Поведінка інтерфейсів у деяких математичних моделях фільтрації

Дегтярев С.П. Поведение интерфейсов в некоторых математических моделях фыльтрации. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.- Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2010 .

Диссертационная работа посвящена систематическому изучению носителей решений и некоторых других интерфейсов в математических проблемах, связанных с моделями, описываемыми нелинейными эволюционными задачами для уравнений с частными производными параболического типа, в том числе для уравнений с анизотропным вырождением. При этом изучаются как качественное поведение интерфейсов с течением времени, так и их свойства гладкости. Применяемые методы базируются, с одной стороны, на применении техники локальных интегральных оценок, а с другой на исследовании общих нелинейных уравнений в банаховых пространствах функций.

Получены точные необходимые и достаточные условия мгновенного возникновения интерфейса в задаче Коши для вырождающихся и сингулярных квазилинейных параболических уравнений с абсорбцией. В условиях мгновенного возникновения интерфейса получены точные по порядку оценки его поведения с течением времени. Полученные оценки включают в себя и объединяют все полученные ранее в отдельных случаях результаты.

Для получения указанных оценок размера интерфейса решения использована техника локальных интегральных оценок, в частности, техника оценок энергии решения через массу решения. Условие локального обращения решения в ноль сформулировано в виде условия на величину локальной массы решения в определенный момент времени. При этом поведение локальной массы решения с течением времени оценено через локальную массу начальной функции.

На базе изучения разрешимости и качественных свойств решения уравнения с анизотропным вырождением и анизотропно растущими начальными данными получены точные оценки интерфейса решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью как в случае расширения первоначального интерфейса с течением времени, так и в случае мгновенного возникновения интерфейса с последующим его сжатием.

При этом в случае мгновенной компактификации носителя показано, что условие обращения решения в ноль в окрестности той или иной точки пространства носит локальный характер. Это позволило рассмотреть случай начальных данных, имеющих анизотропное поведение на бесконечности, и показать, что поведение размеров носителя решения может быть различным в различных направлениях пространства.

Изучено влияние неоднородности среды и неоднородности абсорбции на явление мгновенного возникновения интерфейса. При этом не только получены точные условия существования такого явления, но и получена точная по порядку формула размеров интерфейса, связывающая вместе поведение среды или абсорбции и поведение начальных данных.

Доказано наличие гладкого интерфейса разрыва коэффициентов для квазилинейного уравнения с разрывными коэффициентами и правой частью. При этом задача была сформулирована в виде некоторого нелинейного уравнения в функциональных банаховых пространствах, и для ее исследования был применен, по существу, метод Ньютона решения нелинейных уравнений.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными и в теории задач со свободной границей.

Ключевые слова: интерфейс, носитель решения, мгновенная компактификация носителя, конечная скорость распространения возмущений, задача со свободной границей, классическое решение.

Degtyarev S.P. Behaviour of interfaces in some mathematical models of filtration. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree (physical and mathematical sciences) by the speciality 01.01.02 - differential equations, - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2010 .

The dissertation is devoted to a systematic study of solution's supports and some other interfaces in mathematical problems, which are connected to models described by nonlinear evolutionary problems for partial differential equations of parabolic type, including equations with anisotropic degeneration. We study qualitative behavior of interfaces with time and the smoothness properties of interfaces as well. The methods we apply are based, on one hand, on applying local integral estimates technique and, on the other hand, on studying of general nonlinear equations in Banach functional spaces.

Exact necessary and sufficient conditions are obtained for the instantaneous arising of interface in a Cauchy problem for degenerate and singular quasilinear parabolic equations with absorption. Under the conditions of the instantaneous arising of interface we obtain sharp with respect to order estimates for behavior of the interface with time. Our estimates include and unify all previously known partial results.

On the base of studying of solvability and qualitative properties of solution to an equation with anisotropic degeneration and with growing in anisotropic way initial data we obtain sharp estimates for the interface of the solution to anisotropic doubly nonlinear parabolic equation both in the case of expanding of initially given interface and in the case of instantaneous arising of interface with its subsequent shrinking.

The influence of inhomogeneous medium and inhomogeneous absorption on the phenomenon of instantaneous interface arising were studied. At that we both obtain exact conditions for such phenomenon and give sharp with respect to order formula for the dimensions of the interface which binds together behavior of inhomogeneity of the medium or absorption and behavior of initial data.

We prove also the existence of smooth interface of coefficients break for quasilinear equations with breaking coefficients and source.

The results of the dissertation have theoretical character and can be applied in the qualitative theory of partial differential equations and in the theory of free boundary problems.

Key words: interface, the support of solution, instantaneous support shrinking, finite speed of propagation, free boundary problem, classical solution.

Размещено на Allbest.ru