каждый мул несет по семь мешков, в каждом мешке по семь хлебов, в каждом хлебе по семь ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

Ответ: 137 256 предметов.

Комментарий. Перед нами хорошо известная, встречающаяся у разных народов задача-шутка, как ее часто называют историки математики, полагая, что в былые времена она была всего лишь нехитрой забавой для учеников. А ведь эта восходящая еще к древним египтянам задача, вернее ее решение, служит прекрасной наглядной иллюстрацией построения геометрической прогрессии и нахождения суммы первых n ее членов по известному первому члену и знаменателю. И именно в таком качестве ее вполне можно использовать в обучении детей математике.

От аналогичной задачи из папируса Ахмеса* задача из трактата Фибоначчи по сути отличается лишь тем, что в ней суммируются не пять, а шесть чисел:

S₆ = 7 + 7² + ... 7⁶ = [7 · (7⁶ - 1)]/6 = 137 256

математика средневековый фибоначчи

* Напомним ее условие: «У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семь мер зерна. Как велики числа этого ряда и как велика их сумма?» А вот для сравнения русский вариант задачи, рассмотренной в книге Леонардо: «Шли семь старцев, у каждого старца по семь костылей, на каждом костыле по семь сучков, на каждом сучке по семь кошелей, в каждом кошеле по семь пирогов, в каждом пироге по семь воробьев. Сколько всего?»

Задача 4. Выбрать пять гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз массой от 1 до 30 целых весовых единиц. При взвешивании все гири разрешается класть только на одну чашку весов.

Ответ: надо взять гири с массами 1, 2, 4, 8 и 16 весовых единиц.

Комментарий. Затронутый в задаче вопрос равносилен вопросу о представлении натурального числа n ? 30 в виде суммы не более пяти различных натуральных чисел из набора m₁, ..., m₅ , не превосходящих n:

n = a₁ · m₁ + a₂ · m₂ + a₃ · m₃ + a₄ · m₄ + a₅ · m₅ ,

где каждый из множителей a₁, ..., a₅ равен 1 или 0 (гиря либо кладется на чашку весов, либо нет). Но тогда естественно перейти к двоичной системе счисления:

n = a₅ · 2⁴ + a₄ · 2³ + a₃ · 2² + a₂ · 2¹ + a₁ · 2⁰.

Таким образом, в набор должны входить гири, массы которых выражаются числами 1, 2, 4, 8 и 16.

Хотя данную задачу часто связывают с именем французского математика и поэта Баше де Мезириака*, она встречается еще у Фибоначчи. Вероятно, и тот не сам ее придумал. А настоящим автором этой до недавнего времени актуальной практической задачи мог быть какой-нибудь сметливый торговец, которому частенько приходилось взвешивать свой товар.

В «Liber abaci» содержался также более сложный вариант рассмотренной задачи. В нем разрешается класть гири на обе чашки весов, а значит, надо будет думать не только о выборе гирь, но и о том, куда и каком количестве их добавлять. Ясно, что в данном случае каждое из чисел a_i может принимать три различных значения (гиря добавляется либо на свободную чашку весов, либо на чашку с грузом или вообще не используется) и приходится обращаться уже к троичной системе счисления. Решив задачу для n ? 40, Леонардо получил в ответе набор гирь массами 1, 3, 9 и 27 весовых единиц.

Оба варианта задачи интересны еще и тем, что найденные числа являются членами геометрических прогрессий со знаменателями q = 2 и q = 3 соответственно. А к системе из пяти гирь, упоминающейся в задаче 4, можно прийти, рассматривая неравенство

30 ? 1 + 2 + 2² + ... + 2^m-¹, или 30 ? 2^m - 1.

Его наименьшее натуральное решение m = 5.

Задача 5. Если первый человек получит от второго 7 денариев, то станет в пять раз богаче второго, а если второй человек получит от первого 5 денариев, то станет в семь раз богаче первого. Сколько денег у каждого?

Ответ: 7 ²/₁₇ и 9 ¹⁴/₁₇ денариев.

Комментарий. Обозначив буквами x и y количество денег, имеющихся у первого и у второго человека, получим систему

из которой найдем x = 7 ²/₁₇ и y = 9 ¹⁴/₁₇. Такой способ решения напрашивается сам собой, поскольку в задаче говорится о двух неизвестных.

А вот Леонардо Пизанский в своих рассуждениях ограничился одной неизвестной, назвав ее по давно укоренившейся среди математиков традиции «вещью». Приняв имущество второго человека за вещь и семь денариев, т.е. за (x + 7), он выразил имущество первого как (5x - 7) и в дальнейшем пришел к линейному уравнению

x + 12 = 7 (5x - 12).

Попутно заметим, что в трактате Фибоначчи содержатся аналогичные задачи и с бульшим числом людей.

Задача 6. 30 птиц стоят 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби по 2, а пара воробьев - по монете. Сколько птиц каждого вида?

Ответ: 3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.

Комментарий. Из-за большого количества неизвестных данную задачу вполне логично решать алгебраически. Если число куропаток, голубей и воробьев обозначить буквами x, y, z соответственно, то решение сведется к нахождению тройки натуральных чисел, удовлетворяющих системе уравнений

Исключив z и выразив затем x через y, получим x = 6 - 3/5 y. Единственное возможное значение y равно 5, тогда x = 3, z = 22.

Интересно, что данную задачу автор «Liber abaci» рассматривал как задачу на сплав достоинства 1, который должен получиться из трех целочисленных количеств достоинством 3, 2 и 1/2. Эта же задача, но с чуть измененными числовыми данными (стоимость птиц разного вида выражается обратными числами: 1/3, 1/2 и 2) разбиралась еще в одном сочинении Леонардо.

3. Опередивший время

Как отмечают исследователи, «Liber abaci» не просто выделяется, а резко возвышается над средневековой литературой по арифметике и алгебре. Прежде всего благодаря фундаментальности изложения и многообразию рассмотренных в ней методов и задач. Уровень сочинения оказался столь высок, что осилить и воспользоваться изложенными в нем сведениями смогли главным образом ученые-математики, отчасти современники Леонардо, и в еще большой мере - представители последующих поколений.

Фактически лишь спустя три столетия после выхода в свет «Liber abaci» стало заметно ее влияние на работы других авторов. С появлением труда Фибоначчи европейские ученые эпохи Средневековья, бывшие зачастую философами-схоластами или духовными лицами, для кого математика не была основным занятием, стали уделять больше внимания алгебре и затрагивать в своих исследованиях ее новые вопросы. Однако первых серьезных результатов удалось достичь только в эпоху Возрождения, к началу XVI столетия, когда группа итальянских математиков (Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья, Иероним Кардано, Людовико Феррари) получила общее решение кубических уравнений, положив тем самым начало высшей алгебре.

Выходит, что как ученый Леонардо Пизанский не только превзошел, но и на многие десятилетия опередил западноевропейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, привнесшему в греческую науку знания, некогда полученные от египетских и вавилонских жрецов, Фибоначчи во многом способствовал передаче приобретенных им в молодости математических знаний индусов и арабов в западноевропейскую науку и заложил фундамент для ее дальнейшего развития.

Размещено на Allbest.ru