Диференціали вищих порядків визначаються в повній аналогії з похідними вищих порядків. Другий диференціал d²y функції y=f(х) визначається як диференціал від першого порядку

d ² y =d(dy) … d⁽ⁿ⁾(y)=d(d^(n-1)y)... (1.9)

При цьому передбачається існування відповідних диференціалів

d ² y =d(dy)=d(y dx)=d(y )dx + y d ²x = y (dx)²+ y d ² x.

V. Основні теореми диференціального числення

По визначенню функція f(х) досягає в точці х=с локального max (min), якщо існує околиця цієї точки U(c)=(c-, c+), на якій виконується нерівність

f(c)f(x)U(c),

відповідно f(c)f(x)U(c). (1.10)

Локальні max (min) називаються локальним екстремумом. Точка С називається точкою локального екстремума.

Зауваження: Якщо функція f(х) безперервна на відрізку [a,b] і досягає на ньому max (min) у точках, що належать цьому інтервалу, то ці точки є в той же час точками локального екстремума f(х). Але якщо функція досягає max (min) в одній з кінцевих точок інтервалу, то вона не є в цій точці локальним екстремумом, тому що не визначена повною мірою в околиці - праворуч і ліворуч від точки.

. (1.12)

§2. Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора

1. Невизначеність виду 0/0.

Теорема 1 (правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по диференціальному численню). Нехай дві функції f(х) і (х) визначені й диференційовні всюди в деякій околиці точки а, за винятком самої точки а. І нехай

. (2.1)

і (x)0 у зазначеній вище околиці точки а. Тоді якщо існує (скінченне або нескінченне) граничне значення , то існує й граничне значення й справедливе формула

= (2.2)

і можна далі .

Ця теорема вірна й при х.

2. Невизначеність виду / .

Будемо говорити, що відношення 2-х функцій являє собою при ха невизначеність виду /, якщо

. (2.3)

Для розкриття цієї невизначеності, тобто для обчислення справедливе твердження: якщо у формулюванні теореми 1 замінити вимоги на умову (2.3), те теорема виявиться справедливою.

3. Розкриття невизначеностей інших видів.

Крім вивчених вище невизначеностей виду 0/0 й /, часто зустрічаються інші види: 0, , 1, 0⁰, ⁰ і т.д. Всі ці невизначеності необхідно звести до виду, вивченому нами, тобто до 0/0 або / шляхом алгебраїчного перетворення.

4. Формула й теорема Тейлора (Тейлор Брук 1685-1731 р., англійський математик. Знайшов формулу для розкладання функцій у статечні ряди).

Ця формула є однією з основних формул математичного аналізу й має численні додатки як в аналізі, так й у складних дисциплінах.

Теорема Тейлора. Нехай функція f(х) має в деякій околиці точки «а» похідну порядку (n+1), де n - будь-який фіксований номер. Нехай далі х - будь-яке значення аргументу із зазначеної околиці, р - довільне позитивне число. Тоді між точками а й х знайдеться точка c - така, що справедлива формула

(2.4)

де

. (2.5)

Формула (2.4) називається формулою Тейлора (із центром у точці а), а (2.5) називається залишковим членом, він може бути записаний й в іншому вигляді. Прийнято називати залишковий член, записаний у вигляді (2.5), залишковим членом у загальній формі або формі Шлемільха-Роша.

Формула Тейлора в центром у точці а=0 називається формулою Маклорена (Колін 1698-1746 р., шотландський математик, праці по матаналізу, теорії кривих, механіці).

§ 3. Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних

I. Ознаки сталості зростання й спадання функції

Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку a<x<b похідна f (х) = 0, то функція f (х) зберігає в цьому проміжку постійне значення - тобто є відрізок горизонтальної прямої.

Теорема 2. Нехай функція f(х) безперервна в проміжку axb. Якщо у всіх внутрішніх його точках f (х) >0, то функція f(х) у даному проміжку зростає.

Теорема 3. Нехай функція f(х) безперервна на (a,b), axb. Якщо у всіх точках, внутрішніх f (х) <0, то функція f(х) у даному проміжку убуває.

Умови теорем 1, 2, 3 є достатніми, а необхідними й умови 1.

II. Екстремум функції

Визначення: Говорять, що f(х) має min у точці с, якщо f(с) <f(х) у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки с у достатній близькості від неї. Говорять, що f(х) має max у точці с, якщо f(с) >f(х) у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки с у достатній близькості від неї. Максимум і мінімум поєднуються найменуванням екстремум.

Необхідна ознака екстремума. Для того, щоб функція f(х) мала екстремум у точці с, необхідно щоб f (х) оберталася в нуль або , або зовсім не існувала, але ця ознака не є достатньою.

1-ша достатня ознака наявності й відсутності екстремума

Теорема 1. Якщо в деякій околиці (a,b) точки х₀ f (x)>0 ліворуч від точки х₀ й f (x)<0 праворуч від х₀, то функція f(х) має max.

Якщо ж у деякій околиці (a,b) точки х0 f (x)<0 ліворуч й f (x)>0 праворуч, то f(х) має min.

Таким чином, для того щоб безперервна функція в точці х₀ мала екстремум, необхідно, щоб знак похідної в цій точці змінився на протилежний, у самій же точці вона може бути дорівнює 0, або не існувати.

2-га достатня ознака екстремума

Якщо функція f(х) у критичній точці с диференційовна двічі, то можна скористатися наступною теоремою:

Теорема. Нехай у точці с f (х) функції f(х) обертається в нуль f (с) =0.

Якщо при цьому f (с) >0, то в точці с f(х) min, якщо при f (с) <0, то в точці c f(х) max.

Практичні правила

для знаходження всіх екстремумів функції f(х) в [a,b]

Функція повинна бути безперервною в цьому проміжку [a,b], число критичних точок повинно бути обмежене, тоді для відшукання всіх max й min функції в [a,b]:

1. Знаходимо всі точки проміжку (a,b), де f (х) =0, або не існує. Якщо їх ні, то немає й екстремумів, якщо вони є, нумеруємо їх у порядку зростання: a<x₁<x₂<…<x_n<b...

2. У всіх інших точках інтервалу (a,b) існує кінцева похідна f (х) 0. При цьому, якщо в яких-небудь 2-х точках “k,l” f (k) і f (l) є протилежні знаки, то між цими точками повинна щонайменше лежати одна критична точка. Тоді усередині кожної з ділянок (a,x₁)(x₁x₂)…(x_n-₁x_n)(x,k) похідна f (х) зберігає незмінний знак. Якщо f (х) >0, то функція на цій ділянці зростає, якщо f (х) <0, то убуває.

3. Встановлюємо наявність екстремума або відсутність у кожній із критичних точок х₁, х₂, …, х_n на підставі вище викладеного.

Зауваження 1. Із цього витікає, що точки max й min чергуються один з одним і що вони розбивають проміжок (a,b) на часткові проміжки, у кожному з яких функція f(х) або зростає або спадає чергуючись.

Зауваження 2. Якщо функція f(х) монотонна в деякому проміжку (m,n), то при будь-якому подовженні цього проміжку втрачає монотонності (або зовсім губить зміст), то говорять, що (m,n) є проміжок монотонності функції f(х). Таким чином, точки екстремума функції f(х), заданої на (a,b), розбивають його на проміжки монотонності функції f(х).

Зауваження 3. У процесі відшукання екстремумів корисно заносити результати дослідження в таблицю.

III. Інтервали опуклості й ввігнутості. Точки перегину

А. Характер опуклості

Визначення: Говорять, що дуга АВ функції y=f(х) увігнута нагору, якщо всі точки цієї дуги лежать вище будь-якій її дотичній МТ, і ввігнута СD униз, якщо всі точки лежать нижче будь-якої дотичної.

Рис.1

Теорема: Для того, щоб дуга АВ лінії y=f(х) була ввігнута нагору (униз), необхідно й досить, щоб похідна f (х) у відповідному проміжку зростала (спадала).

Рис.2

Доказ: Необхідність ознаки. Нехай дана дуга АВ, увігнута нагору. Візьмемо в проміжку (a,b) дві довільні точки х₁ і х₂. Проведемо М₁Т₁ і М₂Т₂ і М₁Q і М₂ вище М₁, QM₂>QN

QM₂=f(x₂)-f(x₁) : QN=M₁Q =M₁Q f (x₁)=(x₂-x₁) f (x₁);

але f(x₂)-f(x₁)>(x₂-x₁)f (x₁) : (x₂-x₁)

,

тобто кутовий коефіцієнт М1М2 більше кутового коефіцієнта дотичної М1Т1.

Тому що точки взяті довільно, те й х₁ і х₂ можна поміняти місцями

f(x₁)-f(x₂)>(x₁-x₂)f (x₂) : (x₁-x₂) [але (x₁-x₂)<0]

то одержимо

або ,

тобто f (x₂) > f (x₁). Тому що точки взяті довільно, то остання нерівність означає, що похідна f (х) зростає в проміжку (a,b). Аналогічно доводиться, що якщо дуга АВ увігнута вниз, то похідна f (х) убуває в (a,b).

Достатня ознака. Нехай похідна f (х) зростає в проміжку (a,b), і нехай х1 і х2 дві довільно взяті точки цього проміжку. Потрібно довести, що точка М2(х2,y2) лежить вище дотичної М1Т1 або довести нерівність

QM₂>QN або QM₂-QN>0,

але QM₂-QN=[f(x₂)-f(x₁)]-(x₂-x₁)f (x₁).

Застосуємо до останньої різниці [f(x2)-f(x1)] формули кінцевих приростів, с - точка між х1 і х2

Зауваження 1. Точка В, де лінія АCBD не має двосторонню дотичну, не вважається точкою перегину, хоча вона й служить границею дуг СВ й BD, увігнутих в протилежні сторони.

Зауваження 2. Дотична СТ, проведена через точку перегину, перетинає лінію АВ, тому що дуги АС й АВ звернені ввігнутістю в різні сторони, то одна з них повинна лежати вище дотичній, інша нижче.

Необхідна ознака точки перегину

Для того, щоб у точці С лінія f(х) мала перегин, необхідно, щоб у відповідній точці x=c друга похідна f (х) =0 або або не існувала. Ця точка називається критичною точкою по другій похідній.

Правило для розшуку точокок перегину лінії y=f(х)

і для судження про характер її ввігнутості

Щоб знайти всі точки перегину функції y=f(х) у проміжку (a,b) і визначити на яких ділянках ця лінія ввігнута нагору або вниз, знадходимо в такий спосіб.

1. Знаходимо в проміжку (a,b) всі критичні точки по другій похідній. Нумеруємо їх у порядку зростання

a < c₁ < c₂ < … < c_n < b...

Абсциси всіх точок перегину повинні утримуватися серед цих критичних точок.

2. У всіх точках проміжку (a,b), де існує кінцева друга похідна f (х), відмінна від нуля, вона зберігає незмінний знак усередині кожної з ділянок (a,c₁), (c₁, c₂), …, (c_n,b)...

Якщо цей знак більше 0, то y=f(х) на цій ділянці ввігнута нагору, якщо менше 0, то ввігнута вниз.

3. Встановлюємо наявність або відсутність перегину в кожній із точок c1, c2, …, сn. Якщо при переході через точку сi напрямок увігнутості змінюється на протилежне, а в самій точці сi лінії y=f(х) володіє дотичною (тобто перша похідна f (х) існує), то сi є точка перегину. Якщо хоча б одне із цих умов не виконано, то перегину немає.

§ 4. Асимптоти. Вертикальні й горизонтальні

Якщо відстань ОМ від деякої точки О до точки, що рухається, М, то відстань О₁М, на яку точка М віддаляється від якої-небудь іншої нерухомої крапки О₁ теж прагне до нескінченності. Тоді можна сказати, що точка М віддаляється в .

Рис.1

Визначення: Пряма АВ називається асимптотою лінії uv, якщо точка М може зміщатися уздовж uv таким чином, що сама вона віддаляється в , а її відстань МК до прямої прагне до 0. ОМ, а ОМ0.

Зауваження: Не всяка лінія, по якій точка М може віддалятися в , володіє асимптотами. Так, у параболи, у синусоїди, в архімедової спіралі асимптоти немає. У гіперболи 2 асимптоти. При побудові графіка функції необхідно знати чи є асимптоти чи ні.

Вертикальні асимптоти

Теорема: Для того, щоб пряма х=з була асимптотою лінії y=f(х) необхідно й досить, щоб функція y=f(х) мала в точці С нескінченний розрив.

Рис.2

Доказ. Припустимо, що пряма х=с є асимптотою лінії y=f(х). Це значить, що точка М(х,y) може зміщатися по лінії uv таким чином, що відстань

|ОМ|, а |МР|0, |МР|=|х-с|, тоді

. (4.1)

Із цього випливає, що

, (4.2)

тобто функція y=f(х) має в точці C нескінченний розрив. Доведено необхідність умов.

Нехай тепер функція y=f(х) має в точці С нескінченний розрив, тобто що

,

тоді

.

З іншого боку

.

З доведеної теореми випливає правило:

Щоб відшукати всі вертикальні асимптоти лінії y=f(х), знаходимо всі точки х=с, де функція y=f(х) має нескінченний розрив. Кожна із прямих х=с буде асимптотою.

Горизонтальна асимптота

. (4.3)

Похила асимптот

y = kx + b,

(4.4)

Размещено на Allbest.ru