+С

+С

+С

Показательные функции

+С

+С

Кроме того, оказалось, что процедура интегрирования тесно связана с широким классом практических задач - вычисления площадей, объёмов, моментов инерции, осреднённых значений, решения уравнений, включающих производные, дифференциальных уравнений, описывающих различные динамические и распределительные процессы. Эти вопросы, на первый взгляд, далеки от проблем и интересов филологов, но хотя бы поверхностное знакомство с аппаратом математического анализа необходимо для изучения (или хотя бы знакомства) теории вероятностей и математической статистики, «выход» которых в филологию очевиден и будет рассмотрен дальше.

И для этих задач создание интегрального исчисления позволило предложить общие методы, взамен индивидуальных приёмов, например, «метода исчерпывания», применявшегося Архимедом, или метода тонких слоёв, применявшегося Кавальери.

Оказалось, что кроме поиска функции, обратной к производной (первообразной, неопределённого интеграла - так как эти функции содержат произвольную постоянную С), можно ввести определённый интеграл как разность значений первообразной в крайних точках отрезка, и эта разность представляет собой площадь под кривой (функцией), содержащейся под знаком интеграла на данном отрезке.

Геометрическая интерпретация производных (как углового коэффициента касательной к кривой в данной точке) и интегралов (как площади под рассматриваемой кривой) позволила разработать процедуры вычисления этих величин с требуемой точностью, особенно важные в связи с применением компьютеров.

Рис. 8. Графики параболы x=у 2 и прямой y=x-2.

В качестве примера использования интегрального исчисления рассмотрим задачу о вычислении площади плоской фигуры.

Для вычисления площади области (рис.8), ограниченной параболой и прямой, достаточно вычислить определенный интеграл.

Легко вычислить точки их пересечения: х=1 и х=4.

Параболе x=у 2 соответствуют две функции (ветвь параболы, лежащая выше оси X) и (ветвь параболы, лежащая ниже оси X). Теперь рассматриваемую область можно разбить вертикальной линей, пересекающей ось X в точке х=1, на две части. На область, ограниченную сверху графиком и снизу графиком , а так же на область, лежащую правее проведенной вертикальной линии между прямой y=x-2 и графиком . Площадь первой области находим, вычисляя определенный интеграл S1=, а площадь второй области, вычисляя определенный интеграл

S2=

.

Сложив найденные величины, получим площадь всей области

S= .

Формализация этих процедур привела к расширению и усовершенствованию понятия алгоритма - последовательности действий, приводящих к получению нужных величин или функций. Это понятие является ключевым для работы с компьютером, но аналог его легко проследить в бытовых условиях (алгоритм кипячения воды Упрощение алгоритмов хорошо иллюстрирует шутливый «принцип чайника» или молока, алгоритм анализа слова или предложения и т. д.). Вопросам построения и анализа алгоритмов будет уделено особое внимание при изучении основ информатики.

Филологи неоднократно, хотя и несколько поверхностно, обращались к понятию интеграла:

Народ есть некий интеграл

Отдельных личностей,

Которых Бог не зря собрал

В таком количестве.

В. Уфлянд

5. Множества, мера и их применения

“Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist er nicht”

(Господь Бог изощрен, но не злонамерен)

А. Эйнштейн

«Мне казалось, что наиболее достоверно математическое знание. Однако обнаружилось, что многое в этой области, полагавшееся неоспоримым, страдает недостоверностью и что для достижения достоверности необходима новая математика, основывающаяся на более твердых принципах, нежели те, что до сих пор считались достаточными.»

Б. Рассел

Множество - одно из основных понятий современной математики - Действия над

множествами - Конечные, счётные, континуальные множества - Мера множества

- Структура - Обобщения понятия интеграла - Отображения - Приложения

Для математики, как и для большинства других наук, процесс развития идёт по принципу «шаг вперёд, два шага назад». Сначала, без особых обоснований вводятся новые понятия и подходы. Если такой, несколько авантюрный прорыв оказался удачным, позволил получить новые результаты (шаг вперёд), возникает необходимость вернуться назад, оглядеться, обосновать введённые понятия и методы, найти границы их применимости (два шага назад).

Таким обоснованием и понятия числа, и понятия функции, и роли новых классов функций явилась разработка теории множеств. Понятие множества фактически уже использовалось выше, но теперь его определение и использование необходимо уточнить.

Множество - простейшее, первоначальное математическое понятие, не определяемое, а лишь поясняется примерами. Это - совокупность некоторых объектов (людей, слов, чисел, функций,…).

В качестве иллюстрации множество представляется некоторой двумерной областью как совокупностью принадлежащих ей точек (непрерывной или дискретной). Характеристикой множества является его мера - аналог площади области или числа содержащихся в множестве точек, элементов.

Естественно вводятся операции над множествами - пересечение, объединение, дополнение (также хорошо интерпретируемые областями на плоскости и тесно связанные с математической логикой - алгеброй множеств).

Так, пересечение двух множеств A и B состоит из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам. В диаграммах Венна множество изображается в виде круга, а пересечение двух множеств изображается областью, которая является общей для этих кругов. На рисунке 8 пересечению соответствует область, заштрихованная одновременно вертикальными и горизонтальными линиями

Объединение двух множеств A и B состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, и в диаграмме Венна ему соответствует область, покрываемая кругами, изображающими данные множества. На рисунке 9 объединению соответствует область, заштрихованная горизонтальными линиями.

Дополнение множества А до универсального множества Е (оно изображается прямоугольником) состоит из элементов универсального множества, не принадлежащих множеству А. По диаграмме Венна дополнение изображается той частью универсального множества, которое остается после удаления из него точек круга, изображающего множество А. На рисунке 9 дополнение множества А до универсального множества Е представлено не заштрихованной частью прямоугольника.

Разность двух множеств B \ A состоит из элементов множества В, не принадлежащих множеству А. На рисунке 10 разность двух множеств B \ A изображена областью, заштрихованной только вертикальными линиями.

В математике используется понятие мощности множества, которое может быть определено как количество элементов, составляющих это множество. Мощность множества А обозначают А. Если множество А не содержится полностью во множестве В, то В\А=В- АВ . Мощность объединения двух пересекающихся множеств можно найти, зная мощность каждого и мощность пересечения этих множеств, по формуле АВ=А+ В- АВ .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.9. Диаграммы Венна, изображающие пересечение двух множеств AB и дополнение множества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10. Диаграммы Венна, изображающие объединение двух множеств AB и разность двух множеств B \ A.

Упражнение. Согласно проведенному исследованию, из 200 человек, смотрящих телевизор, 110 смотрят спортивные передачи, 120 - комедии, 85 предпочитают драмы, 60 человек смотрят драмы и спорт, 70- комедии и спорт, 55 смотрят комедии и драмы и 30 человек смотрят все три вида передач. Сколько человек не смотрят ничего из выше перечисленного?

Круги в диаграмме Венна изображают множество людей, смотрящих драму - круг D, смотрящих комедии - круг К, смотрящих спортивные передачи - круг С. Каждая пара множеств имеет непустое пересечение. Поэтому на рисунке 11 круги попарно пересекаются и DC=60, KC=70, DK=55. Все три множества тоже пересекаются, так как есть телезрители, которые смотрят все три вида передач - их 30 человек. Поэтому DCK=30.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11. Диаграмма Венна, моделирующая ситуацию, сформулированную в упражнении.

Обозначим множество, состоящее из людей, смотрящих хотя бы одно из выше перечисленного, буквой A.

Тогда, A= KDC , и искомое число людей, смотрящих хотя бы одну из передач, есть мощность этого множества.

A= K+ D+ C - KD - DC - KC +DKC=

=120+85+110-55-60-70 +30= 160.

Ничего не смотрят из выше перечисленных 200-160 = 40 человек.

Связь между элементами различных множеств является отображением, и в это понятие укладываются и свойства чисел (зачастую неожиданные), и понятие функции, и дальнейшие, возникающие в математике понятия.

Одним из таких важнейших понятий является понятие «структура (structura - строение, расположение, порядок), совокупность устойчивых связей объекта, обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, т.е. сохранение основных свойств при различных внешних . и внутренних изменениях. ( РЭС)» или «В современной. науке понятие С. обычно соотносится с понятиями системы и организации.(ФЭС)».

На основе этого понятия можно уяснить смысл введённых ранее математических объектов, ввести классификацию типов отображений и ввести понятие отношения между элементами множеств.

Как всякое понятие, оно также допускает обобщение - основные структуры и построенные на их иерархии составные структуры - например, структура слова (корень, суффиксы. и т. д. ) и структура предложения, а далее - всего текста, каждая из которых опирается на структуру предыдущего элемента иерархии.

С такой, более общей точки зрения становятся яснее различные обобщения понятия интеграла, во множестве исследованные в ХХ веке.

6. Комбинаторика и теория вероятностей.

« …и чем случайней, тем вернее

Слагаются стихи навзрыд»

Б. Пастернак

Детерминированность и случайность - Конечное число исходов, их частоты и вероятности

-Биномиальное распределение -Распределение Пуассона - Грамматика и словарь

- Теоремы Маркова - Вероятностные и причинные связи - Приложения и примеры

В предыдущих рассуждениях (и в истории развития указанных разделов математики) предполагалось, что значения всех величин - детерминированы, мы можем присвоить им те или иные значения по своему усмотрению. В то же время уже в древности существовали и ипользовались процессы, где этими значениями распоряжаемся не мы, а «его величество Случай», - например, игра в орлянку или игра Morra, где выигрыш определялся сравнением количества выброшенных игроками пальцев.

Разработка теории таких процессов систематически началась лишь в ХУ11 веке, а в последнее столетие очень активно развивалась для всё более сложных процессов в экономике, политике, в военных действиях.

Простейшим случаем является тот, где некоторая (случайная) величина может принимать - независимо от нашего желания, - лишь конечное число значений (исходов). Основной вопрос заключается в том, чтобы как-то оценить возможность интересующих нас, «благоприятных» исходов. К такой оценке можно подойти двумя путями:

- по наблюдениям - если в n испытаниях (или реализациях) k раз мы имели благоприятный исход, то частота благоприятных исходов равна k/n и называется частотой появления благоприятного события;

- по теоретической возможности - как отношение числа K всех возможных благоприятных исходов к числу N всех возможных исходов K/N - эта величина называется вероятностью искомого, благоприятного события.

Теоретически доказано, что при большом числе наблюдений эти величины близки, но для априорной оценке вероятности нужно научиться подсчитывать меру множеств всех исходов и благоприятных. Эти множества в теории вероятностей называются событиями и их мера определяется комбинаторными формулами: числом возможных размещений n элементов в k ячейках, их перестановок и сочетаний (размещений без учёта перестановок) Эти величины определяются соответственно формулами:

Ank =n(n-1)…(n-k+1); Р n= n! = n(n-1)…1= n!;

Ckn = (nk )= n! /k! (n-k)!

Последняя величина как раз определяет число k благоприятных исходов («орёл») при игре в орлянку с n бросаниями монеты и при n=5, k =3 равно 10, а вероятность трёх выпадений орла при 5 бросаниях равна 10/32 = 0.3125 (так как всего 25 =32 варианта).

Процесс последовательных испытаний, в каждом из которых благоприятный исход имеет вероятность p (в орлянке, при честном бросании и уравновешенной монете p=1/2) называется процессом Бернулли и вероятности всех исходов описываются известной формулой бинома Ньютона:

1 = (p+q)n = pn + Cn1 pn-1 q +…+ Cnn-1 p qn-1 + qn , ( q = 1- p )

Биномиальные коэффициенты этого выражения хорошо известны и легко вычисляются с помощью «треугольника Паскаля»:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……………………..

Каждый элемент n-й строки, равный сумме двух элементов над ним, даёт соответствующий коэффициент биномиального разложения, а сумма всех элементов строки равна 2n .

Возвращаясь к орлянке, найдём, что вероятность выиграть не менее трёх раз равна сумме трёх первых слагаемых (отвечающих 5, 4 и 3 выигрышам) из 6, то есть

1/32 + 5/32+10/32 = 16/32 =1/2.

Наряду с вероятностями, в изучении случайных процессов играют математическое ожидание или средний выигрыш (при частотном подходе) - он равен сумме выигрышей, умноженных на вероятности каждого исхода, - и среднее квадратическое отклонение от него (при вероятностном подходе его квадрат называется дисперсией).

Если при каждом бросании ставится и выигрывается (или проигрывается)10 рублей, то за 5 бросаний игрок выиграет

50/32 + 40 5/32 + 30 10/32 + 2010/32 + 10 5/32 +01/32 = 800/32 = 25(рублей)

- половину поставленных денег; этого и нужно было ожидать, так как вероятность одиночного выигрыша равна . Отметим, что эти средние характеристики, подтверждающиеся при большом числе испытаний, не исключают на практике более высокого выигрыша или полного проигрыша.

Более детальные исследования игрового поведения представляют предмет отдельного раздела математики - теории игр, широко использующего теорию вероятностей. Теории игр, в частности, посвящён фильм «Игры разума», героем которого является лауреат Нобелевской премии Нэш.

Как и ранее, в рассматриваемой области можно выделить грамматику и словарь. Грамматика состоит из общих положений, почти очевидных:

- утверждение полноты - сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1;

- теорема умножения - вероятность двух независимых исходов определяется произведением их вероятностей (И-теорема);

- теорема сложения - вероятность хотя бы одного из независимых исходов равна сумме их вероятностей (ИЛИ- теорема).

Если исходы не являются независимыми (формального определения здесь не приводится), то последняя теорема должна быть подправлена - иначе «вероятность» может стать больше 1 (а, как известно, обязательство пожарных тушить 110% пожаров невыполнимо).

Словарь состоит из расчётов вероятностей для различных типов процессов с дискретными случайными величинами - выше приведен такой расчёт для схемы Бернулли. Приведём ещё один пример. Рассмотрим вероятность того, что случайная величина принимает значение n при математическом ожидании (закон редких событий, закон Пуассона):

pn = n e - / n!

Теория вероятностей всё шире применяется в самых разных областях исследования - в медицине, генетике, истории, криминалистике. Она помогает установить авторство текста, родственные связи, происхождение человека, место производства различных изделий.

Однако следует помнить, что вероятностные связи, мерой которых являются, например, коэффициент корреляции, говорят лишь о возможности причинных связей и вывод о наличии причинной связи может быть ошибочным. Так, коэффициент корреляции между любовью к солёным огурцам и инфарктом миокарда близок к 1, но причинной связи здесь нет. На самом деле в этом случае есть накладка двух явлений: любви к солёным огурцам и склонности к алкоголизму (и то не всегда), и связи между алкоголизмом и сердечными заболеваниями, - тут причинные связи имеют место! Близкими псевдо - доказательствами изобилует «новая хронология» академика Фоменко, смещающая ряд исторических явлений на несколько веков.

Есть ещё один характерный пример, вероятностный парадокс. Одна из замечательных теорем А.А. Маркова в применении к альпинизму звучит так: Поскольку у каждого альпиниста имеется ненулевая вероятность упасть в глубокую трещину, из которой нельзя выбраться, то с вероятностью 1 за конечное время он там и окажется! Однако мы видим, к счастью, множество живых альпинистов! Здесь нет противоречия с теоремой - просто альпинисты прекращают восхождения раньше, чем «срабатывает» теорема.

Комбинаторная теория вероятностей помогает решить многие практические вопросы частотного анализа в лингвистике и литературоведении, помогая оценить объём анализируемого материала и надёжность полученных выводов.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Согласно проведенному исследованию, из 200 человек, смотрящих телевизор, 110 смотрят спортивные передачи, 120 - комедии, 85 предпочитают драмы, 60 человек смотрят драмы и спорт, 70- комедии и спорт, 55 смотрят комедии и драмы и 30 человек смотрят все три вида передач. Для интервью телезритель выбирается случайно.

1) Какова вероятность, что он смотрит спортивные передачи, но не смотрит комедии?

2) Какова вероятность, что он смотрит спортивные передачи или комедии?

По определению вероятность наступления события равна отношению числа благоприятных исходов m к общему числу исходов n. Если обозначим буквой А событие, означающее, что выбранный телезритель смотрит спортивные передачи, но не смотрит комедии, то вероятность p(A)= m1/n.

Число благоприятных исходов m1 находим, используя диаграмму Венна, приведенную на рисунке 11. Тогда m1= С- СK =110-70=40 - это количество телезрителей, смотрящих спорт и не смотрящих комедию. Величина n=200, и p(A)=40/200=0,2.

Пусть В событие, означающее, что выбранный телезритель смотрит спортивные передачи или комедии. Количество таких телезрителей m2 = С+К- СK =110+120-70=160 и p(В)=160/200=0,8.

Задача 2. В трех урнах находятся: четыре красных шара и пять синих, шесть красных шаров и три синих, пять красных шаров и два синих, соответственно. Из трех урн случайным образом выбран один шар. Какова вероятность того, что выбранный шар окажется синим?

Эту задачу проще решить, используя формулу полной вероятности.

Пусть событие А означает, что вынутый шар синий. Обозначим через Вi событие, означающее, что шар вынут из i-й урны (i=1,2,3). Тогда,

P(A)=p(A/ В1)P(В1)+ p(A/ В2)P(В2)+ p(A/ В3)P(В3)

Условная вероятность p(A/ Вi) есть вероятность вынуть синий шар при условии, что его вынимают из i-й урны(i=1,2,3).

p(A/ В1)= 5/9; p(A/ В2)=3/9; p(A/ В3)=2/7, P(В1)= P(В2)= P(В3)=1/3, и P(A)=1/3(5/9+3/9+2/7)=0,39.

Задача 3. В двух урнах находятся: четыре красных шара и пять синих, три красных шара и два синих, соответственно. Из каждой урны случайным образом выбираем по одному шару.

1) Какова вероятность того, что оба шара будут синими?

2) Какова вероятность того, что из двух шаров хотя бы один будет синим?

Пусть А - событие, означающее, что оба шара будут синими, В1 - событие, означающее, что из первой урны вынут синий шар, В2- событие, означающее, что из второй урны вынут синий шар. Тогда, означает, что из первой урны вынут красный шар, означает, что из второй урны вынут красный шар.

Событие А есть произведение двух независимых событий В1 и В2 Применяя теорему умножения, получим

P(A)=p(В1)p(В2)=5/92/5=2/9.

Введем событие С - хотя бы один из вынутых шаров синий, то есть из первой урны вынут синий шар, а из второй - красный, или из первой урны вынут красный шар, а из второй - синий, или из первой урны вынут синий шар, а из второй - синий.

Используя теорему сложения и теорему умножения, получаем

P(С)=p(В1)p()+p()p(В2)+

p(В1)p(В2)=5/93/5+4/92/5+5/92/5=11/15

Другой способ вычисления вероятности события С основывается на том, что событие означает, что оба вынутые шары красные. Тогда

P()=p()p()=4/93/5=4/15 и P(С)=1- P()=11/15

7. Непрерывные случайные величины.

«Нельзя на одном языке описать никакое сложное явление.»

Нильс Бор

Функции распределения и их свойства, плотность распределения - Статистики (параметры распределения) - Типовые функции распределения - Таблицы и их использование

- Примеры вероятностных расчётов

Если случайные величины - скалярные, одномерные или многомерные, векторные, - могут принимать непрерывное множество значений, то указанные подходы необходимо обобщить. При этом частотный подход, развивавшийся Мизесом, уступил место подходу А.Н. Колмогорова, основанному на мере множеств возможных значений случайной величины, и связанных с ними так называемыми -алгебрами. В одномерном случае, которым изложение здесь ограничивается, всё проще, и может излагаться без применения этого аппарата.

Пусть для начала случайная величина Х принимает все возможные значения от - до +. Тогда можно оценить вероятность (Pr) того, что случайная величина Х принимает значения, не превосходящие числа х, и назвать её функцией распределения:

F(x) = Pr{ X x}; F(-)=0, F(+ ) =1

(эта функция монотонно растёт).

Производная этой функции f(x) = F (x) 0 называется плотностью распределения случайной величины Х. На этот случай легко переносятся понятия математического ожидания и дисперсии. Они представляются интегралами, в которых участвует плотность распределения.

Естественно, что разные случайные величины имеют разные функции распределения, среди которых отметим две наиболее употребительных.

1. Экспоненциальное распределение:

F(x) = 1- e - x , f(x)= e - x .

Такому распределению обычно удовлетворяет время обслуживания клиента мастером или прибором. Параметр равен среднему числу требований (клиентов), обслуженных в единицу времени. Естественно, что x 0.

2. Нормальное распределение, возникающее, в частности, когда имеется сумма многих независимых случайных величин с одинаковыми плотностями распределения:

.

Здесь m - математическое ожидание, а 2 - дисперсия случайной величины Х.

При такой плотности распределения интеграл от неё, функция распределения не выражается через элементарные функции («интеграл не берётся»), но имеются удобные таблицы, которыми можно пользоваться, если предварительно преобразовать интеграл к стандартному виду - за счёт масштабов получить нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Рассматриваются и используются и другие функции распределения - их применение обосновывается различными дополнительными свойствами рассматриваемых вероятностных процессов.

Обобщение функций распределения (в том числе и упомянутых выше) на конечный отрезок возможного изменения случайной величины требует её дополнительной нормировки - умножения на множитель, зависящий от величины этого отрезка.

Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения на интервале (-, ), то ее плотность распределения . Пусть математическое ожидание m=2, среднее квадратическое отклонение =3.

Рассмотрим случайную неотрицательную величину, которая так же, как и предыдущая, нормально распределена и с теми же значениями параметров, но на интервале (0,). Ее плотность распределения при x0 равна нулю, а при x 0 . Множитель А найдем из требования . Для этого вычислим интеграл I=. Легко найти значение полученного интеграла, используя таблицу значений стандартной функции Ф(x):

I==

Отсюда получаем константу А= 1/0,7454=1,3416 и плотность распределения усеченной случайной величины

=

Математических трудностей не вызывает и перенос функций распределения на многомерные случайные величины - возникают соответственно функции многих переменных и многомерные интегралы.

В более сложных случаях строятся эмпирические функции распределения по имеющимся опытным данным на основе уже упоминавшегося метода наименьших квадратов или специфического для вероятностных процессов метода максимума правдоподобия. Однако при этом необходимо помнить о дополнительных условиях: положительности некоторых параметров, не отрицательности плотности распределения, равенстве единице интеграла от функции распределения по всей области её определения.

Рис.12 График плотности распределения усеченной нормальной случайной величины f(x)

С помощью функций распределения можно решать все возникающие задачи оценки характеристик («статистик») для процессов, где участвуют случайные параметры.

Пример. Случайная величина задана функцией распределения

F(x)=

Задание 1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение:

1) меньшее -3,

2) меньшее 1,

3) не меньшее 0.

Ответы на эти вопросы получим, используя функцию распределения.

Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение меньшее -3 равна P(<-3)=F(-3)-F(-)=0-0=0.

Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение меньшее 1 равна P(<1)= F(1)-F(-)=2/3-0=2/3,

Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение не меньшее 0 равна P(0)= F()-F(0) =1- 1/3=2/3.

Задание 2. Найти математическое ожидание случайной величины .

Для этого найдем плотность вероятности по формуле

=

Математическое ожидание определяется по формуле

М()====4/6-1/6=1/2

Задание 3. Найти дисперсию случайной величины .

Дисперсия определяется по формуле D()=М(2)-М2(), где

М(2)= ===8/9-(-1/9)=1.

Теперь найдем дисперсию случайной величины : D()=1-1/4=3/4=0,75.

8. Математическая статистика и прикладные задачи

«Он вел курс практического изучения русского классического ямба и методом статистического подсчета разбирал вместе со слушателями его ритмические фигуры и разновидности».

Б. Пастернак(об А.Белом)

Связь и различие между теорией вероятности и математической статистикой

- Идентификация законов распределения по экспериментальным данным

Приложения и связь с другими теориями - Искусственная статистика и её применения

«Математическая статистика, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов» (РЭС).

Таким образом речь идёт об использовании разработанных и упомянутых выше методов для применения в различных предметных областях - в данном случае в лингвистике, литературоведении и т.д.

Кроме тех задач, о которых шла речь выше (оценка параметров, идентификация функций распределения, расчёт характеристик вероятностных связей, оценка вероятности превышения некоторого уровня) значительная часть математической статистики посвящена проверке гипотез - оценке адекватности сделанных предположений о виде функции распределения, о значении тех или иных параметров.

Широко практикующиеся в лингвистике и литературоведении оценки частот отдельных слов, выражений, стихотворных размеров и стилей с помощью этих методов получают твёрдую количественную основу, легко автоматизируются, перекладываются «на плечи» компьютеров. В частности, легко повторить и дополнить результаты монографии [6].

Те же методы позволяют исследовать вопросы авторства по анализу почерка и текста.

Косвенно связаны с математической статистикой (как приложениями теории вероятностей) разработанные новые подходы - уже упомянутая теория игр и теория массового обслуживания - «теория очередей». Последняя позволяет, в частности, обосновать тираж произведений искусства (печатных и изобразительных), оценить спрос и последствия решений менеджеров (зачастую - ошибочные, приводящие к значительным убыткам).

Теория игр в гуманитарных науках обычно не имеет в явном виде «противника», но почти всегда связана с «игрой против Природы», поведение которой, по выражению А. Эйнштейна, «не злокозненно, но неизвестно и замысловато».

Важной задачей математической статистики является и оценка объёма словарей. Более или менее субъективный отбор «необходимого» запаса слов привел, например, к тому, что в 7 учебниках французского языка общими оказалось лишь… 10% слов!

То есть учебники посвящены по существу разным языкам!

Статистика «своих» и заимствованных слов в различных языках позволяет достаточно надёжно прослеживать историю развития этноса, в частности, в работах Вяч. Иванова и Олжаса Сулейменова именно на этом пути были сделаны попытки «восстановить » место прародины индоевропейцев. Любопытна и статистика заимствований слов в разных языках, приведенная Вяч. Ивановым.

Меж-языковые заимствования:

Албанский язык - своих лишь 430 из 5140;

Китайский язык -своих лишь 25%;

Английский язык - своих лишь 25-45%

Подобный анализ позволяет проследить связи между языками, а следовательно, и этническими группами, в частности - происхождение и видоизменения индоевропейских языков и их носителей.

Одной из важнейших задач прикладной статистики являются проблемы кластеризации - выделения групп объектов (областей представляющих их точек), объединённых некоторыми общими свойствами, разбиения множества объектов на типовые группы, классификация их. Эти проблемы актуальны и в археологии, ив литературоведении.

В связи с всё растущим применением вероятностных и статистических методов возникает вопрос о роли случайности.

С одной стороны - это объективная реальность, практически все параметры окружающих нас процессов являются более или менее случайными, изменяющимися независимо от нас в большем или меньшем диапазоне. Поэтому учёт таких изменений необходим.

С другой стороны, такой учёт всегда усложняет возникающие задачи, делает их более трудными для решения, и неизвестно, нужно ли «платить» таким усложнением или можно ограничиться детерминированными задачами со средними значениями параметров? Ответ на этот вопрос требует как раз решения стохастических задач и сравнения результатов.

Но есть ещё и третья сторона вопроса об учёте и использовании случайности. Оказывается, что при решении достаточно сложных детерминированных задач нередко возникают серьёзные трудности - появление «оврагов» при задачах оптимизации, «зацикливание» процессов решения задач и т.п. И выход необходимо искать … в применении случайности, в организации случайного поиска, случайного «наброса» точек, то есть случайность оказывается, хоть и медлительной, но «палочкой-выручалочкой». Тот же эффект даёт применение так называемого «метода Монте - Карло» - статистической имитации почти любых сложных процессов (от ремонта локомотивов до изучения спроса и вкусов для литературных произведений).

Пример. Предположим, что нужно вычислить площадь плоской фигуры, содержащейся в некотором квадрате. Выберем в квадрате N случайных точек. Если из них N1 точек попали в внутрь фигуры (что легко проверить при любых, сколь угодно сложных, условий, ограничений этой фигуры), то площадь этой фигуры приближенно равна отношению N1/ N. Площадь фигуры будет найдена тем точнее, чем больше значение N. Метод вычисления площади будет справедлив, когда точки будут не просто случайными, а равномерно разбросанными по всему квадрату.

9. Проблемы и перспективы современной прикладной математики

Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках.

В. Успенский, «Математика в современном мире»

- Компьютеры и изменение подходов и возможностей - Лингвистические переменные

и функции принадлежности -«Непостижимая эффективность математики»

Они, в первую очередь, связаны с прогрессом вычислительной техники. Чрезвычайно быстрый прогресс её, рост быстродействия, объёма памяти, удобства обращения, возможностей ввода и обработки текстов и изображений создали возможности для качественного скачка методов и подходов. Активно ведутся работы по словарному, голосовому вводу и дальнейшей интеллектуализации компьютеров. В перспективе предполагается создание «клеточного» компьютера, вводимого внутрь организма и регулирующего его функции.

Современная математика ставит и решает задачи, немыслимые для предыдущего «докомпьютерного» периода - анализ текста и его характеристик, модели рекламы, демографического и экономического развития, модели музыкальных произведений.

Это и «исторические» модели - анализ Пелопоннесских войн, модель «Войны между Грецией и Римом» (между двумя странами с разным уровнем развития и разным менталитетом, агрессивностью), модели «ядерной зимы» - перспектив существования (точнее, несуществования, гибели) цивилизации на Земле после даже локальных ядерных войн. Нужно отметить и роль «ростовчан» в этих разработках, и безусловное значение последней модели в изменении отношения к перспективам холодной войны.

Развитие новых методов и моделей требует создания новых языков, специализированных для решения определённых классов задач. Идея создания «универсального» языка опровергнута человечеством ещё на уровне попытки строительства Вавилонской башни. Формализованные языки не должны допускать неоднозначности истолкования текста - к чему может привести игнорирование этого требования, наглядно показывает притча о заячьей лапке и трёх желаниях, ею выполняемых.

Реальные языки обладают высокой избыточностью, которая, по мнению палеолингвистов является одним из существенных элементов, отличающих человека от животных (наряду с чувством юмора, по мнению французского писателя Веркора). Это ярко иллюстрирует наличие, например, у языка эвенков 60 слов для обозначения снега, 50 слов для указания, как пройти. Избыточность, позволяющая заменять одни понятия другими, иллюстрирует и отсутствие в языке бушменов (по сведениям английского коммуниста Корнфорта) отсутствие слова «болит» - если болит голова, то они говорят «у меня есть голова».

Взаимодействие лингвистики и математики не ограничивается сопоставлением реальных и формальных языков, заимствовании при их создании законов и особенностей (в том числе и языков типа Эсперанто).

Наблюдение над реальными языками привело к введению в арсенал математики так называемых лингвистических переменных, не имеющих определённого количественного значения, а отвечающих словам большой, средний, малый или высокий, средний, низкий и т. д. с определённой степенью принадлежности, близкой к понятию вероятности, но не совпадающей с ней.

Целое направление современной математики основано на понятии «лингвистической переменной», упомянутом выше. Больше того, краеугольное понятие программирования для ЭВМ - понятие ИДЕНТИФИКАТОРА - имеет очевидное грамматическое происхождение, и отвечает понятию ИМЯ объекта, предмета, а все формальные АЛГОРИТМЫ возникли из простых «правил поведения», детально разработанных для нужд грамматики и этики. Даже терминология прикладной математики в значительной степени заимствована из гуманитарных наук (ЗАГОЛОВОК процедуры, ЛЕКСИКО-ГРАФИЧЕСКОЕ упорядочение объектов и т.п.).

С помощью этого аппарата оказалось возможным не только описывать рассуждения, более близкие к реальным рассуждениям, чем математическая логика, но и решать оптимизационные задачи.

В заключение заметим, что для современной математики по существу нет задач, которые она не могла бы более или менее адекватно изучать.

Характерными примерами являются попытки научить компьютер полноценному диалогу с человеком, необходимому в перспективе для организации голосового, вербального управления им. Кроме простейших попыток, описанных в [11, 12], можно привести диалог, связанный с анализом басни Крылова «Ворона и лисица» La recherchй, 1978; диалог вёлся по французскому варианту., с его недостатками.

ЧЕЛОВЕК (вопросы, реплики) КОМПЬЮТЕР (ответ, реакция, код)

Послушай басню Название?

Ворона и лисица Слушаю

Ворона сидела на дереве и держала

в клюве сыр. Понятно Отношения:

(1) ворона, сыр;

(2) ворона, дерево.

Лисица, привлечённая запахом сыра,

говорит ей: Слушаю Желание:(3) лиса, сыр

«Ты очень красивая» Понятно

Ворона открывает клюв, роняет сыр

Лиса хватает сыр. Всё. Понятно Действие: (4) лиса, ворона

Правило: (2),(3) (4)

Вопросы Слушаю

Чего хотела лисица? Сыр. Слушаю

На дереве сидела лиса? Нет. Ворона

Почему ворона открыла клюв? Она хотела установить какое-то

отношение между собой и лисицей.?!

Очевидно, что в таком «ответе» виноват не только компьютер!

10. Математические модели и гуманитарные науки

«Любая гипотеза хороша лишь тогда, когда получит подтверждение с помощью математики.»

Леонардо да Винчи

«Наука нуждается в гуманитарной поддержке»

Ч. П. Сноу

«Точные» и «неточные» науки, их связь с менталитетом - Проблемы перевода

- Математические и компьютерные модели в гуманитарных науках

- Искусственный интеллект, философские и теологические проблемы

Вопросы соотношения между формально-логическим и художественно-образным путем познания является крайне важным и с методологической точки зрения, и с точки зрения оценки возможностей применения математики в гуманитарных науках Эти вопросы уже затрагивались в начале курса, но здесь есть возможность и целесообразность дополнить их рассмотрение..

Эти пути познания настолько различны по форме (и даже, по данным физиологии, ими ведают разные полушария мозга), что традиционно существует взаимное неприятие «гуманитариями» формальных методов, а «естественниками» - поэтических и образных «красивостей». Однако в последнее время это взаимное неприятие сглаживается, появляется все больше попыток «алгеброй гармонию проверить» и выявить гуманитарный компонент так называемого «точного» знания. Важные шаги на пути такого двустороннего сближения сделаны создателями структурной лингвистики и различных количественных подходов к анализу художественных текстов, формализации процессов создания музыки и обучения музыкантов, а также философами, четко показавшими, что в самых «точных» науках, с одной стороны, не все так уж точно (несмотря на известное высказывание А.Пуанкаре «Можно сказать, что нами достигнута абсолютная строгость»), а с другой стороны, - важнейшую роль в процессе любого творчества играет ментальность, система мировоззренческих взглядов, определяемая, прежде всего, гуманитарной культурой.

«Мы должны отказаться от мысли, будто природа разделена на факультеты, подобно университетам. Разделение труда по дисциплинам перестало быть эффективным.» Р. Акофф.

Приведем несколько цитат на тему связей науки (математики) и искусства:

« … вся наука пронизана математикой как тело кровеносными сосудами, и соблазны математики вместе с кровью поражают прежде всего самое больное место науки - философию.»

Фр. Горенштейн (Октябрь,1996, № 1)

«Математика подобна искусству - не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что математика, как и искусство, - это особый способ познания»

В.Успенский, Математика в современном мире.

Наука и искусство «связаны между собой как легкие и сердце, так что если один орган извращен, то другой не может правильно действовать».

Л.Толстой.

«В любой области человеческого знания заключается бездна поэзии»

К.Паустовский.

«Наука делает из человека специалиста, искусство делает из специалиста человека». «Число и мысль», в.3, 1980)

Следует отметить, что определенные основания для осторожного отношения к попыткам вторжения математики в гуманитарные науки имеются, - недаром довольно быстро рассеялась эйфория 60-х годов, когда на волне бурного прогресса вычислительной техники казалось, что все проблемы перевода с одного языка на другой могут быть легко решены введением в память ЭВМ словарей и грамматических правил. В действительности оказалось, что имеющиеся в любом живом (а не формальном) языке идиомы не только затрудняют перевод, но порой просто исключают возможность более или менее правильного перевода (не говоря уж об образности и художественности).

Так, известная английская поговорка “Make hay while the sun shines” (дословно - «Делайте (или сушите) сено, пока светит солнце») должна быть переведена как «Куй железо пока горячо».

Аналогично - дословный (машинный ) перевод фразы “Out of sight, out of mind”… «Слепой дурак» на самом деле надо заменить поговоркой «С глаз долой - из сердца вон!».

Очень образно замечание одного из известных переводчиков, приведенное в «Литературной газете» ещё в 1997 году Ларисой Миллер:

«Чтоб было “ так “, надо, чтобы стало иначе».

Кроме того, наличие во многих языках непостоянных ударений (не обозначаемых в тексте) также затрудняют формально-компьютерный перевод. Например, слова ВОРОЧАТЬСЯ и ВОРОЧАТЬСЯ, КОНСЕРВАТОРСКИЙ и КОНСЕРВАТОРСКИЙ имеют разный смысл в зависимости от места ударения, а вопрос: Ну, как корма? - имеет разный смысл, в зависимости от того, речь идет о корабле, о животных, или используется в переносном смысле.

Также затрудняет формальный перевод «мелочишка суффиксов и флексий в пустующей кассе склонений и спряжений» (В.Маяковский), играющая огромную роль в русском языке и совершенно по-разному окрашивающая слова с одним и тем же корнем (иногда - формально одним и тем же):

ДВОР -ец, - кий, РАБОТ-ник, ПЛАТ-ный,

ДВОР - ник, РАБОТ-яга., ПЛАТ-яной,

ДВОР- няга, -няжка, ПЛАТ-иновый,

ДВОР-янин.

Для правильного их понимания необходим учёт контекста (предыдущих и последующих слов и выражений) и уровень знаний читающего (тезаурус).

Немудрено, что и спустя 40 лет формально-машинный перевод применяется лишь для узко специализированных текстов, да и то, как черновой вариант, подлежащий правке.

Та же судьба постигла и попытки формального анализа ритмов и размеров стихотворных произведений: даже для самых «гладких» стихов би - валентное кодирование слогов (ударный - безударный) является недостаточным, необходимо трех- или четырех - валентное кодирование.

Роль ритма в любом художественном произведении (стихах, прозе, музыке, графике и живописи) чрезвычайно важна. В подтверждение этого приведём ещё следующие высказывания:

«…от планеты Земля до токарного станка и звёзд - всё движется в едином ритме… Проза Флобера, например, иногда рифмована…Корсет в творчестве - это размер, одеяние - слова, идеи…» (Тудор Аргези).

«Ритм подсказывает вкусу, где надо заставить себя сдержаться, не заноситься, замкнуть уста. Ритм напоминает стилю, где он утрачивает особость, сбивается на известный лад, теряет необходимое выражение. Ритм регулирует мысль, дисциплинирует её…» (Л. Зори, «Знамя» 2007-9).

«Это и только что защищённая в Чикаго диссертация Радислава Лапушина - поэта, читающего знакомые чеховские тексты как поэтические произведения, открывающего в них поэтическую ритмику, звукопись, поэтический синтаксис.» (Вл. Катаев, ЛГ 2007-8)

Характерным для «компьютерной эйфории» являлось высказывание одного из виднейших теоретиков программирования Д.Кнута: «Всё решим, но руки не доходят!» - на самом деле каждая новая (для формализации) область знания ставит новые задачи и требует новых подходов, хотя, в конечном счете, все они, действительно, в той или иной степени могут и должны быть формализованы и «решены».

Даже примитивные количественные подходы к объектам гуманитарной сферы - оправданы, и при разумном скептицизме, позволяют получить полезную информацию (например, частотные словари отдельных авторов и отраслей науки, обратные словари - по окончаниям, литературоведческие и криминалистические методы анализа авторства текста).

Опасными являются издавна встречающиеся спекуляции на математических результатах, стремление экстраполировать конкретные математические результаты в область философии и теологии. Так, в 18-м веке Мопертюи, восхищенный красотой вариационного принципа в механике, считал это доказательством(!) существования Бога, а Гвидо Гранди, анализируя ряд 1-1+1-1 +…и получая для него два разных значения суммы (0 и Ѕ), писал: «равенство 0=1/2 доказывает, что мир мог быть создан из ничего»!

В 18-м веке это было более или менее объяснимо, хотя в 19-м веке было показано, что полученное противоречие является следствием недопустимых действий с расходящимися рядами. Но удивительно, что и в наше время, на примере того же ряда (!) делаются похожие мистические выводы (например, в одной диссертации на соискание степени доктора философских наук). Недалеко ушел ее автор от английского поэта 17-го века Александра Попа, восклицавшего

Почто, о боги, в этом мире

Должно быть дважды два - четыре?

Со времен «архейской эры» ламповых компьютеров до современной эпохи виртуальной реальности и сети INTERNET, оплетающей весь мир, предоставляющей возможности эффективного и почти мгновенного общения со всем миром, учёные и преподаватели учились работать с этой «мыслящей техникой», учили работать с ней студентов, инженеров и ученых, открывали новые области ее приложения и новые пути исследования. Они пытались привить новый менталитет, изменить предубеждение о невозможности ее применения в самых «человеческих» областях знания, развивались вместе с чрезвычайно бурным развитием компьютеров. При этом, конечно, возникали вопросы не только о возможностях новой техники, но и о том, кто кого учит: мы - компьютер (перефразируя известную песню «Такая у нас работа - учить их задачи решать») или компьютер - нас? Возникала (и продолжает развиваться) новая «компьютерно-информационная» парадигма.

Сейчас странно вспомнить то время, когда программы писались (и публиковались) «в кодах» конкретных вычислительных машин (все эти тома давно отправились в макулатуру), когда шли серьезные дискуссии о том, что может и чего не может вычислительная машина, нужно ли приспосабливать ее для анализа, редактирования и генерирования текстов ( или оставить «богу - богово, человеку - мышление, а машине - вычисления» ), когда на лекциях о возможностях вычислительных машин и их прогрессе нередко задавались вопросы: «А кому это надо?» (особенно в аудиториях партийной элиты и преподавателей «общественных» дисциплин).

Теперь никого не удивляют компьютерные эффекты в кинофильмах и на телеэкране, компьютерный перевод и правка текстов, восхищение компьютерами и компьютерными чудесами, (порой раздражающее своей примитивностью - но это издержки роста). Но возникает и противоположная опасность, своеобразная «компьютерная эйфория»: убеждение, что теперь компьютер сам может справиться со ВСЕМИ проблемами, и даже без особых усилий со стороны людей - вот только надо, чтобы «технари» еще раз в 10 увеличили бы быстродействие, добавили бы еще несколько ГБ (гигабайтов) памяти, да сделали бы несколько цветных экранов!

Показательна в этом отношении история взглядов на возможности автоматического, компьютерного перевода текстов (статей, докладов, романов и повестей) с одного языка на другой. Вначале считалось, что проблема в принципе решена самим появлением компьютеров: нужно лишь ввести в память компьютера словари обеих языков (с их эквивалентами в другом языке) и грамматические правила! Затем были осознаны столь значительные трудности (синонимы, идиомы, роль ударений и тональности, роль контекста и пр.), что были приостановлены разработки в этом направлении. И лишь много позже к ним вернулись, но сейчас роль автоматического перевода сводится к выработке подстрочника, подлежащего квалифицированной правке, да и то ориентированного на узкие специализированные отрасли знания со своим специфическим словарем и стилем изложения. И на этом уровне ведущие научные журналы переводятся и издаются в США за 2-3 недели!

Для любого уровня развития вычислительной техники всегда найдутся такие математические задачи, с которыми эта техника справиться не может. Применение компьютеров требует существенного изменения образа мышления, менталитета, сочетания абстрактно-философского осмысления задач и процессов с конкретным формальным описанием задач, которое может быть понято компьютером и им обработано. При этом многие клише устаревают, многие догмы и мифы уходят в прошлое.

Развитие вычислительной техники дает несравненно более наглядные примеры основных положений диалектики (переход количества в качество, отрицание отрицания, спираль познания и т.п.), чем традиционно кочевавшие по учебникам философии со времен Гегеля и Энгельса - один из примеров уже приведен выше.

Рост быстродействия и объема памяти компьютеров последовательно приводил к переходу от кодирования программ к описанию задач на уровне все более обобщенных процессов и моделей. Возникла идеология последовательно обобщаемых моделей Э.Тыугу, объектно-ориентированных языков, широкого использования визуализации, графического описания результатов решения задач (на несколько порядков более информативного). Всё шире интерактивное взаимодействие с компьютером, создание «дружественных» интерфейсов, а в ближайшем будущем - словесных, семантических, голосовых способов управления компьютером - и на уровне постановки задач, и на уровне управления ходом их решения.

Давняя идея интерактивного взаимодействия с компьютером и одновременного решения ряда задач не могла реализоваться при малой скорости их работы (общение с задержкой ответа на минуты напоминало беседу с сильно заторможенным собеседником), но легко реализуется при современных скоростях выполнения операций, персональных компьютерах, их сетях и параллельных процессорах.

Многие приемы организации вычислений, вынужденные для ранних одноадресных машин, были отвергнуты с появлением многоадресных компьютеров, но снова оказались эффективными при современных скоростях их работы.

Возникшее на ранних этапах многообразие языков программирования и вспомогательных средств, приводившее к несовместимости программ для различных компьютеров, вызвало дискуссии о целесообразности создания единого языка, но эта идея так же не получила существенного развития, как и идеи языка эсперанто и его аналогов, - как человечество склонно сохранять своеобразие различных языков со своими выразительными средствами и традициями (плохо переводимыми на другие языки), так и языки программирования и их обобщения - оболочки, программные среды, обладают своей «территорией», областью наилучшего применения, и их унификация может привести к существенным потерям. Поэтому, как известно, художественные произведения невозможно перевести на другой язык без утраты каких-то образов или художественных средств.

Wer den Dichter will verstehen, ( Кто хочет понять поэта,

Muss in Dichters Lande gehen! ( Должен идти в его страну!)

(H. Heine).

Появление компьютеров привело к пересмотру многих понятий и подходов во всех смежных науках - технике, экономике и пр.

Известно, что появление компьютеров серии ЕС (попыток копирования IBM) потребовало существенных изменений в технологии химической и лесообрабатывающей промышленности: компьютеры не работали на плохой типографской краске и недостаточно гладких перфокартах!

Традиционная система подхода к ремонту любых изделий для компьютеров выявила серьезнейшие недостатки ее: из-за отсутствия копеечных деталей (и копеечной стоимости ремонта) простаивала техника, стоимость эксплуатации которой оценивалась в сотни и тысячи рублей! Стало ясно, что платить нужно не за ремонт (при этом, как говорилось в одной из интермедий Аркадия Райкина «У меня всегда будет твой кусок масла на мой кусок хлеба»), а за его отсутствие, за профилактику. И эта идея начала (к сожалению, очень медленно) проникать и в другие отрасли, даже в оплату сотрудников детских садов: нужно платить им тем больше, чем меньше болеют дети.