Теорема 2: П5 следует из П6.

Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A',B',C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.

Шаг 1: Пусть A'C' пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.

О С C'

B S A и заключим отсюда, что точки T=OSBC, U=OABC', Q коллинеарны.

Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам O B B'

C' A' S

и заключим отсюда, что точки U,V=OSB'C', P коллинеарны.

Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам B C' U

V T S

и заключим отсюда, что точки R, P=BSUV (шаг2),Q=C'STU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.

Рис.

Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l', где ll', есть перспективное отображение точка пересечения X=ll' переходит в себя.

Применение основных теорем к решению задач на евклидовой плоскости. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости

В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой. Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.

Теорема Менелая гласит:

Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1

Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Рис.

Теорема Дезарга

Рис.

Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны.

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A'B'C' перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R,Q,P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

Q,C',A', R,B',C', P,A',B'

Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC'/OC')*(OA'/AA')=1 (CR/BR)*(BB'/OB')*(OC'/CC')=1

(BP/AP)*(AA'/OA')*(OB'/BB')=1

Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1 что () Q,R,P коллинеарны, теорема доказана.

Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости

Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.

Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A',C',B' - на другой, и если три прямые AB',CA',BC' пересекают прямые A'B,C'A,B'C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.

Рис.

Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)

Рис.

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB',CA',BC' образуют треугольник UVW.(рис. 3)

Рис.

Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек

P,A',B, A,Q,C', B',C,R, A,C,В, B',A',C',

лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.

(VP/WP)*(WA'/UA')*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1

(VB'/WB')*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1

(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC'/VC')=1

Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:

(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1

то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана.

Приложение

1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.

Дано: треугольник PRQ и треугольник P'R'Q' перспективны относительно точки О. QR||Q'R', PR||P'R'

Рис.

Доказать что: QP||Q'P'

Доказательство:

Так как QR||Q'R' и RP||R'P', то

(OQ/OQ')=(OR/OR')=(OP/OP') (OQ/OQ')=(OP/OP') QP||Q'P'

№2.Назовите два треугольника перспективных относительно:

Рис.

а) точки Р

б) точки Р'

в) точки D

Ответы: а) треугольники ROQ и EP'F б) треугольники EFP и R'Q'O' в) треугольники R'RE и Q'QF.

№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.

Рис.

АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDE и AFDC BD=AE и DF=AC. Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CE BF=CE BCEF - параллелограмм EF||BC.

Рис.

ACBD=0, так как AB||ED и CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и (|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF|

(|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) EF||CB.

№4. Пусть A,B,D,E,N,M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE,DM,NB пересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?

Рис.

Решение. Пусть AEDMNB=C, AMDBNE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()LMN ABDEMN=L. Прямые AB,DE,NM пересекаются в одной точке.

№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

AA'BB'CC'=S ?

Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.

по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.

AA'BB'CC'=S.

№6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

Рис.

Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.

№7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

Требуется доказать, что LNMKBDAC=S

Решение.

Рис.

ACLNBD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга ACLNBD=S.

Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга MKBDAC=S

Получили ACBDMKLN=S.

Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ANBPCM=S.

Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.

по теореме обратной теореме Дезарга NABPCM=S.

№9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A'=ASBC, B'=BSAC, C'=CSAB. Доказать, что точки BCB'C', ACA'C', ABA'B' лежат на одной прямой.

Рис.

Обозначим () пересечения сторон BCB'C', ACA'C', ABA'B' соответственно P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А'В'С' прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () S () пересечения соответствующих сторон P,R,Q лежат на одной прямой.

№10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.

Рис.

Точка А- дезаргова точка

Треугольники A'RP и SCB - дезарговы треугольники

A'S SCA'R=C'

RC SBA'P=B'

PB CBRP=Q.

Точки C',B',QS - дезаргова прямая.

№11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая:

()S - несобственная (), дезаргова прямая S - собственная.



Рис.

Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.

()S собственная, прямая S - несобственная.

Формулировка.

Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А'В'С' пересекаются в одной точке и AB||A'B', B'C||BC, то AC||A'C'.

Рис.

3) ()S - несобственная, прямая S - несобственная.

Формулировка.

Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A'B', BC||B'C', то AC||A'C'.

№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСp, L=ACp, M=ABp, R=BLCM, S=CMAK, T=AKBL.

Доказать, что прямые AR,BS и CT пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ARBSCT=Q



Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARBSCT=Q.

№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.

7)CC' искомая прямая.

Доказательство:

Треугольники АВС и А'В'С' - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая.

ABA'B'=P

ACA'C'=R s (по построению)

BCB'C'=Q

По обратной теореме Дезарга AA'CC'BB'=S.

№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQC, не проводя PQ.

Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1C,Q

QQ1Q2 - трехвершинник, построить РР1Р2 - трехвершинник,P1C, PQP1Q1P2Q2=S

Обратная теорема Дезарга.

Построение:

Рис.

QQ1s=X

PXC=P1

Q1Q2s=Y

QQ2s=Z

YP

ZPYP1=P2

P2Q2c=S ()S - искомая точка.

Доказательство:

Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 - дезарговы.

QQ2PP2=Z

QQ1PP1=X S (по построению).

Q1Q2P1P2=Y

По обратной теореме Дезарга. PQP1Q1P2Q2=S PQc=S искомая точка.

№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.

Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А,А'а, ()Вb.

Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S - несобственная, прямая s - собственная.

Треугольники АВС и А'В'С' - построить.

Рис.

Построение:

1)АВs=P

2) A'Pb=B'

3) ACs=R

4) BCs=

5) A'R, B'Q

6) A'RB'Q=C'

7) CC' - искомая прямая.

3) Доказательство:

Треугольники АВС и А'В'С'- дезарговы

Формулировка обратной теоремы Дезарга.

Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и А'В'С' пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА'||BB', то СС'||AA'.

По этой теореме СС'- искомая прямая.

№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, pAD=M, pAC=P, qBD=N, qBC=Q. Доказать, что точка MNPQ лежит на прямой АВ.

Рис.

Требуется доказать, что MNPQAB=K.

Решение:

Рассмотрим треугольники

МРА и NQB.

МРNQ=S, так как p||q. (pq=S)

PABQ=C

AMBN=D

DC||p||q DCpq=S C,D,S одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MNPQAB=K.

Тем самым доказали, что точка МNPQAB.

№17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()РCD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l.

Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.

Рис.

2) Построение:

NP, A

NPAC=S

MSBC=K

KP- искомая прямая.

3) Доказательство:

треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как ANCP=R (AN||CP), CKAM=Q (CK||AM) то по теореме Дезарга KPNM=F KP||NM.

Список литературы

1.Р. Хартсхорн «Основы проективной геометрии».-М:Мир,1970.

2.Ефимов «Высшая геометрия»-:Наука,1971.

3.Франгулов С.А. «Лекции по проективной геометрии»-Л:ЛГПИ,1975.

4.Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. «Пособие по проективной геометрии»-Оренбург:ОГПИ,1994.

5.Коксетер С.М. «Новые встречи с геометрией»-М:Нуака,1978

6.Базылев «Геометрия»-М:Просвещение,1975

7.Потоцкий «Что изучает проективная геометрия «-М: Просвещение,1982

8.Певзнер «Проективная геометрия»-М:Просвещение,1980

9.Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии.

Размещено на Allbest.ru