Алгоритм Сугено

Этапы алгоритма Мамдани. Использование аппарата нечеткой логики для задач аппроксимации. Логический контроллер Сугено как универсальный аппроксиматор в условиях сравнения различных алгоритмов. Теоретическое обоснование алгоритма Сугэно в этом качестве.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 17.07.2013
Размер файла 53,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм Сугено

Алгоритм Сугэно (0-го порядка). Исходный набор правил представляется в виде

Пi: если x есть Ai, тогда z есть zi, i = 1,2,…,n,

где zi = z(xi).

Алгоритм состоит всего из двух этапов. Первый этап идентичен первому этапу алгоритма Мамдани. На втором этапе находится (четкое) значение переменной вывода:

.

Возможность использования аппарата нечеткой логики для задач аппроксимации базируется на следующих результатах.

1. В 1992 г. Ванг (Wang) показал, что нечеткая система, использующая набор правил

Пi: если xi есть Ai и yi есть Bi, тогда zi есть Ci, i = 1,2,…,n

при

1) гауссовских функциях принадлежности

,

,

,

2) композиции в виде произведения

[Ai(x) and Bi(y)] = Ai(x)Bi(y),

3) импликации в форме (Larsen)

[Ai(x) and Bi(y)]®Ci(z) =Ai(x)Bi(y)Ci(z),

4) центроидном методе приведения к четкости

,

где ci - центры Ci(z), является универсальным аппроксиматором, т.е. может аппроксимировать любую непрерывную функцию на компакте U с произвольной точностью (естественно, при ).

Иначе говоря, Ванг доказал теорему: для каждой вещественной непрерывной функции F(X), заданной на компакте U и для произвольного e>0 существует нечеткая экспертная система, формирующая выходную функцию (X) такую, что

,

где - символ принятого расстояния между функциями.

2. В 1995 году Кастро (Castro) показал, что логический контроллер Мамдани при

1) симметричных треугольных функциях принадлежности:

2) композиции с использованием операции min:

[Ai(x) and Bi(y)] = min{Ai(x),Bi(y)},

3) импликации в форме Мамдани и центроидного метода приведения к четкости

,

также является универсальным аппроксиматором.

Сравнение описанных алгоритмов выполнялось при следующих условиях:

· аппроксимации функции проводилась на отрезке [-1, 1];

· аппроксимируемая функция задавалась набором значений (xi, zi), i = 1,2,…,n, при этом точки zi располагались эквидестантно;

· функции принадлежности имели вид функций Гаусса, т.е. (x) =j((x-xi)/a), (z) = j((z-zi)/b), где j(·) - функция Гаусса, j(s/s) = exp(-s2/2s2), s - параметр функции (соответственно, a или b).

· количество правил n задавалось a priori;

· значения параметров a и b варьировались для получения наилучшего качества аппроксимации при заданном n.

Реализация алгоритмов и соответствующие вычислительные эксперименты проводилась с помощью системы MathCAD 2000.

Некоторые результаты при n = 9, a = 0.1, b = 0.3 приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1. Результаты аппроксимации для функции F(x) = x2

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xi

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

zi

1.000

0.563

0.250

0.063

0

0.063

0.25

0.563

1.000

Оценка по алгоритму Мамдани

0.973

0.570

0.257

0.070

0

0.070

0.257

0.570

0.973

Оценка по алгоритму Сугэно

0.982

0.568

0.255

0.068

0

0.068

0.255

0.568

0.982

Таблица 2. Результаты аппроксимации для функции F(x) = x3

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xi

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

zi

-1.000

-0.422

-0.125

-0.016

0

0.016

0.125

0.422

1.000

Оценка по алгоритму Мамдани

-0.962

-0.441

-0.136

-0.021

0

0.021

0.136

0.441

0.962

Оценка по алгоритму Сугэно

-0.976

-0.433

-0.133

-0.019

0

0.019

0.133

0.433

0.976

Приведенные и другие аналогичные результаты (полученные для большого числа вариантов) позволяют сделать выводы:

1) при прочих равных условиях и при оптимальных параметрах a и b погрешность аппроксимации с применением алгоритма Сугэно несколько меньше, чем с применением алгоритма Мамдани;

2) алгоритм Сугэно с вычислительной точки зрения реализуется значительно проще, чем алгоритм Мамдани, а время счета для него меньше, чем для алгоритма Мамдани в 50-100 раз;

3) общий вывод: если нет каких-либо особенных доводов в пользу алгоритма Мамдани, то лучше использовать не его, а алгоритм Сугэно.

Данные выводы, разумеется, носят предварительный характер и нуждаются в более корректном подтверждении (для функций многих переменных и т.п.).

В заключение приведем еще один результат, устанавливающий связь между алгоритмом Сугэно, так называемой обобщенно-регрессионной нейронной сетью (GRNN) и непараметрической оценкой регрессии Надарая-Ватсона [2].

Указанная сеть предназначена для решения задач регрессии (аппроксимации), при этом ее выход формируется как взвешенное среднее выходов по всем обучающим наблюдениям:

, (1)

где Xk, yk - точки обучающей выборки (X - в общем случае векторный аргумент); j(·) - отмеченная функция Гаусса.

Поясним данную формулу и название сети.

Предположим, что элементы обучающей выборки - случайные величины, с совместной плотностью вероятности p2(X,y), при этом, как известно, условное математическое ожидание M(y/X) называется регрессией (обобщенной регрессией) и определяется соотношением

, (2)

где - условная плотность вероятности y по X, - безусловная плотность вероятности случайной величины X.

Примем в последнем выражении аппроксимации:

, ,

где d(·) - обозначение дельта-функции Дирака.

Подстановка данных аппроксимаций в (2) дает:

.

Изменение порядка выполнения операций интегрирования и суммирования (здесь это допустимо и корректно) и использование, далее, свойств дельта-функции позволяет записать:

.

Аппроксимация теперь дельта-функции функцией Гаусса приводит к выше представленному выражению для выхода обобщенно-регрессионной нейронной сети; приведенный вывод собственно и поясняет ее название.

Но, если в формуле (1) принять обозначения zk = yk и ak = j((X - Xk)/s), то функционирование такой сети формально можно считать подобным функционированию системы, реализующей приведенный алгоритм Сугэно 0-го порядка (упрощенный алгоритм нечеткого вывода [1]), при этом величины ak в данном случае - степени "истинности" продукционных правил при заданных (гауссовых) функциях принадлежности j(·) и значении переменной входа, равной Xk.

Более того, выражение (1), описывающее, как установлено, выход сети GRNN и алгоритма нечеткого вывода Сугэно, полностью совпадает с непараметрической оценкой регрессии, известной как оценка Надарая-Ватсона, для которой доказана следующая теорема о сходимости [2].

Теорема. Оценка, определяемая формулой (1), если j(·) - функция Гаусса, при выполнении условий

N®Ґ, sN®0, N®0

контроллер сугено логический алгоритм

где sN - параметр функции Гаусса, в данном случае зависящий от объема обучающей выборки, m - размерность вектора X, сходится к F(X) с вероятностью 1.

Приведенный результат является теоретическим обоснованием алгоритма Сугэно как универсального аппроксиматора.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Нечеткая логика как раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств, базирующийся на понятии нечеткого множества. Основные правила и законы данной логики, алгоритм Мамдани. Содержание и принципы решения задачи о парковке.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 22.04.2014

  • Операции над логическими высказываниями: булевы функции и выражение одних таких зависимостей через другие. Пропозициональные формулы и некоторые законы логики высказываний. Перевод выражений естественного языка на символическую речь алгебры логики.

    контрольная работа [83,3 K], добавлен 26.04.2011

  • Механизмы реализации эвристических алгоритмов муравьиной колонии. Основная идея - использование механизма положительной обратной связи, помогающего найти наилучшее приближенное решение в сложных задачах оптимизации. Области применения алгоритма муравья.

    реферат [361,6 K], добавлен 07.05.2009

  • Теоретические основы метода отсечения, его назначение и функции в решении задач целочисленного линейного программирования. Сущность и практическая реализация первого и второго алгоритма Гомори. Применение алгоритма Дальтона, Ллевелина и Данцига.

    курсовая работа [208,1 K], добавлен 12.10.2009

  • Остовное дерево связного неориентированного графа. Алгоритм создания остовного дерева, его нахождение. Сущность и главные особенности алгоритма Крускала. Порядок построения алгоритма Прима, вершина наименьшего веса. Промежуточная структура данных.

    презентация [140,8 K], добавлен 16.09.2013

  • Минимальное остовное дерево связного взвешенного графа и его нахождение с помощью алгоритмов. Описание алгоритма Краскала, возможность строить дерево одновременно для нескольких компонент связности. Пример работы алгоритма Краскала, код программы.

    курсовая работа [192,5 K], добавлен 27.03.2011

  • Решения задач дискретной математики: диаграммы Эйлера-Венна; высказывание в виде формулы логики высказываний и формулы логики предикатов; СДНФ и СКНФ булевой функции. При помощи алгоритма Вонга и метода резолюции выяснить является ли клауза теоремой.

    контрольная работа [133,5 K], добавлен 08.06.2010

  • Свойства равномерно распределенной псевдослучайной последовательности. Линейный и квадратичный конгруэнтный генератор. Исследование RSA-алгоритма генерации псевдослучайных последовательностей. Универсальный алгоритм статистического тестирования Маурера.

    дипломная работа [2,3 M], добавлен 06.11.2011

  • Составление четкого алгоритма, следуя которому, можно решить большое количество задач на нахождение угла между прямыми, заданными точками на ребрах многогранника. Условия задач по теме и примеры их решения. Упражнения для решения подобного рода задач.

    практическая работа [1,5 M], добавлен 15.12.2013

  • Методы решения задачи коммивояжера. Математическая модель задачи коммивояжера. Алгоритм Литтла для нахождения минимального гамильтонова контура для графа с n вершинами. Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Крускала и "деревянного" алгоритма.

    курсовая работа [118,7 K], добавлен 30.04.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.