Нескінченновимірні алгебраїчні групи поліноміальних перетворень афінних просторів

, тоді група діедра спеціального типу, і має місце розклад співмножників у декартові (прямі) вінцеві добутки:, де циклічна група другого порядку. Перестановкою дужок у вінцевих добутках цей випа-док також зводиться до 1.

Шостий розділ дисертації присвячений опису автоморфізмів груп блочно-унітрикутних та блочно-трикутних перетворень, які за своєю будовою близькі до вінцевих добутків. Розділ 6.1 про властивості ендоморфізмів трансляційних модулів поліномів є допоміжним. Дія трансляцій, визначає на структуру модуля, який і називається трансляційним. Ендоморфізми трансляційних модулів будемо називати - ендоморфізмами.

Показано, що для нескінченного поля кільце всіх таких ендоморфізмів збігається з кільцем формальних експоненційних рядів. Зауважимо, що над полем характеристики 0 ізоморфне кільцю звичайних формаль-них степеневих рядів. Над полем ненульової характеристики ситуація складніша, оскільки згадане кільце формальних експоненційних рядів не є нетеровим. Встановлена будова мультиплікативної групи, яка ізоморфна, де нормальний дільник є адитивною групою нескінченних послідовностей елементів з поля . Отримані результати узагальнюються на декартові добутки трансляційних модулів. Кільце всіх -ендоморфізмів таких модулів збігається з кільцем матриць. Отримано аналогічний розклад для мультиплікативної групи, де складається з рядів з нульовим вільним членом, причому нормальний дільник (у дужках) також ізоморфний . Для скінченних полів кільце всіх - ендоморфізмів має зовсім іншу структуру. Показано, що воно ізоморфне кільцю нескінченних матриць над груповим кільцем, у яких в кожному стовпчику лише скінченна кількість елементів відмінна від 0.

Далі вводятся в розгляд узагальнені трансляційні модулі наступним чином: нехай набір змінних. Можна розглянути адитивну групу поліномів. - ендоморфізм простору називається - ендоморфізмом, якщо він комутує з усіма ендомор-фізмами виду:, де - довільні поліноми,. Для майбутноього опису автоморфізмів груп блочно-унітрикутних перетворень ключовою є наступна лема.

Лема 6.1.4. Кожний - ендоморфізм над полем харак-теристики 0, має єдине розширення до - ендоморфізма.

Стандартне розширення - ендоморфізму кільця можна легко побудувати. Лема 6.1.4 стверджує, що інших розширень немає. Вияв-ляється, що над полем ненульової характеристики лема неправильна, тобто існують нестандартні розширення-ендоморфізмів.

Розділ 6.2 присвячений опису регулярних автоморфізмів груп блочно-унітрикутних перетворень і починається з простого зауваження про те, що кільце регулярних ендоморфізмів адитивної групи афінного простору збігається з кільцем лінійних ендоморфізмів. Нехай і згадана вище група блочно-унітрикутних перетворень афінного простору. Як уже зазначалося, її можна розглядати як алгебраїчний вінцевий добуток, де . Позначимо через його базу, для якої і. Поняття висоти природним чином узагальнюється, і вводиться відповідний частковий порядок на елементах групи , який зберігається при дії довільним автоморфізмом. По суті цим визначається аналог верхнього центрального ряду. Використовучи це впорядкування і те, що всі доповнення в стандартних вінцевих добутках спряжені між собою, отримана.

Лема 6.2.5. Довільний елемент допускає розклад, де автоморфізм, що діє тотожно на, i внутрішній автоморфізм.

Тут, а є групою трансляцій всього афінного простору. Наступна лема є особливо важливою, бо зводить зада-чу до відповідних трансляційних модулів.

Лема 6.2.6. Нехай діє тотожно на елементи. Тоді, де такий автоморфізм, що діє тотожно на, а внутрішній автоморфізм, індукований елементом із.

Розглянемо наступні підгрупи: підгрупа автоморфізмів, що діють тотожно на, підгрупа автоморфізмів, що індукують тотожні автоморфізми на базі та факторгрупі під-групи автоморфізмів, що діють тотожно на. Неважко отримати розклад у прямий добуток:, де останній співмножник є підгрупою внутрішніх автоморфізмів, індукованих елементами. При цьому для автоморфізма з леми 6.2.6 будемо мати. Має місце Лема 6.2.8..

Саме для доведення цього результату і була потрібна лема 6.1.4 про єди-ність розширення - ендоморфізму. Група ізоморфна першій групі когомологій як -модуля, яка в свою чергу ізоморфна групі регуляр-них гомоморфізмів стабілізатора нуля в групу. Отримано, що гру-па всіх вказаних гомоморфізмів ізоморфна адитивній групі нескінченних послідовностей елементів поля. Послідовне застосування наведених вище лем приводить до основної теореми цього розділу.

Теорема 6.2.1. де підгрупа внутрішніх автоморфізмів, повне кільце матриць, матрична одиниця,.

Відмітимо, що останній співмножник ізоморфний групі адитивній групі нескінченних послідовностей елементів поля . Як наслідок цієї теореми, для групи звичайних унітрикутних перетворень отримуємо

Теорема 6.2.2., де стандартний тор.

В наведеному розкладі всі добутки є напівпрямими.

Для груп блочно-унітрикутних перетворень над скінченними полями відповідний результат можна вивести з отриманого автором опису авто-морфізмів ітерованих вінцевих добутків абелевих -груп.

Теорема 6.2.3. Нехай група блочно-унітрикутних перетворень афінного простору над скінченним полем, де приєднана група фундаментального ідеалу групового кільця, ,

Тут -елементарні абелеві групи рангів.

Порівняймо автоморфізми, отримані в теоремах 6.2.1 та 6.2.3. Автомор-фізми, які утворюють групу, діють тотожно на і нас-тупним чином на базі:

Тут у першій сумі, а елемент групового кільця. Ці автоморфізми не мають аналогів над полем характеристики 0. Далі буде показано, що деякі з таких автоморфізмів можуть бути продовжені до зовнішніх авто-морфізмів груп трикутних перетворень афінних перетворень над скін-ченними полями.

Розділ 6.3 дисертації присвячений автоморфізмам груп блочно-трикутних перетворень. Над полем харак-теристики 0 має місце

Теорема 6.3.1. Кожен регулярний автоморфізм є внутрішнім.

Доведення цієї теореми спирається на те, що довільний регулярний авто-морфізм має зберігати групу. Дійсно, природна проекція підгрупи на довільний співмножник є нормаль-ною підгрупою. Ця підгрупа не може містити, оскільки є розв'яз-ною. Також вона не може бути нетривіальною підгрупою групи скалярних матриць, бо фактор-група по комутанту ізоморфна, а нетри-віальних регулярних гомоморфізмів, що “змішують” адитивні та мультиплікативні структури не існує. Отже, автоморфізм індукує авто-морфізми: . Ці автоморфізми жорстко пов'язані між собою. Якщо розглядати елементи як автоморфізми групи, то цей зв'язок можна подати наступним чином:, де внутрішній автоморфізм, індукований елементом. Інакше кажучи, ця умова означає, що належить нормалізатору, де підгрупа внутрішніх автоморфізмів. Не втрачаючи загальності, можна вважати, що. Оскільки діє тотожно на підгрупі, то будемо мати . Це приводить до висновку, що гомоморфізм діє тотожно на і. Після додаткових міркувань приходимо до рівності, де внутрішні авто-морфізми індуковані деякими елементами з. Що стосується дії на, то вона є просто трансляцією на деякий елемент з , і множенням на відповідний внутрішній автоморфізм можна перейти до автоморфізму, який діє тотожно на і , де. Виявляється, що ця дія на індукується деяким елементом з , отже , є внутрішнім автоморфізмом.

Для груп блочно-трикутних перетворень над скінченним полем, при має місце

Теорема 6.3.2. .

Доведення цієї теореми в основному аналогічне до попередньої теореми. Але аналіз дії автоморфізму на базі приводить до висновку, що він є композицією автоморфізмів, які діють на базі наступним чином: і діють тотожно на та . Тобто, вказані вище автоморфізми над скінченним полем, які не мають аналогів над полем характеристики 0, розширюються до авто-морфізмів, якщо при фіксованому всі матриці дорівнюють скалярній матриці . Неважко переконатися, що такі автоморфізми пород-жують елементарну абелеву - групу.

Завершує дисертацію підрозділ 6.4: “Довільний регулярний автоморфізм є внутрішнім” .

Теорема 6.4.2. Над алгебраїчно замкненим полем характеристики 0 довільний регулярний автоморфізм є внутрішнім.

Відправною точкою є вищезгадана теорема Бялиницького - Бірулі (A. Bialynicki-Birula), яка стверджує, що всі - вимірні тори в спряжені між собою. Отже, кожен автоморфізм можна подати як композицію внутрішнього автоморфізму та автоморфізму , що залишає нерухомим в цілому стандартний тор. При цьому, цей автоморфізм має залишати нерухомим і нормалізатор стандартного тора в .

Тобто вказані нормалізатори лежать в. Отже, автоморфізм індукує автоморфізм мономіальної групи. Тут можна скористатися результатом О. Оре про автоморфізми цих груп. Шляхом аналізу цих автоморфізмів отримано

Лема 6.4.2. Для будь-якого існує внутрішній автоморфізм такий, що дія автоморфізму на торі має вид, де знак + відповідає тривіальній дії.

Далі вивчається дія автоморфізму на групі трансляцій.

Лема 6.4.3. Якщо автоморфізм діє на за вказаною формулою, то він в цілому зберігає групу трансляцій.

Застосування леми про нормалізатори приводить до висновку:. Добре відомо, що всі регулярні автоморфізми афінної групи є внутрішніми (зокрема це випливає і з результатів попереднього підроз-ділу), отже автоморфізм є композицією внутрішнього автоморфізму, який індукується елементом афінної групи, та автоморфізму, що діє тотож-но на . Для таких автоморфізмів має місце

Лема 6.4.4. Якщо діє тотожно на, то

Тут група звичайних трикутних перетворень (група Жонк'єра). Але, як було показано, всі регулярні автоморфізми є внутрішніми, отже, має існувати елемент , який комутує одночасно і з елементами тора, і з елементами групи трансляцій. Неважко переконатися, що перетин централізаторів груп тав групі є одинична підгрупа. Отже, діє тотожно і на, і на. Тепер результат випливає з теореми Шафаревича: .

ВИСНОВКИ

Афінна група відіграє особливу роль в будові афінної групи Кремони, про що свідчать наступні її властивості:

афінна група є максимальною замкненою (в Ind- топології Зариського) підгрупою афінної групи Кремони;

аналогічну властивість має група афінно-симплектичних перетворень;

будь-яка підгрупа поліноміальних перетворень, що містить в якості власної підгрупи афінну підгрупу, діє на відповідному афінному просторі k- транзитивно для довільного натурального k;

існують класи поліноміальних перетворень q, які мають невелику компо-зиційну довжину (трикутні, 1-параболічні, бітрикутні, біпараболічнні, 3-трикутні), для яких має місце при.

Класичний підхід, пов'язаний із зведенням задач скінченновимірних ал-гебраїчних груп до більш простих у відповідних алгебрах Лі, є досить ефек-тивним і для нескінченновимірних алгебраїчних груп, про що свідчать отримані описи решіток замкнених підгруп, що містять відповідно.

Конструкція вінцевого добутку груп перетворень, яка широко застосовується в теорії груп, має алгебраїчний аналог: підгрупи блочно-унітрикутних поліноміальних перетворень, які відіграють важливу роль в будові, є ітерованими вінцевими добутками груп транс-ляцій афінних просторів, що дозволяє перенесення відповідної техніки обчислень.

Отримано теорему про однозначність розкладу групи у вінцевий добуток транзитивних груп перетворень, яка узагальнює відому теорему П. Неймана про стандартні вінцеві добутки. По модулю асоціативності операції вінце-вого добутку груп перетворень, розклад у вінцевий добуток є однозначним.

Структура вінцевого добутку груп дає можливість повністю описати її регулярні автоморфізми.

Всі регулярні автоморфізми груп блочно-трикутних перетворень над полем характеристики 0 є внутрішніми.

У груп над скінченним полем група автоморфізмів "більша", і серед її автоморфізмів є такі, що розширюються до автоморфізмів. Будова групи автоморфізмів при є такою:.

Всі регулярні автоморфізми групи над алгебраїчно замкненим полем характеристики 0 є внутрішніми.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Боднарчук Ю.В., Сущанский В.И. Вычисления в силовской 2-подгруппе симметрической группы степени // Cб. ст. Вычисления в алгебре и комбинаторике. - К.: Изд-во ИК АН УССР, 1978. - С. 78-101.

Боднарчук Ю.В. Автоморфизмы кратных сплетений абелевых р-групп //Укр.мат.журн. - 43, № 7-8. - 1991. - С.889-894.

Боднарчук Ю.В. Об автоморфизмах группы Жонкьера // В зб. Третья Межд.Конф. по алгебре. -Красноярск, 1993. - С. 18.

Боднарчук Ю.В. Об изоморфизме сплетений групп // Укр.мат.журн. -46. - №6. - 1994.- С. 671-679.

Боднарчук Ю.В. Про транзитивність дії групи бірегулярних автоморфізмів афінних просторів, що містить афінну підгрупу // Доп. НАН України. - №1. - 1995. - Р.5-7.

Bodnarchuk Yu.V. On endomorphisms of translation modules of polynomials // Міжнародна алгебраїчна конференція присвячена пам'яті проф. Глускіна. 25 - 29 серпня 1997 р., Слав'янськ. - Слав'янськ, 1997. - С.123-124.

Bodnarchuk Yu.V. On automorphisms of block-triangular polynomial translation group // Journal of Pure and Applied Algebra. - V. 137. - 1999. - Р.103-123.

Боднарчук Ю.В. Лавренюк Я.В. Група автоморфізмів нормалізатора силовської р-підгрупи симетричної групи // Доп. НАН України. - № 7. - 1999. - С. 7-12.

Боднарчук Ю.В. Про ендоморфізми трансляційних модулів поліномів //Укр. мат.журн. - № 2. - 2000 - С. 67-71.

Bodnarchuk Yu.V. Every regular automorphism of the affine Cremona group is inner // Journal of Pure and Applied Algebra. - V. 157.- 2001. - P.115-119.

Bodnarchuk Yu.V. Some extreme properties of the affine group as an automorphism group of the affine space // Contribution to General Algebra. - №13. - 2001. - P. 15-29.

Bodnarchuk Yu.V. Some extreme properties of the affine group // Український математичний конгрес - Третя Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, 2-8 липня 2001 р. - Суми, 2001. -С. 22-23.

Боднарчук Ю.В. Довільний нелінійний трикутний автоморфізм афінного простору разом з афінною групою породжують групу ручних автоморфізмів // Вісник Київськ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки. -2001. - Вип. 3. - С. 1-5.

Боднарчук Ю.В. Про алгебраїчну максимальність афінної підгрупи в групі бірегулярних автоморфізмів чотиривимірного симплектичного простору // Вісник Київськ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки. -2001.-Вип. 4. - С. 1-6.

Bodnarchuk Yu.V. Affine group as a subgroup of the affine Cremona Group // Міжнародна математична конференція присвячена сторіччю від початку роботи Д.О. Граве (1863-1939) в Київському університеті. 17-22 червня 2002р. - Київ, 2002. - С. 15.

Bodnarchuk Yu.V. On affine-split tame invertible polynomial maps in three variables // Известия АН Республики Молдова. Математика. -2002. - Т. 39. - № 2. - С. 37-43.

Bodnarchuk Yu.V. Some kinds of maximality properties of the affine group //Український математичний конгрес - 2001. Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Праці: Алгебраїчні структури та їх застосування. Ін-т математики. - Київ, 2002. - С. 173-189.

Боднарчук Ю.В. Твірні властивості трикутних та бітрикутних біраціональних автоморфізмів афінного простору// Доп. НАН України. - № 11. - 2002. - С. 7-22.

Боднарчук Ю.В. Структура замкнених надгруп у групі поліноміальних автоморфізмів симплектичного простору. // Доп. НАН України. - № 2. - 2003. - С. 15 -21.

Bodnarchuk Yu.V. Generating properties of invertible polynomial maps in three variables, which have a small compositional-triangular length // Вісник Львівськ. ун-ту.- Вип. 61. -2003.- С.26-36.

Bodnarchuk Yu.V. Generating properties of biparabolic maps in the affine Cremona group // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts/ August 4-9.-2003.- Lviv, 2003.

Боднарчук Ю.В. Бітрикутні поліноміапьні автоморфізми афінних просторів // Вісник Київськ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки. -2003.-Вип. 2. - С. 1-6.

Боднарчук Ю.В. Про структуру замкнених підгруп групи поліноміальних перетворень афінного простору, що містять // Вісник Київськ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки. -2003.-Вип. 3. - С. 1-6.

Боднарчук Ю.В., Лавренюк Я.В. Автоморфізми груп типу Жонк'єра над скінченними полями // Вісник Київськ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки. - 2003. - Вип. 4. - С. 1-6.

Bodnarchuk Yu. Generating properties of biparabolic invertible polynomial maps in three variables. // Известия АН Республики Молдова.Математика. - 2004. - Т. 41. - № 2. - С. 37-43.

Боднарчук Ю.В. Твірні властивості біпараболічних поліноміальних перетворень афінних просторів // Вісник Київськ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки. -2004.-Вип. 3. - С. 11-15.

Размещено на Allbest.ru