Частные производные функции многих переменных. Дифференцирование сложной функции

Общая характеристика частных производных и частных дифференциалов функций со многими переменными. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала. Основные правила вычисления дифференциалов и понятие частных производных высших порядков.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 23.04.2011
Размер файла 725,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Частные производные функции многих переменных. Дифференцирование сложной функции

Уфа 2009

СОДЕРЖАНИЕ

1 Частные производные и частные дифференциалы

2 Правило вычисления дифференциалов

3 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала

4 Частные производные высших порядков

Список используемой литературы

1 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ЧАСТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Для упрощения записи и изложения мы ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Итак, пусть в некоторой (открытой) области D имеем функцию u=f(x, y, z); возьмем точку M0(x0, y0, z0) в этой области.

Если мы припишем у и z постоянные значения у0 и z0 и будем изменять х, то u и будет функцией от одной переменной х (в окрестности х0); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке х=х0.

Придадим этому значению x0 приращение ?х, тогда функция получит приращение:

которое можно было бы назвать ее частным приращением (по х), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел

Эта производная называется частной производной функции f(x, y, z) по х в точке (х0, y0, z0).

Как видим, в этом определении не все координаты равноправны, так как у0 и z0 наперед фиксированы, а х меняется, стремясь к х0.

Частную производную обозначают одним из символов:

Заметим, что буква х внизу в этих обозначениях лишь указывает, по какой из переменных берется производная, и не связана с тем, в какой точке (х0, у0, z0) мы производную вычисляем. И здесь цельные символы можно рассматривать как функциональные обозначения для частной производной по х. Подобных примечаний впредь мы повторять уже не станем.

Аналогично, считая х и z постоянными, а у переменным, можно рассматривать предел

Предел этот называется частной производной функции f(x, y, z) по у в точке (х0, у0, z0) и обозначается символами, аналогичными предыдущим:

Точно так же определяется и частная производная функции f(x, y, z) по z в точке (х0, у0, z0).

Самое вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной.

Примеры.

1) Пусть u= xy (x>0); частные производные этой функции будут:

Первая из них вычисляется как производная степенной функции от х (при у =const), а вторая - как производная показательной функции от у (при х = const);

2) Если , то

3) Для имеем , , .

4) Пусть , где - произвольная функция (имеющая производную).

Показать, что для z всегда выполняется соотношение:

какова бы ни была функция .

По правилу дифференцирования сложной функции (означая штрихом производную по u) имеем

и отсюда

5) Сторона a треугольника определяется по двум другим сторонам b, c и заключенному между ними углу так: . Тогда:

6) Известная из физики формула Клапейрона pV=RT (где R= const) выражает связь между объемом V, давлением р и абсолютной температурой Т одного моля идеального газа и определяет одну из величин р, V, Т как функцию двух других. Если р, V - независимые переменные, а T-функция от них:

, то

Если роль независимых играют переменные р и Т, а V - функция от них:

, то .

Пусть, наконец, V и Т - независимые переменные, р - функция от них:

, тогда

Отсюда, между прочим, получается важное в термодинамике соотношение

Заметим, что обозначения Якоби частных производных (с круглыми ) следует рассматривать только как цельные символы, а не как частные или дроби. Полученное только что соотношение с особенной ясностью подчеркивает это существенное различие в характере обозначений обыкновенных и частных производных: если бы выписанные в левой части производные были обыкновенными, то можно было бы их рассматривать как частные одних и тех же дифференциалов, и по сокращении мы получили бы 1, вместо - 1; здесь же, как мы видим, этого делать нельзя.

Произведение частной производной на произвольное приращение называется частным дифференциалом по х функции и; его обозначают символом

Если и здесь под дифференциалом dx независимой переменной х разуметь приращение , то предыдущая формула напишется так:

Аналогично,

Таким образом, мы видим, что можно было бы и частные производные представить в виде дробей но при непременном условии указывать, по какой переменной берется дифференциал. Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть функции x(t) и у(t) одного переменного t дифференцируемы в точке t0 и пусть x0=x(t0), y0=y(t0). Если функция z=f(x, у) дифференцируема в точке (x0, y0), то в некоторой окрестности точки t0 имеет смысл суперпозиция f(x(t), у(t)), сложная функция z = f(x(t), y(t)) в точке t0 имеет производную и в этой точке

(2.1)

или, подробнее,

Доказательство. В силу дифференцируемости функции f(x, у) в точке (x0, у0) она определена в некоторой окрестности этой точки. Из дифференцируемости же функций x(t) и y(t) следует их непрерывность в точке t0. Поэтому в некоторой окрестности точки t0 определена сложная функция f(x(t), y(t)).

Дифференцируемость функции z=f(x, у) в точке 0, у0) означает, что ее полное приращение

представим в виде

(2.2)

где функция такова, что

где .

Доопределим функцию в точке (0,0), положив (0, 0)=0. Так доопределенная функция является непрерывной в точке (0, 0).

Пусть теперь ?t - приращение переменной t и

Разделим обе части равенства (2.2) на ?t:

(2.3)

При в силу непрерывности функций x(t) и y(t) в точке t0 получим и , а значит, и . Отсюда по теореме о суперпозиции непрерывных функций

Далее,

Из всего этого следует, что при правая часть формулы (2.3) стремится к конечному пределу (t=t0), поэтому и левая часть этой формулы, т. е. стремится к тому же пределу, а это и означает, что в точке t0 существует производная и выражается формулой (2.1).

Теорема доказана.

Отметим, что, хотя в окончательную формулу производной сложной функции (2.1) входят только частные производные и функции z = f(x, у), по ходу доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость.

Пример 1.

Показать, что при отказе от требования дифференцируемости функции z = f (х, у), z лишь при предположении существования частных производных и в точке (х0, у0) и существовании производных и в точке t0 формула (2.1) вообще говоря, не имеет места и, более того, сложная функция f(x(t), y(t)) (предполагается, конечно, что она имеет смысл), вообще говоря, может не иметь производной в точке t0.

Следствие. Пусть теперь функции x = х(и, v), у = y(u, v) определены в некоторой окрестности точки (u0, v0), а функция z= f(x, у) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0), где х0 = х(и0, v0), у=(и0, v0), и в некоторой окрестности точки 0, v0), имеет смысл суперпозиция f(х(и, v), у (и, v)).

Если функция f(x, у) дифференцируема в точке (x0, y0) и существуют частные производные и в точке (u0, v0), то в точке (u0, v0) существует частная производная сложной функции z = f(x (и, v), у (и, v)).

Фиксируя v= v0 и рассматривая сложную функцию z = f(x (и, v0), у (и, v0)) одного переменного и, согласно формуле (2.1), получим, что производная в точке (u0, v0) существует и выражается по формуле:

(2.4)

Аналогично, если в точке (u0, v0) частная производная и , то у сложной функции z = f(x (и, v), у (и, v)) существует в точке (u0, v0) частная производная по v и для нее имеет место формула

(2.5)

Следствие доказано.

В общем случае пусть в окрестности точки задана функция y = y(x1,..., хп), пусть заданы функции xi = xi(tl..., tk), i = 1,2,..., п, такие, что . Если функция у=у(х1,.., хп) дифференцируема в точке x(0), если в точке существуют частные производные , j= 1, 2,..., k, i= 1, 2,..., n, и если в некоторой окрестности точки t(0) имеет смысл суперпозиция y(x(t)), то сложная функция y(x(t)) имеет в точке t(0) частные производные причем

(2.6)

2 ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Теорема. Пусть функция f(x),x = (x1,..,xn), определена в некоторой окрестности точки = (,.... ), а функции хi=xi(t), t = (t1,..., tk), i= 1, 2,.., n, определены в некоторой окрестности точки и пусть , i= 1, 2,..., п.

Тогда, если функция f(x) дифференцируема в точке х(0), а функции xi=xi(t), i = 1,2,..., п, дифференцируемы в точке t(0), то сложная функция f(x(t))=f(x1(t),..., xn(t)) определена в некоторой окрестности ттки t(0) и дифференцируема в этой точке.

При этом дифференциал df функции f (x(t)) в точке ti0) может быть записан в следующих двух видах:

(3.1)(3.2)

Доказательство. Поскольку функции хi(t), i= 1,2,..., n, определены в некоторой окрестности точки t(0) и поскольку из дифференцируемости функций следует их непрерывность, то сложная функция t(x(t)) определена в некоторой окрестности точки t(0).

Зафиксируем какие-либо два числа > 0 и > 0 так, чтобы функция f(х) была бы определена на -окрестности точки x(0), функции xi(t), i = 1, 2,..., n, на -окрестности точки t(0) и чтобы

Тогда на окрестности определена сложная функция f(x(t)). Возможность выбора таких чисел и (очевидно, зависит от выбора ).

Функция f(x) дифференцируема в точке x(0), поэтому при

Имеем

(3.3)

где таково, что.

Положим (0,..., 0)=0. Доопределенная таким образом функция является непрерывной в точке (0,..., 0).

В силу дифференцируемое™ функций xi=xi(t), i =1,2,.... п, в точке t(0) при

Получим

(3.4)

где

Подставляя значения ?xi из (3.4) в (3.3), получаем:

(3.5)

(3.6)

Переставляя порядок суммирования в (3.5), имеем

(3.6)

Теперь, для того чтобы доказать, что сложная функция f(x(t)) дифференцируема вточке t(0), надо показать, что = о() при .

В силу непрерывности функций xi(t), i= 1, 2,..., п: в точке t(0) имеем и, следовательно, . Отсюда в силу р-о р-итеоремы о суперпозиции непрерывных функций

(3.7)

Из (3.6) имеем

(3.8)

Докажем, что отношение ограничено. Используя формулы (3.4), получаем

Мы воспользовались неравенством которое является следствием очевидного неравенства

Поскольку , то в некоторой окрестности точки t(0), функции ограничены, и так как ? 1, то функция ограничена в некоторой окрестности точки t(0). Поэтому из (2.14) и (2.15) следует, что

т. е. что = о() при .

Дифферсниируемость сложной функции f(x(t)) в точке t(0) доказана.

Из формулы (3.5) имеем

Отсюда, замечая, что

мы и получим формулу (3.2). Формула же (3.1) является обычной формулой для дифференциала (см. 3.3).

Теорема доказана.

3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных. Рассмотрим функцию z = f(x, у), определенную на плоском открытом множестве G, т. е. множестве G, лежащем на плоскости Е2.

Пусть (x0, у0) G и пусть в точке (х0, у0) существует частная производная . Ее геометрический смысл сразу получается из определения частной производной как обычной производной функции

производный функция переменный дифференцирование

Рисунок 4.1

f(x, у) no х при фиксированном у и из геометрического смысла обычной производной. В самом деле, возьмем замкнутый круг Q радиуса r с центром в точке (x0, у0) и лежащий в G*. Пусть - кривая, заданная представлением

т. е. кривая, которая получается сечением графика функции z= f(x, у), (х,y) Q плоскостью =y0 (рис. 74).

Такой круг Q всегда существует. Действительно, в силу определения открытого множества существует такая -окрестность O точки 0, у0), что О G. Тогда замкнутый круг Q радиуса с центром в точке 0, у0) будет заведомо лежать в G.

Как известно,

где - угол, образованный касательной к графику функции f(х, у0) в точке 0, f(x0, у0)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой в точке (x0, у0,f0, у0)) с осью Ох.

Таким образом,

В этом и состоит геометрический смысл частной производной.

Совершенно аналогично устанавливается и геометрический смысл частной производной тангенса угла наклона, образованного касательной в точке 0, f(x0, у0)) к кривой, образованной сечением графика функции z=f(x, у), (х,y)Q плоскостью х = х0, с осью Оу.

Что же касается геометрического смысла дифференциала, при п = 2, получим

(4.1)

Уравнение

(4.2)

является уравнением плоскости, проходящей через точку (x0, у0, z0) и не параллельной оси Оz. Как мы знаем, коэффициенты А и В однозначно определяются из соотношения (2.1), причем

(4.3)

и, значит, плоскость (4.2) однозначно определена соотношением (4.1). Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику функции z = f(x, у) в точке 0, у0, z0).

Таким образом, мы пришли к следующему определению.

Определение. Касательной плоскостью к графику функции f(x,у) в данной точке называется такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции f(х, у) является величиной, бесконечно малой по сравнению с при.

В силу (4.3) ее уравнение имеет вид

(4.4)

Полагая ?х = х-x0, ?у = y0, правую часть уравнения (4.4) запишем в виде

Это есть обычная запись дифференциала dz функции z = f(x, у) в точке (x0, у0). Если текущую аппликату касательной плоскости обозначить zкас, ТО (4.4) перепишется следующим образом:

Таким образом, геометрически полный дифференциал функции в точке (x0,y0) равен приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции (рис. 4.2).

4 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть задана функция f(x,y), тогда ее частные производные (если они, конечно, существуют) и снова являются функциями двух переменных и от них также можно брать частные производные.

Рисунок 4.2

Частная производная обозначается или fxx, частная производная обозначается или fxy. Таким образом,

Аналогично

Все эти частные производные называются частными производными второго порядка. Беря от производных второго порядка снова частные производные, получим всевозможные частные производные третьего порядка:

и т.д.

Определение. Частная производная от частной производной порядка п-1, п=1,2,*, называется частной производной порядка п.

Частная производная, содержащая дифференцирование по различным переменным, называется сметанной частной производной. Частная же производная, содержащая дифференцирование только по одной переменной, называется чистой частной производной.

* Частной производной нулевого порядка для удобства обозначений считается сама фунция.

Число различных частных производных при увеличении n, очевидно, возрастает, однако оказывается, что при определенных пред положениях многие из них совпадают, а именно частные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Более точно, имеет место, например, следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x,у) определена вместе со своими
частными производными
fx, fy, fxy в некоторой окрестности точки (x0, у0), пр чем производные fXy и fyX непрерывны в этой точке, тогда

(5.1)

Доказательство. Пусть функция f(x, у) определена вместе с производными fx, fy, fxy и fyX в -окрестности точки (х0, у0) и пусть ?х и ?у фиксированы так, что ?х2 + ?у2 < 2. Будем обозначать символом ?x, соответственно символом ?у, приращение функции f по аргументу х, соответственно по аргументу у, в точке (x0, у0)*. Положим

(5.2)

и покажем, что

Действительно,

(5.3)

Аналогично

(5.4)

Сравнивая (5.3) и (5.4), убеждаемся в справедливости (5.2).

Положим теперь:

тогда (5.3) можно переписать в виде

В силу того, что в рассматриваемой окрестности точки (x0,y0) существует частная производная fX, функция дифференцируема на отрезке с концами в точках x0x0+?x.

Для всякой функции f (х, у)

По теореме Лагранжа о конечных приращениях получим:

Но

,

поэтому

Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях, но теперь уже по переменной у, будем иметь

(5.5)

Совершенно аналогично, полагая

Получим

(5.6)

Согласно (5.2), левые части равенства (5.5) и (5.6) равны между собой, значит, равны и правые; приравнивая их и сокращая на ?х?у при и , получим

(5.7)

В силу непрерывности частных производных fxy и fyx в точке x0, у0 в пределе при и из (5.7) получим (5.1).

Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказанной теоремы по индукции легко следует, что, если у функции п переменных смешанные частные производные т-го порядка непрерывны в некоторой точке, то они в этой точке не зависят от порядка дифференцирования.

Это следует из того, что любые две последовательности дифференцирования, отличающиеся только порядком дифференцирования (т. е. такие, что по каждому фиксированному аргументу они содержат одно и то же суммарное число дифференцирований), можно перевести одну в другую конечным числом шагов, при каждом из которых меняется порядок дифференцирования только по двум переменным, а другие остаются при этом фиксированными. Таким образом, при каждом шаге фактически рассматривается изменение порядка дифференцирования у функции лишь двух переменных, т. е. в этом случае мы находимся в условиях вышедоказанной теоремы. Тем самым общий случай и сводится к случаю функций двух переменных.

Поясним это на примере. Докажем, например, что

Согласно вышесказанному, имеем последовательно

Замечание 2. В заключение этого пункта отметим, что на первый взгляд доказанная теорема может показаться не очень содержательной: для того чтобы судить о том, имеет ли место равенство fXy = fyx, надо, согласно этой теореме, проверить непрерывность функций fxy и fyx, а для этого надо как будто бы их знать; но если мы их уже знаем, то без всякой теоремы можем выяснить, равны они или нет. Тем не менее теорема все-таки содержательна. Дело в том, что о непрерывности функции можно иногда судить на основании некоторых общих теорем, не прибегая к конкретному вычислению и исследованию самой функции. Так, мы знаем, что все элементарные функции многих переменных непрерывны в своей области определения. С другой стороны, частные производные элементарных функций сами являются элементарными, поэтому частные производные элементарных функций непрерывны в области своего определения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - Т.1. М.: Наука, 1999.

2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. - Т.1. М.: Наука, 2000.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - Т.2. М.: Наука, 2005.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Т.2. М.: Наука, 2001.

6. Интернет ресурсы.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.

    контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010

  • Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.

    контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015

  • Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.

    контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012

  • Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.

    контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014

  • Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

    курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014

  • Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011

  • Исследование функции на непрерывность. Алгоритм вычисления производных первого и второго порядков. Порядок определения скорости и ускорения в определенный момент времени при помощи производных. Особенности исследования функции на наличие точек экстремума.

    контрольная работа [362,7 K], добавлен 23.03.2014

  • Теория полуколец находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики. Построение классического полукольца частных. Построение полного полукольца частных. Связь между полным и классическим полукольцами частных.

    реферат [227,2 K], добавлен 27.05.2008

  • Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.

    контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009

  • Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.

    реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.