Задачі конструктивної геометрії на побудову

Задача 3.1. Побудувати правильний п'ятикутник.

Розв'язання. Як уже зазначалося, така побудова рівнозначна задачі поділу кола на п'ять рівних частин. Існує кілька способів ділення кола на п'ять рівних частин, тобто знаходження сторони правильного п'ятикутника, вписаного в коло. Розглянемо один з них. Будуємо коло (0; R) і в ньому два взаємно перпендикулярні діаметри АВ і CD (рис. 3.1). Нехай радіус кола дорівнює одиниці: ОА = ОС = 1. Побудуємо точку - середину радіуса ОС. З центром у точці Е радіусом ЕА проведемо дугу до перетину з радіусом OD у точці М. Тоді відрізок AM є стороною вписаного r коло правильного п'ятикутника: а₅ = AM.

У справедливості побудови впевнюємося за допомогою таких міркувань. З АОЕ знаходимо:

З ОАМ дістаємо

При такій побудові відрізок ОМ є стороною правильного десятикутника

Нагадаємо, що сторона правильного 2n-кутника виражається через сторону правильного n-кутника формулою

яка при R= 1 набирає вигляду

Рис. 3.1 ? Правильні багатокутники [2]

Рис. 3.2 ? Побудова правильного п'ятикутника за допомогою тільки

циркуля [8]

Правильний сімнадцятикутник - це геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін та сімнадцять кутів, всі його кути та сторони рівні між собою, всі вершини лежать на одному колі.

Правильний сімнадцятикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, що було доведено Гаусом у 1796 році. Ним же знайдено значення косинуса центрального кута сімнадцятикутника:

.

У 1825 році Йоханес Ерхінгер вперше опублікував детальний опис побудови правильного сімнадцятикутника за 64 кроки (див. рис. 3.3):

1. Проводимо велике коло k (майбутнє описане коло сімнадцятикутника) з центром O.

2. Проводимо її діаметр AB.

3. Будуємо до нього перпендикуляр m, що перетинає k₁ у точках C та D.

4. Відмічаємо точку E - середину DO.

5. Посередині EO відмічаємо точку F та проводимо відрізок FA.

6. Будуємо бісектрису w₁ кута OFA.

7. Будуємо w₂ - бісектрису кута між m та w₁, яка перетинає AB у точці G.

Рис. 3.3 ? Побудова правильного 17-кутника циркулем та лінійкою [8]

8. Проводимо велике коло k? (майбутнє описане коло сімнадцятикутника) з центром O.

9. Проводимо її діаметр AB.

10. Будуємо до нього перпендикуляр m, що перетинає k₁ у точках C та D.

11. Відмічаємо точку E - середину DO.

12. Посередині EO відмічаємо точку F та проводимо відрізок FA.

13. Будуємо бісектрису w₁ кута OFA.

14. Будуємо w? - бісектрису кута між m та w?, яка перетинає AB у точці G.

15. Проводимо s - перпендикуляр до w? з точки F.

16. Будуємо w? - бісектрису кута між s та w?. Вона перетинає AB у точці H.

17. Будуємо коло Фалеса (k?) на діаметрі HA. Воно перетинається з CD у точках J та K.

18. Проводимо коло k? з центром G через точки J та K. Воно перетинається з AB у точках L та N. Тут важливо не переплутати N з M, вони розташовані дуже близько.

19. Будуємо дотичну до k? через N.

Точки перетину цієї дотичної до вихідного кола k? - це точки P? та P?? шуканого сімнадцятикутника. Якщо прийняти середину отриманої дуги за P? та відкласти дугу P?P?? по колу тричі, всі вершини сімнадцятикутника будуть побудовані.

Висновки

Конструктивна геометрія - найдавніший розділ практичної геометрії, яка і сьогодні має актуальний характер. В практичній діяльності працівникам різних галузей (інженерам, конструкторам, геодезистам, архітекторам, кравцям, столярам та ін.) доводиться виконувати різні геометричні побудови.

Геометричні побудови - традиційно одна з провідних змістових ліній шкільного курсу геометрії. Основна мета вивчення геометричних побудов у школі - навчити учнів виконувати основні побудови циркулем та лінійкою та розв'язувати нескладні комбіновані задачі, які зводяться до виконання основних побудов. На етапі пошуку і розробки алгоритму побудови, виконання побудов, дослідження розв'язків задачі в сучасній шкільній програмі геометрії застосовується педагогічний програмний комплекс GRAND-2D. За допомогою пакету динамічної геометрії зручно розв'язувати задачі на побудову на площині, спростовувати окремі припущення, досліджувати геометричні місця точок. Створивши динамічні моделі, аналізуючи динамічні вирази, можна проводити дослідження ГМТ, встановлювати значення певних величин, шукати закономірності.

Комп'ютеризація народного господарства, зокрема широке застосування електронно-обчислювальної техніки, дисплеїв та графопобудовувачів, показали принципову можливість виконання рисунків та графічних побудов за допомогою електронних апаратів. Проте машина може зробити тільки те, що в неї "закладе" людина. В основі комп'ютерної графіки, за допомогою якої можуть виконуватися одноманітні, рутинні, трудомісткі операції або складні геометричні розрахунки та побудови, лежать обчислювальна геометрія, системи алгоритмів, програм,використання графічних умов тощо. Зараз цілком очевидно, що розвиватися комп'ютерна графіка, як одна з підсистем САПР, може тільки на основі широкого використання законів і правил конструктивної та обчислювальної геометрії.

Список використаної літератури

1. Адлер А. Теория геометрических построений / Переклад з німецького Г. М. Фихтенгольца. - Вид. 3-тє. - Л.: Учпедгиз, 1940. - 232 с.

2. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение. - Видання вісімнадцяте. - М.: Учпедгиз, 1950. - 176 с.

3. Антоненко М.І. Розв'язування геометричних задач: Книжка для вчителя. - К.: Рад. шк., 1991. - 128 с.

4. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. - Вид. 2. - М.: Учпедгиз, 1957. - 268 с.

5. Боравльов А.П., Ленчук І.Г. Аналіз у розв'язуванні задач на побудову: Посібник для студентів математичних спеціальностей. - К.: Вища школа, 2002. - 192 с.

6. Воронец А.М. Геометрия циркуля. - М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 40 с.

7. Петерсен Ю. Методы и теории решения геометрических задач на построение. - Методтипография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. - 114 с.

8. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник для студентів математичних спеціальностей педагогічних навчальних закладів. - К.: Зодіак-ЕКО, 2000. - 512 с.

9. Штейнер Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга. - М.: Учпедгиз, 1939. - 80 с.

Размещено на Allbest.ru